Применение обобщенных уравнений метода конечных разностей к расчету плит на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.072

Р.Ф. Габбасов, Н.Б. Уварова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РАСЧЕТУ ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Для расчета изгибаемых плит на упругом основании используются обобщенные уравнения метода конечных разностей. Алгоритм позволяет учитывать конечные разрывы искомой функции, ее первой производной и правой части дифференциального уравнения без привлечения законтурных точек и специального сгущения сетки. Приведенные примеры иллюстрируют высокую точность расчета на редкой сетке и простоту алгоритма.

Ключевые слова: плиты, упругое основание, обобщенные уравнения метода конечных разностей, краевые условия.

В [1] обобщенные уравнения метода конечных разностей (МКР), учитывающие конечные разрывы искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения, использованы для расчета изгибаемых пластин переменной жесткости на действие разрывных статических и динамических нагрузок.

В настоящей статье обобщенные уравнения МКР применяются к расчету тонких прямоугольных пластин на упругом основании.

Запишем дифференциальное уравнение изгиба плиты

у2У2 ш = R / Д (1)

где Я = р(х, у) — q (х, у); (2)

р — заданная внешняя нагрузка; q — реактивное давление упругого основания;

D — цилиндрическая жесткость плиты постоянной толщины; ш — искомые прогибы, в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка:

У2ш = —М / Б; (3)

V2M = —Я, (4)

где V2 =4 + 4; (5)

дх ду2 Мх + М

М =----обобщенный изгибающий момент.

1 + ц

Перейдем к безразмерным величинам

Г х у Я М (£) Мх (п) Му шБ £ = - ;п = —; г = —; т =--; т(£) =-х-; т(п) =—; V =--; (6)

а а р0 р0а р0а р0а р0а

где п — безразмерные прямоугольные координаты; а — длина одной из сторон прямоугольной плиты; р0 — фиксированное значение нагрузки р.

С учетом (5) и (6) запишем дифференциальные уравнения (4), (3), а также формулы для изгибающих и крутящих моментов [2] в безразмерных величинах:

= —г; (7)

= —т; (8)

д 2 т д 2 т

■ + —-

д£2 дп2

ду2 д 2г

д£2 +дП2 =

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

m(f) = -(vff+M.vni1); m(n) =-(vnil+M.vff);

ЕЕ

где vss =

m(fn) = -m(nf) = (1 -

S2v ,

d2v Ел d2v —7; v51 =-

M

(Ел) xy m 5 u =-—

(9) (10)

^ 2 , , 2 (11) se,2 aq2 aesq p0a¿

Заметим, что при учете (6) и (8) из соответствующих формул [2] следуют безразмерные значения поперечных сил

Qx dm 4 Qy dm

—— =-= ms;—— =-= m '. (12)

p0 a c^ p0 a сП)

Дифференциальные уравнения (7) и (8) решаются с учетом краевых условий. Рассмотрим однородные условия при q = 0.

Шарнирное опирание: V = 0; т(т) = 0. Из первого условия следует ^ = 0; тогда из формул (9) и (8) с учетом второго условия получим т = 0.

Жесткая заделка: V = 0^т = 0, где = Эу / Эт.

Свободный от закреплений край плиты: т(т) = 0, %(т|) = 0, где х(т) = V / Р0° —

безразмерная обобщенная поперечная сила.

Перейдем к аппроксимации дифференциального уравнения (7) обобщенным уравнением МКР. Численное решение задачи будем строить на квадратной сетке с шагом h в направлении координатных осей £ и т . Часть этой сетки показана на рис. 1, где римскими цифрами обозначены номера прямоугольных элементов, имеющих общую точку i, ]. В случае непрерывных т и т = И аппроксимация (7) следует из уравнения (2.2.6) [3] при замене га, р соответственно на т, г. Л И

« = п-

Рис. 1

TTJ

ij-l

IV

i+l.j

Ч

m,.

1, j + m, j-1- 4m, j + m, j+i + m+1, ¡ +

+ h (д1-п ml +AIII-IV ml + Д1-1П m^ + Д™ m^ ) = (13)

ij+l

= -T(

4

/;, j + ш/;, j +IIr, j + IVr„ j

),

где Д'"п mf ¡ = lmf f - 1

(14)

Остальные члены подобного типа записываются по аналогии.

Уравнение вида (13) называем обобщенным уравнением МКР, поскольку из последнего при неразрывных , тт и г как частный случай следует известное уравнение МКР типа «крест», аппроксимирующее (7) в случае непрерывных решений.

Поскольку (7) и (8) отличаются лишь обозначениями, для аппроксимации дифференциального уравнения (8) при непрерывных т, V, , ул достаточно записать (13) с заменой т, г соответственно на v, т.

+

Чу+1 + v i+1,j

(15)

Отметим, что частные производные V: = — и ут = — могут иметь разрывы

Эт

только в том случае, если в плите имеются цилиндрические шарниры, а т может претерпевать конечный разрыв, если плита загружена внешними моментами, сосредоточенными в направлении одной из координатных линий, или имеется пластина кусочно-постоянной толщины. Эти случаи на практике встречаются редко и здесь не рассматриваются.

При шарнирном (свободном) опирании плиты по всему контуру и заданном законе зависимости q от га, в частности, при q = 0 задача решается на базе уравнений (13), (15), которые записываются для каждой расчетной точки сетки внутри области интегрирования.

Если условия опирания плиты отличны от шарнирных, необходима аппроксимация краевых условий.

Пусть левый край плиты при п = 0 жестко заделан. Для вычисления vnу запишем соответствующее уравнение [3] на квадратной сетке при непрерывных т, V, уп :

— — + 2^,./+\ + = —'^Щу. (16)

Для учета однородных краевых условий достаточно в (16) V]1 у, vi_ 1 у, vi у, vi+\ у приравнять к нулю. Для верхнего края плиты (16) записывается с заменой i, у на у, i. Для правого и нижнего краев эти уравнения записываются в «зеркальном отображении», при этом V11 у, VI' у меняют знак на обратный.

Далее рассмотрим свободный от закреплений край плиты при п = 0.

Из приведенных выше однородных краевых условий для определения V и т в точке I, ] свободного края получим следующие разностные уравнения:

к2

V^-\,у — у + у = — -Т~Щ,у (17)

1 ц

и 1 - и / \ (3 ^ 1

2m'-l,J V1 -1'J - + ДJm'-J + hJ+1 - 2 m'J +2 -

2(1 - Д)/ 1 - Д/ \п

(V1,j - Vi,j+1) + 2mi+1,j +-J" (Vi+1,j - Vi +1,j+1) =

(18)

h2 V 1,j 1,j+4 2 1+1,j h2

Уравнение для точки 1, j верхнего свободного края прямоугольной плиты следует из (18) с заменой 1, j соответственно на j, 1. Для правого и нижнего краев плиты эти уравнения записываются в «зеркальном отображении». Уравнение (17) для этих краев записывается по аналогии. Как видно из (16), (17), (18), все краевые условия выражаются через искомые неизвестные m и v .

Если плита не контактирует с основанием, в (13) под r следует понимать

Р = Р/ Ро.

Если отпор основания двусторонний, то r = p - q , а безразмерный отпор q определяется принятой моделью упругого основания. Если справедлива гипотеза Винкле-ра, то q = kv, где V по-прежнему определяется по (6), к = Ca4 / D, C — коэффициент постели.

Тогда r = p - к • v. (19)

Подставляя (19) в (13) при непрерывных V и к = const, получим уравнение для расчета плит на винклеровском основании.

Алгоритм расчета на квадратной сетке сводится к следующему. Для всех расчетных точек сетки внутри области интегрирования записываются уравнения (15) и (13) с учетом (19). При шарнирном опирании плиты эти уравнения решаются совместно с учетом m = v = 0 в краевых точках. В зависимости от заданных краевых условий другого вида к уравнениям типа (13), (15) присоединяются уравнения (16) или (и) (17), (18).

После определения т и V из совместного решения упомянутых выше уравнений величины , вычисляются по известным формулам МКР. Величины безразмерных изгибающих моментов определяются по (9). Для вычисления крутящих моментов

по (10) величину у^1 определяют по формуле, которая следует из поверхности второго порядка, построенной по значениям у в расчетных точках:

_ 1 i \

i,j = ~2 {Vi~1,j~1 " +1 " Vi+1,j-1 + Vi+1,j+1 j'

(20)

По (16) можно найти v;1,; по аналогичному выражению — v^ ,. Для определения

t,J • 1.1

i J

i, J

достаточно в (16) заменить v и m сответственно на m и r .

Таким образом, численное решение обладает полнотой: определяются все параметры напряженно-деформированного состояния плиты.

Для иллюстрации разработанного алгоритма расчета вначале рассмотрим изгибаемую пластину без упругого основания.

Квадратная шарнирная опертая по всему контуру плита по линии 01-11 загружена полосовой нагрузкой с интенсивностью, равной 1 (рис. 2).

Для точки 11 записываем уравнение (13) с учетом краевых условий при

V = Д1"11^ = ДПЫХ = Д^Х = 0; Д1-111^ = 1;Л = 1/2:

Рис. 2

-4mu + — • — -1 = 0; m = —. При загружении той же 2 2 16

нагрузкой по линии 01-11-21 (см. рис. 2) получим т11 = — • 2 = —. Для определения уп

16 8

пишем уравнение (15) с учетом краевых условий и найденного значения т11 :

-4у11 = —у •1; у11 = 0,00781. Сложный характер загружения и грубая сетка (см. рис. 2) 2 8

приводят к большой погрешности: полученное значение у11 от найденного в [2] из решения в рядах отличается на 16 %. При h = 1/4 погрешность решения уменьшается и составляет 8,6 %. Уменьшая шаг к , можно добиться большей точности.

Следует отметить, что алгоритм расчета разработан с целью использования компьютеров при достаточно большом числе разбиений. Приведенные примеры служат лишь иллюстрацией алгоритма; они показывают, что даже при минимальном числе разбиений обобщенные уравнения МКР дают результаты, позволяющие оценивать напряженно-деформированное состояние плиты.

Перейдем к расчету плит на упругом основании.

Прямоугольная плита с горизонталь-

оо

01

102

10

20

1/2

Рис. 3

112

21

1/2

22

1/2

1/2

1/2

1/2

1

ными шарнирными и с вертикальными свободными от закреплений краями загружена по всей площади равномерно распределенной нагрузкой р = 1 и контактирует со сплошным винклеровским основанием

k = 200; ц = 0,3. На рис. 3 показаны размеры и квадратная сетка при минимальном числе разбиений; учитывая симметрию, рассчитаем половину пластины.

v

Для точек 11, 12 записываем уравнения (13), (15) с учетом (19), краевых условий и симметрии задачи, принимая к = 1/2. Для точки 10 записываем уравнения (17), (18).

Из совместного решения полученных алгебраических уравнений найдем: т10 = 0,01944; тп = 0,02546; т12 = 0,03052; V\0 = 0,003472; v\\ = 0,003352; V\2 = 0,003583.

Покажем оценку точности численного решения этой задачи, когда результаты каких-либо других решений отсутствуют и не проводится исследование сходимости решения на последовательности нескольких сеток. С этой целью найдем проекции всех сил на ось, перпендикулярную к плоскости плиты. Равнодействующая внешней безразмерной нагрузки в пределах половины плиты равна 1. Безразмерную поперечную силу в точке г, у шарнирно опертого края можно найти по формуле, которая следует из (16), если ее записать согласно (7) с заменой V, т, п, г, у соответственно на т, г, у, г, учесть, что г , = р1 у -кх1, и что на краях V = т = 0.

т}у = 2 • 2 + 2тг+\,у. (21)

Нетрудно показать, что формула (21) справедлива и для точки 00 на рис. 3. По (21) и найденным выше значениям т получим: т^ = 0,2889; т£\ = 0,3009;

т£2 = 0,3110.

Учитывая поперечные силы и на нижних кромках пластины, по формуле Симпсо-на найдем ^ = 0,6012. Равнодействующую безразмерных реактивных усилий также найдем по Симпсону, используя полученные выше значения v : ^ q = 0,4547; тогда ^ т£ q = 1,056. Учет безразмерных реактивных сил в угловых точках плиты

меняет полученную величину на 0,007. Таким образом, интегральное условие равновесия удовлетворяется с погрешностью 4,9 %. Это высокая точность для численного решения на редкой сетке (см. рис. 3). Простота алгоритма позволяет рекомендовать его в инженерных расчетах.

Библиографический список

\. Габбасов Р.Ф., Мусса Сали. Обобщенные уравнения метода конечных разностей и их применение к расчету изгибаемых пластин переменной жесткости // Известия вузов. Строительство. 2004. № 5. С. \7—22.

2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М. : Наука, \966.

3. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. 277 с.

Поступила в редакцию в марте 2012 г.

Об авторах : Габбасов Радек Фатыхович — доктор технических наук, профессор кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (МГСУ), \29337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26;

Уварова Наталия Борисовна — кандидат технических наук, профессор кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (МГСУ), \29337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

Для цитирования: Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б. Применение обобщенных уравнений метода конечных разностей к расчету плит на упругом основании // Вестник МГСУ. 20\2. № 4. С. \02—\07.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве btC

_МГСУ

R.F. Gabbasov, N.B. Uvarova

APPLICATION OF GENERALIZED EQUATIONS OF THE FINITE DIFFERENCE METHOD AS PART OF THE ANALYSIS OF SLABS RESTING ON ELASTIC FOUNDATIONS

Generalized equations of the finite difference method are used to analyze bended slabs resting on elastic foundations. The algorithm makes it possible to take account of the finite discontinuity of the function, its first derivative and the right part of the differential equation without getting any points outside of the contour or a fine grid involved in the analysis. The examples have proven the high accuracy of the proposed analysis that employs a coarse grid and a simple algorithm.

It is noteworthy that the algorithm of the analysis is developed with a view to the employment of computer-aided methods and with due account for a substantial number of subsettings. The examples provided in the article are solely designated to illustrate the operation of the proposed algorithm. They demonstrate that even if the number of subsettings is minimal, generalized equations of the method of finite differences are capable of generating the results that make it possible to assess the stress-strained state of a slab.

Key words: plates, elastic foundations, generalized equations of the finite difference method, boundary conditions.

References

1. Gabbasov R.F., Mussa Sali. Obobshchennye uravneniya metoda konechnykh raznostey i ikh primenenie k raschetu izgibaemykh plastin peremennoy zhestkosti [Generalized Equations of the Method of Finite Differences and Their Application to Analysis of Bent Slabs of Variable Rigidity]. Izvestiya VUZov, Stroitel'stvo [News of Higher Education Institutions. Construction]. 2004, no. 5, pp. 17—22.

2. Timoshenko S.P., Voynovskiy-Kriger S. Plastinki i obolochki [Plates and Envelopes]. Moscow, Nauka Publ., 1966.

3. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislennoe postroenie razryvnykh resheniy zadach stroitel'noy mekhaniki [Numerical Structure of Discontinuous Solutions of Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2008, 277 p.

About the authors: Gabbasov Radek Fatykhovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Ya-roslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation;

Uvarova Nataliya Borisovna — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

For citation: Gabbasov R.F., Uvarova N.B. Primenenie obobshchennykh uravneniy metoda konech-nykh raznostey k raschetu plit na uprugom osnovanii [Application of Generalized Equations of the Finite Difference Method as part of the Analysis of Slabs Resting on Elastic Foundations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 4, pp. 102—107.