CC BY
2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Научная статья
УДК 517.977.1, 62-50
doi: 10.18522/1026-2237-2023-4-34-42
МЕТОД СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ НА ОСНОВЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОЩНОСТИ И АНАЛИЗА ПУЧКА КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Владимир Олегович Зехцерш, Андрей Александрович Костоглотов2, Сергей Валерьевич Лазаренко3, Александр Андреевич Агапов4
1:2,3,4Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия
1vova-zehcer@yandex. ruB 2kostoglotov@icloud. com 3rh3311 @mail.ru 4agapov2 794@gmail. com
Аннотация. Синтез структуры закона управления многомерной динамической системой по квадратичному критерию на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче проведен с учетом анализа пучка квадратичных форм, который обеспечивает выполнение условий трансверсальности. Это дает возможность учета динамических свойств управляемой системы при построении квазиоптимального управления. Неопределенные множители связи второго рода могут быть установлены в результате использования принципа освобождаемости с учетом свойства скобок Пуассона на основе численного моделирования. Анализ результатов моделирования процесса управления двойным маятником показывает, что разработанный квазиоптимальный закон управления нелинейной динамической системой с несколькими степенями свободы позволяет получить выигрыш по показателю быстродействия при улучшении значения квадратичного критерия в сравнении с известным управлением, построенным на основе принципа декомпозиции и игрового подхода.
Ключевые слова: квазиоптимальный закон управления, система управления, многомерная нелинейная динамическая система, пучок квадратичных форм, линия переключения
Для цитирования: Зехцер В.О., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В., Агапов А.А. Метод синтеза нелинейных квазиоптимальных законов управления многомерными системами на основе условия максимума функции обобщенной мощности и анализа пучка квадратичных форм // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 4. С. 34-42.
Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-2900812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
© Зехцер В.О., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В., Агапов А.А., 2023
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Original article
SYNTHESIS METHOD OF NONLINEAR QUASI-OPTIMAL CONTROL LAWS FOR MULTIDIMENSIONAL SYSTEMS BASED ON THE MAXIMUM CONDITION OF THE GENERALIZED POWER FUNCTION AND THE ANALYSIS OF A BEAM OF QUADRATIC FORMS
Vladimir O. Zekhtser1B, Andrey A. Kostoglotov2, Sergey V. Lazarenko3, Alexandr A. Agapov4
i, 2,3,4 Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia
1vova-zehcer@yandex. ruB
2kostoglotov@icloud. com
3rh3311 @mail.ru
4agapov2 794@gmail. com
Abstract. The synthesis of the control law structure for multidimensional dynamic system according to a quadratic criterion based on the reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric problem was carried out taking into account the analysis of a quadratic forms bundle, which ensures the fulfillment of transversality conditions. This makes it possible to take into account the dynamic properties of the controlled system when constructing quasi-optimal control. Indeterminate coupling multipliers of the second kind can be established as a result of using the principle of releasability, taking into account the property of Poisson brackets based on numerical modeling. The analysis of the modeling results of the control process of a dual pendulum shows that the developed quasi-optimal control law of a nonlinear dynamic system with several degrees offreedom results in a gain in terms of speed when improving the value of the quadratic criterion in comparison with the known control based on the principle of decomposition and the game approach.
Keywords: quasi-optimal control law, control system, multidimensional nonlinear dynamic system, beam of quadratic forms, switching line
For citation: Zekhtser V.O., Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Agapov A.A. Synthesis Method of Nonlinear Quasi-Optimal Control Laws for Multidimensional Systems Based on the Maximum Condition of the Generalized Power Function and the Analysis of a Beam of Quadratic Forms. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(4):34-42. (In Russ.).
Acknowledgments: the study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 23-29-00812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
Рассматривается задача построения квазиоптимального управления лагранжевой системой с несколькими степенями свободы. В работах [1, 2] получены законы управления в предположении, что исходная система приведена к главным осям на основе принципа декомпозиции [3, 4]. В настоящей работе проводится прямой синтез управления с использованием анализа пучка квадратичных форм и принципа освобождаемости, что позволяет провести учет инерционных свойств многомерной системы и в отличие от работы [5] весовых коэффициентов критерия качества.
Для решения задачи управления использован подход [6], обеспечивающий редукцию задачи Ла-гранжа к изопериметрической с использованием асинхронного варьирования для широкого класса динамических систем, удовлетворяющих принципу Гамильтона - Остроградского. На основе условия максимума функции обобщенной мощности получено квазиоптимальное решение задачи структурного синтеза законов управления. Анализ пучка квадратичных форм в совокупности с использованием принципа освобождаемости и свойств интеграла движения дает возможность построения линии переключения и соответствующего управления с точностью до параметров.
Цель работы - повышение эффективности управления нелинейными многомерными динамическими системами.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4
ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2023. No. 4
Научная задача - разработка закона управления нелинейными многомерными динамическими системами на основе условия максимума функции обобщенной мощности с использованием анализа пучка квадратичных форм.
На примере двойного маятника показано, что синтезированные законы управления повышают быстродействие управляемой системы в сравнении с квазиоптимальным законом, полученным на основе метода декомпозиции при снижении величины квадратичного функционала качества.
Постановка задачи управления
Рассмотрим класс управляемых систем, движение которых в независимых обобщённых координатах q = |l^l^j может быть описано дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода
d дТ дТ / ч -— г и ,1Ч
-Т-гг = «s (t )> s = 1, щ t e[t0, tj\. (1)
dt -qs -4s
Кинетическая энергия T каждой системы этого класса выбирается из множества положительно определенных квадратичных форм обобщенных скоростей qs с учетом стационарности связей [7] и удовлетворяет условиям
1 n n 2 n 2
t = - zask(q)qÀk, щ Zqs<T< щ Zq, щ = const, %д >о, (2)
2 s,k=1 s=1 s=1
с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами ask (q).
Допустимые управления выбираются из множества суммируемых на любом конечном интервале функций u(t) = ||us (t)n принимающих значения в ограниченной замкнутой выпуклой области U
u(t )е U = « (t ), «s (t )< hs, s = 1n } (3)
Задача оптимального управления заключается в переводе системы (1), (2) из начального состояния t = *о , q(to ), q (*о ) в конечное состояние t = t1, q(t1 ), q (t1 ) при условии минимума целевого функционала
Ч
J(q)=JF(q)dt ^ min, (4)
to
где F (q) - положительно определенная выпуклая функция обобщенных координат.
Положим, что критерий качества определяется следующей целевой функцией:
1 n
F(q) = — Zk^qf = qTKq , где K - положительно определенная диагональная матрица; kt - за-
2 ¿=1
данные весовые коэффициенты.
Рассмотрим задачу построения нелинейного управления системой (1), (2) по критерию (4) при условии (3) на множестве квазиоптимальных законов управления, полученных на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче [6].
Задача будет решаться при упрощающих предположениях, когда положительно определенную матрицу A(q) кинетической энергии (2) при ее незначительных изменениях за время управления будем считать близкой к постоянной, как некоторое среднее A для области управления. Если эта область достаточно мала, то на всех рассматриваемых движениях матрица A (q) будет мало отличаться от A . Матрицу кинетической энергии в дальнейшем обозначим A.
Показано [8], что принятая постановка задачи и упрощающие предположения являются естественными и выполняются для широкого класса управляемых объектов, например для ма-нипуляционных роботов с электромеханическим приводом.
Известно [6], что решение задачи структурного синтеза закона управления имеет вид
d дТ -Т = hsSign (^ (q, q ))s, [A(A - T ) + F]J = 0, t e[to, ^J s = Щ,
dt dqs -qs
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
где (q, q) = us (q,q)qs + ÖF (q) определяет поверхность переключения; us (q,q) -
d4s
знакопостоянная синтезирующая функция; [л(А - T)+F= 0 , t tj, - требование
выполнения энергетического баланса на экстремальной траектории; Л - множитель Лагранжа. Тогда построение управления связано с определением линии переключения, которая задает-
ÖF (п)
ся уравнением u(q(t ),q(t ))qs (t)+--— = 0 с учетом выполнения условия
dqs
[Л(A - T) + F ] J1 = 0, t e[t0, tj] s = .
Синтез закона управления На линии переключения работа управляющих сил A = 0, тогда
T -Jr1F = 0 . (5)
Линия переключения проходит через терминальную точку фазового пространства, на ней управление меняет знак, и ее можно записать с учетом (5) через кинематические характеристики. Квадратичные формы T и F определяют регулярный пучок форм
A(q, q)-/K(q, q),r = Л1, (6)
с характеристическим уравнением |A - /К| = 0, которое имеет n вещественных корней /
(i = 1, n) и соответствующие линейно независимые главные векторы zi (/ = 1, n) Это требует анализа пучка квадратичных форм (6), порождаемого матричным уравнением энергетического баланса (5). Главные векторы z i (i = 1, n) определяют главную матрицу
Z = (z 1 , z- • •, zn) = I\zi-\ • Тогда справедливо [9] ZAZ = 1| ^, ZKZ = Е.
Получить Z = PO можно, совершив преобразование q = Py , т.е. привести K(q,q) к единичной сумме, преобразовав к £ у- , при этом A(q, q)^ Aj (q, q). После этого Aj (q,q) приво-
-=1
n "2 r
дят к виду £ при помощи y = Oq (приведение к главным осям).
-=1
Таким образом, вещественная симметричная матрица A1 может быть представлена в виде A1 = O| O1. Тогда существует положительно определенная матрица
F = -/A = оЦд/т^д-Цп O 1, что позволяет определить кинематическую связь q = Цд//"^-^ POq . С
учетом того, что матрица K диагональная, P находится тривиально Р =
. В итоге имеем
q = Rq, (7)
где R = | Ы Г
O. Учет кинематической связи при построении линии переключения
можно провести в соответствии с принципом освобождаемости [7], путем определения работы Е сил реакции связи. Составим с учетом связей расширенный гамильтониан Н = ХТ + ¥ + Е .
г)¥ (п)
Положим, что линия переключения (п, п) = ;^ +--= 0 является интегралом дви-
жения м0(р,п) ; Р - обобщенный импульс. Тогда для ее определения используем свойства ско-
бок Пуассона [10] [H, u0 ] = £
0
s=1l
ÖH du0 dH du0
dqs ÖPs ÖPs Öqs
= 0.
n
n
1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Заметим, что T = qTAq = pq = pTA-1p . Поскольку по определению q = Rq - кинематическая
-1 • n ( n -1 ^ связь с неособенной матрицей, то R q = q . Элементарная работа SE = Z| Zrsi ss \Sq, или
¿=1^ s=1 )
S'E = SSq , где S - вектор силы реакции связей S = R-1£; £ - вектор неопределенных множителей Лагранжа второго рода.
Тогда на линии переключения имеют место следующие соотношения:
• SF(q) . , л 6E п dE n -1 дИ , " -1 дИ .. uso = Msqs+^-L = vsqs+Kqs = o, — = o, — = Zr- e¡, —=ksqs + zrsksk, — = MS, dqs dPs dqs i=1 dqs k=1 dPs
dus0 -1 a-1 „ 1 . n -1 dus0
—— = ass/us, ass - элемент обратной матрицы A , qs = Z asa pk , —— = ks.
dPs k=1 dqs
Выражение для скобок Пуассона принимает вид \Н, м0 ] = Z
s=1
KIs + ZÄ -^sks
k=1
= o.
Откуда имеем выражение для синтезирующей функции ¿us = Л-
\qs
,-1
kl+ks Zr±sk k=l
Таким образом, структура квазиоптимальной управляемой системы с точностью до Л и вектора неопределенных множителей £ принимает вид
d_
dt
f дт l
vдqs j
дT , .
= hs sign
дqs
л
\qs
-1
Ы+ks zrksS k=1
+ksqs
(8)
Моделирование
Рассмотрим задачу управления объектом с несколькими степенями свободы (двойной маятник), кинетическая энергия которого имеет вид [10]
Т = 2 1\ Ц + т2 + ^ т212 Р2 + т21\12<кФ2 С08(^ -92 ) . (9)
По критерию минимума функционала J(ф)= JF($>)dt ^ min, где ф
Р Р2
Р, Р2 - углы от-
клонения от нормали первого и второго маятника соответственно; т1, т2 - массы маятников;
¡1, ¡2 - длины маятников; F = фТКф, K =
k1 0 0 k
hi, i = 1,2, - заданные весовые коэффициен-
ты.
Управления ограничены < Иъ < ^ и представляют собой моменты сил, приложенные в точках подвеса. Матрица кинетической энергии (9) имеет вид
Т = фТАф,
1 ¡1Ц + т2 )
A=
2 (ml + m2 ) m2lll2 cos(p -p2 ) ■
m2lll2 cos(ft - Ф2 )
- m2%
2
Рассмотрим случай малых углов р, (р2 ; m = m = 1 ; ¡1 = ¡2 = 1. Тогда cosp -02 ) ^ 1 и
компоненты матрицы кинетической энергии имеют следующие значения: 1 1/2"
A=
1/2 1/2
(10)
ss
ss
0
2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Уравнения движения двойного маятника, разрешенные относительно старшей производной, имеют вид
p = g ipp - 2P ) + «1, Р2 = 2 g {<Pl-P2 ) + «2,
(11)
с начальными (ф(0) = 0,5 , ф(0) = 0, ф(0)= 0 , ф2(0)= 0) и конечными (ф(0) = 0, ф(0) = 0, Ф2 (0)= 0 , ф2 (0) = 0) условиями.
Для синтеза управления по предложенному методу необходимо определить структуру кинематических связей ф = Иф .
Положим = 0, 1, &2 = 0,9, тогда
F = ф Кф =
[P P2
0,1 0 0 0,9
P P2
(12)
Найдем главную матрицу Ъ пучка квадратичных форм фТАф — ХфТКф = 0, | А — ХК| = 0 . Выполним преобразования переменных ф = Ру, ф = Ру , приводящие форму К(ф,ф) к еди-1
- 0
3,162 0
ничной ф 1ф: P =
0
0 1
0 1,054
Тогда A переходит в Aj = PrAP : Aj = Приведем Aj(y,y) к главным осям O_1A1Q = ЦЛ^Ц", O-1O = E, O = [v1;v2 ] =
"3,162 0 " " 1 0,5" "3,162 0 "
0 1,054 0,5 0,5 0 1,054
9,998 1,666 1,666 0,555 - 0,171 5,838 1 1
где собственные числа и соответствующие им собственные векторы \ = 0,27, А^ = 10,284 "- 0,171
V1 =
1
"- 5,838"
, V2 = 1
Таким образом, главную матрицу Ъ пучка (12) определяет преобразование Ъ = РО
Z =
3,162 0 - 0,171 5,838 = - 0,541 18,46 0 1,0541 1 J = 1,054 1,054 Имеем следующую структуру кинематической связи:
(13)
Матрица R кинематической связи (13), матрицы (10), (12) позволяют определить параметры управления:
h{p,p1 ) = si.
sign
к
\p1 \p1
2ц1
-1^.. -1,
\p\ + k-1 £ r
¿=1
+k1P
l(P2,P2 )= ^2 Sign
к
|p2 |p2
-<22
2
\P\ + k2-1 £ r2-4
i=1
+ k2P2
(14)
где Г—1 - элементы матрицы R"1; а^1 - элементы матрицы A-1; £1, £2 - неопределенные множители Лагранжа второго рода.
-1. „-1
u
1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Проведем анализ эффективности синтезированных управлений (14) в сравнении с известным законом управления, построенным на основе метода декомпозиции [3]:
(Pi,pi ) = hisi
sign
1
р 1
1
р 1
2 • hi(l -р)
+ р 1
г(р2,Р2 ) = h2sign
. * р 2
. * р 2
2 • h2 (l -Р2 )
+ р 2
(15)
max
где Pi =
g (Р2 - 2(1 )
max
Р2 =
g (Pi -(2 )
определяются как ресурсы управления в
¿1
сравнении с потенциальными силами, действующими в системе.
Проведем моделирование системы (11) с управлениями (14), (15) при ¿1 = ¿2 = 0,5, Р1 = 0,55 , Р2 = 0,65 , шаг дискретизации At = 0001 с . Окрестность достижения терминальной точки определена параметрами ¿1 = 0,001, 52 = 0,001. Результаты моделирования представлены на рисунке.
а / а
<Рг ф.
0.2 0.1 0 ■0.1 ■0.2
\
t
ф.
о
0.4 О
"0.4 ■О
**
г
и 1 t
б / b
Переходные процессы в управляемой системе и фазовая диаграмма, звездочкой обозначены решения метода декомпозиции: а - q\(t) ; б - 02 (t) / Transient processes in a controlled system and phase diagram, solutions are indicated with an asterisk decomposition method: а - q\(t) ; b - 02(t)
Заключение
Результаты исследований позволяют сделать заключение, что анализ пучка квадратичных форм (5) дает возможность установить кинематическую связь (7) с точностью до неопределенных множителей Лагранжа второго рода, которая определяет вид синтезирующей функции и соответствующую структуру квазиоптимальной управляемой системы (8).
u
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
Анализ результатов моделирования процесса управления двойным маятником показывает, что синтезированный квазиоптимальный закон управления нелинейной многомерной динамической системой (14) позволяет получить выигрыш по показателю быстродействия на 6,95 % при незначительном улучшении квадратичного функционала на 0,2 % в сравнении с известным решением.
Список источников
1. Агапов А.А., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Анализ эффективности квазиоптимальных законов управления с применением аппарата нечеткой логики в задачах интеллектуализации транспортных систем // Вестн. Ростовского гос. ун-та путей сообщения. 2023. № 1 (89). С. 126-135.
2. Костоглотов А.А., Агапов А.А., Лященко З.В., Лазаренко С.В. Синтез нелинейных систем при воздействии ограниченных возмущений с использованием многорежимных законов управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2022. Т. 20, № 1-2. С. 37-47.
3. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.
4. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция управления динамической системой // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 4. С. 801-805.
5. Агапов А.А., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Синтез квазиоптимального закона управления на основе построения линии переключения с учетом анализа пучка квадратичных форм в составе интеллектуальной транспортной системы // Вестн. Ростовского гос. ун-та путей сообщения. 2022. № 1 (85). С. 177-185.
6. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Метод квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче с использованием асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. Т. 6, № 6. С. 3-12.
7. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
8. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Оптимальное управление и дифференциальные уравнения : сб. ст. к 70-летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, Физматлит, 1995. Т. 211. С. 457-472.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц : учеб. пособие. М.: Физматлит, 2010. 560 с. URL: https://www.elibrary.ru /item.asp?id=20246076 (дата обращения: 20.10.2021).
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. 4-е изд. М.: Наука, 1988. 216 с.
References
1. Agapov A.A., Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. Analysis of the effectiveness of quasi-optimal control laws using the fuzzy logic apparatus in the problems of transport systems intellectualization. Vestn. Rostovskogo gos. un-ta putei soobshcheniya = Bulletin of the Rostov State Transport University. 2023;(1):126-135. (In Russ.).
2. Kostoglotov A.A., Agapov A.A., Lyashchenko Z.V., Lazarenko S.V. Synthesis of nonlinear systems under the influence of limited disturbances using multimode control laws based on the condition of the maximum of the generalized power function. Informatsionno-izmeritel'nye i upravlyayushchie sistemy = Information-Measuring and Control Systems. 2022;20(1-2):37-47. (In Russ.).
3. Pyatnitsky E.S. The principle of decomposition in the management of mechanical systems. Dokl. AN SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1988;300(2):300-303. (In Russ.).
4. Chernousko F.L. Decomposition of dynamic system control. Dokl. AN SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1990;314(4):801-805. (In Russ.).
5. Agapov A.A., Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. Synthesis of a quasi-optimal control law based on the construction of a switching line, taking into account the analysis of a bunch of quadratic forms as part of an intelligent transport system. Vestn. Rostovskogo gos. un-ta putei soobshcheniya = Bulletin of the Rostov State Transport University. 2022;(1):177-185. (In Russ.).
6. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. The method of quasi-optimal synthesis of control laws based on the reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric problem using asynchronous variation. Izv. RAN. Teoriya i sistemy upravleniya = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Theory and Control Systems. 2021;6(6):3-12. (In Russ.).
7. Lurie A.I. Analytical mechanics. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1961. 824 p. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4
8. Chernousko F.L. Decomposition and synthesis of control in non-linear dynamic systems. Optimal control and differential equations. Collection of articles to the 70th anniversary of the birth of Academician E.F. Mishchenko. Moscow: Nauka, Fizmatlit Publ.; 1995;211:457-472. (In Russ.).
9. Gantmacher F.R. Theory of matrices. Textbook. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2010. 560 p. Available from: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=20246076 [Accessed 20th October 2021]. (In Russ.).
10. Landau L.D., Lifshits E.M. Theoretical physics. Vol. 1: Mechanics. Moscow: Nauka Publ.; 1988. 216 p. (In Russ.).
Информация об авторах
B. О. Зехцер - младший научный сотрудник, кафедра связи на железнодорожном транспорте.
А.А. Костоглотов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой связи на железнодорожном транспорте.
C.В. Лазаренко - кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник, кафедра связи на железнодорожном транспорте.
А.А. Агапов - ассистент, кафедра вычислительной техники и автоматизированных систем управления. Information about the authors
V. O. Zekhtser - Junior Researcher, Department of Communication on Railway Transport.
A.A. Kostoglotov - Doctor of Science (Technical Science), Professor, Head of the Department of the Communication on Railway Transport.
S.V. Lazarenko - Candidate of Science (Technical Science), Associate Professor, Senior Researcher, Department of the Communication on Railway Transport.
A.A. Agapov - Assistant, Department of the Computing Machinery and Computerized Control Systems.
Статья поступила в редакцию 14.05.2023; одобрена после рецензирования 16.06.2023; принята к публикации 30.10.2023. The article was submitted 14.05.2023; approved after reviewing 16.06.2023; accepted for publication 30.10.2023.
