CC BY
3
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Научная статья УДК 62-50
doi: 10.17213/1560-3644-2022-4-35-40
ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОЩНОСТИ И НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА
А.А. Агапов1, А.А. Костоглотов2
'Государственная телерадиокомпания «Дон-ТР» (филиал ВГТРК), г. Ростов-на-Дону, Россия, 2Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, Россия
Аннотация Построен закон управления с применением метода квазиоптимального синтеза на основе условия максимума функции обобщенной мощности и нечеткого логического вывода для управления объектами, модель которых описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода. На основе анализа результатов моделирования можно говорить о том, что построенный закон управления позволяет повысить быстродействие управления нелинейной динамической системой в сравнении с известным законом управления.
Ключевые слова: система управления, уравнения Лагранжа 2-го рода, условие максимума функции обобщенной мощности, нечеткий логический вывод, квазиоптимальное управление, математическое моделирование
Для цитирования: Агапов А.А., Костоглотов А.А. Построение закона управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и нечеткого логического вывода // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2022. № 4. С. 35-40. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-35-40
Original article
CONSTRUCTION OF A CONTROL LAW BASED ON THE CONDITION OF THE MAXIMUM OF THE GENERALIZED POWER FUNCTION AND FUZZY LOGICAL INFERENCE
A.A. Agapov1, A. A. Kostoglotov2
'State TV and Radio Company «Don-TR» (VGTRK branch), Rostov-on-Don, Russia, 2Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia
Abstract. A control law is constructed using the method of quasi-optimal synthesis based on the condition of the maximum of the generalized power function and fuzzy inference to control objects, the model of which is described by Lagrange equations of the 2nd kind. An analysis of the simulation results allows us to say that the constructed control law makes it possible to increase the speed of control of a nonlinear dynamic system in comparison with the known control law.
Keywords: control system, Lagrange equations of the 2nd kind, the condition of the maximum of the generalized power function, fuzzy logic inference, quasi-optimal control, math modeling
For citation: Agapov A.A., Kostoglotov A.A. Construction of a Control Law Based on the Condition of the Maximum of the Generalized power Function and Fuzzy Logical Inference. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2022; (4):35-40. (In Russ.) http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-35-40
Введение
Важное направление развития современной теории автоматического управления составляют задачи управления подвижными объектами, модель которых описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода.
© Агапов А.А., Костоглотов А.А., 2022
Одним из примеров таких систем являются беспилотные летательные аппараты [1], которые функционируют при различных режимах полета [2], включающих в себя выполнение агрессивных маневров и несение полезной нагрузки [3] в сложных условиях, таких как внешние возмущения ветра, струйные воздушные течения, турбулентность атмосферы [4].
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Один из подходов к синтезу нелинейных систем управления, которые удовлетворяют уравнениям Лагранжа 2-го рода, базируется на принципе декомпозиции Е.С. Пятницкого [5, 6], с использованием которого в работах [7-9] синтезирован закон управления, близкий к оптимальному по быстродействию.
Построение нелинейного закона может осуществляться с применением известного метода квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопери-метрической задаче [10], включающего в себя условие максимума функции обобщенной мощности. Адаптацию управления к изменению условий движения можно осуществить с помощью использования нечеткого логического вывода [11], что обеспечивается за счет изменения гиперповерхности переключения.
Цель работы - синтез квазиоптимального закона управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и нечеткого логического вывода в задаче управления нелинейной динамической системой, а также анализ эффективности в сравнении с известными решениями.
Постановка задачи синтеза управления с использованием системного подхода и формализма Лагранжа
Рассматривается совокупность динамических систем, движение которых удовлетворяет уравнению Лагранжа 2-го рода [12, 13]
d_
dt
f дт\
\ дЯ,
дТ
dqs
= us(t), j=lîn,/e[/0,/1]cÂ, (1)
[t0R принимают значения в ограниченной замкнутой области суммируемых функций
u g G (2)
и для любых двух заданных точек расширенного координатного пространства
T
t = to, q(to) = [qio,...q„ü]T, q(io) = [q 10,.._qn0] ,
(3)
t = ^ q(ti) = [?11,.■.?Я1]T, qOl) = [qn,."q„1]
переводят динамическую систему (1) из начального состояния (q(£0), q(£0)} в конечное состояние (q(?i), q(?i)}; G - ограниченная замкнутая область суммируемых функций. Для определенности
G = |ms (t ) : < h, h = const,5 = 1, n|, h„ = min h > 0
0 1<s<n 5
Тогда в соответствии с [14] выполняется необходимое и достаточное условие управляемости исследуемого класса лагранжевых динамических систем (1).
Пусть задана скалярная непрерывная вместе со своими частными производными определенно-положительная целевая функция F (q). Задача синтеза управления системой (1) состоит в поиске управляющих обобщенных сил, доставляющих минимум целевому функционалу
'I
I[q] = jF(q)dt ^ min
где T =T(q,q) - кинетическая энергия; q = [gi,...qn]re Rn - вектор обобщенных координат; q = [qx,.. .qJT e Rn- вектор обобщенных скоростей; u(t) = [ui{t),...,Un{t)]T - вектор управляющих обобщенных сил; n = dim q - число степеней
свободы динамической системы; T - знак транспонирования; точкой обозначена производная по времени. Такой случай «играет центральную роль при рассмотрении систем вида (i) и их обобщений» [5]. Кинетическая энергия динамической системы (1) является положительно определенной квадратичной формой обобщенных скоростей
VoI q2 < T< ^ X q;, Vy = const, Vy > 0, j = 0,1
s=1 s=1
и коэффициенты матрицы кинетической энергии непрерывно дифференцируемы.
Положим, что управляющие обобщенные силы на конечном замкнутом интервале времени
при условиях (2), (3).
Построение закона управления нелинейной динамической системой
Применение метода квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче включает в себя условие максимума функции обобщенной мощности, что позволяет определить структуру управления в виде [10]
и. (^я) = + К^)), 5 = 1, п, (4)
где X - неопределенный множитель Лагранжа; ц.5 - синтезирующая функция; V. - фиктивная обобщенная сила, зависящая от формы задания целевого
функционала [15], V --; q, я - обобщенные координаты и скорости; п - количество степеней свободы системы.
n
n
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Рассмотрим систему [7]
x = -0,8x2+ u.
(5)
Управление системой (5), предложенное в [7], имеет вид
Uresh = hsat(y(x, x)), y(x, x) = -x - k • x|x|, k = [2h(1 - p)]-1,
(6)
1, y > s, 3,5
У , kl-s, 3
s
-1, У < -s, 2,5
где h - ограничение на управление; р - постоянная, определяющая величину независимых ограниченных возмущений v: |v| <ph, р< 1, sat(у) -
функция насыщения, обеспечивающая сглаживание скользящего режима [7],
saty =
где е - малая положительная постоянная.
Для системы (5) и управления (6) примем значения постоянных, предложенные в работе [7]: е = 10-3, р = 0,5, к = 1.
Управление (6) учитывает величину, ограничивающую независимые возмущения, однако не является адаптивным - все параметры закона управления остаются постоянными вне зависимости от изменения условий в процессе управления, что может являться недостатком в сравнении с законом управления, учитывающим такие изменения.
Рассмотрим закон на основе условия максимума функции обобщенной мощности (4) с формой синтезирующей функции, представленной в работах [16-18] и квадратичном целевом функционале:
иСТр = эа'[к1 (х + к2 ЦТ^"}], (7)
где к\, к2, кз - параметры управления.
В качестве показателя эффективности управления будем рассматривать функционал быстродействия
k
J =j dt,
(8)
Параметр къ позволяет менять линию переключения для обеспечения минимума функционала (8) при остальных заданных параметрах.
Определим, какие значения параметра къ доставляют локальный минимум функционалу (8). На рис. 1 показано изменение значения функционала (8) для системы (5), (7) с начальным состоянием [7] х0 =-1, х0 = 0 (В) при изменении параметра к3, а также значение функционала (8) для системы (5), (6) (А), которое от кз не зависит.
J'Iте
5
4,5 4
- А
----В
где 'о - начало управления; 4 - время достижения заданной окрестности терминальной точки хк = Х]= ±% в расчетах примем % = 10-2.
Параметры управления (7) к1 и к2 можно определить в соответствии с параметрами управления (6): к =-1, кг =[2к(1 -р)] '.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 кз
Рис. 1. Значение функционала (8) системы (5), (6) (4) и (5), (7) (В), начальные условия хо = -1, x0 = 0 в зависимости от параметра кз / Fig. 1. The value of functional (8) of system (5), (б) (4) and (5), (7) (В), initial conditions хо = -1, x0 = 0 depending on the parameter
Рассмотрим поведение системы (5), (7) на множестве начальных условий х0 е [—1; 1], Хо = 0. С помощью численного моделирования получены значения параметра к3, обеспечивающие выигрыш по показателю быстродействия в сравнении с (6), полученные значения параметра в зависимости от начальных условий Х0, представлены на рис. 2.
кз
1,5 1
0,5
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 .то
Рис. 2. Значения параметра кз, обеспечивающие выигрыш
по показателю быстродействия для системы (5), (7) в сравнении с (5), (6) в зависимости от Х0 / Fig. 2. The values of parameter к3, that provide a gain in terms of performance for the system (5), (7) in comparison with (5), (6) depending on X0
Полученная зависимость параметра кз от Х0 позволяет построить закон управления с применением нечеткого логического вывода Такаги - Су-гено (TS-модель) [19, 20]. Закон управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности с параметром кз на основе TS-модели типа SISO имеет вид:
2
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
ЫЛщ = ^[к1 [х + к2 цХтУ^ (9) к3= Р1Ш1 + Ш2^2 , (10)
где ш\ и т2 - функции принадлежности входной переменной, щ -1 - щ, Р1 и Р2 - выходные значения, определенные для области, формализуемой функциями принадлежности т и т соответственно. Исходя из данных по результатам численного моделирования, представленных на рис. 2, для рассматриваемого примера примем - 2, 02 = 0,53, в качестве функции принадлежности т выберем функцию принадлежности класса Ь [21]:
m ( х ) =
0,
о < х < a,
a < х < a, a < х,
функционалу быстродействия до 17,5 % в сравнении с законом (6) на области начальных условий е[-1;1], хо = 0.
где а1, а2 - параметры функции принадлежности, определяющие область ее действия, в данном примере рассматривается область х0 е[0;1], поэтому примем а1 = 0, а2 = 1.
Анализ эффективности
Рассмотрим применимость полученного управления (9), (10) для системы (5) на области начальных условий х0 е [-1; 1], Хо = 0 в сравнении
с управлением (6). Значения показателя быстродействия (8) для системы под управлениями (9), (10) и (6) представлены на рис. 3.
1,5 1
0,5
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 хо
Рис. 3. Показатель быстродействия управлений (6) - А; (9), (10) - В, для системы (5) на области начальных условий Х0 e [-1; 1], х0 = 0 / Fig. 3. Control performance index (6) - А; (9), (10) - В, for system (5) on the area of initial conditions X0 e [-1;1], X0 = 0
Результаты моделирования показывают, что применение закона управления (9) на основе условия максимума функции обобщенной мощности с нечетким параметром для управления системой (5) позволяет получить выигрыш по
х,
Заключение
Анализ результатов моделирования позволяет говорить о том, что закон управления, построенный с применением метода квазиоптимального синтеза на основе условия максимума функции обобщенной мощности и адаптации с помощью нечеткого логического вывода Такаги - Су-гено, позволяет повысить быстродействие управления нелинейной динамической системой в сравнении с известным законом управления.
Список источников
1. Филимонов Н.Б., Сергеев А.А. Синтез алгоритма управления вертикальным посадочным маневром БПЛА методом гибких кинематических траекторий // Journal of Advanced Research in Technical Science. 2019. № 17. С. 26-33.
2. Сыров А.С. [и др.] Задачи управления движением многорежимных беспилотных летательных аппаратов // Проблемы управления. 2014. № 4. С. 45-52.
3. Rigatos G.G. A Nonlinear Optimal Control Approach for the UAV and Suspended Payload System // CAP. 2021. Vol. 10, No 1. Р. 27-39.
4. Сыров А.С. [и др.] Особенности синтеза системы угловой стабилизации высокоточных беспилотных летательных аппаратов // Проблемы управления. 2017. № 2. С. 56-67.
5. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I // Автоматика и телемеханика. 1989. Т. 50, № 1. С. 87-99.
6. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.
7. Ананьевский И.М., Решлшн С.А. Непрерывное управление механической системой на основе метода декомпозиции // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014. № 4. С. 3-17.
8. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция управления динамической системой // Докл. АН СССР. 1990а. Т. 314, № 4. С. 801-805.
9. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // Прикладная математика и механика. 1990b. Т. 54, № 6. С. 883-893.
10. КостоглотовА.А., Лазаренко С.В. Метод квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче с использованием асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. Т. 6, № 6. С. 3-12.
11. Furtat I.B., Chugina J. V. Robust adaptive control with disturbances compensation**The control algorithm proposed in Section 3 is supported by the grant from the Russian Science Foundation (project No. 14-29-00142) in IPME RAS. The proof in Appendix A and simulation results in Section 4 were supported by the Russian Federation President Grant (No. 14.W01.16.6325-MD (MD-6325.2016.8)). The other researches were partially supported by grants of RFBR (16-0800282, 16-08-00686), Ministry of Education and Science of Russian Federation (Project 14.Z50.31.0031) and Government of Russian Federation, Grant 074-U01 // IFAC-PapersOnLine. 2016. Vol. 49, No 13. P. 117-122.
12. Новоселов В.С. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1966. 72 с.
1
2
0
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
13. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
14. Пятницкий Е. С. Управляемость классов лагранжевых систем с ограниченными управлениями // Автоматика и телемеханика. 1996. Т. 57, № 12. С. 29-37.
15. КостоглотовА.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Объединенный принцип максимума в информационных технологиях анализа и синтеза. Ростов н/Д.: РТИСТ, 2010. 164 с.
16. Лазаренко С.В. [и др.] Синтез квазиоптимального многорежимного закона управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и принципа осво-бождаемости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2020. № 4 (208).
17. Костоглотов А.А. [и др.] Синтез нелинейных систем в условиях ограниченных возмущений с использованием многорежимных законов управления на основе условия
максимума функции обобщенной мощности // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2022. Т. 20, № 1-2. С. 37-47.
18. Костоглотов А.А. [и др.] Синтез квазиоптимальных многорежимных законов управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и условия трансверсальности // Вестн. Ростовского гос. ун-та путей сообщения. 2020. № 4 (80). С. 170-179.
19. Штовба С.Д. Проектирование нечетких систем средствами Ма^аЬ. М.: Горячая линия, 2007. 288 с.
20. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия, 2006. 452 с.
21. Конышева Л. К., Назаров Д. М. Основы теории нечетких множеств. СПб: Питер, 2011. 192 с.
References
1. Filimonov N.B., Sergeev A.A. Synthesis of an Algorithm for Controlling the UAV Vertical Landing Maneuver Using the Method of Flexible Kinematic Trajectories. Journal of Advanced Research in Technical Science. 2019. 17(2).
2. Syrov A.S. et al. Problems of Motion Control of Multi-mode Unmanned Aerial Vehicles. Problems of Management. 2014; (4):45-52. (In Russ.)
3. Rigatos G.G. A Nonlinear Optimal Control Approach for the UAV and Suspended Payload System. CAP. 2021; 10(1): 27-39.
4. Syrov A.S. Management. 2017; (2):56-67. (In Russ.)
5. Pyatnitsky E.S. Synthesis of Hierarchical Control Systems for Mechanical and Electromechanical Objects Based on the Decomposition Principle. I. Autom. and telemech. 1989; 50(1):87-99. (In Russ.)
6. Pyatnitsky E.S. The principle of Decomposition in the Control of Mechanical Systems. Dokl. Academy of Sciences of the USSR. 1988; 300(2): 300-303.
7. Anan'evskii I.M., Reshmin S.A. Continuous Control of a Mechanical System Based on the Decomposition Method. Izvestiya Rossi-iskoi Akademii Nauk. Theory and control systems. 2014; (4):3-17. (In Russ.)
8. Chemous'ko F.L. Decomposition of the Control of a Dynamical System. Dokl. Academy of Sciences of the USSR. 1990; 314(4):801-805.
9. Chernous'ko F.L. Decomposition and Suboptimal Control in Dynamical Systems. Applied Mathematics and Mechanics. 1990; 54(6):883-893. (In Russ.)
10. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. Method of Quasi-optimal Synthesis of Control Laws Based on the Reduction of the Lagrange Problem to an Isoperimetric Problem Using Asynchronous Variation. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Theory and control systems. 2021; 6(6): 3-12. (In Russ.)
11. Furtat I.B., Chugina J.V. Robust Adaptive Control with Disturbances Compensation. The Control Algorithm Proposed in Section 3 is Supported by the Grant from the Russian Science Foundation (project No. 14-29-00142) in IPME RAS. The Proof in Appendix A and Simulation Results in Section 4 were Supported by the Russian Federation President Grant (No. 14.W01.16.6325 -MD (MD-6325.2016.8)). The Other Researches were Partially Supported by Grants of RFBR (16-08-00282, 16-08-00686), Ministry of Education and Science of Russian Federation (Project 14.Z50.31.0031) and Government of Russian Federation, Grant 074-U01 . IFAC-PapersOnLine. 2016; 49(13):117-122.
12. Novoselov V.S. Variational Methods in Mechanics. Leningrad: Publishing House of the Leningrad University; 1966.72 p.
13. Lurie A.I. Analytical Mechanics. Moscow: Fizmatgiz;1961. 824 p.
14. Pyatnitskii E.S. Controllability of Classes of Lagrangian Systems with Bounded Controls. Avtomat. and telemech. 1996; 57(12):29-37. (In Russ.)
15. Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Lazarenko S.V. United Maximum Principle in Information Technologies of Analysis and Synthesis. Rostov-on-Don: RTIST, 2010. 164 p.
16. Lazarenko S.V. et al. Synthesis of a Quasi-optimal Multi-mode Control Law Based on the Maximum Condition for the Generalized Power Function and the Release Principle. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasian Region. Natural Sciences. 2020; 208(4). (In Russ.)
17. Kostoglotov A.A. et al. Synthesis of Nonlinear Systems under Conditions of Limited Perturbations Using Multi-mode Control Laws Based on the Maximum Condition for the Generalized Power Function. Information-Measuring and Control Systems. 2022; 20(1):37-47. (In Russ.)
18. Kostoglotov A.A. et al. Synthesis of Quasi-optimal Multi-mode Control Laws Based on the Maximum Condition for the Generalized Power Function and the Transversality Condition. Bulletin of the Rostov State University of Communications. 2020; 80(4):170-179. (In Russ.)
19. Shtovba S.D. Designing Fuzzy Systems Using MatLab. Moscow: Hot Line; 2007. 288 p.
20. Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Neural Networks, Genetic Algorithms and Fuzzy Systems. Moscow: Hot Line; 2006. 452 p.
21. Konysheva L.K., Nazarov D.M. Fundamentals of the Theory of Fuzzy Sets. St. Petersburg: Piter; 2011. 192 p.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Сведения об авторе
Агапов Александр Андреевичя- инженер 1 категории, agapov2794@gmail.com
Костоглотов Андрей Александрович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Связь на железнодорожном транспорте», kostoglotov@icloud.com
Information about the author
Agapov А1вхапйег A. - Engineer of 1 Category, agapov2794@gmail.com
Kostoglotov Andrey А. - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department «Communication on Railway Transport», kostoglotov@icloud.com
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 04.10.2022; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 27.10.2022; принята к публикации / acceptedfor publication 31.10.2022.
