CC BY
42
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
УДК 62-50; 519.3; 621.37
doi 10.18522/1026-2237-2020-4-22-28
МЕТОД СИНТЕЗА АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ДЕКОМПОЗИЦИИ И МЕТОДОЛОГИИ ОБЪЕДИНЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА*
© 2020 г. А.А. Костоглотов1, А.С. Пеньков1, С.В. Лазаренко2
1Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия, 2Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия
METHOD FOR THE SYNTHESIS OF ADAPTIVE ALGORITHMS FOR ESTIMATING THE PARAMETERS OF DYNAMIC SYSTEMS BASED ON THE DECOMPOSITION PRINCIPLE AND THE JOINT MAXIMUM METHODOLOGY**
А.А. Kostoglotov1, A.S. Penkov1, S.V. Lazarenko2
1Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia, 2Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Костоглотов Андрей Александрович - доктор технических Andrey A. Kostoglotov - Doctor of Technical Sciences, Profes-наук, профессор, заведующий кафедрой связи на железно- sor, Head of the Department of Communication on Railway дорожном транспорте, Ростовский государственный уни- Transport, Rostov State Transport University, Rostovskogo верситет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., 2, Rostov-on-Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на-Дону, 344038, Don, 344038, Russia, e-mail: [email protected] Россия, e-mail: [email protected]
Пеньков Антон Сергеевич - аспирант, кафедра связи на Anton S. Penkov - Postgraduate, Department of Communica-железнодорожном транспорте, Ростовский государ- tion on Railway Transport, Rostov State Transport University, ственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на- 2, Rostov-on-Don, 344038, Russia, e-mail: [email protected] Дону, 344038, Россия, e-mail: [email protected]
Лазаренко Сергей Валерьевич - кандидат технических Sergey V. Lazarenko - Candidate of Technical Sciences, Asso-наук, доцент, заведующий кафедрой радиоэлектроники, ciate Professor, Head of the Department of Radioelectronics, Донской государственный технический университет, пл. Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344010, Россия, e-mail: Don, 344010, Russia, e-mail: [email protected] [email protected]
Разработан метод синтеза фильтра оценки состояния динамических систем калмановского типа с адаптивной моделью, построенной на базе принципа декомпозиции системы с использованием кинематических связей из условия постоянства инвариантов движения. Структура модели определяется из условия максимума функции обобщенной мощности с точностью до нелинейной синтезирующей функции, определяющей скорость диссипации и, соответственно, степень структурной адаптации. Полученная модель имеет явную связь с градиентом функционала ошибки оценивания, что дает возможность адаптации к интенсивности регулярных и случайных воздействий, и может быть использована для построения фильтра оценки состояния калмановской структуры. На основе разработанного метода получен дискретный алгоритм и проведен его сравнительный анализ с классическим фильтром Калмана.
Ключевые слова: адаптация, декомпозиция, объединенный принцип максимума, фильтр Калмана, оценка, динамические системы.
A method of synthesis of a filter for estimating the state of dynamic systems of Kalman type with an adaptive model built on the basis of the principle of decomposition of the system using kinematic relations from the condition of constancy of mo-
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 19-38-90273 Аспиранты, 18-08-01494 А.
** The reported study was funded by RFBR, project No. 19-38-90273, 18-08-01494 A.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
tion invariants has been developed. The structure of the model is determined from the condition of the maximum function of the generalized power up to a nonlinear synthesizing function that determines the rate of dissipation and, accordingly, the degree of structural adaptation. The resulting model has an explicit relation with the gradient of the estimation error functional, which makes it possible to adapt to the intensity of regular and random influences and can be used to construct a filter for estimating the state of the Kalman structure. On the basis of the developed method, a discrete algorithm is obtained and its comparative analysis with the classical Kalman filter is carried out.
Keywords: adaptation, decomposition, unified maximum principle, Kalman filter, estimation, dynamical systems.
Введение
В процессе движения беспилотные летательные аппараты (БПЛА) испытывают воздействие ветровых порывов, турбулентностей атмосферы, возмущений, возникающих вследствие нестационарности характеристик и параметров самого аппарата и его исполнительных механизмов. Такого рода воздействие носит сложный характер, обусловленный случайными и регулярными факторами. БПЛА за счет бортовых цифровых вычислительных машин обладают потенциальной возможностью реализовать совершенные алгоритмы оценки ориентации и положения, которые способны обеспечить эффективное функционирование в таких условиях, что определяет необходимость дальнейшего развития теоретических и прикладных разработок в направлении синтеза адаптивных алгоритмов оценки параметров состояния динамических систем. Такие задачи решаются при разработке современных систем оценки, когда возникает необходимость осуществлять текущую идентификацию и адаптацию, обеспечивать инвариантность к заданному множеству возмущений.
Среди современных методов обработки измерительной информации важное место занимают методы оценивания состояния динамических систем с использованием принципов адаптации, которые связаны с изменением структуры, параметров и критериев функционирования.
Структурная адаптация предполагает использование множества моделей с процедурой направленного выбора модели при реализации процесса оценивания. Традиционные одномодельные способы оценки просты в реализации, однако позволяют достичь удовлетворительной точности только в одном режиме движения объекта. Одномо-дельные адаптивные алгоритмы состоят из двух этапов: принятие решения о наличии регулярного воздействия и оценка параметров с его учетом. Алгоритмы имеют широкий диапазон режимов движения, в которых сохраняется точность оценки, но обладают такими существенными недостатками, как необходимость принятия решения о выборе модели до начала фильтрации, отсутствие информации о возможной ошибке при принятии решения о выборе модели [1].
Многомодельные (ММ) алгоритмы функционируют, используя в каждый момент времени несколько моделей движения цели. Результирующая оценка вычисляется на основе использования результатов работы всех элементарных фильтров. Преимущество ММ-алгоритмов выражается в уменьшении запаздывания обнаружения начала воздействия, что приводит к снижению ошибок оценивания состояния на участке нестационарности по сравнению с одномодельными алгоритмами [2]. Недостатком ММ-алгоритмов является экспоненциальный рост возможных комбинаций состояний с течением времени, вследствие чего практическая реализация оптимального ММ-алгоритма часто не представляется возможной [3].
Адаптивные (самонастраивающиеся) системы -это системы, обеспечивающие компенсацию параметрических, сигнальных, функциональных или структурных неопределенностей динамического объекта за счет адаптации параметров модели в ходе рабочего функционирования системы. Другими словами, адаптивные системы восполняют нехватку априорной информации об объекте управления в ходе рабочего функционирования. В этом смысле они могут также называться самообучающимися системами [4].
Один из вариантов адаптации структуры и параметров исследуемого процесса основан на методологии объединенного принципа максимума [5, 6], что приводит к модели динамической системы, удовлетворяющей принципу Гамильтона - Остроградского [7]. Структура модели определяется из условия максимума функции обобщенной мощности с точностью до нелинейной синтезирующей функции, определяющей скорость диссипации и, соответственно, степень структурной адаптации [8], однако нелинейность предлагаемой модели ограничивает возможности ее применения. Одним из возможных подходов к решению задач построения моделей управляемых систем (без привлечения линейного приближения) является принцип декомпозиции.
Научная задача - разработка метода синтеза фильтра оценки состояния динамических систем калмановского типа с адаптивной моделью, построенной на базе принципа декомпозиции системы с использованием кинематических связей из условия постоянства инвариантов движения.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Цель исследования - разработка эффективного по критерию точности дискретного алгоритма оценки состояния динамических систем с возможностью адаптации модели движения на базе разработанного метода.
Постановка задачи
Основой построения фильтра оценки состояния является математическая модель динамики исследуемого процесса. В соответствии с положениями аналитической механики математическая модель движения динамической системы является следствием принципа Гамильтона - Остроградского, согласно которому выполняется [7]
1
S'S = j(ST + S'A)dt = 0
to
для интеграла действия
ti
S = {(T + A)dt,
(1)
(2)
где - время начала и окончания наблюдений.
Кинетическая энергия для динамической системы со стационарными связями [7]
1 п п ___
т = - ЕЕ а*кк зЧк, 5 =1, п к =1, п, (3)
2 з=1к=1
где дз, ¿¡з - обобщенные координаты и скорости;
sk
qsft) n i
А = J E
qs (to)s=1
Us -
8Ф an
dqs 8q§
\
dqs,
(4)
s J
где Us - управляющие обобщенные силы;
ЭФ _ дЧ з
диссипативные обобщенные силы; Ф - диссипа-
тивная функция; ЭП - потенциальные обобщен-
ЭЧз
ные силы; П - потенциальная энергия.
Формализм Лагранжа позволяет получить уравнения движения в форме [7, 9]
E abqk = k=1
=-E E [k >m; s]ßkqn
k=1m=1
(5)
U -
5Ф an
aqs aqs
л
= Qs (q,q,U),
s =1n q(to) = qo, q(to)=qo,
где
[k, m; s] =1
daks da~
+ ■
da
Л
km
- символы
- коэффициенты инерции - элементы матрицы
квадратичной формы; п - число степеней свободы.
Работа обобщенных сил на наблюдаемой траектории определяется выражением
ЭЧт ЭЧк дЧз у Кристоффеля первого рода для матрицы квадратичной формы Т.
Использование модели (5) для построения фильтра оценки состояния с учетом полноты и детализации описания процесса эволюции параметров исследуемого объекта является достаточно сложным, и такая модель не получила широкого распространения в практике статистического синтеза.
Динамические системы (5) представляют собой существенно нелинейные системы высокого порядка, для которых характерно наличие значительного динамического взаимодействия между элементами (степенями свободы). Интенсивность взаимовлияния характеризуется коэффициентами а
в модели кинетической энергии Т. Наличие взаимовлияния и различных возмущающих факторов затрудняет решение задачи оценки параметров систем, описываемых уравнениями (5).
Одним из возможных подходов к решению задач построения моделей управляемых систем (без привлечения линейного приближения) является принцип декомпозиции. Суть этого принципа [10] состоит в том, чтобы с помощью допустимого управления полностью устранить динамическое взаимовлияние между элементами, вывести систему на движение в режиме декомпозиции и выбрать это (устраняющее взаимовлияние) управление таким образом, чтобы система (5) двигалась в соответствии с целью управления, обеспечивая заданное значение функционала, характеризующего качество процесса оценки состояния. Таким образом, за счет релейных обратных связей замкнутая система начинает двигаться в скользящем режиме, становится в смысле критерия оценки повторителем траекторий, которые определяет наблюдатель. Это значит, что рассматриваемая система (т. е. нелинейная многосвязная динамическая система высокого порядка) через конечный интервал времени начинает двигаться в силу простейшей системы [10]. Этот факт можно использовать при построении модели исследуемой системы с учетом непрерывного характера обратной связи.
Рассмотрим математическую постановку задачи. Формальное отнесение части энергии к работе обобщенных сил Qs (4,4, и) при движении в режиме декомпозиции позволяет ввести простейшую определенно положительную квадратичную форму скоростей, которая трактуется как кинетическая энергия системы (5) [7]
1 n
T =1E a
0 E--ssqs 2 s=1
S = 1, n.
(6)
t
0
n
+
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Эта форма используется в дальнейшем для построения модели динамики оцениваемого процесса.
Положим, что уравнение наблюдения имеет вид
Уз = Я + ^ , 5 =1 П (7)
где у - вектор наблюдений; v— вектор случайных воздействий на канал наблюдения с известной интенсивностью, которая определяется диагональной матрицей N. В качестве обобщенных координат выбраны координаты, в которых производятся наблюдения.
В пространстве наблюдений выбран целевой функционал [11], принимающий некоторое заданное значение, которое определяет точность измерения фазовых координат исследуемой системы
1 Ч П
• =1II-Я]2Я = 1Р(Я¥ = В, (8)
2 га з=1 га
где - элементы диагональной весовой матрицы N, характеризующей интенсивность помех в канале наблюдений; знак Л означает оценку; D -взвешенная априорная дисперсия результатов измерений каналов наблюдения.
Поставим задачу построения математической модели процесса наблюдаемой (7) и управляемой по критерию (8) динамической системы с кинетической энергией (6) с учетом того, что движение динамической системы в режиме декомпозиции является следствием принципа Гамильтона -Остроградского (1). Полученная модель имеет явную связь с градиентом функционала (8) [8, 12, 13], возможность адаптации по критерию ошибки оценивания и может быть использована для построения адаптивного фильтра оценки состояния калма-новской структуры.
Построение адаптивной модели
Для наблюдаемой (7) системы с кинетической энергией (6) в режиме декомпозиции за счет обратных связей модель двигается в соответствии с целью, которая определяется значением функционала (8). Потребуем, чтобы обобщенный кинетический потенциал
Т-М_1Р = 0, (9)
где МР) - множитель Лагранжа, выступающий в роли параметра модели. Это позволяет установить кинематическую связь
1 п 1 п
11=М-1 N55 (У5 - Яз )2 & . (10)
2 5—1 2 5—1
В силу допущения о том, что движение в режиме декомпозиции полностью устраняет динамиче-
ское взаимовлияние между элементами, имеем соотношение
1^1 = >/а55У5 - Я[ 5 =1п (11)
Общий вид уравнения динамической квазиде-терминированной оценки по критерию (8) определяется формулой [12]
Я ( дТ Л дТ
dt I dq
s У
dqs
= я
1-1
-я-
N
-il
is Nss
-1
ta- qs )
ys- q.
5 — 1, П.
С учетом принятой модели кинетической энергии (6) и кинематической связи (11) получим уравнения оценки в виде
Я (О—^мЯ (ОМл (О-я (0) (12)
5 = 1, п ,
где = а^ЛЫ^ - коэффициент адаптации.
Это - уравнение управляемой по критерию (8) динамической системы с кинетической энергией (6) при движении в режиме декомпозиции.
Рассмотрим задачу построения фильтра Калма-на для адаптивной модели (12) и наблюдения (7).
Синтез дискретного фильтра
Уравнение (12) может быть использовано для адаптации модели движения по параметру Я для заданного значения функционала (8) при построении адаптивного фильтра оценки параметров динамических систем [12-14].
С учетом простейшей схемы конечно -разностной аппроксимации Эйлера (12) может быть для произвольного 5 представлено в векторно-матричном дискретном виде
Х( +1) = ЕХ ()+вУ (), (13)
" X! (/)" _ Х2 ( )_
где
X(t ) =
- расширенный вектор состояния;
1
xi{t ) = q(t ), x2 (i) = q(t) ; F = переходная матрица состояния; G =
At
Ä~lN~lAi 1 -^я~lN- At
0 0
0 -!_1N _1At
матрица возбуждения; Y(î) =
" 0 ' y(> )
- вектор наблюде-
ния; At - интервал дискретизации; Я - коэффициент
s
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
адаптации; N — спектральная плотность шума наблюдения.
Предположим, что в результате адаптации найдено значение параметра X по результатам численного моделирования дискретной модели (13). Следовательно, имеем некоторое приближение (оценку) истинного значения параметра Ч « Ч. Из уравнения (12) получим стохастическое дифференциальное уравнение, которое служит основой для построения модели динамики непрерывных стохастических систем и может быть описано нестрогим уравнением Ланжевена [12]
) = -л/х_1#- Ч (()-Л_1#Л<((), (14)
где ¿¡(() - оценка состояния системы; ) - входной шум [15].
Поскольку в режиме декомпозиции динамическое взаимовлияние степеней свободы устраняется (компенсируется), система начинает двигаться в силу несвязных невзаимодействующих подсистем. Это позволяет рассмотреть одномерный случай. Наблюдение для одномерного случая описывается уравнением (7).
В соответствии с [15, 16] решение задачи фильтрации требует использования формальной процедуры расширения пространства состояний, которая позволяет записать (14) в форме векторного дифференциального уравнения первого порядка:
(15)
X(t) = ФХ(?)+ rw(t), X(o) = X0
где Ф =
-V^N-1
Г
0 - À~lN-1
Х0 - вектор начальных условий; W(í) - вектор случайных воздействий с ковариационной матрицей Q . Дискретная модель для (15) Х(/ +1) = БХ (/)+GW (г),
F =
G =
At
-1;
1
0 1
"0
0 -rlN _1At
-4X~lN -1At 0
(16)
Q
0 À~2N~2At2
Уравнение наблюдения (7) в дискретном виде У(/)= НХ (/)+у(), (17)
где у(г) - вектор погрешности измерения с ковариационной матрицей И, которая определяется в соответствии с (7); Н = [1 0] - проекция пространства состояний на пространство наблюдений [17].
Уравнение (16) определяет структуру фильтра Калмана [18].
"1 At " "0 0 " "0 0 "
F = , G = , Q = At2 _
0 1 0 At 0
Для классического фильтра Калмана соответствующие матрицы [8] имеют вид
I О 1
(18)
Согласно обобщенной байесовской схеме оценивания фильтр Калмана представляет собой два последовательно соединенных устройства - экс-траполятор, предсказывающий состояние объекта на шаг вперед, и фильтр, уточняющий экстраполированное значение на основе нового измерения [2].
Дискретный алгоритм фильтра Калмана имеет вид
XX(г1г -1)= бХ(г -1), (19)
X(/) = Х(/1 г -1) + К(/)(у(/) - НХ(/1 г -1)), к (г) = р (г | г -1) н [нр (г | г -1) н + я]-1,
р (г) = р (г | г -1) - к (г) нр (г | г -1),
р(г | г -1) = бр (г -1)бт + q, где Х(г) - оценка вектора состояния; Х(г | г -1) -экстраполированная оценка вектора состояния; Р(/) - ковариация оценки вектора состояния;
Р(г | г -1) - ковариация экстраполированной ошибки вектора состояния; К - матричный коэффициент усиления фильтра; I - единичная матрица.
Процедура адаптации модели и оценка эффективности функционирования разработанного фильтра
Рассмотрим процесс изменения углового положения БПЛА по углу крена. В случае, когда БПЛА находится в стационарном режиме, традиционный фильтр Калмана позволяет достичь удовлетворительной точности оценки углового положения. Однако в случае маневрирования или воздействия внешних сил (например, атмосферной турбулентности) точность оценки падает [17].
Проведен эксперимент, позволяющий определить эффективность алгоритма (19) с адаптивной моделью (16) в сравнении с традиционным фильтром Калмана (18). Рассмотрен тестовый режим с гармоническим воздействием и начальными дан-
{\ Го"
ными для численного моделирования: Х(1) =
1 0,5" 0,5 1
В результате адаптации модели по функционалу (8) получено значение параметра адаптации X = 0,0005.
P(1|1) =
At = 0,02 с.
1
0
0
0
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Исследование каждого из описанных алгоритмов проведено для входных воздействий с частотой от 1 до 8 Гц и среднеквадратического отклонения (СКО) шума измерения угла крена от 1° до 4°. Результаты моделирования усреднялись по совокупности 25 реализаций для каждого значения воздействия и шума измерений. График зависимости СКО оценки от частоты воздействия и шума измерения приведен на рисунке.
Выводы
Разработан метод синтеза фильтра оценки состояния динамических систем калма-новского типа с адаптивной моделью, построенной на
базе принципа декомпозиции системы с использованием кинематических связей из условия постоянства инвариантов движения. Полученная модель имеет явную связь с градиентом функционала ошибки оценивания, что дает возможность адаптации к интенсивности регулярных и случайных воздействий, и может быть использована для построения фильтра оценки состояния калмановской структуры.
На основе разработанного метода получен дискретный алгоритм и проведен его сравнительный анализ с классическим фильтром Калмана. Результаты моделирования позволяют сделать вывод о повышении эффективности функционирования разработанного адаптивного фильтра в сравнении с классическим по точности в условиях увеличения шума измерения и интенсивности регулярного гармонического воздействия.
Предложенный алгоритм может быть использован при решении задач оценки в системах ориентации, навигации и управления движением подвижных объектов.
Литература
1. Li X.R., Jilkov V.P. Survey maneuvering target tracking - part V: multiple-model methods // Signal and Data Processing Small Target. 2003. No. 5204.
2. Коновалов А.А. Основы траекторной обработки радиолокационной информации. СПб.: СПбГЭТУ ЛЭТИ, 2014. 180 с.
СКО оценки состояния системы: 1 - СКО адаптивного фильтра (16); 2 - СКО классического фильтра Калмана (13) / RMS deviation of the system state: 1 - RMS of the adaptive filter (16); 2 - RMS of the classical Kalman filter (13)
3. Кудинов Ю.И., Дорохов И.Н., Пащенко Ф.Ф. Нечеткие регуляторы и системы управления // Проблемы управления. 2004. Вып. 3. С. 2-14.
4. Никифоров В.О., Слита О.В., Ушаков А.В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности: учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011. 226 с.
5. Костоглотов А.А. Объединенный принцип Понтрягина - Гамильтона - Остроградского // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 6 (142). С. 13-17.
6. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазарен-ко С.В., Шевцова Л.А. Синтез оптимального управления на основе объединенного принципа максимума // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2010. № 2 (154). С. 31-37.
7. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.
8. Лосев В.А., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В., Кузнецов А.А., Дерябкин И.В. Структурный синтез дискретных адаптивных следящих систем на основе объединенного принципа максимума // Вестн. ДГТУ. 2017. Т. 17, № 1. С. 105-112.
9. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Метод оценки параметров движения управляемого летательного аппарата на основе объединенного принципа максимума с построением опорной траектории // Успехи современной радиоэлектроники. 2012. № 6. С. 61-66.
10. Матюхин В.И. Управление механическими системами. М.: Физматлит, 2009. 320 с.
11. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Негладкий анализ в задачах обработки измерительной информации // Измерительная техника. 2009. № 2. С. 6-11.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
12. Костоглотов А.А., Кузнецов А.А., Лазаренко С.В. Синтез модели процесса с нестационарными возмущениями на основе максимума функции обобщенной мощности // Мат. моделирование. 2016. Т. 28, № 12. С. 133-142.
13. КостоглотовА.А., КузнецовАА., Лазаренко С.В., Дерябкин И.В. Метод структурной адаптации дискретных алгоритмов объединенного принципа максимума в задачах оценки параметров движения // Информационно-управляющие системы. 2016. № 6 (85). С. 10-15.
14. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Синтез адаптивных систем сопровождения на основе гипотезы о стационарности гамильтониана гиперповерхности переключения // Радиотехника и электроника. 2017. Т. 62, № 2. С. 121-125.
15. Sage A.P., Melsa J.L. System identification. N.Y.;L., 1971. 248 p.
16. Костоглотов А.А., Пеньков А.С. Оценка параметров датчиков положения с текущей адаптацией модели // Вестн. РГУПС. 2017. № 4 (68). С. 184-190.
17. Singer R.A. Estimating optimal tracking filter per-fomance for manned maneuvering targets // IEEE Trans. on AES. 1970. No. 4. P. 473-483.
18. Костоглотов АА., Лазаренко С.В., Пугачев И.В., Корнев А. С. Метод синтеза алгоритмов оценки при нестационарных возмущениях измерительных процессов методом объединенного принципа максимума // Вестн. РГУПС. 2018. № 2. С. 148-154.
References
1. Li X.R., Jilkov V.P. (2003). Survey maneuvering target tracking - part V: multiple-model methods. Signal and Data Processing Small Target, No. 5204.
2. Konovalov A.A. (2014). Fundamentals of trajectory processing of radar information. Saint Petersburg, SPbGETU LETI Press, 180 p. (in Russian).
3. Kudinov Yu.I., Dorohov I.N., Paschenko F.F. (2004). Fuzzy regulators and control systems. Problemy upravleniya, iss. 3, pp. 2-14. (in Russian).
4. Nikiforov V.O., Slita O.V., Ushakov A.V. (2011). Intellectual management under uncertainty. Textbook. Saint Petersburg, ITMO State University Press, 226 p. (in Russian).
5. Kostoglotov A.A. (2007). United Pontryagin-Hamilton-Ostrogradsky principle. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 6 (142), pp. 13-17. (in Russian).
6. Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Lazarenko S.V., Shevtsova L.A. (2010). Synthesis of optimal control
based on the combined maximum principle. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki, No. 2 (154), pp. 31-37. (in Russian).
7. Lurie A.I. (1961). Analytical mechanics. Moscow, GIFML Publ., 824 p. (in Russian).
8. Losev V.A., Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Kuznetsov A.A., Deryabkin I.V. (2017). Structural synthesis of discrete adaptive tracking systems based on the combined maximum principle. Vestn. DSTU, vol. 17, No. 1, pp. 105-112. (in Russian).
9. Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Lazarenko S.V., Tsennykh B.M. (2012). Method for estimating the motion parameters of a controlled aircraft based on the combined maximum principle with the construction of a reference trajectory. Uspekhi sovremennoi radioelektroni-ki, No. 6, pp. 61-66. (in Russian).
10. Matyukhin V.I. (2009). Management of mechanical systems. Moscow, Fizmatlit Publ., 320 p. (in Russian).
11. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. (2009). Non-smooth analysis in problems of measuring information processing. Izmeritel'naya tekhnika, No. 2, pp. 6-11. (in Russian).
12. Kostoglotov A.A., Kuznetsov A.A., Lazarenko S.V. (2016). Synthesis of a process model with non-stationary perturbations based on the maximum of the generalized power function. Mat. modelirovanie, vol. 28, No. 12, pp. 133-142. (in Russian).
13. Kostoglotov A.A., Kuznetsov A.A., Lazarenko S.V., Deryabkin I. V. (2016). Method of structural adaptation of discrete algorithms of the combined maximum principle in problems of estimating motion parameters. Infor-matsionno-upravlyayushchie sistemy, No. 6 (85), pp. 1015. (in Russian).
14. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. (2017). Synthesis of adaptive tracking systems based on the hypothesis of stationarity of the hypersurface Hamiltonian. Radio-tekhnika i elektronika, vol. 62, No. 2, pp. 121-125. (in Russian).
15. Sage A.P., Melsa J.L. (1971). System identification. New York, London, 248 p.
16. Kostoglotov A.A., Penkov A.S. (2017). Estimation of position sensor parameters with current model adaptation. Vestn. ROUPS, No. 4 (68), pp. 184-190. (in Russian).
17. Singer R.A. (1970). Estimating optimal tracking filter performance for manned maneuvering targets. IEEE Trans. on AES, No. 4, pp. 473-483.
18. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Pugachev I.V., Kornev A.S. (2018). Method of synthesis of estimation algorithms for non-stationary perturbations of measurement processes by the combined maximum principle method. Vestn. ROUPS, No. 2, pp. 148-154. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
27 августа 2020 г. /August 27, 2020
