CC BY
34
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
УДК 62-50
doi 10.18522/1026-2237-2020-4-29-35
СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО МНОГОРЕЖИМНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ УСЛОВИЯ МАКСИМУМА ФУНКЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОЩНОСТИ
И ПРИНЦИПА ОСВОБОЖДАЕМОСТИ*
© 2020 г. С.В. Лазаренко1, А.А. Костоглотов2, А.А. Агапов2, З.В. Лященко2
1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия
SYNTHESIS OF A QUASI-OPTIMAL MULTI-MODE CONTROL LAW BASED ON THE CONDITION OF THE MAXIMUM OF THE FUNCTION OF THE GENERALIZED POWER AND THE PRINCIPLE OF RELEASE**
S.V. Lazarenko1, А.А. Kostoglotov2, А.А. Agapov2, Z.V. Lyaschenko2
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia, 2Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia
Лазаренко Сергей Валерьевич - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой радиоэлектроники, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344010, Россия, email: rh3311@mail.ru
Костоглотов Андрей Александрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой связи на железнодорожном транспорте, Ростовский государственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на-Дону, 344038, Россия, e-mail: kostoglotov@icloud.com
Агапов Александр Андреевич - аспирант, кафедра связи на железнодорожном транспорте, Ростовский государственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на-Дону, 344038, Россия, e-mail: agapov2794@gmail.com
Лященко Зоя Владимировна - старший преподаватель, кафедра связи на железнодорожном транспорте, Ростовский государственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов-на-Дону, 344038, Россия, e-mail: izv_ui@rgups.ru
Sergey V. Lazarenko - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Radioelectron-ics, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344010, Russia, e-mail: rh3311@mail.ru
Andrey A. Kostoglotov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Communication on Railway Transport, Rostov State Transport University, Ros-tovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., 2, Rostov-on-Don, 344038, Russia, e-mail: kosto-glotov@icloud. com
Alexander A. Agapov - Postgraduate, Department of Communication on Railway Transport, Rostov State Transport University, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., 2, Rostov-on-Don, 344038, Russia, e-mail: agapov2794@gmail. com
Zoya V. Lyaschenko - Senior Lecturer, Department of Communication on Railway Transport, Rostov State Transport University, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq., 2, Rostov-on-Don, 344038, Russia, e-mail: izv_ui@rgups. ru
Разработан квазиоптимальный многорежимный закон управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности с учетом принципа освобождаемости для объектов управления, допускающих представление уравнениями Лагранжа второго рода.
Сравнительный анализ полученного решения проведен на основе математического моделирования. Установлено, что режимы предлагаемого закона управления обеспечивают высокую точность приближения к оптимальным законам быстродействия и Фуллера с возможностью исключения учащающихся переключений. Разработанный закон
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 19-31-90134 Аспиранты, 18-01-00385 A.
** The reported study was funded by RFBR, project No. 19-31-90134, 18-01-00385 A.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
управления за счет изменения линии переключения позволяет реализовать широкий спектр линейных и нелинейных режимов работы, что позволяет отнести полученный закон управления к многорежимным.
Ключевые слова: системы управления, многорежимное управление, функция обобщенной мощности, нелинейный закон управления.
A quasi-optimal multimode control law is developed on the basis of the condition for the maximum of the function of generalized power, taking into account the principle of exemption for control objects that can be represented by Lagrange equations of the second kind.
A comparative analysis of the obtained solution was carried out on the basis of mathematical modeling. It is found that the modes of the proposed control law provide a high accuracy of approximation to the optimal speed laws and Fuller's laws with the possibility of eliminating more frequent switching. The developed control law by changing the switching line makes it possible to implement a wide range of linear and nonlinear operating modes, which allows the resulting control law to be classified as multimode.
Keywords: control systems, multi-mode control, generalized power function, nonlinear control law.
Введение
В современных условиях увеличения сложности управляемых объектов и расширения множества критериев качества управления возросло количество законов управления. Их практическое применение часто не позволяет достигнуть требуемой эффективности в связи с неидеальностью элементов управления, ограничениями на величину управляющего воздействия и др. Проблема повышения эффективности работы реальных управляющих систем в условиях мобильности и ограниченности ресурса исполнительных устройств является актуальной в настоящее время [1—3].
Оптимальные законы управления Понтрягина и Фуллера не учитывают необходимости снижения энергетических затрат, их практическое приложение нередко требует сглаживания режимов учащающихся переключений, а также адаптации к неточностям моментов переключения и несоответствию выбранной математической модели действительной динамике протекающих процессов. Построенные таким образом решения экстремальных задач синтеза уже не являются оптимальными.
На практике часто используются линейные законы управления даже при существенной нелинейности объектов управления, из-за чего постоянного набора значений параметров регулятора недостаточно для обеспечения достаточного качества управления [2]. Использование релейных законов обеспечивает системе робастность, но приводит к энергетически напряженным скользящим режимам, которые становятся недопустимой роскошью при ограниченных ресурсах. Возникает необходимость построения квазиоптимальных управлений с возможностью реализации линейных и нелинейных режимов с максимальным использованием естественных, собственных движений объекта.
В качестве решения данной проблемы могут применяться системы с переменной структурой; системы, основанные на методе разбиения фазового пространства на зоны и использовании различных законов управления (линейных и нелинейных) в заданных зонах - многозонные системы [4]; адаптивные [5]; комбинированные (в случае доступности измерений возмущающих воздействий); регуляторы, построенные по методу нелинейной коррекции алгоритмов управления с использованием эмпирических решений и инженерного опыта исследователей [6]; интеллектуальные [7-9], являющиеся на данный момент наиболее перспективным направлением.
Одна из причин реализации интеллектуальных систем управления заключается в том, что используемые линейные регуляторы постепенно перестают удовлетворять растущим требованиям качества управления современными нелинейными объектами. Однако при этом в интеллектуальных системах так же, как и раньше, в качестве базовых структур алгоритмов управления все еще используются линейные алгоритмы, к ним лишь добавились много-режимность и нечеткая логика.
Разработка метода синтеза квазиоптимального управления по заданному критерию эффективности с возможностью реализации линейных и нелинейных алгоритмов управления позволит сократить количество используемых режимов работы регулятора в базе правил интеллектуальной системы управления, что может значительно повысить эффективность ее функционирования.
Один из подходов к решению задачи синтеза многорежимных систем - получение квазиоптимальных решений на основе условия максимума функции обобщенной мощности для широкого класса динамических систем, удовлетворяющих принципу Гамильтона - Остроградского и, соот-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
ветственно, допускающих представление уравнениями Лагранжа 2-го рода [10-12].
Цель работы - построение многорежимного закона управления на основе предлагаемого подхода с использованием принципа освобождаемости и сравнительный анализ полученных режимов его работы в зависимости от формы кривой переключения.
Постановка задачи управления
Рассмотрим класс управляемых систем, движение которых в независимых координатах
У= 1ЫЕ-1 может быть описано дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода
й дТ дТ
— us (t ), s = 1, n, t e[t0, tj. (1)
1 n
T =1 Z ask (q)qqk
2 s,k—1
vo Z tâ < T ^vi Z q 2
s—1 s—1
тами a
sk
(q)
t=^ q (to)—[q^ - • •, qno T, q (to)—[q^ - • •, qno Y
lo, qvo
в конечное
t=tl, q(t1)—[qll,-, qn1T, q(t1)—[qll,-, qn1T при условии минимума целевого функционала
-1
J (q )— J F (q)dt ^ min,
(4)
Л^
Кинетическая энергия Т каждой системы этого класса выбирается из множества положительно определенных квадратичных форм обобщенных скоростей
где ^(ц) - положительно определенная выпуклая функция обобщенных координат.
В работе ставится задача построения многорежимного управления системой (1), (2) при условиях (3), (4) на множестве квазиоптимальных законов управления, полученных из условия максимума функции обобщенной мощности [10-12].
Многорежимный закон управления
Квазиоптимальный закон управления, построенный с использованием условия максимума функции обобщенной мощности, может быть представлен с учетом ограничения управляющего сигнала (3) в виде [14]
Vo,1 — const, Vo,1 > 0 (2)
с непрерывно дифференцируемыми коэффициен-
dt Ôqs dqs
=us (qs, qs)—sat U 1
Ms +
dF
dqs
(5)
Допустимые управления выбираются из множества суммируемых на любом конечном интервале
функций u(t) = ||us (t||" , принимающих значения в ограниченной замкнутой выпуклой области U, u(t) е U, Conv U = U , где Conv U - выпуклое замыкание множества U. Для простоты изложения будем предполагать, что выпуклая область U изменения допустимых управлений является параллелепипедом, т.е.
u(t) е U = U(t), \us(t) < hs, s = Гп}, (3)
t - текущее время.
Указанный класс управляемых лагранжевых систем задается множеством U и постоянными параметрами j и j. Конкретная система из этого класса выделяется определением квадратичной формы T в соответствии с (2). Любая такая система считается принадлежащей классу. Будем считать, что на систему могут воздействовать любые силы, включенные в множество ограниченных управлений u(t )eU, т.е. система является полностью управляемой [13]: min hs > 0.
1<s<n
Задача оптимального управления заключается в переводе системы (1), (2) из начального состояния
sat (us (qs, qs))—
-s (qs, qs ^ К,
us q, qs),
h s sgn(us (qs, qs)), \us (qs, qs )> hs,
где ns - знакоопределенная синтезирующая функция.
Закон управления (5) позволяет найти минимум расширенного функционала [15, 16]
h
S = J [F + ä{T + Ä)]dt ^ min, где T - кинетиче-
to
ская энергия; Ä - работа обобщенных сил. В соответствии с законом взаимности Эйлера [17] это -решение эквивалентных изопериметрических экстремальных задач, одна из которых для системы (1), (2) при условиях (3), (4) имеет вид ti tj J = JFdt ^ min при J[T + Ä]dt = r, r = const. to t0
При этом на экстремальной траектории _ ti
X = r 1J Fdt = const.
to
Пусть r ^a, тогда X ^ 0 . В этом случае
sat{Ä
-1
Ms +
ÔF Ô4S
^ |hs| sgn| Ms +JFj
и при соответствующем выборе синтезирующей функции может быть реализован разрывной закон
t
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
квазиоптимального управления, который при соответствующем выборе синтезирующей функции совпадает с оптимальным законом быстродействия или Фуллера[14]
й дТ
линию переключения
un = 1
-1
s +
dqs
= 0.
[u0. H0] =
дИо du,
0
ÔH0 ôu0
= 0,
(6)
• dF
Msls + ^ = 0
d4s
(7)
в фазовом пространстве определяет интеграл движения [18], который явно не зависит от времени, и позволяет получить выражение для синтезирующей функции. Таким образом, кривая переключения и синтезирующая функция определяются интегралом движения при условии отсутствия работы внешних сил.
Для случая главных обобщенных координат из (6) получим
d2 F
dF
—Ms -Àqs—2 dqs dq2
, .. d2F . dF
=0. Ms = ^—^1—-
dq2 dqs
1
d F
dq
s У
dF dqs
(8)
dT , I . dF ля- = hs sgnl Msls + —
dt dqs dq.s 1 dq.s
Построение синтезирующей функции с учетом принципа освобождаемости
Рассмотрим вариант построения синтезирующей функции с учетом положений аналитической механики. Метод построения синтезирующей функции может быть основан на предположении о стационарности одного из первых интегралов движения системы, например обобщенной функции Гамильтона H (q, p) = Л(Т + A)+F = const.
Работа Л зависит от управляющих сил. Рассмотрим условия, которые при Л = 0 определяют
8F'
Следовательно, на линии переключения скорости ограничены кинематическими связями.
При реализации многорежимного управления для обеспечения удерживающих кинематических связей требуется, согласно принципу освобождае-мости, приложить силы реакции связей [18] Я, =£313, где е называют множителями Лагран-
жа второго
L =
s
рода,
или множителями связей;
1
d F
2
- коэффициент, который определя-
Ho = ЛТ + F = const и, соответственно, структуру синтезирующей функции.
8F
Функция лsqs +--зависит от координат qs и
8qs
импульсов p . Если потребовать, чтобы
. дч2 у
ется видом кинематической связи (8).
Элементарная работа этих сил на виртуальных
п
перемещениях имеет вид 8Е = ^ Я^,.
Учет этих сил осуществляется путем включения их работы в интеграл действия. Расширенный функционал принимает вид
3 = \[ХТ + F + Е й = | Н '(д, р)Ж.
Тогда для линии переключения имеем с учетом скобок Пуассона
ôq.s ôPs ÔPs ô4s где \uo, Ho ] - скобки Пуассона для величин Uo и H0 , то кривая
Уравнение Лагранжа квоазиоптимальной управляемой системы (1) по критерию (4) с ограничением (3) принимает вид
й дТ дТ
dt dqs dqs
= sat <
1
-1
1
d2 F
dq2
dF 1 id 2 F )
-+ £si {dq2s У
dqs \
+ -
dF dqs
. (9)
С учетом выражения (7) и знакоопределенности синтезирующей функции [14] имеем на линии переключения
Рассмотрим задачу анализа близости квазиоптимального и оптимального управления и чувствительность показателей качества управляемого процесса к изменению формы кривой переключения на основе численного моделирования.
s
2
s
s
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Математическое моделирование
Рассмотрим задачу управления объектом Х = и с ограничением на управление и < к , к = 1, и при
заданных начальных условиях
Оптимальным решением для задачи быстродействия
x0 " x(0)~
_ x0 _ _ x(0)_
-1
J(u(x, x)) = Jdz ^ inf
является закон управления Понтрягина [14]
x x
"pon (x, x) = hsign
X + -
2h
(10)
(11)
J(u (x, X)) = J x2dz ^ inf
(12)
является решение в виде управления с учащающимися переключениями [19]
"full(x, x )= hsi8n
x + 0,4446-
x x h
ucmp
(x, x ) = sat
x + к
x x
x + к
3
(14)
где ki, £3 - параметры закона управления;
sat (f ) =
f,
If ^ h,
h sgn(f), Ifl > h.
В рамках численного моделирования рассмотрено несколько режимов функционирования регулято-
ра (14) для начальных условий
x0 "0,5"
_ x0 _ 0,5
и ин-
с т _
^ time =
Jtime ("aim )
•100%, (15)
где Jtim e - значение функционала быстродействия
(10); u
'cmp
предлагаемый закон управления;
шт оптимальный закон управления. Относительное отклонение квадратичного функционала
83х = 3х (истр 3х^ ) -100%, (16)
3Х (иагт )
где 3Х - значение квадратичного функционала (12).
Относительное отклонение функционала квадрата скорости определено в соответствии с выражением
3Х (истр )_ 3Х (иаг т )
JX' =
Jx' (uai m )
•100%,
(17)
Оптимальным по критерию квадрата отклонения (задача Фуллера)
-1
где 3Х> - значение функционала 3(и(х, Х))= | Х А.
(0
Относительное изменение энергетических затрат определено в соответствии с выражением
3и (истр )_ 3и (иагт) л пп 0/ , ч
(18)
J =
Ju (uaim )
•100%,
где J U - значение функционала
J(u(x, x))=J u 2dt.
(19)
Закон управления, полученный на основе условия максимума обобщенной мощности (9), имеет вид
( V
Рассмотрим различные режимы управляемой по предлагаемому закону (19) системы (13).
Выбор параметров к = 1000, к2 = 0,65, къ = 1 реализует квазиоптимальный режим при близости к оптимальному по критерию быстродействия (11)
с точностью Jtime = 0,193 %.
к = 1
тервала дискретизации At = 0,001, терминальная точка определена с точностью 0,001.
Оценка близости процессов квазиоптимального и оптимального управления проведена на основе следующих показателей.
Относительное отклонение функционала быстродействия
3time ("cmp )_ 3time ("aim )
Выбор параметров к1 = 1060, к2 = 0,53, кз реализует квазиоптимальный режим по квадратичному критерию (13) с точностью 83Х = 0,097 % .
Структура синтезированного закона управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности позволяет менять форму линии переключения путем выбора значений параметров закона. Рассмотрим линейный режим переключения с параметрами к1 = 15, к2 = 0,074, кз = 0 и нелинейный, кривая переключения которого определяется параметрами к1 = 1000, к2 = 0,69, к3 = 1. Поведение системы и кривые переключения рассматриваемых режимов работы представлены на рисунке.
Результаты моделирования показывают, что изменение режима переключения доставляет выигрыш по критерию быстродействия (15) - 38,411 %, по критерию (16) - 2,696 %, по критерию (17) - 32,423 %, по критерию энергетических затрат (18) - 20,55 %.
t
0
0
t
0
k1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
Траектории управляемой системы на фазовой плоскости и соответствующие линии переключения: А - нелинейный режим;
В - линейный режим / Trajectories of the controlled system on the phase plane and the corresponding switching lines:
A - nonlinear mode; B - linear mode
Заключение
Разработан квазиоптимальный многорежимный закон управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности с учетом принципа освобождаемости для объектов управления, допускающих представление уравнениями Лагранжа второго рода.
Установлено, что режимы предлагаемого закона управления обеспечивают высокую точность приближения к оптимальным законам быстродействия и Фуллера с возможностью исключения учащающихся переключений. Разработанный закон управления позволяет реализовать за счет изменения линии переключения широкий спектр линейных и нелинейных режимов работы. Это даёт возможность отнести полученный закон управления к многорежимным, что может быть использовано для его интеграции в базу знаний интеллектуальных систем управления.
Литература
1. Вагин Г.Я. К вопросу о повышении энергетической эффективности промышленных предприятий // Промышленная энергетика. 2013. № 5. С. 2-6.
2. Глущенко А.И. Об эффективности настройки отдельных параметров ПИ-регулятора с помощью нейросетевого настройщика для компенсации возмущений при управлении нагревательными объектами // Управление большими системами. 2019. № 78. С. 71105.
3. Сыров А.С., Рутковский В.Ю., Глумов В.М., Пучков А.М., Соловьев А.С. Особенности синтеза системы угловой стабилизации высокоточных беспилотных летательных аппаратов // Проблемы управления. 2017. № 2. С. 56-67.
4. Филимонов Н.А. Энергетический подход и принцип многорежимности в задачах управления ла-гранжевыми динамическими системами : автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 2006. 182 с.
5. Александров А.Г. Методы построения систем автоматического управления. М.: Физматлит, 2008. 232 с.
6. Топчеев Ю.И. Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления. М.: Машиностроение, 1971. 466 с.
7. Булатов Ю.Н. Интеллектуальные системы управления установками распределенной генерации // Вестн. Иркутского гос. техн. ун-та. 2017. Т. 21, № 10. С. 78-94.
8. Zhigang Y., Zhijing W., Wentao S., Jian Z. Vulti-mode control method based on fuzzy selector in the four wheel steering control system // IEEE ICCA 2010. Xiamen, China, 2010. P. 1221-1226.
9. Vassilyev S.N., Kelina A.Y., Kudinov Y.I., Pash-chenko F.F. Intelligent control systems // Procedia Computer Science. 2017. No. 103. Р. 623-628.
10. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Синтез адаптивных систем сопровождения на основе гипотезы стационарности гамильтониана гиперповерхности переключения // Радиотехника и электроника. 2017. Т. 62, № 2. С. 121-125.
11. Костоглотов АА., Лазаренко С.В., Пугачев И.В., Кириллов И.Е. Синтез дискретных алгоритмов оценки параметров возмущенных измерительных процессов на основе максимума обобщенной мощности // Информатизация и связь. 2018. № 6. С. 19-25.
12. Костоглотов А.А. Объединенный принцип Понтрягина - Гамильтона - Остроградского // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 6. С. 13-17.
13. Пятницкий Е.С. Управляемость классов ла-гранжевых систем с ограниченными управлениями // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. С. 29-37.
14. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Шевцова Л.А. Синтез оптимального управ-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 4
ления на основе объединенного принципа максимума // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2010. № 2. С. 31-37.
15. Агапов А.А., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В., Лященко А.М., Лященко З.В. Анализ и синтез нелинейных многорежимных законов управления с использованием объединенного принципа максимума // Вестн. РГУПС. 2019. № 1. С. 119-125.
16. Kostoglotov A.A., Agapov A.A., Lazarenko S.V. Method for Synthesis of Intelligent Controls Based on Fuzzy Logic and Analysis of Behavior of Dynamic Measures on Switching Hypersurface // Proceedings of the Third International Scientific Conference "Intelligent Information Technologies for Industry" (IITI'18). Cham, Switzerland, 2019. Vol. 1156. Р. 531-540.
17. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1955. 248 с.
18. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физ-матлит, 1961. 824 с.
19. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962. 336 с.
References
1. Vagin G.Ya. (2013). On the issue of increasing the energy efficiency of industrial enterprises. Promyshlennaya energetika, No. 5, pp. 2-6. (in Russian).
2. Gluschenko A.I. (2019). On the efficiency of tuning individual parameters of the PI controller using a neural network tuner to compensate for disturbances in the control of heating objects. Upravlenie bol'shimi sistemami, No. 78, pp. 71-105. (in Russian).
3. Syrov A.S., Rutkovsky V.U., Glumov V.M., Puchkov A.M., Solovyov A.S. (2017). Features of the synthesis of the angular stabilization system of high-precision unmanned aerial vehicles. Problemy upravleniya, No. 2, pp. 56-67. (in Russian).
4. Filimonov N.A. (2006). Energy approach and the principle of multimodality in control problems for the Lagrangian dynamic systems. Dissertation Thesis. Moscow, 182 p. (in Russian).
5. Alexandrov A.G. (2008). Methods for constructing automatic control systems. Moscow, Fizmatlit Publ., 232 p. (in Russian).
6. Topcheev Yu.I. (1971). Nonlinear correcting devices in automatic control systems. Moscow, Mashinostroenie Publ., 466 p. (in Russian).
7. Bulatov Yu.N. (2017). Intelligent control systems for distributed generation installations. Vestn. Irkutskogo gos. tekhn. un-ta, vol. 21, No. 10, pp. 78-94. (in Russian).
8. Zhigang Y., Zhijing W., Wentao S., Jian Z. (2010). Vultimode control method based on fuzzy selector in the four wheel steering control system. IEEE ICCA 2010. Xiamen, China, pp. 1221-1226.
9. Vassilyev S.N., Kelina A.Y., Kudinov Y.I., Pashchenko F.F. (2017). Intelligent control systems. Procedia Computer Science, No. 103, pp. 623-628.
10. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. (2017). Synthesis of adaptive tracking systems based on the hypothesis of stationarity of the Hamiltonian of the switching hypersurface. Radiotekhnika i elektronika, vol. 62, No. 2, pp. 121-125. (in Russian).
11. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Pugachev I.V., Kirillov I.E. (2018). Synthesis of discrete algorithms for estimating the parameters of disturbed measuring processes based on the maximum of the generalized power. Informatizatsiya i svyaz', No. 6, pp. 19-25. (in Russian).
12. Kostoglotov A.A. (2007). The combined Pontryagin-Hamilton-Ostrogradsky principle. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 6, pp. 13-17. (in Russian).
13. Pyatnitsky E.S. (1996). Controllability of classes of the Lagrangian systems with bounded controls. Avtomatika i telemekhanika, No. 12, pp. 29-37. (in Russian).
14. Kostoglotov A.A., Kostoglotov A.I., Lazarenko S.V., Shevcova L.A. (2010). Optimal control synthesis based on the combined maximum principle. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki, No. 2, pp. 31-37. (in Russian).
15. Agapov A.A., Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Lyashchenko A.M., Lyashchenko Z.V. (2019). Analysis and synthesis of nonlinear multimode control laws using the combined maximum principle. VestnikRGUPS, No. 1, pp. 119-125. (in Russian).
16. Kostoglotov A.A., Agapov A.A., Lazarenko S.V. (2019). Method for Synthesis of Intelligent Controls Based on Fuzzy Logic and Analysis of Behavior of Dynamic Measures on Switching Hypersurface. Proceedings of the Third International Scientific Conference "Intelligent Information Technologies for Industry" (IITI'18). Cham, Switzerland, vol. 1156, pp. 531-540.
17. Akhiezer N.I. (1955). Lectures on the calculus of variations. Moscow, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 248 p. (in Russian).
18. Lur'e A.I. (1961). Analytical mechanics. Moscow, Fizmatlit Publ., 824 p. (in Russian).
19. Bellman R., Glixberg I., Gross O. (1962). Some questions of the mathematical theory of control processes. Moscow, IL Publ., 336 p. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
27 августа 2020 г. /August 27, 2020
