КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ РЕДУКЦИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ В ДИНАМИЧЕСКИХ АЛГОРИТМАХ ОЦЕНКИ ПОЛОЖЕНИЯ МАНЕВРИРУЮЩИХ ОБЪЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

Научная статья

УДК 62-50; 519.3; 621.37

doi: 10.18522/1026-2237-2023-3-23-33

КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ РЕДУКЦИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ В ДИНАМИЧЕСКИХ АЛГОРИТМАХ ОЦЕНКИ ПОЛОЖЕНИЯ МАНЕВРИРУЮЩИХ ОБЪЕКТОВ

Андрей Александрович Костоглотов1, Антон Сергеевич Пеньков2^, Сергей Валерьевич Лазаренко3

1:2,3 Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия 1kostoglotov@icloud. com [email protected] 3rh3311 @mail.ru

Аннотация. Предложен метод динамической оценки положения маневрирующих объектов на основе использования квазиоптимальных законов управления в режиме декомпозиции для построения модели динамической системы, описывающей движение маневрирующих объектов, аппроксимирующее реальную траекторию. Расширение пространства состояний с применением метода формирующего фильтра обеспечивает учет регулярной составляющей случайного процесса маневрирования.

На основе полученной стохастической марковской модели движения предложен алгоритм калманов-ского типа для динамической оценки положения маневрирующего объекта с использованием конечномерной аппроксимации. Определены выражения переходных матриц состояния и возмущения, необходимые для построения алгоритма.

Анализ результатов численного моделирования позволяет говорить о повышении точности оценки положения маневрирующего объекта при использовании алгоритма динамической оценки на базе квазиоптимальных законов управления в сравнении с фильтром на основе модели Зингера.

Ключевые слова: адаптация, декомпозиция, функция максимума обобщенной мощности, фильтр Калмана, управление, оценка, маневр, формирующий фильтр

Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-2900812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.

Для цитирования: Костоглотов А.А., Пеньков А.С., Лазаренко С.В. Квазиоптимальные законы управления на основе редукции экстремальных задач в динамических алгоритмах оценки положения маневрирующих объектов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 3. С. 23-33.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article

QUASI-OPTIMAL CONTROL LAWS BASED ON THE REDUCTION

OF EXTREMUM PROBLEMS IN DYNAMIC ALGORITHMS FOR ESTIMATING THE POSITION OF MANEUVERING OBJECTS

Andrey A. Kostoglotov1, Anton S. Penkov2B, Sergey V. Lazarenko3

1:2,3 Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia 1kostoglotov@icloud. com [email protected] 3rh3311 @mail.ru

© Костоглотов А.А., Пеньков А.С., Лазаренко С.В., 2023

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

Abstract. A method is proposed for dynamically estimating the position of maneuvering objects based on the use of quasi-optimal control laws in the decomposition mode to construct a model of a dynamic system that describes the movement of maneuvering objects, approximating the real trajectory. The expansion of the state space using the shaping filter method ensures that the regular component of the random maneuvering process is taken into account.

Based on the obtained stochastic Markov motion model, a Kalman-type algorithm is proposed for dynamically estimating the position of a maneuvering object using a finite-dimensional approximation. The expressions for the transition matrices of the state and perturbation necessary for the construction of the algorithm are determined.

An analysis of the results of numerical simulation suggests an increase in the accuracy of estimating the position of a maneuvering object when using a dynamic estimation algorithm based on quasi-optimal control laws in comparison with a filter based on the Singer model.

Keywords: adaptation, decomposition, generalized power maximum function, Kalman filter, control, estimation, maneuver, shaping filter

Acknowledgments: the study was supported by the Russian Science Foundation Grant No. 23-29-00812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.

For citation: Kostoglotov А.А., Penkov A.S., Lazarenko S.V. Quasi-Optimal Control Laws Based on the Reduction of Extremum Problems in Dynamic Algorithms for Estimating the Position of Maneuvering Objects.

Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(3):23-33. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

В последние годы существенно возрос интерес к исследованиям и разработкам в области автоматической цифровой обработки радиолокационной информации (ЦОРИ) [1]. Это обусловлено тем, что при решении задач управления движением маневрирующих летательных аппаратов (ЛА) и противовоздушной обороны поступающая от обзорных радиолокационных систем (РЛС) информация должна быть обработана для определения координат, скорости и характера объекта движения [2, 3]. Обычно модель маневрирующего ЛА задается с помощью процесса расширения пространства состояния [2-5] и построения уравнений для ускорения, вызывающего маневр. При этом используется кинематическая модель с неизвестными параметрами, что не согласуется с физической сущностью исследуемого процесса. Это позволяет сделать заключение, что существует резерв повышения точности за счет учета физических характеристик объекта наблюдения. Это может быть реализовано на основе использования динамической модели движения с квазиоптимальным законом управления [6] в совокупности с традиционным применением формирующего фильтра.

Целью работы является разработка метода динамической оценки положения маневрирующих объектов на основе использования квазиоптимальных законов управления.

Научная задача - получение математической модели движения с использованием редукции задачи Лагранжа к изопериметрической и синтез алгоритма динамической оценки положения маневрирующих объектов.

Постановка задачи синтеза адаптивной динамической модели движения

Теория систем позволяет сформировать единый подход к анализу и разработке автоматических систем сопровождения. Особенностью этой теории является то, что в качестве концептуальных подходов в неё введены принцип динамического изменения переменных, характеризующих состояние систем, метод оптимального управления при возмущениях и входных воздействиях, описание искаженной шумом информации с помощью случайных процессов [7].

Для математического описания поведения исследуемого физического объекта вводится понятие динамической системы. Рассмотрим совокупность динамических систем, моделирующих

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

динамику маневрирующих объектов, движение которых описывается уравнением Лагранжа 2-го рода [8]

ÔT

ÔT

d + ^ = Qs, s = (1)

dt [dqs ) 8qs

где Т = T (q, q) - кинетическая энергия; q = \qx,...qnJ1 eRn - вектор обобщенных координат;

Q(t )= [Qj(t),..., Qn (t )]г - вектор обобщенных сил; n = dim q - число степеней свободы динамической системы; т - знак транспонирования; точкой обозначена производная по времени.

Если в качестве обобщенных координат выбраны координаты, в которых производятся наблюдения [9], уравнение наблюдения имеет линейный вид [10], что значительно снижает сложность алгоритмов оценки в системах траекторной обработки

z(t ) = Hq + v(t), (2)

где z(t)=[zj(t\...zn(t)]T eRn - вектор наблюдения; H - матрица наблюдения; v(t)eRn - вектор случайных воздействий на канал наблюдения с известной интенсивностью [4].

Задача построения модели движения (1) состоит в поиске обобщенных сил, обеспечивающих минимизацию квадратичного функционала невязки (3) с учетом информации о точностных характеристиках канала наблюдения

1 ^ 1 fl J(q) = - j (z - q)T N-1 (z - q)dt = 2 jF(z, q)dt ^ min, (3)

t0 t0

где N e Rnxn - весовая матрица, характеризующая интенсивность помех в канале наблюдений [10], знак А означает оценку.

Синтез модели движения

Определение структуры модели движения (1), связанное с минимизацией функционала (3) при условии (2), может быть отнесено к классу обратных задач типа синтеза оптимального управления системами. Решение такой задачи может достигаться на элементах Qs (q, q), нереализуемых или трудно реализуемых на практике, что следует из опыта применения классических методов оптимизации, например принципа максимума Л.С. Понтрягина, динамического программирования Р. Беллмана, а также различных вариантов градиентных методов. Трудность реализации в данном случае понимается в смысле недостаточной мощности вычислительных средств при решении двухточечной краевой задачи принципа максимума или уравнения Беллмана.

Данные трудности наиболее характерно проявляются при исследовании динамических систем, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Поэтому необходимо ставить дополнительные условия [11] в виде ограничения на сложность элементов Q .

Известно [12], что для обратных задач типа синтеза оптимального управления введение дополнительных условий возможно и вполне обоснованно, поскольку требуется определить любое технически реализуемое (в данном случае - в смысле объема вычислительных затрат) решение, устойчивое к малым изменениям входных данных и обеспечивающее экстремум критерия качества (3).

В соответствии с положениями аналитической механики математическая модель движения (1) динамической системы является следствием принципа Гамильтона - Остроградского, со-

ti

гласно которому выполняется условие S'S = j(tT + S'A)dt = 0 для интеграла действия

to

ti

S(q, Q)= j (Т + A)dt = r, (4)

t

0

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

где г - заданное значение интеграла действия, такое, что г > ~ (~ - экстремальное значение

n q

(t, )

интеграла действия) [6]; А = ^ |- работа обобщенных сил; - время начала и окон-

*=4 (г о)

чания наблюдений.

В [6] рассмотрена изопериметрическая задача поиска обобщенных сил О, на которых функционал (3) принимает минимальное значение при заданном значении функционала (4), что требует исследования расширенного функционала действия:

*1

S *=ÀS + J = \[л(Г + Л) + F ]dt

^ mm,

где X - множитель Лагранжа.

Для поиска обобщенных сил О необходимо решить следующую краевую задачу:

й дТ дТ ~ — --=---= Я* +Л %, ^ = 1, п,

~ {г0 ) = Я^ ~ {г0 ) = ^ ~ {г1) = ^ ~ {г1) = ^

п

Ф = Х&(гЖ(гmax, г е^^

*=1

[х{А - т)+F дгх = о, г е[го, гх],

п

Я = -

s=1

I

s=1

d ÔT ÔT ~

—+ + Qs

dt ôqs Ô~s

= const.

te[t0,t1 ]

Здесь [я(А - T)+F= 0, t e[i0, tj, - требование выполнения энергетического баланса на

экстремальной траектории;

Л = -

s=1

I

s=1

d ÔT ÔT ~

—+ + Qs

dt ôqs ôq.s

- множитель Лагранжа; Ф = I Qs (t)~s (t) ^ max, t e [t0, t1 ], -

s=1

гфг ]

необходимое условие обеспечения максимума функции обобщенной мощности всюду на экстремальной траектории.

Определение значения интеграла действия г, как правило, представляет некоторые трудности, однако измерительные системы всегда характеризуются техническими параметрами, которые определяются заданной погрешностью измерения с известной дисперсией О. Эквивалентной задаче (3), (4) является оптимизационная задача

5(я, О)^ шп, ./(я) = £>. (5)

С учетом этого можно говорить о том, что в задачах оценки множество траекторий, для которых выполняется (5), определяет структуру следующей модели:

( ÔT л — = я-

+

lÔqs У Ôqs

Ms q, qs )qs +

ÔF ôqs

s = 1, n,

(6)

(л - T) + À~lF

= 0,

где /us(qs,qs) - синтезирующая функция; T = q^A^q)^, A(q)eRnxn - матрица квадратичной формы.

t

0

0

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

При незначительных изменениях кинетической энергии за время наблюдения при разложении A(q) в ряд Тейлора

A(qo + Aq) = A(qo ) + A'(qo )Aq +... + ^^^

n!

достаточно ограничиться первыми двумя слагаемыми: A(q0 + Aq) « A(q0 )+A'(q0 )Aq.

Тогда матрицу A (q ) можно представить как

A(q) = A + A(q), (7)

где A и A(q) - постоянная положительно-определенная и неизвестная симметричная матрицы соответственно.

Евклидовы нормы матриц A(q) и A 1(q) удовлетворяют неравенствам:

||A(q)|| <м, ¡и> 0, (8)

||A-4q)| <W\ U<U, (9)

где ¡и - достаточно малый параметр [13].

Выполнение (7)-(9) позволяет воспользоваться одним из возможных подходов к решению задач построения моделей управляемых систем без привлечения линейного приближения -принципом декомпозиции [9, 14, 15], суть которого заключается в следующем: с помощью допустимого управления полностью устраняется динамическое взаимовлияние между элементами. Тогда система (1) выводится на движение в режиме декомпозиции [15] за счет выбора квазиоптимального управления [6], устраняющего взаимовлияние, обеспечивая заданное значение функционала, характеризующего качество процесса оценки состояния. Это значит, что нелинейная многосвязная динамическая система высокого порядка через конечный интервал времени начинает двигаться как более простая система, состоящая из совокупности отдельных подсистем, что можно использовать при построении модели исследуемой системы с учетом выбора квазиоптимальной обратной связи [14].

Рассмотрим вариант построения модели, когда работа обобщенных сил A = 0 во втором уравнении системы (6), что соответствует приближенному (прогнозному) движению объекта в

режиме декомпозиции [9, 14, 16, 17] T = Л F, или qтA*q = Л-1^ - q)"1 N-1(z - q), где А* - диагональная матрица, характеризующая режим декомпозиции.

В режиме декомпозиции [ 18] движение системы задается совокупностью не связанных между собой линейных дифференциальных уравнений Лагранжа (6). Тогда систему можно представить как объединение невзаимодействующих подсистем [15], что, как показано в [9, 14], позволяет получить уравнение модели, аппроксимирующее реальное движение в компактной форме:

qs = - Л(zs - q.^ s =1 П (10)

—1 *-1 _1 *

где Л. = Л a ssNss, s = 1, n, - параметр адаптации; a*s - элементы матрицы квадратичной формы

кинетической энергии в режиме декомпозиции; N .. - элементы диагональной весовой матрицы N.

Модель (10) требует адаптации по параметру Лs и может быть использована для построения адаптивного фильтра оценки состояния калмановской структуры. Адаптация модели может быть проведена для типовых траекторий движения с учетом маневра цели по критерию (5).

Таким образом, выражение (10) представляет собой адаптацию исходной модели (1) по заданной типовой траектории с декомпозицией по целевому функционалу J (q).

После проведения адаптации zs (t )- q.s (t ) = rs (t ) [19] получим случайный процесс, ковариационная функция которого не равняется нулю для несовпадающих моментов времени. Другими словами, рассматривается случайный процесс r/s (t), такой, что cov{rs (t), rs (т)}ф 0 для тф t [20]. В частности, такой шум рассматривается как процесс на выходе линейной динамической системы, на вход которой воздействует белый шум. В качестве процесса rs (t) традиционно используется модель марковского типа

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

rs (t)=as (к (0+(t), s =1 n, (11)

где as (t ) - величина, обратная средней продолжительности маневра [21]; ws (t ) - белый шум с нулевым средним; cov{ws (t), ws (т)}= y/s (t)^(t -т) cov{ws (t), rs (т)} = 0; (t) - спектральная плотность ws (t ).

С учетом (10), (11) адаптивная модель эволюции состояния системы для синтеза фильтра сопровождения принимает вид

1q(t)=(t)+Krs (t), s=m 1 r(t )=a(t k(t )+ws (t ), , ,

а модель наблюдения zs (t) = hssqs (t) + vs (t), s = 1, n, где hss - элементы матрицы H , которая в случае отсутствия корреляции между каналами наблюдения является диагональной.

(12)

Синтез адаптивного алгоритма оценки состояния динамических систем в сферических координатах с применением марковского подхода

Марковская теория оптимального оценивания случайных процессов представляет собой созданный на единой основе марковских и условных марковских процессов корректный вектор-но-матричный математический аппарат, базирующийся на основных положениях теории статистических решений. Исходя из статистических характеристик процессов, моделирующих маневр, случайный процесс управления может описываться автокоррелированной (марковской) последовательностью.

Для получения модели дискретного марковского процесса воспользуемся процедурой расширения пространства состояний для системы (12), где обобщенные координаты q1, q2 , и д3 -азимут, угол места и дальность соответственно:

х1,* (г ) = qs (г), |\ * (г ) = х2, * (г)'

х2, * () = qs (г\ Х2, * () = * () - ^гХ3,* (* = 1,3

хз, *(г) = Л (г), [хз, *(г) = хз, *(г) + ^(г или в векторно-матричном виде для каждой степени свободы

х(г ) = Рх (г)+Gw(t), (13)

" Х!(У "0 1 0 " "0

x(t ) = Х2 (t) , F = 0 "л/Л Л , g = 0

_ Хз (t)_ 0 0 "as _ 1

где х(г) - расширенный вектор состояния; Р - переходная матрица состояния; С - вектор возмущения.

Уравнение наблюдения имеет вид

г(г )=Нх (г)+ \(г),

"1 0 0"

где г(г) = [^1 (г) 22 (г) 23 (г)]т - вектор наблюдения; Н =000

0 0 0

(14)

- матрица наблюдения;

v(t) = [v(t) 0 О]1 - вектор шума наблюдения.

С помощью стандартной процедуры дискретизации непрерывной модели, заданной (13), (14) при At = const, осуществляется переход к дискретной модели, что обеспечивает статистическое представление типового поведения цели и позволяет записать дискретную модель состояния и наблюдения как

x(i) = Фх(/-1)+rw(i) (15)

z( ) = Hx (i)+ v(i), (16)

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3 где для модели движения на базе квазиоптимальных законов управления

Pi P12 Рз п

ф = 0 P22 P23 , Г = Ï2

0 0 Рзз _ Пз _

(17)

где р 1 = 1, р2 = At - 0,5^JJ^At2, р3 = 0,5ÄsAt2,

р2 =1 -t[XsA + 0,5!sAt2, р23 = ÄsAt - 0,5At2 + asÄs ] P3 = 1 -asAt + 0,5asAi2 ;

Yi =■

À,At3

1 At2 лД3 At3 a,Я, At3

П = —---+ ■

At2 aaAt3

Пз =At-a* —+ , 2 6

6 ' '2 2 6 6

Уравнения фильтра имеют следующий вид [5]: X (/ | 7 - 1) = ФХ (/ - 1),

х(7) = х(717 -1) + Р()нтИ-1 {г(/) - Нх(7 17 -1)}, Р(717 -1) = ШГт + ФР(/ - 1)Фт,

Р(7) = Р(717 -1) - Р(717 - 1)Нт НР (717 - 1)Нт + ИI"1 НР (717 -1), где X(7) - оценка состояния системы; XX(717 -1) - одношаговое предсказание; Р(/17 -1) - априорная дисперсия; Р(г) - дисперсия ошибки оценки.

Считая шумы ) и у(?) некоррелированными [22], ковариационные матрицы шумов состояния и наблюдения можно представить в виде [21, 22]

Q

2as°Ms

At 0

2a „а,

2

saMs

At 0

0 0

2a а

2

s^Ms

At

R

а2 0 0

0 as2 0

0 0 as2

где а3 - среднеквадратичное отклонение (СКО) шума наблюдения; ам - дисперсия ускорения цели [21].

Оценка эффективности предлагаемого алгоритма

Проведено численное моделирование процесса оценки параметров состояния ЛА с использованием предлагаемого алгоритма.

Исходные данные для моделирования взяты из траектории движения ЛА в сферических координатах, полученной с использованием технологии автоматического зависимого наблюдения вещательного типа (АЗН-В) (данная траектория принимается в качестве эталонной). Для реализации измерительных данных эталонная траектория искажается шумом типовых РЛС:

- а у = 0,01 рад - СКО по азимуту;

- ав = 0,02 рад - СКО по углу места;

- аг = 400 м - СКО по дальности.

Полученные измерительные данные обрабатываются по каждой координате в соответствии с алгоритмом на основе модели (15) - (17), а также алгоритмом на основе модели Зингера [21]. Усредненные на 1000 реализациях траектории в декартовых координатах представлены на рис. 1.

0

0

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

Рис. 1. Оценка траектории ЛА предлагаемым алгоритмом в сравнении с фильтром Зингера и данными АЗН-В / Fig. 1. Estimation of the aircraft trajectory by the proposed algorithm in comparison

with the Singer filter and ADS-B data

Анализ полученных результатов показывает повышение точности определения положения ЛА при использовании модели движения на базе квазиоптимальных законов управления. Эффект достигается за счет учета динамических характеристик объекта наблюдения и наиболее ярко проявляется при оценке дальности (рис. 2).

Рис. 2. Оценка дальности до ЛА предлагаемым алгоритмом в сравнении с фильтром Зингера и данными АЗН-В / Fig. 2. Estimation of the distance to the aircraft by the proposed algorithm in comparison

with the Singer filter and ADS-B data

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

В результате проведенного статистического моделирования получены численные значения СКО ( G ) оценки траектории, которые сведены в таблицу.

СКО оценки траектории движения ЛА предлагаемым алгоритмом в сравнении с алгоритмом на основе модели Зингера / RMS estimate of the aircraft motion trajectory by the proposed algorithm in searches with an algorithm based on the Singer model

Координаты Ошибки Алгоритм Зингера Предлагаемый алгоритм

Сферические О, рад 379 10-6 376 •Ю-6

ов, рад 529-10-6 522 •Ю-6

ог , м 316 95

Декартовы оX , м 193 115

о Y , M 249 145

оZ , M 30 18

¡2 2 2 •W Ох + Oy + Oz , м 317 215

Анализ результатов численного моделирования позволяет сделать вывод о повышении точности определения координат ЛА на интервале маневра в рассмотренном примере на 32 % при использовании алгоритма на базе квазиоптимальных законов управления с расширением пространства состояний в сравнении с алгоритмом на основе модели Зингера.

Заключение

Разработка современных и эффективных систем сопровождения требует синтеза модели движения с учетом физических особенностей маневрирующего объекта.

Использование квазиоптимального закона управления в режиме декомпозиции позволяет получить уравнение модели, аппроксимирующее реальное движение. Расширение пространства состояний с применением метода формирующего фильтра обеспечивает учет регулярной составляющей случайного процесса.

Синтез динамического алгоритма оценки положения маневрирующего объекта основан на нахождении конечномерной аппроксимации полученной модели с расширением пространства состояний и приведением ее к виду марковского процесса. В результате проделанных операций получены выражения переходных матриц состояния и возмущения, необходимых для построения алгоритма динамической оценки калмановского типа.

Результаты численного моделирования позволяют утверждать, что использование алгоритма динамической оценки на базе квазиоптимальных законов управления обеспечивает повышение точности оценки положения маневрирующего объекта в сравнении с фильтром на основе модели Зингера.

Список источников

1. Панасюк Ю.Н., Пудовкин А.П. Обработка радиолокационной информации в радиотехнических системах: учеб. пособие. Тамбов: ТГТУ, 2016. 84 с.

2. Фарина А.Н., Студер Ф.И. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.

3. Бочкарев А.М. Цифровая обработка радиолокационной информации при сопровождении целей // Зарубежная радиоэлектроника. 1991. № 3. С. 3-22.

4. Bar-Shalom Y. Estimation with applications to tracking and navigation. John Wiley & Sons, 2001. 580 p.

5. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 248 с.

6. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Метод квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче с использованием асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. № 6. С. 3-12.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

7. Черкесова Л.А. [и др.]. Применение технологий искусственного интеллекта и теории поддержки принятия решений в задачах информационной безопасности. Ростов н/Д. : Изд. центр ДГТУ, 2023. 488 с.

8. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

9. Костоглотов А.А., Пеньков А.С., Лазаренко С.В. Структурно-параметрический синтез фильтра сопровождения на базе декомпозиции по целевому функционалу с адаптацией к возмущениям траектории // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2021. Т. 19, № 2. С. 14-25.

10. Костоглотов А.А., Кузнецов А.А., Лазаренко С.В. Синтез модели процесса с нестационарными возмущениями на основе максимума функции обобщенной мощности // Матем. моделирование. 2016. Т. 28, № 12. С. 133-142.

11. Костоглотов А.А., Таран В.Н. Оптимальная фильтрация состояния пространственно-распределенных объектов на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова // Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования: материалы Меж-республ. конф. Тамбов, 1993. С. 135.

12. КоробейниковВ.П., МельниковаН.С., РязановЕ.В. Теория конечного взрыва. М.: Наука, 1961. 332 с.

13. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

14. Костоглотов А.А., Пеньков А.С., Лазаренко С.В. Метод синтеза адаптивных алгоритмов оценки параметров динамических систем на основе принципа декомпозиции и методологии объединенного принципа максимума // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2020. № 4 (208). С. 22-28.

15. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системам // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. C. 300-303.

16. Костоглотов А.А., Пеньков А.С., Лазаренко С.В. Структурно-параметрический синтез адаптивного фильтра оценки состояния динамических систем с использованием принципа декомпозиции // Вестн. Ростовского гос. ун-та путей сообщения. 2020. № 4 (80). C. 180-188.

17. Kostoglotov A.A., Penkov A.S., Pavlov V.M., Lazarenko S.V. Analysis of the possibility of intellectualiza-tion of algorithms for estimating the parameters of dynamic systems based on adaptive model of motion // Lecture Notes in Networks and Systems. 2022. Vol. 330. P. 589-600.

18. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I // Автоматика и телемеханика. 1989. Т. 50, № 1. С. 87-99.

19. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Лазаренко С.В., Пеньков А.С. Метод синтеза алгоритмов сопровождения с использованием формирующего фильтра и квазиоптимальных законов управления маневрирующими объектами // Радиотехника. 2023. Т. 87, № 2. С. 93-104.

20. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. 496 с.

21. Зингер Р.А. Оценка характеристик оптимального фильтра для слежения за пилотируемой целью // Зарубежная радиоэлектроника. 1971. № 8. С. 40-57.

22. Матвеев В.В., Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем. СПб.: Концерн «ЦНИИ "Электроприбор"», 2009. 280 с.

References

1. Panasyuk Yu.N., Pudovkin A.P. Processing of radar information in radio engineering systems: a tutorial. Tambov: Tambov State Technical University Press; 2016. 84 p. (In Russ.).

2. Farina A.N., Studer F.I. Digital processing of radar information. Goal tracking. Moscow: Radio i svyaz' Publ.; 1993. 320 p. (In Russ.).

3. Bochkarev A.M. Digital processing of radar information when tracking targets. Zarubezhnaya radioelektronika = Foreign Radioelectronics. 1991;(3):3-22. (In Russ.).

4. Bar-Shalom Y. Estimation with applications to tracking and navigation. John Wiley & Sons, 2001. 580 p.

5. Sage E.P., Melsa J.L. Identification of control systems. Moscow: Nauka Publ.; 1974. 248 p. (In Russ.).

6. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. A method for quasi-optimal synthesis of control laws based on the reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric problem using asynchronous variation. Izvestiya RAN. Teor-iya i sistemy upravleniya = Journal of Computer and Systems Sciences International. 2021;(6):3-12. (In Russ.).

7. Cherkesova L.A. et al. Application of artificial intelligence technologies and decision support theory in information security problems. Rostov-on-Don: DSTU Publishing Center; 2023. 488 p. (In Russ.).

8. Lurie A.I. Analytical mechanics. Moscow: GIFML Publ.; 1961. 824 p. (In Russ.).

9. Kostoglotov A.A., Penkov A.S., Lazarenko S.V. Structural-parametric synthesis of the tracking filter based on decomposition by the target functional with adaptation to trajectory disturbances. Informatsionno-izmeritel'nye i upravlyayushchie sistemy = Information-Measuring and Control Systems. 2021;19(2):14-25. (In Russ.).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3

10. Kostoglotov A.A., Kuznetsov A.A., Lazarenko S.V. Synthesis of a process model with non-stationary disturbances based on the maximum of the generalized power function. Matem. modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations. 2016;28(12):133-142. (In Russ.).

11. Kostoglotov A.A., Taran V.N. Optimal filtering of the state of spatially distributed objects based on the regularization method of A.N. Tikhonov. Improving the efficiency of information processing tools based on mathematical and machine modeling. Proceedings of the Inter-Republican Conference. Tambov, 1993:135. (In Russ.).

12. Korobeinikov V.P., Melnikova N.S., Ryazanov E.V. Theory of the final explosion. Moscow: Nauka Publ.; 1961. 332 p. (In Russ.).

13. Chernous'ko F.L., Ananyevsky I.M., Reshmin S.A. Control methods for nonlinear mechanical systems. Moscow: FIZMATLIT Publ.; 2006. 328 p. (In Russ.).

14. Kostoglotov A.A., Penkov A.S., Lazarenko S.V. Synthesis method for adaptive algorithms for estimating the parameters of dynamic systems based on the decomposition principle and the methodology of the combined maximum principle. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2020;(4):22-28. (In Russ.).

15. Pyatnitsky E.S. The principle of decomposition in the control of mechanical systems Dokl. Akad. nauk SSSR = Reports of USSR Academy of Sciences. 1988;300(2):300-303. (In Russ.).

16. Kostoglotov A.A., Penkov A.S., Lazarenko S.V. Structural-parametric synthesis of an adaptive filter for assessing the state of dynamic systems using the decomposition principle. Vestn. RGUPS = Bulletin of The Rostov State Transport University. 2020;(4):180-188. (In Russ.).

17. Kostoglotov A.A., Penkov A.S., Pavlov V.M., Lazarenko S.V. Analysis of the possibility of intellectual-ization of algorithms for estimating the parameters of dynamic systems based on adaptive model of motion. Lecture Notes in Networks and Systems. 2022;330:589-600.

18. Pyatnitsky E.S. Synthesis of hierarchical control systems for mechanical and electromechanical objects based on the principle of decomposition. I. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control. 1989;50(1):87-99. (In Russ.).

19. Andrashitov D.S., Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Penkov A.S. A method for synthesizing tracking algorithms using a shaping filter and quasi-optimal control laws for maneuvering objects. Radiotekhnika = JournalRadioengineering. 2023;87(2):93-104. (In Russ.).

20. Sage E., Mels J. Estimation theory and its application in communication and management. Moscow: Svyaz' Publ.; 1976. 496 p. (In Russ.).

21. Zinger R.A. Evaluation of the characteristics of the optimal filter for tracking a manned target. Zarubezh-naya radioelektronika = Foreign Radioelectronics. 1971;(8):40-57. (In Russ.).

22. Matveev V.V., Raspopov V.Ya. Fundamentals of construction of strapdown inertial navigation systems. St. Petersburg: OJSC "Concern TsNII Elektropribor", 2009. 280 p. (In Russ.).

Информация об авторах

А.А. Костоглотов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой связи на железнодорожном транспорте.

А.С. Пеньков - научный сотрудник, кафедра связи на железнодорожном транспорте.

С.В. Лазаренко - кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник, кафедра связи на

железнодорожном транспорте.

Information about the authors

A.A. Kostoglotov - Doctor of Science (Technical Science), Professor, Head of the Department of Communication on Railway Transport.

A.S. Penkov - Researcher, Department of Communication on Railway Transport.

S.V. Lazarenko - Candidate of Science (Technical Science), Associate Professor, Senior Researcher, Department of Communication on Railway Transport.

Статья поступила в редакцию 12.04.2023; одобрена после рецензирования 13.05.2023; принята к публикации 20.06.2023. The article was submitted 12.04.2023; approved after reviewing 13.05.2023; accepted for publication 20.06.2023.