CC BY
2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3
Научная статья
УДК 517.977.1, 62-50
doi: 10.18522/1026-2237-2023-3-13-22
СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ДЕКОМПОЗИЦИИ И РЕДУКЦИИ ЗАДАЧИ ЛАГРАНЖА К ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Владимир Олегович Зехцерш, Андрей Александрович Костоглотов2
12Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия 1vova-zehcer@yandex. ruB 2kostoglotov@icloud. com
Аннотация. Принцип декомпозиции служит основой для методов построения универсальных законов управления механическими системами, которые обеспечивают устойчивость любого целевого движения из множества допустимых и не содержат информации о динамических параметрах объекта управления. Известно, что использование редукции задачи Лагранжа к изопериметрической позволяет получить эффективное решение задачи синтеза нелинейных законов управления, структура которого определяет вариант нелинейной коррекции законов управления принципа декомпозиции, что обеспечивает повышение быстродействия. Это возникает за счет того, что решение игровой задачи получено в предположении о наихудшем варианте возмущающих сил. При известной структуре управляемой системы или наличии информации о внешних силах коррекция закона управления дает возможность повышения качества управления в сравнении с традиционным решением.
Цель настоящей работы - повышение эффективности управления нелинейными динамическими системами в условиях неопределенности на основе использования структуры квазиоптимального управления, полученного на основе условия максимума функции обобщенной мощности и принципа освобождае-мости, и анализ эффективности полученного решения по быстродействию с использованием численного моделирования.
Ключевые слова: синтез законов управления, принцип декомпозиции, редукция задачи Лагранжа к изопериметрической, условие максимума функции обобщенной мощности, нелинейная коррекция, квазиоптимальное управление, быстродействие, условия неопределенности
Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-2900812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.
Для цитирования: Зехцер В.О., Костоглотов А.А. Синтез квазиоптимальных законов управления на основе принципа декомпозиции и редукции задачи Лагранжа к изопериметрической в условиях неопределенности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 3. С. 13-22.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
SYNTHESIS OF QUASI-OPTIMAL CONTROL LAWS BASED ON THE PRINCIPLE OF DECOMPOSITION AND REDUCTION OF THE LAGRANGE PROBLEM TO AN ISOPERIMETRIC ONE UNDER UNCERTAINTY
Vladimir O. Zekhtser1B, Andrey A. Kostoglotov2
1, 2Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia 1vova-zehcer@yandex. ruB 2kostoglotov@icloud. com
© Зехцер В.О., Костоглотов А.А., 2023
Abstract. The decomposition principle serves as the basis for methods for constructing universal laws of control of mechanical systems that ensure the stability of any target movement from a set ofpermissible ones and do not contain information about the dynamic parameters of the control object. It is known that the use of reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric one makes it possible to obtain an effective solution to the problem of synthesis of nonlinear control laws, the structure of which determines the variant of nonlinear correction of the control laws of the decomposition principle, which provides an increase in performance. This happens due to the fact that the solution of the game problem is obtained under the assumption of the worst variant of disturbing forces. With a known structure of the controlled system or the availability of information about external forces based on their measurement, the correction of the control law makes it possible to improve the quality of control in comparison with the traditional solution.
The purpose of this work is to increase the efficiency of control of nonlinear dynamic systems under uncertainty conditions based on the use of a quasi-optimal control structure obtained on the basis of the maximum condition of the generalized power function and the principle of release, and to analyze the effectiveness of the resulting solution in terms of speed using numerical simulation.
Keywords: synthesis of control laws, decomposition principle, reduction of the Lagrange problem to an isop-erimetric one, condition of the maximum of the generalized power function, nonlinear correction, quasi-optimal control, speed, uncertainty condition
Acknowledgments: the study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 23-29-00812, https://rscf.ru/project/23-29-00812.
For citation: Zekhtser V.O., Kostoglotov А.А. Synthesis of Quasi-Optimal Control Laws Based on the Principle of Decomposition and Reduction of the Lagrange Problem to an Isoperimetric One Under Uncertainty. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(3):13-22. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
Проблема синтеза законов управления механическими системами, которая является одной из центральных задач теории и практики управления, рассмотрена в работах Н.Г. Четаева, Д.Е. Охоцимского, Ф.Л. Черноусько. Как правило, задача синтеза управления решается при неполной информации о динамике системы, когда ее параметры (характеристики, свойства, коэффициенты) предполагаются не полностью известными. Такая постановка задачи является общепринятой и исследовалась еще в работах А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина. Анализировались вопросы грубости (робастности) динамических систем, нечувствительности их свойств к изменениям параметров.
Известным традиционным подходом к решению задачи управления нелинейным объектом в условиях неопределённости являются линеаризация модели объекта управления и применение хорошо отлаженного аппарата линейного синтеза, содержащего широкий арсенал методов. Из их числа лишь отдельные могут быть использованы для синтеза управления неустойчивыми объектами. В исследованиях А.М. Формальского [1] для линеаризованной модели объекта управления получены решения, когда управление строится по принципу максимизации области притяжения, с использованием всех ресурсов управления для компенсации неустойчивой моды движения системы.
В работах Е.С. Пятницкого сформулирована задача управления для «черного ящика механической природы», где исследована предельная ситуация, когда информация о динамических параметрах системы являлась по существу недоступной и выдвинут принцип декомпозиции, который является одним из подходов к решению задачи управления в таких условиях.
В работах Ф.Л. Черноусько, И.М. Ананьевского [2, 3] на основе принципа декомпозиции задача управления решена в нелинейной постановке в условиях, когда внешние силы, действующие на динамическую систему, или ее инерционные характеристики считаются известными не полностью. Получена структура управления, которое является квазиоптимальным (близким к оптимальному по быстродействию), если величины возмущений и нелинейностей в системе ограничены.
Принцип декомпозиции служит основой для методов построения универсальных законов управления механическими системами, которые обеспечивают устойчивость любого целевого движения из множества допустимых и не содержат информации о динамических параметрах объекта управления [4, 5].
Известно, что использование принципов нелинейной коррекции типовых законов управления обеспечивает повышение быстродействия [6]. Как показано в [7, 8], а позднее в [9] применение редукции задачи Лагранжа к изопериметрической может быть эффективно при решении задачи структурного синтеза нелинейных многорежимных законов управления. Полученная структура управления может служить основой для проведения нелинейной коррекции известных решений, что позволяет провести учет динамических свойств объекта управления и компенсировать погрешности линеаризации исходной нелинейной модели. Таким образом, возникает возможность повышения качества функционирования за счет того, что решение игровой задачи [10] получено в предположении о наихудшем варианте возмущающих сил. Соответственно, при известной структуре управляемой системы или наличии информации о внешних силах на основе их измерения коррекция закона управления может быть направлена на повышение качества управления в сравнении с решением дифференциальной игры, полученным в предположении наихудшего варианта внешних воздействий.
Цель работы - повышение эффективности управления нелинейными динамическими системами на основе использования структуры квазиоптимального управления [7, 8].
Научная задача - синтез квазиоптимальных законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической в условиях неопределенности, их реализация в виде нелинейной коррекции решений принципа декомпозиции [10] и анализ эффективности полученного решения по критерию быстродействия.
Постановка задачи
При наличии внешних сил управляемая система в независимых обобщенных координатах qs, qs , s = 1, n описывается уравнениями Лагранжа второго рода
d ÔT ÔT
... . = fs + = ^, 5 =1П
Ж ддя
где = (д, д,г) - обобщенные силы; Т - кинетическая энергия; и, - управляющие обобщенные силы, которые являются суммируемыми функциями, удовлетворяющими неравенствам (г)< Н,, 5 = Щ. (2)
Положим, что величины Н, удовлетворяют условиям
р _
яир]Л ^ ^ г)< к8, р8 = < \ 5 = \ П. (3)
Рассмотрим задачу синтеза квазиоптимальных управлений и5 = и5 (д, д), 5 = 1, п, доставляющих минимум функционалу
Ч
3 = | ¥ (д)й, (4)
>0
где ¥ (д) - скалярная, непрерывная вместе со своими частными производными, положительно определенная целевая функция, при переводе системы из начального в конечное состояние
г = to, д(го)=[дю, дпо д(го)=[дю, дпо ]Т, (5)
г = , д(гк )=0 д(гк )=0
Синтез квазиоптимального управления
Как показано в [9], краевая задача определения д,, д,, Qs, обеспечивающих минимум (4), может быть представлена в виде
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3
d ôT ôT _ ._1t. -— ----= Qs + & Vs, s = 1, n,
dt Ôqs Ô4s
4 s (t0 ) = VsO^ qs (t0 ) = 4s0, 4 s (tl ) = 4s^ ¿Is (tl ) = ¿s^
n
Ф = ZQs(t4(t) ^ max, t e [to,h]
(6)
s=l
[a(A _T) + FJ = 0, t e [to, ti]
л = -
_ZVs
s=l
Z
s=l
d ÔT ÔT --+ — + Qs
dt Ô4s Ô4s
s (tl )
= const,
te[to,ti ]
где A = ^ JQsdqs - работа обобщенных сил; À - множитель Лагранжа; Ф - функция обоб-
s = l4. (t0 )
щенной мощности; V, = дЕ / д<с, .
Решение системы (6) и построение программной экстремальной траектории является достаточно сложной задачей, которая может быть решена различными численными методами -пристрелки, итераций и т.д. с текущим поиском максимума функции обобщенной мощности. Но вместе с этим система (6) дает возможность записать решение задачи квазиоптимального
структурного синтеза следующим образом: и, (((г), ((г)) = Qs (((г), ((г)) + Л ХУ8(((г)), , = 1, п.
Условие максимума функции обобщенной мощности позволяет утверждать, что в квазиоптимальной системе знак обобщенной силы определяется знаком обобщенной скорости, что
позволяет установить следующую связь: Qs(((г), ((г))= Л 1 /(((г), ((г)С(г), где /,(((г), ((г)) -знакопостоянная синтезирующая функция. Имеем следующую структуру управления:
и, (((г), ((г)) = Л-1/(((г), ((г )С (г)+ V (((г))), , = Щ (7)
Знак управления определяется в процессе синтеза на основе требований устойчивости управляемого движения [11].
При Л —^ 0 управление (7) имеет релейный характер [9] и, (я(г), ((г)) = Н, 81^1 / (я(г), ((г ^ (г)+V, (я(г)))=Н^щъ (ч(г), я (г))], где функция (я(г), ((г )) = / (я(г), Я (г ))С (г)+V, (я(г)) определяет поверхность переключения.
Согласно [7], структура квазиоптимальной системы управления, полученная с использованием принципа освобождаемости, в случае главных обобщенных координат и квадратичного критерия качества при переводе (1) из произвольного состояния ¡(го), ¿¡(о) в состояние покоя д(гк ) = 0, ¡(гк ) = 0 имеет следующий вид с точностью до параметров:
d ÔT __ÔT _ h^jgn^s ], s = l, n
dt Ô4s Ô4s ^s (4s , 4s ) = als
4 s +a2s
s\qs
\4s
+ a-
3s
s = l, n,
(8)
(9)
а,ъ, а28, а35 - параметры закона управления.
Проведем анализ траекторий системы (8) из произвольного состояния в состояние покоя. Если выбрать линию переключения таким образом, что знак ^ совпадает со знаком цз, то из теоремы механики о кинетической энергии [12] с учетом (3) следует утверждение Е.С. Пятницкого [11]
T = ¿4?s(fs _к sign(^))< _2ô4t, ô> 0.
s=l
4
Из этого неравенства вытекает, что 4т <,] T (t0)-ô(t -t0 ).
Это значит, что из любого положения система (8) за конечное время переходит в состояние покоя или в область заданного многообразия [11].
Применение принципа декомпозиции
Задачу (1)-(5) при соответствующих преобразованиях [2] можно свести к задаче приведения в состояние покоя системы n линейных подсистем с одной степенью свободы на основе метода декомпозиции.
Уравнения движения (1) запишем в виде [3]
A(q)q = u + s(q, q, t). (10)
T T
Здесь u = (uj,...,un) - вектор управляющих сил; s = (s1,...,sn) - вектор-функция
n
qt) = qt)- ZГjkqjqk, j,k=i
где Г jk = (Г1 jk ,...,Г njk )T - n-мерные векторы с компонентами:
Г - 1 dajk ljk dqk 2 ôqi '
Заметим, что на управляющие воздействия в каждый момент времени наложены геометрические ограничения вида (2).
Рассмотрим случай, когда матрица; A(q) близка к постоянной, т.е. представима в виде
A(q) = A + A(q),
где A - постоянная положительно определенная матрица; а A(q) - неизвестная симметрическая матрица. Предполагается, что евклидовы нормы матриц A(q) и A _1(q) удовлетворяют
неравенствам
A(q) <ц, ц> 0,
A-1
__1 _
< ц , ц < ц.
Здесь ц - достаточно малый параметр [2]. Кроме того, предположим, что
"< С, С > 0, /, у, к = 1, п .
"jk
Умножим обе части уравнения (10) на АЛ-1. Обозначим х1 = [Aq]i, получим х = Щ + V, (11)
= ^ - [ АА_1 (и + s)]i. (12)
Установлено [2], что система (11), (12) эквивалентна уравнению (10) и (1). Положим
Ы <РА , Pi < 1, (13)
где рi - некоторые постоянные. Функции V будем рассматривать в (11) как неизвестные независимые ограниченные возмущения, не превосходящие допустимых значений управлений. Тогда исходная нелинейная система распадается на п линейных подсистем (i -я подсистема описывается i -м уравнением (11)), подверженных возмущениям, с одной степенью свободы каждая. Таким образом, для решения задачи достаточно решить п более простых задач управления для подсистем второго порядка. В каждой из этих задач требуется построить скалярное управление щ (х1, Х1), удовлетворяющее ограничению (2) и переводящее 7-ю подсистему (11)
( 0 -0ч
из начального состояния (хг- , хг- )
х0 = [Aq0]i, х0 = [Aq0]i (14)
в терминальное состояние (0, 0) при любых допустимых возмущениях V , удовлетворяющих ограничению (13).
При каждом i рассмотрим задачу о приведении системы (11) в начало координат за кратчайшее время. Ее решение, как известно [13], может быть сведено к решению задачи оптимального быстродействия для системы
xi = (1 -PiК, Ы ^ hi (15)
при тех же граничных условиях (14). Искомое управление ui (xi, xi) и минимальное гарантированное время в игровой задаче (11), (14) совпадают, соответственно, с синтезом оптимального управления и временем оптимального быстродействия для задачи (14), (15). Отметим, что система (15) получается из (11) при возмущении, равном vi = -piui, которое представляет собой
оптимальное управление противника, выбирающего возмущение Vj с целью максимизации времени движения. Иными словами, наихудшее возмущение в данной задаче можно принять в виде vi = -piui.
Решение задачи быстродействия, представленное в [2], имеет вид
u°pt = hsign^'(X;,Xj) при 47 Ф 0,
(16)
u°p = hi slgnx7. = -ht signx- при = 0, где 4/(x7, X7) - функция переключения:
4/( Xj, xt) = -
xi xi
xi +-
(17)
[2Н (1 -Рг)_
Анализ решений (8), (9) и (16), (17) позволяет сделать заключение, что при выборе единой системы координат функция
(q,, qi s )=«is
q, +a2
s I I ,
'qJ + аз,
является с учетом -—¡-^- нелинейной коррекцией 4/ при соответствующем выборе параметров.
|q
Анализ эффективности квазиоптимальных законов управления на основе численного моделирования
Показано [10], что при изменении функции переключения (17), а значит, и (9) можно получить оценки времени движения в терминальную точку, которые оказываются меньше, чем полученные на основе решения игровой задачи. Это объясняется тем, что оценки получены для максимальной интенсивности внешних сил у , которые противодействуют управлению и. Таким образом, возникает возможность повышения качества функционирования за счет того, что решение игровой задачи получено в предположении о наихудшем варианте возмущающих сил. Соответственно, при известной структуре управляемой системы или наличии информации о внешних силах коррекция квазиоптимального закона быстродействия (16), (17) может быть направлена на повышение качества управления в сравнении с решением дифференциальной игры, полученным в предположении наихудшего варианта внешних воздействий. Таким образом, нелинейная коррекция (17) может быть использована для адаптации закона управления.
Рассмотрим пример использования разработанного закона управления (9) нелинейной неустойчивой системой с оценкой эффективности его применения. Положим, что применение процедуры декомпозиции приводит к тому, что исходная нелинейная система распадается на п линейных подсистем (I -я подсистема описывается I -м уравнением (11)), подверженных возмущениям, с одной степенью свободы каждая. Таким образом, для решения задачи достаточно решить п более простых задач управления для подсистем второго порядка.
ss
В качестве одной из этих подсистем рассмотрим перевернутый маятник, который управляется приложенным к нему моментом u *. Введем обозначения: ф - угол между маятником и вертикальной осью; m - масса маятника; r - радиус инерции маятника относительно точки подвеса; l - расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс; g - ускорение свободного падения. Момент u* приложен к этой точке и ограничен по абсолютной величине: |м * < h *.
Уравнение движения обратного маятника можно представить в виде [1] 2
mr ф = mgl sin ф + u*, (18)
После введения безразмерного времени т и безразмерного момента силы u
т = t^gl /r, u = u */mgl,
уравнение движения (18) можно представить в компактной форме [1]
ф" = sin ф+ u, (19)
где штрих ' означает дифференцирование по безразмерному времени т.
В дальнейшем будем считать, если не оговорено иначе, что все вычисления и моделирование осуществляются в безразмерном виде, и переход к определенным размерностям не составляет трудности. Дифференцирование по безразмерному времени по умолчанию будем обозначать точкой.
Рассмотрим задачу управления системой (19). Ставится задача приведения маятника в малую окрестность положения неустойчивого равновесия ф = 0, ф = 0 из заданного состояния ф(0) = ф0 > 0, ф(0) = ф0 > 0 в условиях ограничения на величину управления. Закон управления для системы (19), полученный с использованием принципа декомпозиции на основе игрового подхода, представляет собой квазиоптимальное решение задачи быстродействия в условиях действия внешней силы: ф = f + u , имеет вид [2] ( 1Ф
u = -h sign
H
Ф+ 2hÔ—p)Ф
(20)
/
*
где
р = fmx = < i; u < h = -
h h mgl
Оценим эффективность применения нелинейной коррекции известного закона управления (20) с использованием условия максимума функции обобщенной мощности.
Нелинейная коррекция закона (20) с учетом (9) позволяет получить управление в виде
м=-hsign f+2h(i1-p)Hl+i3 4 (21)
где а1 = 1; а2 = -); а3 - параметр глубины коррекции линии переключения, который
определяется путем численного моделирования.
Проведем численное моделирование при начальных условиях ф0 = 0,3, фо = 0. Ограничение на управление h будем выбирать так, чтобы величина, определяющая ресурс управления в
fmax sin фо
сравнении с внешним воздействием р =-=-, изменялась в диапазоне от 0,61803 до 1,
h h
когда ресурсы управления невелики и при построении закона управления требуют учета наличия внешних сил [3].
tk
Для оценки эффективности используем показатель быстродействия jtime = J dt.
о
Расчет проведем методом Рунге - Кутты в безразмерном времени на интервале t е [0,T], t = 15 с шагом At = 0,001, точность достижения терминального состоянии Д=0,5 % , t = tk .
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3
Для случая Н = 0,3, р = 0,985 результаты моделирования представлены на рис. 1-3, где ф1 соответствует закону управления (20), ф2, фз, ф4 - закону управления (21) при а3 = 1, а3 = 2 а3 = 5 соответственно.
0,3
0,2
0,1
<Pi(0
Ф;(г) 'ф-ЛО Ф4(0
-0,1
г~- V
* i, f \\
\ * v '•■ \ Л
0,02
Ф1<0
-0,02
-0,04
-0,06
Ф;(0
Фз(0 -0,08
Ф4(0
-0,10
1 \ Щ
■
/ 1
/ !
10
15
10
15
Рис. 1. Графики ф(/) - угла между маятником Рис. 2. Графики ф(0 - скорости изменения угла
и вертикальной осью / Fig. 1. Graphs of ф(?) - angles между маятником и вертикальной осью
between the pendulum and the vertical axis /Fig. 2. Graphs of ф(?) - change rate of the angle
between the pendulum and the vertical axis
Значения критерия быстродействия в зависимости от параметра р для рассматриваемых законов представлены на рис. 4, где цифрой 1 обозначен закон управления (20), цифрой 2 - закон управления (23) с параметром а3 = 1, цифрой 3 - с параметром а3 = 2, цифрой 4 - с параметром а3 = 5.
ф.(0 <р2(У) фз(0 ф4(0
Рис. 3. Траектории управляемых систем на фазовой плоскости / Fig. 3. Trajectories of controlled systems on the phase plane
Рис. 4. Зависимость отp времени достижения терминального состояния (0,0) для различных законов управления / Fig. 4. Dependence on p of the time to reach the terminal state (0,0) for various control laws
Заключение
Анализ полученных результатов позволяет утверждать, что применение разработанного метода синтеза повысит быстродействие проектируемых систем управления в сравнении с известными решениями. Это дает возможность рассматривать процесс синтеза управления в комплексном варианте - использование классических методов для построения квазиоптимальных решений с дальнейшей нелинейной коррекцией на основе разработанного подхода. Условие максимума функции обобщенной мощности с успехом может быть использовано при решении задачи синтеза нелинейных законов управления в условиях неопределенности. Рассмотренный пример и полученные результаты моделирования показывают, что разработанный закон управления в условиях внешних воздействий высокой интенсивности на интервале значений параметра ре [0,61803...1] при а3 > 2 в сравнении с управлением [3], полученным на основе решения игровой задачи, обеспечивает повышение быстродействия. Достижение результата обеспечивается за счет изменения режима функционирования управляющей системы, что позволяет провести учет динамических свойств объекта управления и погрешности линеаризации исходной нелинейной модели.
Список источников
1. Формальский А.МУправление движением неустойчивых объектов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 232 с. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=26012584 (дата обращения: 15.07.2021).
2. Ананьевский И.М., Решмин С.А. Непрерывное управление механической системой на основе метода декомпозиции // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014. № 4. С. 3-17.
3. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция управления динамической системой // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, № 4. С. 801-805.
4. Матюхин В.И. Многорежимные законы управления движением твердого тела // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. № 4. С. 21-31.
5. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управляемость механических систем в классе управлений, ограниченных вместе с производной // Автоматика и телемеханика. 2004. № 8. С. 14-38.
6. Шеваль В.В., Дорохов В.И., Исаков С.А., Земцов В.И. Двухзонные следящие системы. М.: Энерго-атомиздат, 1984. 88 с.
7. Лазаренко С.В., Костоглотов А.А., Агапов А.А., Лященко З.В. Синтез квазиоптимального многорежимного закона управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и принципа освобождаемости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2020. № 4 (208). С. 29-35. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44526462 (дата обращения: 17.06.2021).
8. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В., Агапов А.А., Лященко З.В. Синтез квазиоптимальных многорежимных законов управления на основе условия максимума функции обобщенной мощности и условия трансверсальности // Вестн. РГУПС. 2020. № 4 (80). С. 170-179.
9. Костоглотов А.А., Лазаренко С.В. Метод квазиоптимального синтеза законов управления на основе редукции задачи Лагранжа к изопериметрической задаче с использованием асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. Т. 6, № 6. С. 3-12.
10. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=24057190 (дата обращения: 06.07.2021).
11. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 2. С. 300-303.
12. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : Физматгиз, 1961. 824 с.
13. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.
References
1. Formalsky A.M. Motion control of unstable objects. Moscow: FIZMATLIT Publ.; 2012. 232 p. Available from: https://elibrary.ru/item.asp?id=26012584 [Accessed 15th July 2021]. (In Russ.).
2. Ananyevsky I.M., Reshmin S.A. Continuous control of a mechanical system based on the decomposition method. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya = Journal of Computer and Systems Sciences International. 2014;(4):3-17. (In Russ.).
3. Chernousko F.L. Decomposition of dynamic system control. Dokl. Akad. nauk SSSR = Reports of USSR Academy of Sciences. 1990;314(4):801-805. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 3
4. Matyukhin V.I. Multimode laws of motion control of a rigid body. Izv. RAN. Mekhanika tverdogo tela = Mechanics of Solids. 2012;(4):21-31. (In Russ.).
5. Matyukhin V.I., Pyatnitsky E.S. Controllability of mechanical systems in the class of controls limited together with a derivative. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control. 2004;(8):14-38. (In Russ.).
6. Sheval V.V., Dorokhov V.I., Isakov S.A., Zemtsov V.I. Two-zone tracking systems. Moscow: Ener-goatomizdat Publ.; 1984. 88 p. (In Russ.).
7. Lazarenko S.V., Kostoglotov A.A., Agapov A.A., Lyachenko Z.V. Synthesis of a quasi-optimal multimode control law based on the maximum condition of the generalized power function and the principle of release. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2020;(4):29-35. Available from: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44526462 [Accessed 17th June 2021]. (In Russ.).
8. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V., Agapov A.A., Lyachenko Z.V. Synthesis of quasi-optimal multimode control laws based on the maximum condition of the generalized power function and the transversality condition. Vestn. RGUPS = Bulletin of the Rostov State Transport University. 2020;(4):170-179. (In Russ.).
9. Kostoglotov A.A., Lazarenko S.V. The method of quasi-optimal synthesis of control laws based on the reduction of the Lagrange problem to an isoperimetric problem using asynchronous variation. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya = Journal of Computer and Systems Sciences International. 2021;6(6):3-12. (In Russ.).
10. Chernousko F.L., Ananyevsky I.M., Reshmin S.A. Methods of control of nonlinear mechanical systems. Moscow: FIZMATLIT Publ.; 2006. 328 p. Available from: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=24057190 [Accessed 6th July 2021]. (In Russ.).
11. Pyatnitsky E.S. The principle of decomposition in the management of mechanical systems. Dokl. Akad. nauk SSSR = Reports of USSR Academy of Sciences. 1988;300(2):300-303. (In Russ.).
12. Lurie A.I. Analytical mechanics. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1961. 824 p. (In Russ.).
13. Krasovsky N.N. Game problems about the meeting of movements. Moscow: Nauka Publ.; 1970. 420 p. (In Russ.).
Информация об авторах
В. О. Зехцер - младший научный сотрудник, кафедра связи на железнодорожном транспорте. А.А. Костоглотов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой связи на железнодорожном транспорте.
Information about the authors
V. O. Zekhtser - Junior Researcher, Department of Communication on Railway Transport.
A.A. Kostoglotov - Doctor of Science (Technical Science), Professor, Head of the Department of the Communication on Railway Transport.
Статья поступила в редакцию 12.04.2023; одобрена после рецензирования 13.05.2023; принята к публикации 20.06.2023. The article was submitted 12.04.2023; approved after reviewing 13.05.2023; accepted for publication 20.06.2023.
