CC BY
99
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ
УДК 623.434.42
МЕТОД РАСЧЕТА СВОБОДНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ
КОЛЕБАНИЙ СТВОЛА АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПУШКИ ПРИ ЗАДАННОМ УСЛОВИИ ЗАКРЕПЛЕНИЯ
А.В. Игнатов, С.Н. Богомолов, Н.Д. Федянин
Сформулирована и решена математическая модель, описывающая свободные поперечные колебания ствола автоматической пушки в одной из плоскостей при определенных условиях закрепления.
Ключевые слова: свободные поперечные колебания ствола, кучность стрельбы, автоматическая пушка.
В стволе артиллерийского орудия как в упругой системе под действием внешних нагрузок в общем случае возникают продольные, крутильные, поперечные и радиальные колебания в плоскости, перпендикулярной оси канала ствола. Очевидно, что на кинематические характеристики (вертикальные перемещение, скорость, ускорение) дульного среза канала ствола в момент вылета из него снаряда, а, следовательно, и на кучность стрельбы, наиболее существенным образом влияют поперечные формы колебаний конструкции ствола [1].
Для кучности важно, чтобы моменту вылета снаряда из ствола пушки при каждом выстреле соответствовало определенное и постоянное значение угла отклонения дульного среза ствола, то есть определенная фаза колебаний. Обеспечить вылет снаряда в одну и ту же фазу колебаний ствола практически невозможно из-за неизбежного разброса времени движения снаряда по каналу ствола вследствие влияния различного рода причин (разброс максимального давления газов, массы снаряда, массы порохового заряда, свойств пороха и т.п.). В этих условиях необходимо обеспечить вылет снаряда в такую фазу колебаний, чтобы разброс оказывал наименьшее влияние на рассеивание снарядов [2].
70
Основная сложность в решении задачи о расчете движения дульного среза ствола - определение достоверных частот и форм свободных и вынужденных поперечных колебаний ствола.
Для решения данной задачи сформулируем математическую модель, описывающую свободные поперечные колебания ствола в одной из плоскостей. Рассмотрим поперечные колебания стержня (ствола), имеющего жесткую заделку на левом конце и шарнирно опертого в промежуточной точке,в плоскости ху, изображенного на рис. 1.
В общем случае поперечное сечение стержня может быть переменным по его длине (вдоль оси х). Для решения задачи необходимо только выполнение условия: плоскость ху, проходящая через осевую линию стержня, является плоскостью симметрии его поперечного сечения. Это условие выполняется для любого орудийного ствола.
Рис.1. Схема стержня
Одним из методов аналитического решения дифференциальных уравнений в частных производных является разделение переменных (метод Фурье) [3, 4], а интересующая нас функция у(х, - общее решение однородной краевой задачи (1).
Искомую краевую задачу свободных поперечных колебаний ствола (балки) под действием только сил упругости, форма которых определяется граничными условиями и начальными значениями, представим в виде
¿¿х ЕЛ с1Шх
у(о,о = о,ух(о,о = о,г>о, (1)
у (1,0 = 0,ухх(/,Г) = о,г > о, у(х,0) = 0,уЦх,0) = 0,0< х<Ь. где первая строка - дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний в вертикальной плоскости ХОУ; вторая и третья строки - граничные условия: жёсткая заделка на левом конце и шарнирное закрепление в промежуточной точке справа; четвертая строка - начальные условия; I -расстояние от левого конца до точки заделки, мм; Ь - полная длина ствола, мм; х - координата поперечного сечения ствола, отсчитываемая от правого конца; £ - время, с; Е - модуль упругости (модуль Юнга) материала, из которого изготовлен ствол, кгс/см2; ] - момент инерции в направлении оси
71
2 3
ОУ, кг/м ; у - плотность материала, кг/м ; F - площадь поперечного сечения ствола, м ; д - ускорение свободного падения; - коэффициент затухания поперечных колебаний ствола, 1/с; f{x, £) - линейная плотность распределённой вдоль оси ствола нагрузки.
Предположим, что решение краевой задачи (1) имеет виду(х, £) = К(х) • Г(£). Функции К(х) и Г(£) зависят только от одной переменной (каждая - от своей), пока неизвестны и не равны тождественно нулю. В противном случае получаем тривиальное решение. Подставим предполагаемое представление решения у(х, Ь) = К(х) • Т(Ь) в дифференциальное уравнение (1), выполнив дифференцирование по каждой из переменных, получаем уравнение вида
Г1УТ + -^г-УТ"+ [1У1Г т'= о, а
9
где а = —--некоторая постоянная. Перенесём второе слагаемое из ле-
АР
вой части в правую часть уравнения и сгруппируем сомножители:
(Т + /иТ') = —1—ГТ", а
разделим обе части этого уравнения на произведение функций У(Т + /// '), получаем
7 1¥ 1 Т" I
Г а2 Т + ЦТ"' (2)
Тождество (2) может выполняться тогда и только тогда, когда каждая их частей тождества является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную через Я4:
7/К _ _ 1 Т" _ Г ~ а2Т + [1Т'~
Это уравнение, в свою очередь, приводит к двум уравнениям: каждое относительно одной функции и одной независимой переменной. Для пространственной составляющей К(х) искомого решения уравнения (1) получаем следующую краевую задачу (задачу Штурма - Лиувилля) [5]:
у1У - Л4г = 0,0 < х < Ь, Г(0) = 0,Г(0) = 0,
7(/) = 0,7"(/) = 0. ^
Для второй (временной составляющей) Г(£) решения (1) краевой задачи также получаем дифференциальное уравнение без каких-то дополнительных условий:
Т"+[1\4а2Т'+\4а2Т = 0. (4)
72
Рассмотрим решение задачи (3). Фундаментальная система решений (линейно независимая система решений) имеет вид {ch Á.x, sh Ах, cos Ах, sin Ax} . Общее решение - линейная комбинация функций фундаментальной системы решений:
Y(x) = А • chJbc + В • shÁx + С • cos/bc + D • sin/bc. (5)
Осталось распорядиться постоянными А, А, В, С, D так, чтобы выполнялись краевые условия из (3). Тогда в силу линейности (3) решение F(x) будет определено с точностью до произвольной постоянной.
Используя вместо введённой фундаментальной системы (5) функции Крылова, получаем
К\(Лх) = ~(ch Лх + cos Лх),
К2 (Лх) = —í—(.sh Лх + sin Лх),
2 Л
1 (6
К^(Лх) =-— (сИЛх - cos Лх),
2 Л2
К^(Лх) =-—^ЬЛх - sin Лх).
2 Л3
Эти функции также линейно независимы, и их матрица в начале координат единичная:
"Г1(0) = 1 ^í(0) = 0 ^í'(0) = 0 ^í"(0) = 0' Г2(0) = 0 K'2(0) = 1 К 2 (0) = О К?(0) = 0 К3(0) = О К j (0) = О Кз (0) = 1 К™(§) = о Ч/Г4(0)=0 ^4(0) = 0 ^4(0) = 0 ^4(0) = 1у-
Поскольку левый конец ствола заделан (третья строка, первый и второй столбцы матрицы), а правый опёрт шарнирно (четвертая строка, первый и второй столбцы матрицы), то следует выбрать в качестве решения краевой задачи функции К3 (Ах) и К4 (Ах). Тогда общее решение уравнения (3) принимает вид
Y(x) = А-К3(Ях) + В-К4 (Лх). (7)
Построенное таким образом общее решение автоматически удовлетворяет граничным условиям на левом конце. Определяем оставшиеся постоянные Á,A,B из условия, что правый конец в промежуточной точке х = I опёрт: частные значения общего решения и её второй производной обращаются в ноль:
Y (I) = А ■ К 2 (Л1) + В -К4 (XI) = 0, Y"(l) = А ■ K$(Ál) + В ■ К1(Л1) = 0.
Вычислим производные функций Крылова и придём к следующей системе линейных алгебраических уравнений:
А ■ К3(Л1) + В ■ К4(Л1) = 0, А ■ Кх (Л1) + В ■ К2(Л1) = 0. 73
Для существования нетривиального решения этой однородной системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы уравнений был равен нулю. Раскрыв этот определитель, получаем уравнение
ch Al • sin Al - sh Al • cos Ax
О,
2 AJ
приводящееся к окончательному виду
ch Al ■ sin Al - sh Al ■ eos Ax = 0 => th Al = tgAl ■ (8)
Для нахождения величины Я следует решить это трансцендентное (вековое, характеристическое) уравнение:
íhs = tgs.
Начальное приближение для к корня уравнения достаточно точно
4к + \ ^
определяется выражением Sq =—-—л*. Первые 12 корней этого уравнения приведены в таблице.
Корни трансцендентного уравнения (нормированные
к sk — ^к - 1 к sk — ^к' 1
i 3.930 8 25.920
2 7.070 9 29.060
3 10.210 10 32.200
4 13.350 11 35.340
5 16.490 12 38.480
6 19.630
7 22.780 к 4/с + 1 п 4
С геометрической точки зрения корни этого уравнения суть точки пересечения графика функции у = 1к(х) с графиком функции y = tg{x) (рис. 2).
Рис. 2. Корни трансцендентного уравнения
Процесс построения последовательности приближенных значений корня продолжается до тех пор, пока не будут выполняться условия сходимости или точности.
Итак, уравнение (8) имеет счётное число корней, которые обозначим .... Найдём отсюда величины (собственные значения или
числа задачи Штурма - Лиувилля) А \ Л[ и затем
подставим найденные корни во второе уравнение системы:
А-К3(зк) + В-К4(зк) = 0. (9)
Получаем одно уравнение (9) для нахождения двух постоянных А и В. Вариантов решения этого уравнения достаточно много. Один из них, например, может быть такой:
К3(Ч)
Положив постоянную В, равную числителю дроби правой части
(теперь постоянные зависят и от индекса корня), получим выражение для
1
постоянной А к =--, а затем и окончательное выражение для про-
Кз(ч)
странственной составляющей решения однородной краевой задачи (собственной функции задачи Штурма - Лиувилля):
у (х\- кз(4х) , кл(Ьх)1г_л 0
ук(х)-—„ , л + ^ , л к(Ю)
Эти функции являются искомыми стационарными (не зависящими от времени) решениями однородной краевой задачи. Более того, если каждую из функций умножить на произвольную постоянную, то такая новая функция также будет решением однородной краевой задачи. Удобно в качестве такой постоянной выбрать величину, обратную норме собственной функции:
1М*)||2 =
о
Теперь решим однородное дифференциальное уравнение (4) для временной составляющей решения, которое запишем в следующем виде:
Т" + Ц0)2Т'+ а)2Т = 0, (11)
9 4 9
где со =Л а - некоторая положительная постоянная. Его характеристическое уравнение имеет вид
к1 + ц^к + со2 = 0. Корни характеристического уравнения (спектр)
/ко 2 - а>-\1/12а>2 - 4 - ¡ко 2 + со-у]¿и2а>2
5.10509
1.W
Рис. 3. Собственные решения задачи Штурма - Лиуеилля (основной тон и первые три обертона)
Частные решения
цсо2 - со д/// 2 со2 -4 ^ ¡лсо2 + со л] ¿и2а>2 - 4
Обще е решение
¡ico 2 - а>л] ju2a>2 -4
/ко2 + а>л]ju2a>2 -4
T(t) = A-e 2 + В -е 2
Теперь подставим исходное выражение для со, одновременно восстановим индекс и получаем общее решение для временной составляющей:
4 2
/лЛка
Tk(t) = e
а2-4
л1а^2л1
а2 —4
¿к
+ Вк-е
(12)
/ yF
а также собственные числа и собственные функции задачи Штурма - Лиу-вилля, описывающие пространственную форму изгиба ствола (10) переменную составляющую (12). Перемножив эти две функции, получаем решение однородной краевой задачи (13), зависящей в том числе и от индекса/с - собственного значения задачи Штурма - Лиувилля:
y{x,t) = Y,Yk{x)-Tk{t) = Y, к к
К4(ч)-К з
гч л
— JC /
1 4 2 цЛ 1 а
■ е
Л\а^ц2 Л
W-*
+ K3(sk)-K4
Л\а-^ц2 Л'
С \ Л V ' J J
l\a2-4
Ак -е
+ Вк -е
(13)
где Ак, Вк, к G N- постоянные, определяемые начальными условиями.
Таким образом, полученная, с помощью представленного метода расчета, линейная комбинация (конечная или бесконечная) является искомым решением поставленной однородной краевой задачи, которое в окончательном виде (13) позволяет описать свободные поперечные колебания ствола при заданном условии закрепления.
Список литературы
1. Орлов Б.В., Ларман Э.К., Маликов В.Г. Устройство и проектирование стволов артиллерийских орудий. М.: Машиностроение, 1976.431 с.
2. Богомолов С.Н., Колесов В.В. Влияние виброколебаний ствола на результаты стрельбы из 30-мм автоматических пушек // Сборник материалов III Научно-практической конференции Омского автобронетанкового инженерного института. Омск: Изд-во ОАБТИИ, 2016. С. 44 - 49.
3. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968, 554 с.
4. Филиппов А.П. Колебания упругих систем. Киев: Изд-во АН УССР, 1956. 322 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977, 736 с.
Игнатов Александр Васильевич, д-р техн. наук, доц., директор, kbkedr(a),tula.net, Россия, Тула, АО «КБП имени академика А.Г. Шипунова»,
Богомолов Сергей Николаевич, адъюнкт, sergei. bogomolov(a),yandex. ги, Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище,
Федянин Николай Дмитриевич, адъюнкт sergei. bogomolov(a>yandex. г и, Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище
CALCULA TION OF FREE CROSS FL UCTUA TIONS OF A BARREL OF THE AUTOMATIC GUN UNDER THE SPECIFIED CONDITIONS
A. V. Ignatov, S.N. Bogomolov, N.D. Fedyanin
The mathematical model describing free cross fluctuations of a barrel of the automatic gun is formulated and solved under specified conditions.
Key words: free cross fluctuations of a barrel, automatic gun, grouping of shots.
Ignatov Alexandr Vasilevich, doctor of technical sciences, docent, director, kbkedr(a),tula. net, Russia, Tula, Joint-Stock Company "Instrument Design Bureau ",
Bogomolov Sergey Nikolaevich, adjunct, sergei. bogomolov(a),yandex. ru, Russia, Ryazan, Ryazan Highest Airborne Command School,
Fedyanin Nikolay Dmitrievich, adjunct, sergei. bogomolov(a>yandex. ru, Russia, Ryazan, Ryazan Highest Airborne Command School
