CC BY
73
УДК 623.434.42
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ «СНАРЯД - СТВОЛ» АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПУШКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СТРЕЛЬБОВЫХ НАГРУЗОК
С.Н. Богомолов, Н.Е. Стариков
Сформулирована и решена математическая модель, описывающая вынужденные поперечные колебания ствола при заданных условиях закрепления. Получено искомое выражение, отображающее профиль ствола в произвольный момент времени для гармонической вынуждающей силы.
Ключевые слова: колебания ствола, динамика системы «снаряд - ствол», автоматическая пушка.
Теоретический анализ динамики системы «снаряд - ствол» автоматических пушек под действием стрельбовых нагрузок является сложной задачей вследствие воздействия на систему множества различных факторов (схема работы автоматики, крепление пушки на установке, используемые боеприпасы, конструктивные параметры пушки (инерционные, жесткостные, демпфирующие)) и т.п. [1]
Одними из факторов, влияющих на рассеивание снарядов в очереди, являются колебание и вибрация ствола при выстреле. Данные явления возникают в процессе динамики системы «снаряд - ствол» при выстреле и оказывают существенное влияние на точность стрельбы. Так, при устойчивых режимах стрельбы основной механизм рассеивания следующий: вынужденные колебания и вибрации ствола пушки не затухают полностью в процессе очереди, а за счет разброса времени цикла работы автоматики (промежутка времени между выстрелами очереди) вылет снарядов происходит в различные фазы колебаний дульного участка ствола, что вызывает разнообразие углов вылета снарядов [2].
Одной из задач динамики системы «снаряд - ствол» является расчет движения дульного участка ствола пушки в момент вылета снарядов в очереди. Основная сложность решения данной задачи - определение достоверных характеристик вынужденных поперечных колебаний ствола при выстреле.
Для решения данной задачи сформулируем математическую модель, описывающую вынужденные поперечные колебания ствола в одной из плоскостей при заданном условии закрепления. Рассмотрим поперечные колебания стержня (ствола), имеющего жесткую заделку на левом конце и шарнирно опертого в промежуточной точке, в плоскости ху, изображенного на схеме (рисунок).
Схема стержня
Искомую краевую задачу вынужденных поперечных колебаний ствола (балки) под действием внешней силы, возникающей от каждого выстрела в вертикальной плоскости, с учётом затухания, полностью определяющей профиль ствола в произвольный момент времени, представим в виде
¿/4у 7V (р-у ¿/5у 1 ,,
+ ^--^ + Д-~г = —Дх,0,0<х<1,Г >0,
с1хА ё Л2 ¿Мс4 Е7'
у( 0,0 = 0,^(0,0 = 0,^0,
у(/,0 = о,/хх(/,о = о,г>о, у(х, 0 = о, (х, 0 = 0,0 < х < Ь, где первая строка - дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний в вертикальной плоскости ХОУ; вторая и третья строки -граничные условия: жёсткая заделка на левом конце и шарнирное закрепление в промежуточной точке справа; четвертая строка - начальные условия; I - расстояние от левого конца до точки заделки, мм; Ь - полная длина ствола, мм; х - координата поперечного сечения ствола, отсчитываемая от правого его конца; £ - время, с; Е - модуль упругости (модуль Юнга) материала, из которого изготовлен ствол, кгс/см2; ] - момент инерции в на-
3
правлении оси ОУ,кгм ; у - плотность материала, кг/м ; F - площадь поперечного сечения ствола, м2; д - ускорение свободного падения; [1 - коэффициент затухания поперечных колебаний ствола, 1/с; f{xlt) - линейная плотность распределённой вдоль оси ствола нагрузки.
Решение этой краевой задачи будем искать в виде разложения в ряд (Фурье) [3, 4] по системе функций - фундаментальным решениям однородной краевой задачи (задачи Штурма - Лиувилля):
к
где функции Ук(х) - нормированные решения краевой задачи свободных поперечных колебаний ствола (балки) под действием только сил упругости, определяющиеся выражениями
Кт.('ккх) К л(Х1'Х) , , „ Уг. (х) =--3 А + 4 А к = 1,2.....
При таком подходе все краевые условия (1) как на левом закреплённом конце, так и на правом опёртом конце будут удовлетворяться автоматически. А неизвестные функции Бк (£), которые интерпретируются
79
как амплитуды отдельных гармоник, подлежат определению таким образом, чтобы это было искомым решением уравнения (1). Относительно ряда для функции будем полагать, что:
- ряд сходится равномерно в некоторой области;
- ряды, составленные из частных производных элементов этого ряда по переменной х вплоть до четвёртого порядка, сходятся равномерно в упомянутой области;
- ряды, составленные из частных производных элементов этого ряда по переменной £ вплоть до второго порядка, сходятся равномерно в упомянутой области.
Эти предположения означают, что производные функции могут быть найдены почленным дифференцированием под знаком ряда:
у 2(х,0 _ й с1хт с1х
с1]
т (
V к ) к с1х
(т).
<1 у2 _ й
= =1,2,3,4
к
т ( \ 1 т
л •
Л
V к
(т ),
= 1
с!'
к Л
= Т.Ук(х)ЗГЧ0,т =1,2
После подстановки функции у2 (х, £) в уравнение (1), почленного дифференцирования и учёта граничных условий получаем следующее уравнение:
х | Гк/У (х)Яь (О + \ук (О + //у/к (х)^ (О1 = -1-/(х, о. к V ах ) Ы
Принимая во внимание, что для производных к выполняется свойство собственных функций
У1У(х) = 4У1(Х\
получаем следующее равенство:
1
к V а
EJ
Ж О-
Умножив обе части этого выражения на функцию У^ (х) и проинтегрировав по переменной х в пределах от 0 до / (вычисляем скалярное произведение) под знаком ряда, получаем
I\Гк (х)¥1 (Х)А 4Бк (0 + (0 + /ли'к (О
к О
а
Ы
Согласно условию ортонормированности [5] для собственных функций задачи Штурма - Лиувилля
I
i^OO^/OO^ = Sik,
О
в левой части последнего уравнения все элементы ряда, содержащие интегралы от произведений функций Fk(x) • YL(x), обращаются в ноль, за исключением одного интеграла, где к = /, получаем бесконечную систему задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций (здесь вновь вернулись к привычному индексу к вместо i) вида
4sk(t) + \s'i(t) + J^is'kit) = Hk(t), к = 1,2,.... aSk(°) = sk(t) = °Д = 1,2,....
где
i 1
Hk(t) = —\f{x,t)Yk(x)dx. EJ Q
Для функций Sk (t) получаем дифференциальное уравнение
-\sfi (о + ¡aUk (0 + 4s k (0 = нк (ty
a
Умножив это уравнение на коэффициент при старшей производной
Sk(t) + jua24s'k(t) + a2Xtsk(t) = a2Hk(t), 1
получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит только одну неизвестную функцию (гармонику).
Для нахождения амплитуд гармоник необходимо уточнить вид правой части уравнения (1) или (3). Поскольку строим модель стрельбы очередями, то есть рассматриваем некоторый периодический процесс, то правая часть - некоторая периодическая функция. Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила является гармонической, например,
/(*, 0 = /(*)• cos fli,
где первый множитель описывает место приложения силы и её величину, например, в окрестности левого конца ствола,
(А(х), х е (0, 8), О < 8 < I, Т (х) = <
1 о,хе(о ,8),
а второй множитель - периодическое её приложение; Q = 2nv - круговая частота; v - темп стрельбы.
В этом случае интеграл по переменной х вычисляется непосредственно разложением по системе собственных функций:
а2 8
Hk(t) = j — f(x,t)Yk(x)dx = — \А{х) cos QtYk(x)dx = О ы О
(а1 8 ^
— \Mx)Yk{x)dx
О
cos Clt.
Для краткости выражение в скобках обозначим Нк. Тогда дифференциальное уравнение для амплитуды гармоники принимает вид
Slit) + JJa24s'k(t) + a24sk(t) = Нк ■ cosQt. (4)
Стационарное решение этого уравнения будем искать в следующем
виде:
S(t) = A-cosÜt + B- sinQ t. Подставив предполагаемый вид искомого решения в уравнение (1), получаем
- й2А cos Q.t-Q.2B sin Q.t + [Ш2Х4 (-QA sin Q.t + QB eos Qt) + 7 4
+ а X (A eos Qt + B sin Qt) = Hk ■ eos Qt. Приравняв коэффициенты при тригонометрических функциях cos и sin (пока забудем про нижний индекс), получаем
í(a2Á4 - ü2)A + ¡la 2 Л4 В = Я, /ла214А + (а2Л4 - О2 )в = 0.
(у д ? р 9 4 R
а Л -Q J + ¿и а Л - определитель этой системы, то решение записывается в виде
= Я (а2Л4 - Q2 ) = ¡иа2Л4Н А А
Теперь стационарное решение (амплитуда гармоники) принимает
вид
0/ч Я й¥-а2 ^ иа2Л4Н . „ 5(0 = —^-- со8 + ^--8ш а/.
А А
Возвратим индексы, собственное суммирование и получим искомое решение (1) вынужденных поперечных колебаний ствола автоматической пушки в вертикальной плоскости:
у2(х,0 = -П2)-соз Ш + /и2а2Л4к -ЯП ш) (5)
к Ак
Таким образом, сформулирована и решена одна из задач динамики системы «снаряд - ствол» в виде математической модели вынужденных поперечных колебания ствола автоматической пушки при заданных условиях закрепления. Полученное при решении искомое выражение (5) позволяет описать профиль ствола в произвольный момент времени для гармонической вынуждающей силы.
Список литературы
1. Шепетовский М. А. Теоретический анализ и экспериментальная отработка динамики кучности и меткости стрельбы из установок автоматических пушек: дис. ... канд. техн. наук. Тула., 1986. 163 с.
2. Богомолов С.Н., Колесов В.В. Влияние виброколебаний ствола на результаты стрельбы из 30 мм автоматических пушек // Сборник материалов III Научно-практической конференции Омского автобронетанкового инженерного института. Омск: Изд-во ОАБТИИ, 2016. С. 44 - 49.
3. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968, 554 с.
4. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 408 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977, 736 с.
Стариков Николай Евгеньевич, д-р техн. наук, проф., starikov_taii@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Богомолов Сергей Николаевич, адъюнкт, sergei. bogomolov@yandex. ru, Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище
THE THEORETICAL ANALYSIS OF DYNAMICS OF SYSTEM «ROUND-A BARREL» UNDER THE INFLUENCE OF FIRING
N.E. Starikov, S.N. Bogomolov
The mathematical model describing forced fluctuations of a barrel of the automatic gun is formulated and solved under specified conditions. The required expression displaying a barrel profile in timepoint for the harmonious compelling force is received.
Key words: vibrations of a barrel, dynamic of system «round-a barrel», automatic
gun.
Starikov Nikolay Evgenievich, doctor of technical sciences, professor, stari-kov_taii@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Bogomolov Sergey Nikolaevich, adjunct, sergei. bogomolov@yandex. ru, Russia, Ryazan, Ryazan Highest Airborne Command School
