CC BY
42
ВОЕННО-СПЕЦИАЛЬНЫЕ НА УКИ
УДК 623.442.53
РАСЧЕТ СВОБОДНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТВОЛА СНАЙПЕРСКОЙ ВИНТОВКИ БЕЗ УЧЕТА НАЧАЛЬНЫХ
УСЛОВИЙ
Н.Д. Изергин, М.А. Филиппов, В.С. Климаков
Сформулирована математическая модель и рассмотрен расчет свободных поперечных колебаний ствола снайперской винтовки в вертикальной плоскости. Получено решение математической модели свободных поперечных колебаний без учета начал ьн ых условий.
Ключевые слова: свободные поперечные колебания ствола, кучность стрельбы, снайперская винтовка.
Как показывает опыт, при выстреле ствол снайперской винтовки приходит в колебательное движение. В общем случае при стрельбе возникают продольные, крутильные, поперечные (изгибные) и радиальные колебания. Опытами обнаружено, что наибольшее влияние на кучность боя винтовки оказывают поперечные колебания, а возникающие в стволе продольные и крутильные колебания не имеют практического значения [1].
Под поперечными понимают такие колебания ствола, при которых элементы поперечного сечения ствола перемещаются во времени перпендикулярно статической оси канала.
Характер и размах колебаний зависят от многих факторов: длины ствола, его поперечных размеров, наличия и места расположения сосредоточенных масс, условий крепления, массы и т.д.
Основная сложность в задаче о динамическом изгибе ствола винтовки - определение достоверных частот и форм изгибных колебаний ствола. Воспользуемся методом, предложенным в [2].
Сделаем допущение, упрощающее модель и не привносящее каких-то значительных отклонений в описание процесса деформации ствола. Рассмотрим ствол как упругий, однородный стержень, левая часть которого заделана в некоторую опору (казённая часть ствола), а правый конец свободный (дульный срез ствола).
Выберем следующую декартову прямоугольную систему координат (рис.1). Стержень (ствол) расположим горизонтально. Начало координат поместим в левый конец стержня. Ось ОХ направим вправо вдоль оси стержня. Ось ОУ направим вертикально вверх. Ось О2 направим горизонтально, так, чтобы координатные орты ¡, у, к образовывали право ориентированную тройку векторов.
к
1
4 а >
Т I ^ /
А
Л и X
с | ;
А ' 1 У ж.
Рис. 1. Схема стержня
Будем предполагать, что поперечные колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях - вертикальной (переменная у) и горизонтальной (переменная z) - независимы, так что
^(х, /)= у (х, /)• I + 7(х, /)• у , (1)
где первое слагаемое - колебание в вертикальной плоскости, определяемое краевой задачей
EJ +р£ ^= / (х, г),
Эх 4 Эг2 ЭгЭх а второе в горизонтальной плоскости, определяемое краевой задачей
4
(2)
3 4 7 _Э 2 7 Э 5 7
Эх* Эг2 ЭгЭх
гдеЕ - модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня, Па; J - момент инерции сечения стержня в направлении оси ОУ, м4; х - координата
поперечного сечения стержня, м; р - плотность материала, кг/м ; £ - пло-
2
щадь поперечного сечения стержня, м ; г - время, с; т - постоянная, характеризующая скорость затухания поперечных колебаний, с-1; / (х, г)- линейная плотность распределённой вдоль оси стержня нагрузки.
Поскольку уравнения (2), (3) имеют одинаковые структуры, то найдём решение только одного из них.
4
= / (х, г),
(3)
Выпишем краевую задачу вынужденных поперечных колебаний ствола (стержня) под действием внешней силы в вертикальной плоскости с учётом затухания, полностью определяющей форму поперечных колебаний ствола в произвольный момент времени [3,4]:
-.4 -.2 л5
EJ + рБ ^ + = I(х, г), 0 < х < /, г > 0,
дх4 ЭГ ЭгЭх4
у(0, г) = 0, уX (0, г) = 0, г > 0, (4)
уХх (/, г) = 0, уХхх (/, г) = 0, г > 0,
I
у(х,0) = ф(х), уг(х,0) = у(х), 0 < х < /,
где первая строка - дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний в вертикальной плоскости ХОУ; вторая и третья строки -граничные условия: жёсткая заделка в казенной части ствола и свободный дульный срез ствола; четвертая строка - начальные условия;/ - длина ствола, м.
Для решения краевой задачи (4) применим метод разделения переменных или метод Фурье. Перейдем к безразмерным величинам, которые учитывают особенности рассматриваемых пространственно-временных процессов:
X = х - относительная координата по оси ОХ;
у
и = — относительное отклонение по оси ОУ; /
х = -у г - относительное время, где У0 - начальная скорость пули.
Подставляя в краевую задачу (4) безразмерные величины и пологая I (х, г) = 0 (свободные колебания), получаем
EJ Э и р8у1 Э и JuEJv0 Э и
- +
+-
= 0,0 < X < 1, х > 0,
/3 ЭХ4 / Эх2 /4 ЭхЭХ4 и(0, х) = 0, иХ (0,х) = 0, х> 0,
и'хх (1, х) = 0, иХх (1, х) = 0, X > 0,
и(Х, 0)=1 Ф(Х)=Ф(Х), их (X, 0)=- у(/Х) = ¥(X), 0 < х < 1.
/ Уп
(5)
2
Поделим обе части уравнения (5) на и введём обозначения для
/
коэффициентов а2 = Е
/2Р^ '
2уа2
№ = а 2
/
/ 3р^0
В итоге приходим к следующей системе уравнений:
Э4u Э2и ^ 2 Э5и ' + 2/а2
а
ЭХ4 Эт2 ' '" ЭтЭХ и(0,т) = 0, иХ (0,т) = 0, т> 0,
иХ (1, т) = 0, и1Х (1, т) = 0, т > 0,
= 0,0 <Х< 1, т > 0,
(6)
ХХ ^ ^ — ^ххх
и(Х, 0)=ф(Х), ит (Х, 0)=у(Х), 0 < Х < 1.
Допустим, что решение системы уравнений (6) имеет вид и(Х, т) = У(Х) • Т(т). Функции У(Х) и Т(т) - функции одной переменной, не равные тождественно нулю. Подставляя и(Х,т) = У(Х) • Т(т) в дифференциальное уравнение (6) и выполняя дифференцирование по каждой из переменных, получим уравнение
а 2У1ГТ + УТ'' + 2уа 2У1ГТ' = 0.
Преобразуя его, приходим к равносильному уравнению
Г IV
У1
1
Т
У
а
2
-. (7)
Т + 2уТ
Уравнение (7) является тождеством, так как функция и (Х, т) = У (Х) • Т (т) выбрана так, чтобы она была решением уравнения (6) и соответственно уравнения (7). Левая и правая части тождества зависят только от своих, взаимно независимых переменных - пространственной Х и временной т. Следовательно, тождество (7) может выполняться только при условии, что каждая из его частей является постоянной величиной, которую обозначим через I4:
У
IV
1
Т
=1
4
У а2 Т + 2уТ' Получаем два уравнения, каждое относительно одной функции и одной независимой переменной. Первое уравнение имеет вид
УЖ - 14У = 0.
Подставляя функцию и(Х, т) = У(Х) • Т(т) в граничные условия (6), получаем краевую задачу (задачу Штурма - Лиувилля) для пространственной составляющей У (Х) искомого решения этого уравнения [5]:
У^-14У = 0,0 <Х< 1, У (0) = 0, У '(0) = 0, У "(1) = 0, У "'(1) = 0.
(11)
Аналогично для временной составляющей T(t) решения системы уравнений (6) получаем
T' + 2g14a2T'+14a2T = 0. (9)
Фундаментальная система решений задачи (8) имеет вид {ch IX, sh 1X,cos 1X,sin IX}. Общее решение - линейная комбинация функций системы решений
Y(X) = A • ch 1X + B • sh 1X + C • cos 1X + D • sin .(10) Вместо системы решений (10) используем функции Крылова
= 1 (chix + cos IX), K 2(1X) = ^l(sh1X + sin IX),
K3 (IX) = -Xr (chlX - cos IX), 212
K4 (IX) = -Л" (shlX - sin IX). 2l3
Эти функции также линейно независимы, и их матрица Вронского в начале координат единичная:
( K1(0) = 1 K{(0) = 0 Kf(0) = 0 Kf(0) = 0 Л
к2(0) = 0 к2(0)=1 к2(0) = 0 к2(0)=0 K 3(0) = 0 к 3(0) = 0 к 3(0) = 1 Кз3(0) = 0
к4(0) = 0 K4(0)=0 K4(0) = 0 K4(0)=1 Выберем в качестве решения функции K3 (IX) и K4(1X). Тогда общее решение уравнения (8) принимает вид
Y(X) = A • K3(1X) + B • K4 (IX). (12)
Построенное таким образом общее решение автоматически удовлетворяет граничным условиям на левом конце. Определим постоянные 1, А, В условием, что правый конец (X = 1) свободен. Частные значения производных второго и третьего порядков общего решения обращаются в ноль:
Y "(1) = A • к3(1)+B • к4(1) = 0,
Y "(1) = A • K3(1) + B • K4(1) = 0.
Вычислим производные функций Крылова:
( 1 V 1
K3(1X) = (chlX- cos 1X) l(sh1X + sin 1£) = K2(X),
2 2
Ж (0) =
v 21
/
у 21
л
( 1 / ч^ 1 /
K3 (1X) = 121 (shlX + sin 1X)J = 21 l(ch1X + cos 1X) = K1 (X),
К''(1Х) = Г1 (еИ1£ + соб1Х)) =11^И1Х - ап 1£) = 14 К4(Х)
2
2
\ 1 I 1
К 4(1Х) = ("Г - 1Х)) = -3 ^Ц-СОБ 1Х)= К'(Х),
V 21
/
213
к4 (1Х) = I (еИ1£ - соб1Х) I = 1(уИ1£ + ^п 1Х) = к2 (Х),
.21'
212
21
К4"(1£) = —(зк1Х + бш1%) =—1(ек1Х + соб1Х) = К^Х)
21
(13)
и придём к следующей системе уравнений:
А • К 1(1) + В • К2(1) = 0,
А 14К4(1) + В • К 1(1) = 0.
Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (13) возможно только тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Раскрыв этот определитель и преобразовав его, получаем уравнение
1
еИ1
СОБ1.
(14)
Для нахождения величины 1 следует решить трансцендентное уравнение (14). С геометрической точки зрения (рис. 2) корни этого уравнения - точки пересечения графика функции у = с графиком функции
еИ 1
У = - СОБ1.
Рис. 2. Корни трансцендентного уравнения
153
Уравнение (14) не может быть решено аналитически, поэтому воспользуемся методом Ньютона. В достаточно малой окрестности неизвестного корня 1 = c уравнения ch1- cos 1 +1 = 0 аппроксимируем функцию F (1) = ch1 • cos 1 +1 линейным многочленом Тейлора
F(1) » F(1,) + F(1-1,),
где - приближенное значение корня уравнения.
В качестве следующего приближенного значения корня уравнения Хг+1 берётся корень многочлена Тейлора
F (1) = 0 ^ F (1) + (1-1 ) = 0 ^ 1+1 =1 - .
1! F (1)
Начальное приближение для k-го корня уравнения достаточно точ-
2k -1
но определяется выражением 1 k =—-—р, k = 1,2,____ Первые 16 корней
уравнения (14) представлены в таблице.
Корнитрансцендентного уравнения
к Л к 1 к 1
1 1,875 7 20,42 13 39,27
2 4,694 8 23,56 14 42,41
3 7,855 9 26,7 15 45,55
4 11,00 10 29,85 16 48,69
5 14,14 11 32,99
6 17,28 12 36,13 k 2k -1 -p 2
Корни трансцендентного уравнения - инвариантные величины. Подставим найденные корни в первое уравнение системы (13) и получим уравнение для нахождения постоянных^ и В:
А • К^1 к) + В • К 2(1 к) = 0. Существует множество решений данного уравнения. Одно из них можно записать в виде
Ak = - Bk
K 2(1 )
К 1(1к)
Приняв постояннуюВ, равную величине, обратной числителю дроби правой части (теперь постоянные зависят и от индекса корня), получим
- , 1
выражение для постоянной Ак =-, а затем и выражение для про-
К1(1 к)
странственной составляющей решения однородной краевой задачи (собственной функции задачи Штурма - Лиувилля)
154
Yk (X) = ^М) _ K4(1 k, k = lj2,. K1(1 k ) K 2(1 k )
Подставим явные выражения функций Крылова, сократим и получим расчётное представление искомого решения
Y (X) = ch 1 kx_ cos1 kX _ sh 1 kX_ sin 1 kX k = 12 (15)
ch 1 k + cos 1 k sh 1 k + sin 1 k
Функции (15) являются искомыми стационарными (независящими от времени) решениями однородной краевой задачи. Кроме того, умножение функций (15) на произвольную постоянную приводит нас к новой функции, которая также будет решением однородной краевой задачи. Выберем в качестве этой постоянной 1/||Yk (X)||- величину, обратную норме собственной функции
||Yk (X)||2 = 1 Yk2(X) dX = Yj2 (1).
0
Приведём графики (рис. 3) нескольких первых собственных функций k = 1,2,3,4.
Рис. 3. Собственные функции (решения задачи Штурма - Лиувилля)
155
Найдем временную составляющую решения однородной краевой задачи. Решим однородное дифференциальное уравнение (9), которое запишем в виде
Т' + 2ую2Т '+ю2Т = 0, (16)
2 л4 2 тт
где и = 1 а - некоторая положительная постоянная. Для упрощения решения не будем указывать индекс у величины X. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (16) имеет вид
к2 + 2ую2к + ю2 = 0. Общее и частные решения этого уравнения зависят от знака дискриминанта В = 4ю2 (у2и2 -1).
При В > 0 или у2 и2 -1 > 0 ^ ю >1 затухание поперечных колеба-
У
ний велико или рассматриваются только высокочастотные колебания. Корни характеристического уравнения (спектр) действительны и отрицательны:
2 - о^/у2и2 -1, - ую2 + и/у2ю2 -1
|-ую
Частные решения - показательные функции с действительными отрицательными показателями степеней:
- ^ ую2 +ю/ у 2ю2 -1 ^т, - ^ ую2 -о/у2 о2 -1 ^т
Общее решение - линейная комбинация затухающих экспонент:
ую2 +ю/у2ю2 -1 |т -1 ую2-о/у2ю2 -1 |т Т(т) = А • е v ; + В • е ^ ; .
2 2 1
При В = 0 или у ю -1 = 0 ^ ю = — корни характеристического
у
{ 2 21
уравнения действительные, кратные и отрицательные - ую , - ую .
Частные решения - показательные функции с действительными отрицательными показателями, умноженные на степенные функции:
|е-ую2 т те-ую2т |
Общее решение - линейная комбинация этих функций, которая затухает:
2
Т (т) = е-уют( А + Вт). 156
2 2 1 При Б < 0 или у ю -1 < 0 ^ ю < — затухание поперечных колеба-
у
ний мало или рассматриваются только низкочастотные колебания (низкочастотное приближение). Корни характеристического уравнения комплексные, действительные части которых отрицательны:
¡№¡1-'
-ую2 -¡ю/1 -У2ю2, -ую2 + ¡ю\ 1 -у2ю2
Частные решения - показательные функции с комплексными показателями степеней или действительные тригонометрические функции, умноженные на показательные функции с отрицательными действительными аргументами, что более предпочтительно:
б-ую21 008
ю/1 -у 2ю2 х
2
е-ую х в1п
ю/1 -у 2ю2 х
Общее решение - линейная комбинация этих функций (затухающая синусоида)
Т(х) = А • е_ую2х ообГю/1 -у2ю2х1 + в • е~уа,2х б1п{№
ю! 1 -у 2ю2 х
Так как интересуют только семь первых гармоник колебания, затухание у достаточно мало и с увеличением индекса функции возрастает 1, а, следовательно, произойдет перемена знака под радикалом (высшие гармоники будут содержать экспоненты), то выберем последний вариант.
Теперь подставим исходное выражение для ю, одновременно восстановим индекс и получим общее решение для временной составляющей:
2
Ти (х) = е~у1иа х
2 2 4 2
Ак ■ ооб 1 иах^11 -у 1 £<а
+
2 2 4 2
+ ви ■ б1п 1 иахV1 -у 1 иа
(17)
Перемножив функции (15) и (17), получаем решение задачи и(X, х) = Уи (X) • Ти (х), зависящее в том числе и от индекса к - собственного значения задачи Штурма - Лиувилля, которое записываем в виде ряда
и (Х,х) = £ Уи (X) • Ти (х) = £
Г ск - 00Б- 8т1иХ
и=1
и=1
ск 1и + 00Б 1и бН 1 + б1п1
X
У
(18)
хе
-гКа2х
Аи • ооб 1 а^1 - у2 11 а2) + Вк • Б1п (л2к ах^ 1 - у211 а2)
Итак, множество решений системы уравнений (6) представимо рядом (18), который зависит от произвольных параметров Аи, ви, и е N, ко-торыене определены в явном виде, т.к. зависят от начальных условий и в статье не рассматриваются.
Для иллюстрации решения зададимся, например, следующими значениями параметров:
At = и в„ =Ы£.
k 1000 • k k 100 • k
При сделанных предположениях для момента времени t = 0,6 построен график (рис. 4).
Рис. 4. Свободные поперечные колебания
В итоге, выражение (18) является решением математической модели свободных поперечных колебаний ствола снайперской винтовки без учета начальных условий.
Список литературы
1. Благонравов А.А. Основания проектирования автоматического оружия. М.: Оборонгиз, 1940. 485 с.
2. Игнатов А.В., Богомолов С.Н., Федянин Н.Д. Метод расчета свободных поперечных колебаний ствола автоматической пушки при заданном условии закрепления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки.2017. Вып. 11.Ч.2. С. 70 - 77.
3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 554 с.
4.Филиппов А.П. Колебания упругих систем. Киев: Изд-во АН УССР, 1956. 322 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736с.
Изергин Николай Донатович, д-р техн. наук, профессор, преподаватель, [email protected], Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище имени генерала армии В. Ф. Маргелова,
Климаков Виталий Сергеевич, канд. техн. наук, старший преподаватель, klimakoff.vitala yandex.ru, Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище имени генерала армии В. Ф. Маргелова,
Филиппов Максим Александрович, адъюнкт, air hta,mail.ru, Россия, Рязань, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище имени генерала армии В. Ф. Маргелова
CALCULATION OF FREE CROSS BARREL VIBRATIONS OF A SNIPER RIFLE WITHOUT
REGARD TO THE INITIAL CONDITIONS
N.D. Izergin, МЛ. Filippov, V.S. Klimakov
The mathematical model describing free cross barrel vibrations of a sniper rifle is formulated and solved without regard to the initial conditions.
Key words: free cross barrel vibrations, grouping of shots, sniper rifle.
Izergin Nikkolay Donatovich, doctor of technical sciences, professor, izergin-nikola\ya,ramhler.ru, Russia, Ryazan, Ryazan Airborne Military Academy,
Filippov Maksim Aleksandrovich, postgraduate,air hta,mail.ru, Russia, Ryazan, Ryazan Airborne Military Academy,
Klimakov Vitaliy Sergeevich, candidate of technical sciences, senior lectur-er,klimakof'.vitala, yandex.ru, Russia, Ryazan, Ryazan Airborne Military Academy
