CC BY
56
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ
УДК 623.442.53
О ВЛИЯНИИ ДУЛЬНОЙ СКОРОСТИ ПУЛИ НА КУЧНОСТЬ СТРЕЛЬБЫ СНАЙПЕРСКОЙ ВИНТОВКИ
М.А. Филиппов
Рассмотрено влияние поперечных колебаний ствола и дульных скоростей пуль на кучность стрельбы снайперской винтовки. Исследована вероятностная зависимость между дульной скоростью и временем вылета пули. Предложены оценки кучности стрельбы в зависимости от дульных скоростей пуль с учетом поперечных колебаний ствола снайперской винтовки.
Ключевые слова: кучность стрельбы, поперечные колебания ствола, дульная скорость пули, снайперская винтовка.
Из практики стрельбы известно, что дульная скорость (скорость вылета) пули является случайной величиной, варьирующейся в некоторых пределах. Разность скоростей вылета пуль в серии выстрелов приводит к тому, что пули покидают ствол в различные фазы его колебания, что влияет на кучность стрельбы. Опыт соревнований по высокоточной стрельбе «Benchrest Shooting» показывает, что подбор некоторой оптимальной дульной скорости пули позволяет в значительной степени снизить характеристики рассеивания при стрельбе из конкретной стрелковой системы. Также известно, что изменение температуры заряда приводит к изменению начальной скорости пуль стрелкового оружия, что в свою очередь влияет на кучность его стрельбы [1].
Однако на сегодняшний день автору не известны работы, научно обосновывающие взаимосвязь дульной скорости пули и поперечных колебаний ствола снайперского оружия с кучностью стрельбы.
В этих условиях целью работы является построение математической модели, описывающей разброс точек встречи с фронтальной плоскостью цели в зависимости от случайных скоростей вылета пуль и закономерности движения ствола снайперского оружия.
Ствол поместим в декартовую прямоугольную систему координат
(рис.1).
Сформулируем задачу. Из [2] известна закономерность поперечных колебаний ствола в вертикальной плоскости OXY (1)
241
_ 2
и(£,т)= I-и(X)-е^ • япю^ 1 -У2®2 - т, (1)
к =1 ю^ 1 -У2 Ю2
х .У Уъ 2л42л 2к _ 1 , . _ 9 е.Т
где £ = -; и = ^; т =-Ь-Г; ю| = 4а2; 1 к = ——р, к = 1,2,...; а2 Е ■
Г Г I — л 2 ^ ^ 1 298у2
у = тПъ; ^к и Ук (X) - определяются начальными и граничными условиями; у - координата вертикального смещения поперечного сечения ствола, м; х - координата поперечного сечения ствола, м; ? - время, прошедшее с момента начала движения пули, с; I - длина ствола, м; уъ - дульная скорость пули, м/с; Е - модуль упругости (модуль Юнга) материала ствола, Па; J - момент инерции сечения в направлении оси ОУ, м4; р - плотность материала, кг/м3; £ - площадь поперечного сечения ствола, м2; т - постоянная, характеризующая скорость затухания поперечных колебаний ствола, с-1.
Рис. 1. Схема ствола
Перепишем закономерность и(Х, т), используя исходные переменные у(х,?) = I • и —, —? . В этом случае у(1,?) - закономерность движения V1 1 )
дульного среза ствола в вертикальной плоскости.
Вертикальный угол наклона дульного среза ствола винтовки в произвольный момент времени определяется выражением
ф(?)»tgф(t ) = ^(л1) | —=1 . Следовательно, при выстреле вертикальное от-Эх
клонение точки встречи от точки наводки оружия будет равно Эу (х, ?),
£---—- х=/ принимая, что траектория пули на расстоянии £ от дульного
Эх
среза прямолинейна и пренебрегая всеми остальными факторами.
В условиях детерминированной модели вертикальное отклонение точки встречи зависит только от времени вылета пули. При фиксированном значении времени вылета пули вертикальное отклонение будет постоянным и может быть учтено при выстреле. Однако выстрел не является
242
детерминированным процессом и следует учитывать множество факторов, влияющих на результат. В первую очередь, непостоянство времени вылета пули, а, следовательно, и дульной скорости пули.
Поставим задачу оценить влияние времени вылета пули, и, следовательно, дульной скорости пули на вертикальное отклонение точек встречи. Пусть ,Ь1 и ,Ь2 два различных времени вылета, которым соответствуют углы наклона дульного среза ф(,Ь1) и ф(,Ь2). Тогда, отклонения от точки прицеливания составят £ ■ф(Ы) и £ -ф(,Ь2). Разность АУ = £ • \ф(,Ь1) - ф(,Ь2)\ показывает разброс точек встречи и характеризует кучность стрельбы в вертикальной плоскости. Применим теорему Лагранжа о средних значениях (формула конечных приращений) [3] и получим следующую оценку этой разности
а *
Э2у (1, * , *
АУ = £-(ф(*м )-ф(*м )) = £ • X), (*Ь1 - *Ь2 ), * *Ь2 ) .
Мажорантная оценка разброса точек встречи принимает вид неравенства (2):
АУ = £ )-ф( ,ъ 2 )|< £ • тах
,е(,Ь1,,Ь2 )
Э2у(/, ,*)
ЭхЭ,
• \*Ь1 - *Ь2^ ** е^ЬЬ,Ь2). (2)
Анализ соотношения (2) показывает, что кучность определяется не только разбросом времени вылета пуль, но и значением модуля второй смешанной производной на дульном срезе ствола. Наименьший разброс точек встречи возможен при таком времени вылета пули, при котором модуль второй смешанной производной стремиться к нулю. Соответственно, чем меньше скорость изменения угла наклона дульного среза (модуль второй смешанной производной), тем менее чувствителен угол наклона дульного среза ствола, а, следовательно, и кучность стрельбы, к вариации времени вылета пули.
На (рис. 2) показан результат численного расчета зависимости модуля второй смешанной производной на дульном срезе О от дульной скорости пули л>ь применительно к закономерности движения дульного среза
ствола (1) и параметрам модели, представленных в табл. 1.
При расчете связь между временем вылета пули и дульной скоростью пули принималась линейной *ъ = I /(0,6 • Пъ) [4].
Видно, что для выбранной модели наименьший разброс точек встречи на цели можно ожидать при дульных скоростях пуль в диапазоне от 840 м/сек до 870 м/сек. При меньших и при больших дульных скоростях пуль кучность боя будет снижаться.
Исследуем влияние изменчивости дульной скорости пули на время ее вылета. Для определения случайного времени вылета пули воспользуемся тождеством (3):
*ъ
$ п(,)Ж = 1, п(,ъ ) = Пъ, (3)
которое связывает скорость движения пули в стволе ), время движения пули в стволе (вылета) tb и длину ствола I. Величина tb определяет положение, наклон и скорость дульного среза в момент вылета. Вместо тождества (3) выпишем его случайный аналог (4):
^ +8
$ ^) + е^ = I. (4)
0
Рис. 2. Зависимость модуля второй смешанной производной на дульном срезе от дульной скорости пули
Таблица 1
Параметры модели
№ п/п Параметры Значение
1 Длина ствола 1, м 0,61
2 Площадь поперечного сечения ствола 5", м2 2,089-10-4
3 Плотность материала ствола р, кг/м3 7800
4 Модуль упругости (Юнга) Е, Па 2Д5-1011
5 Коэффициент затухания ц, с-1 1,5-10-5
6 Момент инерции сечения по оси ОУ м4 4.988-10-9
7 Размер участка ствола, в котором первоначально создается избыточное давление пороховых газов 8 0,03
8 Дульная скорость пули Уд, м/с 840
9 Число гармоник п 7
В выражении (4) учитывается тот факт, что скорость движения пули внутри ствола ) + е содержит случайную составляющую е. В следствие этого и время вылета пули tb +8 также включает случайную составляющую 8. Таким образом, мы рассматриваем скорость движения пули внутри ствола ) + е как случайный процесс, а время вылета пули tb + 8 как случайную величину. В дальнейшем будем полагать, что выполняется неравенство |е| << пь . Задача состоит в том, чтобы, зная случайную величину е изучить случайную величину 8, то есть определить случайное время вылета пули.
Воспользовавшись свойствами линейности и аддитивности, из выражения (3) получим:
гъ +5 гъ +5 гъ +5 гъ гъ +5
$ (у(,)+е)й?, = $ + $ е Ж = \п(г)Ж + $ п(г)Ж + е(*ъ +5) = I 0 0 0 0 ъ
*ъ +5
$ у(, + е*ь + е5 = 0.
*Ь
Применив теорему о среднем, получим оценку последнего интеграла (первое слагаемое предыдущего равенства)
*Ь +5 /*\
$у(,)Ж = у(,Ь + 0е)-5 = V, |5, 0<0< 1
Ч
у(, )5 + е,Ь + е5 = 0, , е (,Ь,,Ь +5).
Выразим из последнего уравнения случайную величину 5 и получим выражение (5):
е,Ь
Ъ
(5)
у(, ) + е
Преобразовав выражение (5) в эквивалентное равенство (6)
5 = —Ь---— (6)
п(, ) 1 + -4-
п(, )
е
и учитывая неравенство 0 < —<< 1, найдем распределение случайной
п(, )
величины 5 [5].
{5< ч}=
п(, ) 1
< Ч
+ -
•т»
п(, )
= {-
е*ъ < ч(п(, ) + е
)}=
е>-
•г»
п(, )ч
Ч + *Ь
е<-
*
п(, )ч
Ч + *Ь
Для функции ^5 (ч) распределения 5 получаем соотношение:
(Ч) = Р{5< Ч}= Р
е< -
*
у(, )Ч
Ч + ,Ь
= 1 - Р
е< -
*
у(, )Ч
Ч + *Ь
1 - к
/ * л
у(, )ч
Ч + *Ь
Дифференцируя по переменной ч получаем соотношение для плотности распределения:
/5 (Ч) = /е
•г-
у(, ) • Ч
Ч + ,Ь
у(, ) • ,Ь
(ч+^ )2
Найдем математическое ожидание и дисперсию времени вылета пули из ствола, для наиболее распространённых распределений, имеющих большое практическое значение.
е
е
> .
Допустим ее и(- а,а), причем 0 < а << Vь. Начальная скорость пули Vь ) равномерно, непрерывно распределена на интервале (V ь - а, V ь + а) . Тогда, для случайной величины е , выполняется
а 2
М [е] = 0, Л[е] = —. При сделанных предположениях функция плотности
распределения случайной величины 8 определяется выражением:
*
пЦ ) • Ь ,
——-—2 < а. (д + хь )2
Математическое ожидание случайной величины 8 будет равно
*
Ш) = — ^ ) • *ь
2а (д+ь)2'
М [8] =
а{ь *
г д----4 7 ь ¿д = 1ь
аь 2а (д+ь )2
*
)
2а
1п
1 +
а
V« )
а
V(t )
v(t )+а
Учитывая факт малости случайной величины е по сравнению с v(tь), воспользуемся асимптотическим разложением для логарифма:
1п1+Х = 2 1 - х
/
3
5
2п-1
х
х х х + — + — + ••• +
3 5 2п -1
+ •
V
И получим выражение (7) для математического ожидания случайной величины 5:
М [8]» ь •
а
* 9
3^ ))2
+
а
* А
5^ ))4
(7)
Теперь для дисперсии, при тех же допущениях, справедлива асимптотическая оценка (8):
Л [8]'
ь
а
- + -
22а
3^ ))2 ' 45(v(t*))4
(8)
Приведем замечания относительно полученных величин. Вторые слагаемые - величины более высокого порядка малости по сравнению с
первыми относительно дроби —. Приближенно можно положить, что
v(t )
*
v(t )» Vb. Случайное время вылета tь +8 в силу центральной предельной теоремы имеет асимптотическое распределение (9):
Щь +8) = N
1 + -
а
))2
t
а
2
2__
ь * 1 ь 3(v(t ))2
Усреднение по времени следует выполнять на интервале
А =
1 +
а
•г-
3(v(t ))2
tь^^/3
3v(t )
246
1+
а
•г-
3^ ))2
*
3v(t )
1
1
2
При таких условиях оценка разброса точек встречи при равномер ном распределении дульной скорости пули принимает вид (10):
AY = £ t2)-j(ti)|»£• max Э y(t)
tea
ЭxЭt
3n(t )
(10)
Рассмотрим случай нормального распределения дульной скорости
пули. Пусть Це) = N(0, о2).
Пренебрежём в выражении (5) зависимостью скорости в знаменателе ) ) = уъ, учтём малость случайной величины е по сравнению со средней дульной скоростью пули. Воспользовавшись известным из математического анализа приближенным равенством (1 + а)к »1 + ка, получаем выражение (11):
5 =
tb
n(t )
•e +
tb
9 *
n2(t )
•e
(11)
Теперь могут быть вычислены математическое ожидание (12) и дисперсия (13) случайной величины 5:
ш§ = M [5] = M
tb
*
n(t )
•e +
tb
ш5
9 *
n2(t ) --M [5]:
tb
*
n(t )
• M [e] +
tb
9 *
n2(t )
•M
tb
9 *
n2(t )
o
s2 = d[5] =
5
tb
*
n(t ).
o2 + 2
tb
9 *
n2(t ).
s
(12)
(13)
Обобщим наши рассуждения. Если начальная скорость пули равна Vь и заданы границы её случайного изменения Vъ ± о, то время вылета, с вероятностью примерно 0,68 принадлежит интервалу:
Д = (гъ + т8-о8, гЪ + т8+о8).
Оценка разброса точек встречи при нормальном распределении дульных скоростей пуль принимает вид выражения (14):
Э 2 у (I, г)
AY = £ •j(t2 )-j( t1 )|
£ • max
teA
ЭxЭt
2otb
n(t*)\
1+
2s
* о
n(t )2
(14)
Оценки кучности боя снайперской винтовки, применительно к заданным параметрам модели, приведены в табл. 2.
В приближенных равенствах (10) и (14) первый множитель - величина постоянная. Второй множитель - определяет скорость изменения наклона дульного среза ствола на интервале Д, длина которого определяется характеристиками патрона, а положение на временной оси средней дульной скоростью пуль. Случайное рассеивание точек встречи на цели будет наименьшим, если скорость изменения угла наклона дульного среза на интервале Д будет достаточно малой. Добиться этого можно либо под-
247
2
2
e
2
2
бором времени движения пули по стволу (управлением дульной скоростью пули), либо подбором амплитудно-фазовых частотных характеристик колебаний ствола (управлением профилем ствола в момент вылета пули).
Таблица 2
Оценки кучности боя винтовки на дальности 300 м _при различных дульных скоростях пуль __
Средняя дульная скорость пули, м/с 780 800 820 840 860 880
Оценка кучности боя при нормальном распределении дульных скоростей пуль (о = 6 м/с) А7, м 0,139 0,124 0,109 0,098 0,092 0,091
Оценка кучности боя при равномерном распределении дульных скоростей пуль (а = 17,5 м/с) А7, м 0,117 0,104 0,092 0,083 0,078 0,076
Таким образом, сформулирована математическая модель, устанавливающая связь между закономерностью движения ствола при выстреле, дульной скоростью пули и кучностью боя снайперской винтовки.
Получены выражения (10), (14), позволяющее оценить величину рассеивания точек встречи в зависимости от времён движения пуль по стволу, которые определяются их начальными скоростями.
Сформулирован, оценен и объяснен механизм варьирования кучности стрельбы. Результаты численных расчетов принципиально объясняют снижение кучности стрельбы при отклонении дульных скоростей пуль от некоторого оптимального значения.
Исследована вероятностная зависимость между дульной скоростью и временем вылета пули.
Список литературы
1. Испытания патронов .308 Win при отрицательных температурах заряда: отчет: АО «Концерн «Калашников»; рук. С. В. Уржумцев; исполн.: П.С. Веревкин [и др.]. Ижевск, 2018. 16 с.
2. Изергин Н.Д., Филиппов М.А., Климаков В.С. Расчет свободных поперечных колебаний ствола снайперской винтовки с учетом начальных условий // Известия тульского государственного университета. Технические науки, 2018. Вып. 6. С. 266 - 271.
3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу: учебник для университетов и пед. вузов / под ред. В.А. Садовничего. М.: Высш. шк., 1999. 695 с.
4. Расчет параметров порохового газа в канале ствола стрелково-артиллерийских систем калибра до 30 мм при стрельбе штатными патронами. Тула: п/я Г-4406, 1976. 118 с.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник. 11-е изд., стер. М.: КНОРУС, 2010. 664 с.
Филиппов Максим Александрович, адъюнкт, air ht a mail.ru, Россия, Рязань, Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное командное училище имени генерала армии В. Ф. Маргелова
THE EFFECT OF THE MUZZLE VELOCITY OF THE BULLET ON THE ACCURACY OF
THE £HOOTING OF A £NIPER RIFLE
M.A. Filippov
The influence of free cross barrel vibrations and the muzzle velocities of bullets on accuracy of a sniper rifle is studied.
Key words: grouping of shots, barrel vibrations, muzzle velocity, sniper rifle.
Filippov Maksim Aleksandrovich, postgraduate, air ht a mail.ru, Russia, Ryazan, Ryazan Airborne Military Academy
УДК 623.434.42
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПА СТРЕЛЬБЫ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ РАССЕИВАНИЯ СНАРЯДОВ В ОЧЕРЕДИ
С.Н. Богомолов, А.Ю. Маркин, Р.В. Старков
Рассматривается порядок, условия получения и обработки основных результатов эксперимента по исследованию характера и степени влияния темпа стрельбы малокалиберных автоматических пушек (на примере 2А 72 БМД-4М) на изменение характеристик рассеивания снарядов в очереди.
Ключевые слова: малокалиберные автоматические пушки, темп стрельбы, рассеивание снарядов.
Такие ученые, как А. А. Благонравов, Б.М. Подчуфаров, Е.Л. Бра-вин, А.Г. Шипунов, В.П. Грязев, М.А. Мамонтов, В.С. Пугачев, И.И. Дуков, В.В. Алферов и другие, создали теорию проектирования автоматического оружия, охватывающую широкий спектр вопросов динамики стрелково-пушечного вооружения. Однако вопросы влияния темпа стрельбы на точность стрельбы оружия рассмотрены в общих чертах (в основном для одиночной стрельбы), без достаточного научного теоретического обоснования, без конкретного решения задачи обеспечения заданных параметров точности стрельбы и их улучшения при стрельбе очередями, без учета кинематических характеристик дульного среза ствола пушки в момент выстрела и их влияния на рассеивание снарядов в очереди.
Тем не менее, отмечая бесспорную ценность этих научных трудов и вклад их авторов в развитие данной теории, следует отметить, что исследования указанных выше процессов и их связь с характеристиками рассеивания снарядов в очереди проводятся относительно недавно, и на сегодняшний день полученные результаты не в полной мере раскрывают научно-методические основы формирования рассеивания снарядов от поведения системы «ствол - снаряд» при изменении темпа стрельбы, что можно объяснить далеко не полной детализацией данных процессов существующими методами их исследования и математическими моделями.
249
