Метод расчета локальных аэротермодинамических характеристик плоских тел в сверхзвуковом потоке с учетом влияния вязкости и граничных условий скольжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIX 199 8

№1-2

УДК 533.6.011.5:629.7.025.1

МЕТОД РАСЧЕТА ЛОКАЛЬНЫХ АЭРОТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ ТЕЛ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

С. Д. Животов, В. С. Николаев

Разработан метод расчета локальных аэродинамических и тепловых характеристик плоских тел при сверхзвуковых скоростях на основе данных многопараметрических расчетов уравнений ламинарного пограничного слоя с учетом вязкого взаимодействия и граничных условий скольжения. В случае больших сверхзвуковых скоростей набегающего потока данный метод в сочетании с методом полос может быть положен в основу расчетов характеристик тел типа крыла. Получено расчетное подтверждение возможности немонотонного характера зависимости коэффициента подъемной силы пластины от числа Рейнольдса.

При решении задач аэротермодинамики, связанных с многопараметрическими оценками аэродинамических и тепловых характеристик, с вопросами моделирования и оптимизации форм, весьма эффективно использование приближенной модели обтекания, основанной на принципе локальности. Согласно этому принципу локальные коэффициенты сил давления и трения и теплового потока к элементу поверхности при заданных параметрах обтекания зависят от местного угла атаки этого элемента, его температуры и местного числа Рейнольдса. Эти коэффициенты не зависят от других элементов поверхности, а лишь от типа поверхности (например, тело, близкое к плоскому или осесимметричному). При умеренных сверхзвуковых скоростях и небольших углах атаки принцип локальности применим к плоским телам и близким к ним, а при больших сверхзвуковых скоростях и к телам достаточно сложной формы.

В работе [1] получены аппроксимационные формулы для локальных коэффициентов плоской пластины в широком диапазоне параметров подобия, который охватывает всю область вязкого взаимодействия от слабого до сильного. При этом числа Маха считались очень большими, а углы атаки малыми либо умеренными. В работе [2] был

предложен приближенный метод расчета аэротсрмодинамических характеристик тел сложной формы. Этот метод основан на использовании при оценках влияния вязкости данных работы [1] и на частных выводах о влиянии формы тела на его аэродинамические характеристики, выводах, полученных при численном решении модельных задач. В работе [2] рассмотрено лишь слабое вязкое взаимодействие, когда влияние вязкости сводится к малым поправкам, обратно пропорциональным квадратному корню из числа Рейнольдса (силы трения и силы добавочного давления, индуцированного ламинарным пограничным слоем).

Целью настоящей работы является создание приближенного метода расчета, который существенно расширяет область применимости методик работ [1], [2] по числам Маха и Рейнольдса для плоских тел и тел, близких по форме к плоским. Газ предполагается совершенным с постоянным отношением удельных теплоемкостей ае, причем значение ае может быть произвольным (в работе [2] значение ае=1,4); число Прандтля Рг также предполагается постоянным. В рамках приближения метода локальной пластины, когда в уравнениях пограничного слоя пренебрегается членом с продольным градиентом давления, рассматривается область произвольного, так называемого умеренного вязкого взаимодействия. При этом автомодельные уравнения ламинарного пограничного слоя не зависят от значения ае.

При расчетах невязкой зоны течения сверхзвуковое число Маха набегающего потока М^ предполагается произвольным, за исключением трансзвукового режима, т. е. малых (М* = 1). В настоящей работе проводится учет первых начальных эффектов разреженного газа, связанных с граничными условиями скольжения и температурного скачка на теле. Учет этих условий даже в рамках «малого» скольжения позволяет избавиться от вычислительных неудобств, связанных с несобственными интегралами от неограниченных в окрестности передней кромки функций.

Результаты настоящей работы после некоторых модификаций могут быть использованы при расчетах осесимметричных тел и тел, близких к осесимметричным (см. [2]).

1. Невязкая зона. При режимах обтекания, когда справедлива разделенная схема течения (невязкая область и пограничный слой) для приближенного определения аэродинамических сил и тепловых потоков к телу плоскому либо типа тонкого крыла, не обязательно рассчитывать все возмущенное поле течения. Достаточно знать давление и скорость на внешней границе пограничного слоя, темперутуру тела и направление силы трения на стенке. Для определения этих величин существуют достаточно надежные приближенные методы (метод касательных клиньев, метод Ньютона, соотношения простой волны, приближение метода локальной пластины для пограничного слоя).

Формулам для коэффициента давления на теле ср придадим удобный вид явных зависимостей от числа Маха набегающего потока Мж и местного угла атаки а1пу или ае. Местный геометрический угол атаки определим по формуле

5та,ПУ = (и, п), (1)

где 1\п — единичные векторы скорости набегающего потока и внутренней нормали к телу. При учете вытесняющего влияния пограничного слоя в формулах для ср вместо геометрического угла атаки используется так называемый эффективный угол атаки

ае = а1пу + агс /с/х),

где б* — толщина вытеснения. Единичный вектор касательной силы I определим по формуле

V - п(д, п) |а - п(и, «)|

(2)

По вектору / направлена скорость на теле в схеме Ньютона и касательная к телу сила трения.

При ае > О коэффициент давления определим по формуле, полученной путем аппроксимации известных соотношений:

М4 - 2М2 + 2 |япа,

-----(ЙП?

I

Яш а„

4(м2к -1)

^М4 -2М1+2

2 ОС ос

(3)

При малых ае эта формула переходит в формулу второго приближения Буземана:

СР ~

2а„

а: м4 -2М2 +2

(М2-!)2 “

При малых ае и больших Мх выражение (3) переходит в известное соотношение метода касательных клиньев [3]:

ае +1

= —а,

ае+ /ае +

16

(® + 1)2 М2

Использование в формуле (3) вша*, вместо ае позволяет применять ее и при умеренных углах атаки до 40°, т. е. до углов, близких к углу отсоединения потока.

При углах атаки ае, превышающих угол отсоединения и близких к п/2, приемлемую для практических целей точность определения ср дает модифицированная формула Ньютона [7]:

аеМ

((ае + 1)М2 ' ае-1 / \ ае +1

2 V ) 2аеМ2 - (ае - 1) V сс ' ' )

1

ае-1

-1

яш2 а.

(4)

Формулы (3) и (4) не согласуются ни при каких значениях ае (т. е. дают разные значения ср), так как получены для разных областей углов ае. Следуя работе [2], для обеспечения непрерывной и гладкой универсальной зависимости ср от ае используем переходную функцию ф(ае). Имеем

ср =(1-ср)с£ +ср с”,

(5)

где

Ф = 28ш4ае при 0<ае<^-,

1 л 4 71 ^ ^ 71

Ф = 1-2со8 ае при — < ае < —,

а — значения ср, полученные по формулам (3), (4) соответ-

ственно.

При ае < 0 коэффициент давления определим по формуле, полученной как аппроксимацию известных соотношений:

ср =

аеМ

1 +

(ае - 1)М2 ктае

(ае - 1)М2 М2 (3 - ае) - 4 яш2 а

8(М2 -I)2

2зе

Э£—1

— 1

(6)

При малых ае эта формула переходит, как и формула (3), в формулу Буземана. При малых ае и больших Мж получим гиперзвуковое соотношение простой волны [2]:

ср =

аеМ^

Формула (6) применима при

О > *іп ае > -

Вместо числа М Н1а внешней граннце пограничного слоя МЛ далее используем параметр М — отношение кинетической энергии к полной энергии частицы газа;

где Р* = Рл/Рг_< Р* = Рл/Рх — отношения давления и плотности на внешней границе пограничного слоя к их значениям в набегающем потоке.

Значение р* при ае > 0 равно (ударная поляра)

2. Ламинарный пограничный слой. Уравнения пограничного слоя принимают'автомодельный вид при степенном законе зависимости давления от координаты х вдоль линии тока, р~хп. В приближенном методе решения уравнений пограничного слоя, методе локальной автомодельности, принимается, что при каждом значении х давление локально подчиняется степенному закону, т. е. значение п зависит от х.

Частным случаем локально автомодельного пограничного слоя является приближение метода локальной пластины, когда в уравнениях пограничного слоя вообще пренсбрегается членом, зависящим от параметра Это существенно упрощает расчеты, так как на единицу сокращается число параметров, от которых зависят автомодельные решения пограничного слоя.

* _ (ае +!)/>*+ (ае - 1)

(ае - \)р* + (ае + 1)

при ае < 0 значение р*равно (адиабата)

Р*=(/>*)1/в.

Связь р* и Ср при всех значениях ае дается формулой

как и связанный с п параметр Фолкнера — Скан р = -

ае - 1 п ае п +1

[3].

Используем уравнения пограничного слоя в переменных Дородницына — Хоуарта [3]:

(*/">'♦//- 0; 1 (Ng')' + Prfg' - 2(1 - Рг)M(Nff")' = О,

где

1-1М' Г»

(g-Mf2 tw

т

1 = — ‘W гр

'о

Здесь индексы 8 и w относятся к внешней границе пограничного слоя и стенке, //, Н — скорость и полная энтальпия, штрих означает дифференцирование по г), То — температура торможения набегающего потока, tw — температурный фактор. Предполагаем, что коэффициент вязкости ц зависит от температуры Т по степенному закону, Тш,х = О в носке тела.

При Tw = const и р = const интеграл * = ри. ц„. мй х. В приближении метода локальной пластины соотношение для I сохраняется, но в качестве p,v., Tw, , ий берутся их локальные значения, ах — длина

линии тока, отсчитываемая от носка тела.

В приближении тонкого тела и гиперзвуковой стабилизации, что соответствует значению М =1, в работе |4] получены автомодельные решения уравнений пограничного слоя при различных ,/я, р и на их основе определены аэродинамические характеристики пластины под, углом атаки а во всей области вязкого взаимодействия.

В настоящей работе в рамках приближения локальной пластины (Р = 0) учтем отличие числа МЛ от х (т.е. М < 1) и примем во внимание начальные эффекты разреженности: _скольжение скорости и пристеночный скачок температуры. При М < 1 безразмерный параметр /, пропорциональный толщине вытеснения й*, имеет вид

sc

I = \[g-f + . (8)

о

(при расчетах в качестве верхнего предела достаточно взять г|Л = 10). На внешней границе пограничного слоя имеем

/'(ос) = 1, £(х) = 1. (9)

На внутренней границе пограничного слоя в условиях прилипания /(()) = (), /’(0) = 0, g(()) = ^w.

Учет граничных условий скольжения скорости и скачка температур приводит при больших числах Рейнольдса Лео к относильным поправкам порядка о( И.с,71,72), Яе0 = “х Х , где рх, их, ц0 — плотность

Цо '

и скорость набегающего потока и коэффициент вязкости при Т = Т0. Последние два условия при г) = 0 заменяются на связь между /'(0) и /”(0),я(0) и £'(0). Следуя выводам работы [5], получаем после некоторых преобразований

/'(0) = О™/1 /"(0), І

о <10>

£(0) = /„ + уСУ"/2 £’(0).]

Параметры С и у зависят от постоянных значений ае, Рг, коэффициента зеркальности ц зеркально-диффузного отражения [5], а С, кроме того, от параметров набегающего потока и условий на внешней границе пограничного слоя:

ч!/4

С = А^М[/4 2аеВ

1+-

(ае-І)М^] у[р*у/Ш^

. л/я 2 - <7 (.. 4)

7=------------, А = ---------\ 2- а + —а і

1 (ае + 1)Рг 4 ц \ п )

(И)

В

2-д +

104 2571'

2-д+ я п

При приближенных расчетах значение с/ может быть взято постоянным, например, ц = 0,8.

Граничные условия (10), полученные в предположении малых значений С, будем далее формально использовать и при «немалых» С, и даже при С -» х. Это позволит получить формальное предельное решение вблизи передней кромки тела, причем местные аэродинамические коэффициенты окажутся ограниченными при х -> 0. Граница практического использования такого формального подхода может быть установлена сравнением с экспериментом либо с более точными решениями, учитывающими разреженность среды.

Приведем выражения для коэффициентов трения су, теплопередачи С/, и толщины вытеснения й*, полученные после трудоемких, но элементарных выкладок с учетом (7) и (8):

с г =

~ \ СИ

‘■'У )*

2М3/4у[р*/"(0) £(0) - Л//'2(0) т-1

т-1

(ае-1)М:

1/4

/.сТ I + //(())[ |.і

СУ

м1/4

Я(0)-Л//’2(0)

Р* ^ос ^6

Л,-‘ [^'(0) - 2(1 - Рг)Л7/ '(0)/”(())]

т-1

у/ае - ІРі Ги 2 МхЛ/Яс

1-^-* -Ч рйи«

ч1/4

1 +

(ае-1)М2 ]

^ >/ае сіу= —

М

т-1 ? /

IV

1/4

Яе

о

1 + ■

(ае - 1) М‘

1/4

(12)

Здесь /. — коэффициент теплопроводности. В силу нарушения условий прилипания в выражении для теплового потока появляется

дополнительное слагаемое г/(0) ц— . Коэффициент индуцированно-

^ ('уК

го пограничным слоем добавочного давления су,- находится как разность коэффициента давления су, определенного по эффективному телу, т. е. с учетом толщины вытеснения 8*, и коэффициента су, определенного беб этого учета. В формулах (3)—(6) этому соответствуют различные япк/р, где ае либо геометрический угол, см. (1), либо эффективный местный угол атаки, т. е. к местному геометрическому углу

с/6*

добавлен угол Аае = ап^

сіх

В настоящей работе проведен расчет автомодельных уравнений пограничного слоя при показателях степени т = 0,67 и 1, значениях температурного фактора от 0,025 до 0,8, параметра М от 0,2 до 1 и параметра С от 0 до 10. Значение коэффициента зеркальности было принято равным # = 0,8. При каждом наборе параметров получены значения /"(0), £'(0), /, от которых зависят значения /'(0), я(0), су, - *

с,,, ь .

Ґ'(о),ї'(о)

і

^-0,03;т -0,07

0,1 0,2 0,5 7 2 5 10 С

_і__________________________і_________і_________і______________________—

0,1 0,2 0,5 1 2 5 ЮС

Рис. 1

Рис. 2

На рис. 1, 2 представлены примеры зависимостей /''(0), £'(0), / от С при различных М при =0,05 и т = 0,67. Наиболее существенно влияние М на безразмерный параметр толщины вытеснения /, а зависимости всех величин от С носят немонотонный характер. Штриховые кривые на рис. 1, 2 соответствуют условиям прилипания (С=0). Зависимости на рис. 1, 2, 5 представлены в логарифмической шкале по горизонтальной оси, а на рис. 3, 4, 6, 7 — по обеим осям.

3. Формальные предельные решения при С -> х. Получим асимптотическое решение системы (7) при С —> х. Обозначим малый параметр, стремящийся к нулю при С -» х, через к:

При к -> 0 безразмерные функции /' и g в пограничном слое стремятся к их значениям на внешней фан и це пограничного слоя, а именно к 1. Граничные условия (10) перепишем в виде

Величины /"(0), £’(0), /при С —» х(с —> 0) стремятся к нулю, как к (или 1/С).

Разложим функции /' и g в ряд по параметру к:

Сохраняя члены первого порядка по в, подставляем эти разложения в уравнения пограничного слоя (7):

/”(()) = к/'(0), £’(()) = ІІ^О)-^.], /(()) = 0, /'(х) = £(х)=1.

(13)

/’ = 1 +в/Ч..., g = 1 + К£+... .

- - 1-М

^о.Г + Л/" = 0, Щ=

+ Ргт,£' = 2(1- Рі-)ММ0/"'(0)

ьУа

0,15

----М„=10 1

____ 2д > т=0,67

0 ------ 5;и~1;Тв-290К

\0 ’ * ' °

.. о эксперимент [5];Ьт '-1;М<*г5 \ • „ „ 7-4

й/ -

гШ-

103 10* Ле0

и граничные условия (13):

7(0) = 0, 7”(0) = 1, 1'(0) =

1-А,

7

(15)

/'(х) = 0, g^x) = 0.

Интегрируя дважды первое уравнение (14) с учетом (15), получаем

7” = е 2ЛГ°, Р = -\е 2'у°^- 7'(0) = -

лЛ^п

Рис. 6

Дифференциальное уравнение для g с учетом решения для /’ и первого уравнения (14) имеет вид

N0g" + Prrif ’ = -2(1 - Pr)М r\e 2N°. Дважды интегрируя это уравнение с учетом (15), получаем

g =

Ргп

-2 М

е 2N° +2Ме 2N(>, g = -jg'(t)dt.

f(0) =

— 1 - t ^ 2M v

2Pr

Для параметра толщины вытеснения / имеем

ОС

/ = е/+..., I = - (1 + М)/']с1г\.

О

Вычисляя последний интеграл, получаем

I = Nn

Pi

у Pr

Наконец, подставляя асимптотическое выражение для / в третью формулу (12), имеем

у/ве - 1

J- - 1)м + 1 - 1 Pr J у Рг

(\-м)

т-1

■JeeA М^2t™.~1/2

(16)

Выражение (16) является уравнением, так как величина М сама является функцией Ь*/х. Методом итераций можно найти значения А/0 и (8*Д)о< после чего находятся постоянные значения величин Су0, сьо- ср0. Приведем выражения для су0 и сЛ0:

cf о -

1М1/2(\-Мо)т р*

Vae(ae-1MM2C"1/2'

(l - Mo)71

«-if i - и

ch0 -

Л>

у]ге(ге - 1) РгЛ М2

m-l/2

1 +

(ае- 1) М2

1/2

(17)

Интересно отметить, что су0, сЛ0, (8*/а')0 являются константами при Re0 -» О (С ос, см. (11)), в отличие от классического пограничного слоя, для которого эти величины стремятся к бесконечности при Re -> 0.

4. Алгоритм расчета локальных характеристик. Для определения местных локальных характеристик су, сЛ, ср при заданных константах

и параметрах ае, Рг, /я, tw, Мж, Re0 необходимо найти значения М, d5*/dx из решения системы алгебраических уравнений: (3)—(6), (10)— (12). В эти уравнения входит функция /, которая зависит от Л/, С, tw. Для ее определения воспользуемся квадратичной интерполяцией по всем параметрам М, С, tw интерполяционными полиномами Лежандра табличного банка данных, полученных при параметрических расчетах уравнений пограничного слоя (см. п. 2). В выражения (12) для коэффициентов су, ch входят функции /"(0). £'(0), которые находятся аналогично / после завершения итерационного процесса решения системы уравнений. Следует отметить, что при С < 1 используем обычную квадратичную интерполяцию, а при С > 1 интерполяцию по обратной величине 1/С.

Алгебраическую систему (3)—(6), (10)—(12) замкнем аппроксима-ционным соотношением, связывающим d5*/dx и 6*/х, которое при Re0 -» оо и Re0 -> 0 дает асимптотически правильные коэффициенты

пропорциональности между с/6*/с/х и 8*/х соответственно 1/2 (слабое взаимодействие) и 1 (формальное предельное решение):

(18)

dx l + tg(ae()

«1т)В^0 х

где значение г§(ае() -оцПУ) равно значению (8*/х')о* определенному по формуле (16) при М = Мо (формальное предельное решение при Яе -> 0), а I) определяется из третьего соотношения (12):

Здесь индекс inv соответствует значениям величин без учета влияния вязкости.

В итоге система уравнений (3)—(6), (10)—(12), (18) определяет значения локальных аэродинамических характеристик при разных фиксированных значениях параметра т. Затем в соответствии с методикой [1], [2] проводим интерполяцию по То между т = 0,67 ит = 1.

Если температура поверхности заранее не задана, то значение tw в каждой точке поверхности может быть определено из условия теплового баланса между конвективным потоком тепла и лучеиспусканием в окружающую среду. Для этого предусмотрена еще одна итерационная процедура определения tw.

5. Результаты расчетов. Приводим расчеты локальных и интегральных аэродинамических характеристик плоской пластины под углом атаки в широком диапазоне чисел Reo от 1 до 105. Определены были и предельные значения этих характеристик при Re0 ->0 и Re0 -» оо. Данные при Re0 ->0 и при малых Re0 <100 следует рассматривать как формальные, которые могут дать в лучшем случае качественную тенденцию, количественные же данные подлежат сопоставлению с более точными расчетами и экспериментом. Расчеты проведены для трех углов атаки a = 0; 5°; 10° (отдельно для нижней и верхней сторон пластины), трех значений температурного фактора tw =0,05; 0,2; 0,8, двух значений числа Мж = 10, 20 при т = 0,67 ит=1.

На рис. 3—6 представлены некоторые результаты расчетов. На рис. 3 и 4 при Мк = 20, т = 0,67, tw = 0,05 приведены зависимости от Re0 коэффициентов ср, сf при a = -10°; -5°; 0; 5°; 10°, где отрица-

D =

ч1/4 ■

тельные углы соответствуют подветренной стороне пластины. На рис. 5 и 6 показаны интегральные значения су и сЛд при а = 5°, числах

М^. = 10 и 20, т = 0,67, = 0,05 и 0,8. Отметим немонотонный харак-

тер зависимости сУа = сУа (Кед), отмеченный ранее в эксперименте [6].

На рис. 5 приведены экспериментальные данные [6], полученные при = 1, угле атаки а = 5° и числах Мж от 5 до 9. Кроме того, на рис. 5 дополнительно приведены расчетные данные при Мк =5 и /н, = 1 (штрихпункгирная кривая). Имеет место существенное различие в расчетном и экспериментальном положении максимума су .

На рис. 7 представлены данные сравнительных расчетов для величин ср и Су при Мж = 20, ^ =0,05, т = 0,67, а = 5° в постановке настоящей работы (сплошная линия, р = 0, М * 1, С * 0), без учета граничных условий скольжения (штрихпункгирная кривая, р = 0, М ф 1, С = 0), без учета скольжения и без учета конечности числа М на внешней границе пограничного слоя (длинный штрих, р = 0, М = 1, С - 0), наконец, с учетом переменности параметра Фолкнера — Скан р, но в постановке тонкого тела и без учета скольжения (короткий штрих, Р ф 0, М = 1, С = 0) [4]. Различие расчетных данных, полученных по разным методикам, увеличивается при уменьшении Яс0 и особенно существенно для коэффициента давления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев В. С. Аппроксимационные формулы для локальных аэродинамических характеристик тел типа крыла в вязком гиперзвуковом потоке в широком диапазоне параметров подобия//Ученые записки ЦАГИ.—

1981. Т. XII, № 4.

2. Александров В. Ю., Галкин В. С., Нерсесов Г. Г.. Ни-

колаев В. С. Приближенный метод аэродинамического расчета летательных аппаратов при больших сверхзвуковых скоростях полета//Тртаы ЦАГИ.- 1990. Вып. 2492. '

3. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.—

М.: Изд. иностр. лит.— 1962.

4. Галкин В. С., Ж б а ко в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических тру-бах//Труды ЦАГИ.— 1970. Вып. 1187.

5. Волков И. В., Галкин В. С. Анализ коэффициентов скольжения и температурного скачка в бинарной смеси газов//Изв. АН СССР, МЖГ,- 1990, № 6.

6. Гусев В. Н., Коган М. Н., Пере пухов В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока//Ученые записки ЦАГИ.— 1970. Т. I, № 1.

7. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.: Физматгиз,— 1959.

Рукопись поступила 12/VI1996 г.