CC BY
44
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XXIV 1993
М 2
УДК 533.6.011.8
О ПРИБЛИЖЕННОМ РАСЧЕТЕ ЛОКАЛЬНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКИХ ТЕЛ В ВЯЗКОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
П. И. Горенбух, В. П. Провоторов
На основе численных расчетов гиперзвукового обтекания ряда плоских и осесимметричных тел получены простые инженерные соотношения для местных коэффициентов сопротивления трения и индуцированного пограничным слоем давления, которые предлагается использовать для приближенного расчета аэродинамических характеристик тонких тел на режимах слабого и умеренного вязкого взаимодействия.
1. При гиперзвуковом полете тонких тел на больших высотах, когда числа Рейнольдса относительно невелики, становится существенным взаимодействие вязких и невязких областей течения. Расчеты обтекания реальных конфигураций чрезвычайно сложны и зависят от большого числа параметров. В условиях взаимодействия ламинарного пограничного слоя с гиперзвуковым невязким потоком [1] достаточно полные данные по местным аэродинамическим характеристикам в настоящее время имеются лишь для плоской пластины, расположенной под малым углом атаки [2]. Эти результаты в рамках теории полос и гипотезы локальности использованы в [3] для оценок аэродинамических характеристик планарных тел. В данной работе приведены расчеты местных коэффициентов сопротивления трения и индуцированного пограничным слоем давления на плоских и осесимметричных степенных телах с показателем степени, равным 3/4. При этом все результаты для плоских и осесимметричных течений, а также данные для пластины под углом атаки представлены единой зависимостью от параметра, который пропорционален известному критерию вязкого взаимодействия а2 / Ке0 и зависит от величины коэффициента давления и его градиента при невязком обтекании, т. е. фактически учитывает кривизну поверхности.
2. Обтекание плоских (/ = 0) или осесимметричных (/=1) тонких тел степенной формы с показателем степени, равным 3/4, гиперзвуковым потоком (Моо = оо) совершенного вязкого газа описывается автомодельной системой уравнений [1, 4]. В переменных типа Дородницына—Лиза
и при учете зависимости давления, толщины вытеснения пограничного слоя и образующей тела от переменной ?(/? ге ~~ ;3 4)
имеем:
(/?Л^7 + //" —Р0' = о, |
Щ в")' + /6" + 2?/0' + 2/?ДА/"2 = о, ] (1)
/(0) = /' (0) = 0, 0 (0) = 0, 6' (0) = А. и л и Ь" (0) = 0, |
/(оо)= 1, 6' (оо) = 0. } (2)
Здесь и ниже введены следующие обозначения: М«,, «<*,, роо — соответственно число Маха, скорость и плотность набегающего потока;
I — характерная длина; г№ — ордината образующей тела; т = гт(1)Ц — характерный угол наклона; ц0 — динамический коэффициент вязкости при температуре торможения набегающего потока; к — показатель адиабаты; иих, Ухи«, — проекции скорости соответственно на оси х и г, ось х направлена вдоль скорости набегающего потока и совпадает
с осью (/=1) или плоскостью (/ = 0) симметрии тела, а ось г — пер-
пендикулярна к ней; х1, гг/ — координаты вдоль соответствующих осей;
ръгр<х.и1> — давление, рх3рсо — плотность, /ш»/2— энтальпия, [ф0 — динамический коэффициент вязкости, Ие0 = рооИоо^/(А0; Хг==т-2Ке0^2; р — £”1/2/70; гш = £3/4; ге = \гей—координата внешней границы эффектив-/ г \ ' % — 1 1
ного тела, /?==^—j = 1+УЛ6; м= [А/Л; Р=-----------------— иостоян-
ная Фолкнера — Скан, А = (2—-—I 0ос. = 0(оо); ге0 = (1-Ь
+ АЬ^уЬ.
Полагая, что давление на внешней границе пограничного слоя пропорционально квадрату местного угла наклона, получим
. А, = ^С(1 + ЛОопА
Для невязкой области течения около рассматриваемых тел существуют автомодельные решения, согласно которым (см., например, [1, 5]) и выбиралось значение постоянной С (для х=1,4 С= 1,416 при / = 0 и С = 0,9116 при /=1). Система уравнений (1) с граничными условиями (2) решалась численно конечно-разностным методом, описанным в работе [6].
3. Результаты расчетов получены в широком диапазоне изменения параметра а3 |/Ие0 =0,012—200, где а = 3/4т — местный угол наклона, для значений температурного фактора = 71В/7’0 = 0,05, 0,15, 0,4 и
Рис. 2
для случая теплоизолированной поверхности при степенном законе изменения вязкости n~hm, ш = 0,67. Полученные данные для коэффициента давления ср и коэффициента сопротивления трения Cf в зависимости от параметра а2 / Re0 для теплоизолированного случая показаны на рис. 1, где так же приведены данные для плоской пластины под углом атаки [2]. Аналогичные результаты были получены и для других значений температурного фактора. Основная часть расчетов проведена при значении показателя адиабаты и = 7/5, но для осесимметричного случая расчеты были проведены так же для значений х = 5/3 и 1,15. Влияние показателя адиабаты на коэффициенты трения к давления (теплоизолированный случай) показано на рис. 2, где
Срш — коэффициент д.авления на рассматриваемом теле при невязкоМ обтекании.
Для того чтобы представить результаты для плоских и осесимметричных течений единой зависимостью, рассмотрим режим слабого вязкого взаимодействия, когда %->0. В этом случае имеем:
Д с„
К- «] .
Р inv
ч
= 1£2-1/ i +j t
(H-./lj/'i
Pin v
_Pinv_
а?
<*2 /Re„ «2 j/'Reo ’
(3)
где Дср = ср— ср. —прирост коэффициента давления, индуцированный пограничным слоем, cPiav = 2,832а2 при / = 0 и с = 1,823а*
при / = 1, к о (х • 1)! b3=(-^Tf2Nf(0).
Значения численных результатов для коэффициентов Ь3 и Ь6 при минимальных расчетных величинах параметра %, которые практически соответствуют режиму слабого взаимодействия, приведены в табл. 1 для / = 0 (х= 0,0096) и в табл. 2 для / = 1 (/ = 0,0031).
Таблица! Таблица 2
0,05 0,15 0.4 0,944 t„ 0,05 0,15 0,4 0,855
Ьз 1,658 1,664 1,706 1,841 b3 1,478 1,434 1,383 1,347
h 0,272 0,331 0,461 0,698 b6 0,283 0,347 0,493 0,73
Как следует из (3), коэффициенты сопротивления трения и индуцированного давления обратно пропорциональны параметру вязкого взаимодействия а2 ]/Re0 и зависят от температуры поверхности тела и коэффициента с , который различен в плоских и осесимметричных течениях и определяется условиями невязкого обтекания. Чтобы получить для плоских и осесимметричных течений единые зависимости Дср/ср.пл_ = /1(хр) И cf/a3=:f2(Х/), выберем в параметрах
^ = и Х/=(^У)+«2/^0
показатели степени «риф таким образом, чтобы при tw = const и одинаковых величинах ур (%i) значения АСр- (—) при / = 0 и 1 совпадали.
■ сп. V «з j
Ptnv 4 у
Расчеты показали, что величина ф слабо зависит от температурного фактора и приближенно может быть принята равной ф = —0,95, а зависимость г|з(/г„) с погрешностью менее 5% представима следующей интерполяционной формулой
ф = 0,838 — 0,691 /„.+ 0,176 il.
(4)
57
Приведенные выше значения ср и ср соответствуют случаю, когда градиент давления вдоль линии тока на поверхности тела при невязком обтекании р — —2хс11п р/йх= 1.
Рассмотрим теперь течение около пластины под углом атаки и осесимметричное обтекание кругового конуса с углом полураствора а, когда р = 0. Используя для пластины (/ = 0) результаты [2, 3] и учитывая для конуса (/=1) преобразование Степанова—Манглера [7], на режиме слабого взаимодействия имеем
где при со = 0,67 коэффициенты Ь3 и Ьв выражаются следующими формулами [3]:
При / = 0 сРш= 2,4 а2, а при/=1 сРшу =2,083а2. Так как зависимости Ь3(іт) и ¿б(^ю) для конуса и пластины одинаковы, соответствующие значения ф и і|) не зависят от и равны: ф = —3,378, *|з = 3,378.
В результате, при обтекании рассматриваемых степенных тел, когда градиент давления ¡3 = 1
Согласно (5) и данным табл. 2 при /=1 с погрешностью менее 3% ЬЪ = Ь6 и, следовательно, при я =1,4 имеем
Ь3 = 2,036 - 0,798*. + 0,4104; ) &, = 0,256+ 0,661*да-0,0844. )
(5)
а при обтекании пластины или конуса, когда 0 = 0
Здесь
і
* 2
+ 2
ЭУ = 0,058й6, Dp, = 0,742/)6,
а для величин О/0> и с погрешностью менее 2% справедливы
следующие соотношения:
= 50,9 — 19,95*, + 10,254; О?* = 5,58 — 3,469/. + 1,6274.
Таким образом, на режиме слабого взаимодействия коэффициенты сопротивления трения и индуцированного давления для плоских и осесимметричных течений можно представить в виде
величина '|)(1) определяется по формуле (4).
4. Полученные в работе данные для плоских и осесимметричных тел степенной формы, а также результаты численных расчетов для плоской пластины под углом атаки [2] приведены в зависимости от параметров и А/ на рис. 3, где штрихпунктирной прямой показана зависимость (6) для режима слабого взаимодействия. Отметим, что вязкая добавка к давлению на пластине под углом атаки по расчетам [2] в широком диапазоне параметра АР >0,1, включая и область умеренного взаимодействия, с погрешностью менее 10% совпадает с. этой зависимостью. Результаты для индуцированного коэффициента давления на исследованных степенных телах при Др2? Ю согласуются с зависимостью для слабого взаимодействия, а при меньших значениях отклонение от нее становится существенным. При этом данные для плоских тел лежат внутри заштрихованной области вблизи верхней границы, а для осесимметричных тел около нижней границы, так
= У*!Р’ С//“®“ 1/А/.
(6)
где корреляционные параметры
9 = -3,38 + 2,Щ, Ор = Ьй (0,058 + 0,68,3),
<]> = 3,38 - (3,38 - ф<0) р, = О(70) — фУ - &Р) р,
Слабое _ бзаимодейстбае
что влияние температурного фактора tw на расслоение практически мало. Иная ситуация имеет место для коэффициента сопротивления трения. При tw = const результаты для плоских и осесимметричных тел степенной формы и для пластины под углом атаки в выбранных переменных хорошо согласуются друг с другом во всем исследованном диапазоне параметров. Отличие от соответствующей зависимости для слабого взаимодействия (штрихпунктирная прямая) зависит от величины температурного фактора и наиболее сильно проявляется для случая теплоизолированной поверхности. При Дf >10 коэффициент сопротивления трения так же как и коэффициент давления хорошо согласуется с зависимостью для режима слабого вязкого взаимодействия.
Для того чтобы получить единые формулы на режимах слабого и умеренного взаимодействия, можно использовать следующие аппрок-•симационные соотношения:
О точности этих формул можно судить по данным, приведенным на рис. 4, где Аср = Аср/Вр, с/ = с//В/, а точками показаны результаты численных расчетов. При Др>0,1 коэффициент индуцированного пограничным слоем давления определяется с погрешностью, не превышающей 10%. Причем с увеличением Др точность формул существенно возрастает. Примерно такая же погрешность имеет место для коэффициента сопротивления трения.
5. Если известно невязкое обтекание, приведенные выше соотношения могут быть использованы и для расчета аэродинамических характеристик тел более сложной формы. Некоторым обоснованием этого может служить гипотеза локальности, согласно которой местные ха-
Ьх = 0,091 + 0,183*», - 0,025^.
¡и
tw -0,05 0,4 ~)
0 ДО „ ( /
* + у пластана [2]
Рис. 4
рактеристики определяются локальными условиями обтекания, которыми в нашем случае являются угол наклона элемента поверхности к вектору скорости набегающего потока, величины ср|пу и р, а так же число Рейнольдса, определенное по длине линии тока. Такой подход может быть использован так же и при пересчете экспериментальных данных на натурные условия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хейз У. Д., Проб стин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
2. Галкин В. С., Ж б а к о в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуко-вом потоке и вопросы моделирования в вакуумных трубах//'Труды ЦАГИ. — 1970. Вып. 1187.
3. Николаев В. С. Аппроксимационные формулы для локальных аэродинамических характеристик тел типа крыла в вязком гнперзвуковом потоке в широком диапазоне параметров подобия//Ученые записки ЦАГИ. — 1981. Т. 12, № 4.
4. Провоторов В. П. О распространении возмущений через осесимметричный гиперзвуковой пограничный слой//Ученые записки ЦАГИ. — 1972. Т. 3, № 6.
5. Гродзовский Г. Л., Крашенинникова Н. Л. Автомодельные движения газа с ударными волнами, распространяющимися по степенному закону по покоящемуся газу//ПММ. — 1959. Т. XXIII. Вып. 5.
6. Денисенко О. В., Провоторов В. П. Исследование течений вязкого газа при умеренных числах Рейнольдса//Труды ЦАГИ. — 1985. Вып. 2269.
7. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. — М.: Изд. Ф ММ, 1962.
Рукопись поступила 10/VII 1991 г.
