Метод расчета аэродинамических характеристик осесимметричных тел, обтекаемых под углом атаки, на режиме вязко-невязкого взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 4

№ 1—2

УДК 533.6.011.5./55:532.582.33

МЕТОД РАСЧЕТА АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ, ОБТЕКАЕМЫХ ПОД УГЛОМ АТАКИ,

НА РЕЖИМЕ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

С. Д. ЖИВОТОВ, В. С. НИКОЛАЕВ

Приведен алгоритм расчета локальных аэродинамических характеристик осесимметричных тел под умеренными углами атаки на режиме слабого сверхзвукового вязко-невязкого взаимодействия при ламинарном и турбулентном пограничных слоях. Представлены данные расчета для круговых конусов и параболических носовых частей.

В работе [1] были получены аппроксимационные формулы для аналитического расчета газодинамических параметров у поверхности кругового конуса в широком диапазоне сверхзвуковых чисел Маха и полууглов раствора конуса при нулевом угле атаки. Там же разработан алгоритм расчета аэродинамических характеристик кругового конуса под углом атаки, не превышающим полуугол раствора, с учетом поправок на вязкость на режиме слабого вязко-невязкого взаимодействия (трение плюс индуцированное пограничным слоем добавочное давление) в случае ламинарного пограничного слоя. Для расчета аэродинамических характеристик в случае турбулентного пограничного слоя в [2] предложен метод расчета, являющийся модификацией полуэмпирического интегрального метода Лойцянского — Лапина [3] и его развитием применительно к режиму слабого вязко-невязкого взаимодействия.

Целью настоящей работы было создание эффективного приближенного метода аэродинамического расчета для произвольного заостренного тела вращения на режиме сверхзвукового вязко-невязкого взаимодействия в широком диапазоне углов атаки вплоть до углов, когда часть боковой поверхности является подветренной. Другая задача состояла в получении данных по несущим свойствам и моментным характеристикам некоторых эталонных тел вращения при ламинарном и турбулентном пограничных слоях.

1. Постановка задачи. Рассмотрим сверхзвуковое обтекание заостренного тела вращения под умеренным углом атаки. Величину угла атаки лимитируем лишь следующими требованиями. Скачок уплотнения должен быть присоединенным, а течение между скачком и боковой поверхностью полностью сверхзвуковым. Этим оправдывается возможность расчета тел конечной длины, иначе при местных дозвуковых скоростях возмущения от донной области передавались бы вверх по потоку и разрушили бы принятую расчетную схему обтекания. Именно в этом смысле понимается заявленный термин — умеренный угол атаки. Течение в донной области в работе

не рассматривается.

При учете эффектов вязкости примем разделенную схему течения, когда все поле возмущенного течения разделяется на невязкую возмущенную зону и пограничный слой (полностью ламинарный или полностью турбулентный). Ограничимся режимом слабого вязконевязкого взаимодействия, когда вязкие эффекты определяются как малые добавки к силам давления для невязкого случая. Эти добавки определяются силами поверхностного трения и добавочного

индуцированного давления вследствие вытесняющего воздействия пограничного слоя (расчет давления по «эффективному телу»).

В расчетах местных аэродинамических характеристик следуем гипотезе локальности, а именно: при заданном набегающем потоке (ориентация тела к вектору скорости набегающего потока, числа Маха и Рейнольдса, температура торможения набегающего потока) коэффициенты давления и трения определяются местным углом атаки элемента поверхности, температурой поверхности и местным числом Рейнольдса, подсчитанным по параметрам потока на внешней границе пограничного слоя и приближенно определяемому линейному размеру — длине линии тока. В принятой постановке все линии тока на поверхности заостренного тела вращения берут начало в носовой точке, а далее их направление определяется приближенно в соответствии с ньютоновской моделью обтекания (из вектора скорости набегающего потока вычитается нормальная векторная составляющая этой скорости). Этой модели соответствует направление (но не величина) скорости на внешней границе пограничного слоя, а также направление силы трения на элемент поверхности тела. При определении основной составляющей силы давления на элемент поверхности (без учета вязких эффектов) используем метод касательных конусов (в [1] проведено тестирование этого метода на примере обтекания конуса под углом атаки). На подветренных участках поверхности для расчета давления используются соотношения простой волны.

В [1] получены аппроксимационные соотношения для давления р на поверхности конуса, справедливые в широком диапазоне чисел Маха набегающего потока Мда и полууглов при вершине конуса 0 для двухатомного совершенного газа:

і

1 +1,19 K2 -

Q,3K 1 + 16K4

2 Л

1 + 1,Q84K3/2 + 8,16 K3

(1.1)

Здесь px — давление в набегающем потоке, K = sfii — основной гиперзвуковой параметр подобия. В соответствии с методом касательных конусов при расчетах в качестве параметра K используется K = MOT sin ,m где am — местный угол атаки, K > 0. В формуле (1.1) первый сомножитель — отношение давления за скачком к давлению в набегающем потоке, а второй характеризует последующее поджатие потока от скачка к телу. Для подветренных участков поверхности, K < 0, в расчетах давления можно приближенно использовать соотношения простой волны (газ двухатомный):

px

(l.2)

Однако применение в едином расчетном алгоритме формул (1.1) и (1.2) при переходе вдоль

линии тока от К > 0 к К < 0, обеспечивая непрерывность величины давления р* = -Р-,

Рю

ёр*

приводит к разрыву производной -------, что нежелательно в расчетах пограничного слоя, так как

ёК

это приводит к разрыву индуцированного давления. Чтобы избежать этого, при проведении расчетов использована процедура сглаживания. В достаточно узком диапазоне параметра К, именно при -0,311 < К < 0, 19, предложено использовать линейную зависимость

со

= 0,934 + 0,952К. (1.3)

Рю

Интегральная погрешность сглаживания на промежутке (-0,311; 0,19) составляет 1,5%, а будучи отнормирована к характерному давлению на конкретном конусе, она еще меньше. При

К > 0,19 и -5 <К <-0,311 используются соответственно формулы (1.1) и (1.2), при К <-5 значение р* = 0. Отметим, что итоговая зависимость р* = р* (К) имеет не только непрерывную,

но и монотонную производную.

В случае полностью ламинарного пограничного слоя коэффициенты трения и индуцированного давления будем определять по формулам [4]:

С/ = Ьз^/Ц^2^3 ^ у”/2, (1.4)

с = 6

ир1

ьи32 Г т г12Г

[0

т

ад V <» У

1

р* ёК

(1.5)

Здесь су, ср1 относятся к скоростному напору набегающего потока, а коэффициенты Ь3, Ь6

определяются автомодельными решениями уравнений пограничного слоя [4] и зависят от

Т

температурного фактора ^ = — (индексы «^» и «0» относятся к поверхности тела и

Т0

параметрам торможения набегающего потока) и показателя степени т в степенной зависимости

коэффициента вязкости от температуры, ц □ Тт. Множитель ур3 устанавливает связь между

„ _ и

с у, ср1 для плоской пластины и кругового конуса, и =— означает отношение скорости на

их

внешней границе пограничного слоя к скорости набегающего потока. Значение местного числа Рейнольдса определяется плотностью рот, скоростью их и коэффициентом вязкости

набегающего потока, а в качестве линейного размера входит приближенно определяемая длина линии тока 5 от носка тела до данного элемента поверхности.

Расчет коэффициентов трения и индуцированного давления в случае полностью турбулентного пограничного слоя проводится с использованием предложенного авторами варианта метода характерной температуры. При этом для коэффициента трения в сжимаемом газе имеем

с/е =

0,0263

т-6

т

V * У

(1.6)

Яе1/7

Здесь при определении с * напряжение трения относится к скоростному напору на внешней

Реи*

границе пограничного слоя —-—, число Ке е5 определяется по параметрам газа на внешней

р*ие5 гр ГТ1*

границе пограничного слоя и длине линии тока 5, кее5 =------------, те и т — температура на

^е

внешней границе пограничного слоя и характерная температура. Для турбулентного слоя принято значение т = 0,76 (для ламинарного слоя т = 0,67). Формула (1.6) дает выражение для коэффициента трения на пластине. В соответствии с рекомендациями [3] при переходе от пластины к конусу эффективное число Рейнольдса, используемое в расчетах, уменьшалось в два раза (или же в два раза уменьшалась приближенно определяемая длина линии тока). В формуле п ^ 0,0263 „

(1.6) множитель --------7=- отвечает несжимаемому газу, второй — вводит поправку на

*41

сжимаемость.

В результате обработки большого массива расчетных данных [2]:

йее5 = 106 -109,

м = 4— 8,

т

№

т

= 0,2 -1,0,

где Ме — число Маха на внешней границе пограничного слоя, Тм, и Т№г — соответственно температура стенки и равновесная температура стенки, определяемая по формуле:

( у-1 2^

ТЦ!Г =11 + г Ме I Те (в последней формуле у — отношение удельных теплоемкостей, г —

коэффициент восстановления, обычно принимаемый равным 0,9), после процедуры минимизации среднеквадратичной относительной погрешности коэффициента трения суе получено следующее

выражение для характерной температуры:

Т = 0,440? + 0,357Т„, + 0,203?,

(1.7)

Средняя погрешность такого подхода при расчетах суе составляет примерно 2%. При этом

из всего массива расчетных данных лишь в 4 из 36 случаев погрешность аппроксимации составила от 4 до 6%.

При расчетах индуцированного давления, как и в [2], используется понятие формпараметра

И* и интегральное соотношение импульсов. В осесимметричном случае в формуле для производной от толщины вытеснения, используемой в расчетах индуцированного давления, появляется дополнительный по сравнению с плоским случаем множитель 6/13:

йх 13

(1.8)

где

н*= 1+р Г1+забуту?;(1 -ш-р)

1-ю-р 1 + р

Р =

г 1-1м2 2 е

№ І1 + ^м2

1+г 1м2

Применение формулы (1.8) оправдано в рамках метода локального конуса при небольших градиентах давления.

В заключении настоящего раздела приведем алгоритм расчета длины линии тока, местного угла атаки и направления касательной силы трения на элемент поверхности. Примем связанную с телом вращения цилиндрическую систему координат (х, г, у), где угол у = 0 соответствует

нижней линии растекания. Пусть уравнение поверхности задано в виде г = /(х). Тогда для

единичного вектора внутренней нормали п (направление действия Ср и срі) и единичного

вектора скорости набегающего потока V получим

п =

V1+/,2 (х)

Г/'( х )> -1 0

V У

(

V =

008 а

Л

-81П а 008 у 8ІП а 8ІП у У

(1.9)

Для синуса местного угла атаки ат имеем

*

2

1

sin а =( n, V ) = ,----- ( f'( x) cos а + sin аcos у), (110)

'1 + f '2 (x) ' '

где (п, V) — скалярное произведение векторов п и V. В соответствии с ньютоновской моделью обтекания касательный вектор скорости на поверхности тела (при невязком обтекании) дается выражением V —(п, V)п. После нормировки для соответствующего единичного вектора Ї получим

- 1

t =

(111)

/ О / О О О л л

д/1 + f д/cos a + sin asin у-2f'cosasinacosy + f' sin a ( \ cos a - f' sin a cos у f'(cos a - f' sin acos у)

sin a sin y(l + f '2 )

Вектор t дает направление действия касательной силы трения на элемент поверхности тела и одновременно линии тока. Дифференциалы dr, dу, ds вдоль линии тока связаны с дифференциалом dx соотношениями

dr = —dx, d у = dx, ds = —, (1.12)

tx rtx tx

где r = f (x), а tx, tr, ty — составляющие единичного вектора t согласно (1.11). Решая

дифференциальные уравнения (1.12), получим форму линии тока. Заметим, что особенность, возникающая в носке тела, является интегрируемой.

2. Аэродинамические характеристики конуса и параболического носка. В настоящем разделе представлены результаты расчетов аэродинамических характеристик двух эталонных тел вращения: конуса с полууглом при вершине 0

r = f ( x ) = x tg 0 (2.1)

и параболического носка

r = f ( x) = x (2 - x) tg 0. (2.2)

Для определенности длина тела была выбрана равной единице, так что при x =1 в обоих случаях r = tg 0. Параметр 0 одновременно характеризует относительную толщину тела, которая

равна 2tg 0. При обработке результатов расчетов силы относились к скоростному напору набегающего потока и площади миделя, а момент тангажа, кроме того, к длине тела. В качестве

безразмерных координат центра масс в случае конуса выбрана точка с координатами xcm = 2,

ycm = - “gp, а в случае параболического носка — точка с координатами xcm = 0,53, ycm = - .

Такой выбор обеспечивал балансировку при невязком обтекании в некотором диапазоне положительных углов атаки a. Кроме того, для аффинноподобных тел было обеспечено и «аффинное подобие» положения центра масс. Рассчитывались следующие безразмерные аэродинамические характеристики: коэффициенты продольной силы cx, нормальной силы cy, момента тангажа mz, лобового сопротивления cxa, подъемной силы cya, а также аэродинамическое качество

c ya

K =-----. Заметим, что в предыдущем разделе обозначение K использовано для основного

cxa

гиперзвукового параметра подобия, которое также является стандартным.

В случае конуса численные расчеты аэродинамических характеристик были проведены для трех значений угла 0 = 5, 10, 20° при углах атаки 0<а<20 (т. е. при а>0 часть боковой

поверхности была подветренной) и трех чисел Маха М^ = 5; 10; 20. При учете вязких эффектов каждому числу Маха отвечал свой температурный фактор tw = 0,7; 0,2; 0,05, что соответствует тенденции снижения в полетных условиях (при больших числах Маха) температуры поверхности вследствие излучения.

Рис. 1. Зависимость максимального Рис. 2. Зависимость от числа Рейнольдса величины потери

аэродинамического качества конуса от числа максимального аэродинамического качества конуса из-за

и вязких эффектов при М^, = 10 и разных значениях полу-

угла раствора:

Рейнольдса при 0 = 10°

разных значениях числа Маха:

0 = 5°;------------0 = 10°;

0 = 20°; 1 — ламинарный

1 — ламинарный слой; 2 — турбулентный слой; 3 — невязкое течение

слой; 2 — турбулентный слой

Рис. 3. Зависимость коэффициента момента тангажа конуса от угла атаки при Мм = 10, 0 = 10° и разных значениях числа Рейнольдса (ламинарный слой):

невязкое обтекание; — — Яет = 10

,5.

Яет= 10'

Рис. 4. Зависимость максимального аэродинамического качества параболической

носовой части от числа Рейнольдса при Мм = 10 и разных значениях

параметра 0:

------0 = 5°;-------0 = 10°; 1 — ламинарный слой;

2 — турбулентный слой; 3 — невязкое течение

В случае параболического носка численные расчеты проведены для двух параметров 0 = 5° и 10° и одном числе М^ = 10. Для ламинарного пограничного слоя (и для конуса, и для

параболического носка) расчеты проводились при числах Яеот = 107,106,105,104, а для

турбулентного пограничного слоя — при Яеот = 109,108,107,106. Таким образом, при двух числах Рейнольдса расчеты с целью сравнения проведены для двух режимов течения в

Мш = 5

М ш= 10

Мш = 20

пограничном слое. В качестве линейного размера при определении числа Яеот бралась длина тела вращения.

На рис. 1 приведены зависимости

максимального аэродинамического качества Ктах от числа Яеот для конуса с углом 0 = 10° при числах Мот = 5,10,20 для ламинарного и турбулентного пограничных слоев, на рисунке отмечены предельные значения Ктах при

отсутствии влияния вязкости. На рис. 2

представлены зависимости от числа

Рейнольдса величины -

к — к

тах тах іпу

к

где

Ктах іпу значение Kmax

без учета влияния

Мм = 10 и

разных значениях числа Рейнольдса (ламинарный слой):

г\4.

невязкое обтекание;-----------Яеш = 104; 1

2 — 0 = 10°

0 = 5°

Рис. 5. Зависимость коэффициента момента тангажа вязкости, при 0 = 5, 10, 20° и числе М^ = 10 параболической носовой части от угла атаки при

для обоих режимов течения в пограничном слое. Заметна тенденция увеличения влияния эффектов вязкости на величину Kmax с уменьшением 0 из-за увеличения вклада омываемой поверхности (поверхностное трение в первую очередь) в общий баланс

аэродинамических сил.

Влияние вязкости на моментные характеристики конуса продемонстрировано на рис. 3, где приведены зависимости коэффициента момента тангажа mz от угла атаки а при М= 10,

0 = 10° для двух чисел Яе^, = 105,104 и при отсутствии влияния вязкости. Весьма существенна тенденция увеличения балансировочного угла атаки с ростом вязкостных эффектов.

В случае параболического носка некоторые результаты расчетов представлены на рис. 4 и 5. На рис. 4 приведены зависимости Ктах от Яеот при Мот = 10 и двух значениях параметра 0 = 5, 10° для обоих режимов течения в пограничном слое. На рис. 5 приведены зависимости mz от а при М^ = 10, двух значениях 0 = 5, 10° при отсутствии влияния вязкости и при числе

Яеот = 104 (ламинарный слой).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 01-01-00633).

ЛИТЕРАТУРА

1. Животов С. Д., Николаев В. С., Провоторов В. П. Аэродинамические характеристики круговых конусов под углом атаки при сверхзвуковых скоростях на режиме вязко-невязкого взаимодействия //Ученые записки ЦАГИ. — 1999. Т. XXX, № 3—4.

2. Животов С. Д., Николаев В. С. Крыло максимального качества в сверхзвуковом потоке на режиме вязко-невязкого взаимодействия//Ученые записки ЦАГИ. — 2002. Т. XXXIII, № 1—2.

3. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. — М.: Наука. — 1982.

4. Александров В. Ю., Галкин В. С., Нерсесов Г. Г., Николаев В. С. Приближенный метод аэродинамического расчета летательных аппаратов при больших сверхзвуковых скоростях полета//Труды ЦАГИ. — 1990. Вып. 2492.

Рукопись поступила 26/У! 2002 г.

52