Аппроксимационные формулы для аэродинамических коэффициентов плоской пластины в широком диапазоне параметров подобия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м X

19 7 9

№ 4

УДК 533.6.011.8

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ПАРАМЕТРОВ ПОДОБИЯ

В. С. Николаев

Рассмотрены зависимости от различных параметров подобия коэффициентов подъемной силы и сопротивления плоской пластины под малым углом атаки при больших сверхзвуковых скоростях с учетом влияния вязкости. На основе асимптотических представлений коэффициентов аэродинамических сил в предельных областях параметров получены приближенные формулы, пригодные в промежуточных областях параметров подобия. Полученные формулы могут быть использованы для быстрых оценок аэродинамических' характеристик летательных аппаратов, в различных параметрических исследованиях, при решении вариационных задач.

Задача безотрывного обтекания плоской пластины под малым-углом атаки гиперзвуковым потоком с учетом вязкого взаимодействия решалась в работе [1], где представлены весьма обширные результаты расчетов местных и суммарных аэродинамических характеристик пластины при различных комбинациях чисел М и Ие, при разных предположениях относительно коэффициента вязкости,, температуры пластины и газа. На основе этих расчетных данных в работах [1 и 2] рассмотрен вопрос о степени важности различных критериев подобия для аэродинамических характеристик пластины, проведен анализ вопросов моделирования натурных условий в аэродинамических трубах. В работе [2] даны рекомендации по пересчету экспериментальных результатов, полученных в трубных условиях, на натурные условия, когда изменяются сразу несколько параметров подобия.

Целью настоящей статьи является разработка простых формул для коэффициентов подъемной силы и сопротивления плоской пластины, которые с достаточной для практических целей степенью точности были бы пригодны в широком диапазоне изменения параметров подобия. При получении аппроксимационных формул широко использовались асимптотические соотношения для аэродина-

мических сил в предельных областях параметров подобия, а для контроля точности в промежуточных областях — расчетные данные [1].

1. Основные предположения и параметры подобия. Рассмотрим обтекание плоской пластины под малым углом атаки гиперзвуковым потоком термодинамически совершенного газа с учетом взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким потоком. Используем безотрывную схему обтекания, эффектами реального газа и разреженности пренебрегаем. Обсуждение пределов применимости принятой постановки содержится в работе [1]. Считаем, что

*<С1, Re0^>l, (1)

где а — угол атаки, М — число М набегающего потока, Re0 — число Рейнольдса, Re0 = р=о //¡jl0, где ра>, их , /, ¡л0 — плотность и скорость набегающего потока, продольный размер тела (либо текущая продольная координата для местных характеристик), коэффициент вязкости при температуре торможения набегающего потока соответственно.

Безразмерные местные и суммарные аэродинамические характеристики пластины определяются критериями подобия

а, М, Re0, /, Та„ 7V, (2)

здесь х, Tw, Т0 — отношение удельных теплоемкостей, температура поверхности пластины и температура торможения набегающего потока соответственно. Последние два критерия размерные, что связано со сложным характером зависимости коэффициента вязкости от температуры.

При упрощенной степенной зависимости вместо Tw и Т0 используются параметры

tw = TJTо, т, (3)

где tw — температурный фактор, т — показатель степени в зависимости вязкости от температуры, ¡л.— Тп.

При а Ф 0 оказываются удобными параметры подобия, являющиеся комбинациями параметров (2)

а2 /R^, К = Ма. (4)

Параметр a2^Re0 характеризует степень взаимодействия невязкого потока с пограничным, слоем, в пределе при a2y"Re0-*oo взаимодействие слабое, при а2 j/Reo^0 — сильное. Параметр К характеризует невязкое обтекание, при К оо имеет место гиперзвуковая стабилизация, однако при малых значениях а2у^е0 стабилизация наступает раньше [1]. При а = 0 степень взаимодействия характеризуется параметром

y'R^M-2. (5)

При KRe0 М-2 ос взаимодействие слабое, при |^Re0 М~2 0 — сильное.

Для коэффициента вязкости далее будем использовать аппрок-симационную формулу работы [2]

V106 [^г] = °'1755 70,833 ехР 1-°'167 /ОпГ -5,403)2 + 0,172]. (6)

При малых значениях Т (Т <150 К) формула (6) переходит в степенную зависимость ст = 1,этот случай близок к условиям опыта в трубах без подогрева газа. При больших значениях 7,(7,>400К) формула переходит в степенную зависимость с т — 0,67. этот случай соответствует натурным условиям.

При расчете аэродинамических сил будем учитывать силы, действующие как на наветренную (нижнюю), так и на подветренную (верхнюю) стороны пластины. При получении аппроксимацион-ных формул будем использовать выражения для коэффициентов подъемной силы су и сопротивления сх в предельных областях параметров (4). Влияние температурного фактора можно учесть путем интерполяции расчетных данных [1]. Для учета влияния закона зависимости коэффициента вязкости от температуры оказалось целесообразным использовать характерную температуру Т% [3]. Таким образом, вместо пары параметров (3) в данной работе используются также

7\ = -£(1+3*в). (7)

2. Аэродинамические силы при предельных значениях параметров подобия. В работе [1| приведены расчетные формулы для коэффициента трения по теории сильного взаимодействия нулевого порядка. Рассчитанный по этой теории коэффициент сопротивления сх не зависит от угла атаки а и числа М (а следовательно, и от критерия К)

с а - 8 /9г + ') У/4 /иге То 4 /'2 { (8)

В формуле (8) ^ — коэффициент вязкости при температуре стенки, а значения безразмерных параметров / и получены в работе [1] на основании расчетов автомодельных уравнений пограничного слоя (/ пропорционален толщине вытеснения пограничного слоя, а — производной скорости на стенке). Значения коэффициента

Таблица 1а

X = 1, 4, т = 0,67 X — 1,4, т = 1 х- 5 % 3

{ 1&) 0,02 0,05 0,15 0,4 0,8005 0,15 0,4 0,8194 0,7796

«1 2,432 2,526 2,790 3,327 4,061 2,479 3,083 3,960 4,854

«2 8,646 8,948 9,906 12,04 15,15 6,602 9,181 13,41 15,33

Таблиц а 1 б

х = 1 ,4, т = 0,67 X = 1,4, т = 1 5 X = - 3

¿хм 0,02 0,05 0,15 0,4 0,8172 0,15 0,4 0,8357 0,8022

а3 0,5359 0,5779 0,7108 1,014 1,480 0,5510 0,8638 1,409 1,602

а\ 4,066 3,994 3,829 3,565 3,316 2,970 2,970 2,970 2,596

то и t.

а2 при различных *, т. и приведены в табл. 1а, при различных в табл. 2 а.

Коэффициент подъемной силы в области сильного взаимодействия в работе [1] определен не был, в работе [2] приведены лишь приближенные значения су, полученные при обработке численных расчетов [1].

В настоящей работе найдено аналитическое представление для коэффициента подъемной силы с помощью теории сильного взаимодействия первого порядка(главные члены для давления на нижней и верхней сторонах пластины одинаковы и при вычислении подъемной силы компенсируют друг друга). После весьма трудоемких, но элементарных преобразований получим следующее выра-

жение для с

а\ а

У'

R еГ

а, =-

4(x-f 1) /36 (х — 1)\1/4 /_7__-/. — 1 дГ \

12

х/ dp /1 ¡j.0 71.

1,4 /1/2.

(9)

Здесь р — параметр Фолкнера —Скэн в уравнениях пограничного

слоя. При сильном взаимодействии = при слабом р = 0.

Значения коэффициента а, при различных х, т, Т0 приведены в табл. 1 а и 2 а.

В другой предельной области, области слабого взаимодействия, в работах [ 1 и 2] аналитические выражения для сх и су также не были получены. В этой области влияние вязкости на сх проявляется во взаимодействии давления и трении. Эти эффекты при умеренных и больших значениях параметра К одного порядка, хотя из-за различия в численных коэффициентах влияние трения, как правило, намного больше. На коэффициент подъемной силы су оказывает влияние лишь взаимодействие давления, т. е. изменение давления на пластине из-за вытесняющего действия пограничного слоя, влияние трения на су—внепорядковая величина. После громоздких, но несложных преобразований получим выражение для сх, учитывающее аэродинамические силы на обеих сторонах пластины:

2а

Сх=Щ~, (Рп - Р\) +

Л . I_dPn , 1 аРв

яа| у?,ж+У7,ж

+

^ M

(VK + Vpl)]

а. =

а, =

2 (х - I)1'2 ( iiw Т0

Ню Т w

KRe0 '

4 /^Г«^2

„* Рп _ II + 1) w

4 (х — l)1'2 VH-O TW

к + -Vv + b®

fw'l

(х+ 1)2

X — 1

к

У

(10)

В формулах (10) рн, рв, роо соответственно давления на нижней и верхней сторонах пластины (а > 0) и давление набегающего потока. Для расчета ри используется метод касательных клиньев, а для

расчета рв теория Прандтля—Майера ^при рв = 0). Зна-

чения / и /" соответствуют р = 0 и получены в работе [1]. Числен-

Таблица 2а

^w— =0,05 tu = 0,15 г ш = 0,4 £ ц) — =0,8181 ¿W '— =0,8150

То 2000° 500° 100J° 2000° 290° 500= 1000° 290° 500°

а\ 2,506 2,649 2,752 2,779 3,162 3,261 3,313 4,023 4,056

«2 8,627 8,084 9,231 9,720 9,954 10,98 11,72 14,15 14,76

Таблица 26

t Hj == =0,05 ^=0,15 и v = 0,4 =0.8342 tw= =0,8309

То 2000° 500° 1000° 2000° 290° 500" 1000° 290= 500°

а3 0,5657 0,6301 0,6839 0,7040 0,9108 0,9696 1,004 1,452 1,478

ai 3,925 3,395 3,680 3,782 3,135 3,344 3,491 3,092 3.202

ные значения коэффициентов а3 и а4 при различных *, от, tw, Т0 приведены в табл. 16 и 2 6. Первый член в квадратных скобках в формуле для сх связан со взаимодействием давления, а второй— с трением. Выражение для коэффициента подъемной силы в области слабого взаимодействия имеет вид

2 i * *\ , а3 ( \ dP*a , 1 dp\ \ ,, п

здесь первый член определяется невязким обтеканием, а второй— взаимодействием давления.

3. Аппроксимационные формулы для сильного и слабого взаимодействия. Формулы (10) и (11) весьма громоздки и неудобны для быстрых расчетов из-за сложного вида зависимостей р*(К) и р*в(К) и табличного задания коэффициентов аи а-2, а3, а4, что затрудняет нахождение коэффициентов при промежуточных значениях параметров (tw, от, Т0). Если считать закон зависимости вязкости от температуры степенным (от = const), то квадратичные аппроксимационные формулы а,(£да), г'= 1, 2, 3, 4, обеспечивают вполне достаточную точность. Приведем аппроксимационные формулы для случая натурного обтекания, от = 0,67:

а, с„ = 2,400 + 2,563 tw - 0,608 tl; j

а*» = 8,477+ 9,477/.- 1,426 & I 2

a3oo = 0,512 + 1,322/. —0,168

a4oo = 4,072 — 1,595 tw + 0,819 & )

Выбором в (12) в качестве второго индекса оо подчеркивается, что случай от = 0,67 соответствует большим температурам. Аналогичный вид имеют аппроксимационные формулы в случае m — 1:

а, о = 2,088 + 2,683 tw - 0,487 /¿; аг о = 5,034 + 10,51 tw — 0,352 th; (13)

аз о == 0,363 + 1,251 tw; ai о = 2,970.

Случай т = \ соответствует малым температурам, и в качестве второго индекса в формулах (13) выбран нуль.

Как следует из формул (12), (13), значения а10 и аг00 отличаются между собой весьма сильно. Это отличие нельзя не учитывать при моделировании натурных условий в трубе и пересчете данных трубного эксперимента на натурные условия. Следует также отметить, что на практике (и в расчетах, и в эксперименте) представляют интерес промежуточные значения параметров (Т0, tw), для которых не подходят формулы (12) и (13) (см. таблицы).

С 0,2 0,4 0,6 t„ 0 0.2 0,4 0,6 t„ 0 0,? 0.1 . 0.6 tu

Работа [/] Формула (14)

Х=1Ч- ----Т0 = 1000°

--- 500°

--290°

Рис. 1

В результате анализа расчетных данных [1], [2] оказалось, что наиболее удачной парой параметров подобия, учитывающей температуру поверхности и закон зависимости коэффициента вязкости от температуры, являются температурный фактор tw и характерная температура Т* (7). При этом весьма простая аппроксимационная формула, имеющая одинаковый вид для различных ah обеспечивает хорошую точность в широком диапазоне Т0, tw (¿=1, 2, 3, 4)

a-i о + а,-,

7"* \2

>(l50°

1 + (¡5Г-)

причем а;->аго при Т* -> 0, а1 -¡- а(00 при Т^-^ос. Погрешность аппроксимационных формул (14) во всем исследованном диапазоне параметров не превышает 3%. На рис. 1 дано сравнение коэффициентов аи а2, а4, вычисленных по формуле (14), и соответствующих коэффициентов, полученных по данным работы [1].

Ввиду сложного характера зависимостей Р*Н(К) и р*в(К) представляется целесообразным заменить функции от них, входящие в формулы (10), (11), аппроксимационными зависимостями, простыми для использования и удобными для анализа влияния параметра К. Рассмотрим предельные значения параметра К, /С-^0, °о. При малых значениях К, разлагая зависимости р*н{К) и р*в(К) в ряд по К и оставляя в полученных разложениях лишь главные члены, получим

(Pi-Pi) 0 = 2х/С;

(V7H + Vpl)0= 2.

(15)

При больших значениях К разложения проводим Оставляя в результате лишь главные члены разложения,

V Л» Л- П

по 1 ¡к.

получим

(16)

(УК + Ур1 )о

Учитывая последующие члены разложения по К и по 1 ¡К, можно получить для предельных областей параметра К формулы, более точные, чем (15) и (16). В результате анализа характера упомянутых разложений, попыток их согласования при умеренных значениях К, сравнений с точными соотношениями были получены аппроксимационные формулы простой структуры для всего диапазона значений К от 0 до оо:

О

Л;

УК

1 аРи . 1 аР*в _ 1 / 2 г-Цх + \) К2

У7 аК " 2(х + 1)^х/0

(¡к

(17)

При АГ->0 К ^ оо — в

ОМ

0,01

002

(15), а при формул (17)

Рис. 2

формулы (17) переходят в соотношения соотношения (16). Погрешность первой из

не превышает 0,5% при х=1,4 и при х = 5/3. Максимальная погрешность второго соотношения (17) достигает 4% в случае х = 1,4 и 10% в случае х = 5/3. Максимум ошибки третьей формулы (17) равен 5% при х=1,4 и 6% при х = 5/3. Указанные максимальные отклонения от точных значений наступают при умеренных значениях К от 2 до 3.

На рис. 2 приведены погрешности первой и третьей формул (17). Таким образом, у главного члена в формулах для сх, су погрешность аппроксимаций по К чрезвычайно мала [первая формула (17)]. Остальные выражения входят в формулы для сх (10) и су (11) как малые добавки, поэтому и требования к их точности, естественно, ниже. Отметим также, что в наиболее интересном для практики случае х=1,4 погрешность аппроксимаций меньше. В целом формулы (17) обеспечивают разумный компромисс между требованиями точности и простоты. Подставляя (17) в формулы (10) и (11), получим приближенные соотношения для коэффициентов аэродинамических сил в области слабого взаимодействия.

1 М 2*2(х+|)

У&о * 2 (/.+ 1)

+

+

*(х + 1)

А'2;

М/Ие,,

2 х2 (х + 1)

1/ЙГо ' 2(х+1) + Х/(2

(18) (19)

4. Аппроксимационные формулы для всей области вязкого взаимодействия. На практике представляют интерес обычно не предельные значения параметров подобия, а обширная область умеренного взаимодействия. В результате анализа предельных соотношений (8), (9), (18), (19) и сравнения их с расчетами [1] в настоящей работе получены аппроксимационные формулы весьма простого вида для всего диапазона изменения параметра а2 УRе0 от 0 (сильное взаимодействие) до оо (слабое взаимодействие). Если а = 0, вместо a2]/Re используется параметр y^Re,, М~2; при сильном взаимодействии ]/Re0 М-2 0, при слабом ]/ Re0 М-2 оо. В качестве составных частей в аппроксимационные формулы входят главные значения аэродинамических коэффициентов для сильного взаимодействия (сх 0 и су0) и соответствующие коэффициенты при невязком обтекании с учетом трения, но без учета взаимодействия (схсо и Су«,). Следует отметить, что благодаря различию коэффициентов влияние трения при больших значениях ос2 у Re0 существенно больше, чем влияние взаимодействия давления, особенно при малых значениях температурного фактора tw.

Приведем окончательный вид аппроксимационных формул для аэродинамических коэффициентов во всей области вязкого взаимодействия.

** = (cf0 + с™ )2/3;

с*о=Лг; сх<х — -г?- у 16 + (*-(-1)2К2

ке0

М VRe0

■__1/4 + »(*+!) w

RpI У ° А '

(20)

cy = Vc% + c2yoo-,

(21)

Коэффициенты аи а2, а4 определяются по формуле (14) с учетом (7), (12), (13). Погрешность определения су не превышает 2% во всем рассмотренном диапазоне параметров. Точность определения

200

100 50

20 10 5

Х-1.Ч-, tv-0,05т=0,67 т-1

2001

[

X

\ -К-1 }И

С, L ST ч —

К 1 ^

4>

100 50

20 10 5

о фор мула (20) . » (21)

\

ч кИС/]

К=0,5

Г-Z — —,

0,2 0,5 1 2 oc.ziШ]

0,2 0,5 1 2

Рис. 3

сх ниже. В наиболее интересной для приложений области малых значений tw (натурное обтекание) ошибки определения сх лежат в пределах 5%. В случае теплоизолированной поверхности при х = 1,4 при некоторых сочетаниях параметров (весьма редких в трубных условиях) ошибки достигают 10%, а при х = 5/3 даже превышают 10%.

На рис. 3 приведены некоторые результаты расчетов по аппроксимационным формулам (20), (21); там же для сравнения нанесены соответствующие зависимости работы [1]. Таким образом, формулы (20), (21) обеспечивают приемлемую для быстрых оценок точность аппроксимации в широком диапазоне параметров подобия. Они могут быть использованы для расчета аэродинамических коэффициентов пластины в натурных условиях, в целях моделирования и пересчета результатов трубного эксперимента на натурные условия, в различного рода вариационных задачах и параметрических исследованиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Галкин В. С., Ж б а к о в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1187, 1970.

2. Галкин В. С., Николаев В. С. О моделировании вязких гиперзвуковых течений в аэродинамических трубах. »Ученые записки ЦАГИ", т. 1, № 4, 1970.

3. Cheng Н. К., Н а 11 J. G., Go 11 an Т. С., Hertzberg А. Boundary-layer displacement and leading-edge effects in high-temperature hypersonic flow. ,J. Aerospace Sci.*, vol. 28, N 5, 1961.

Рукопись поступила 121IV 1978 г.