CC BY
3
УДК 004.986
https://doi.org/10.35546/kntu2078-4481.2021.U4
В.Г. ШЕРСТЮК
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-9096-2582 Р.М. ЛЕВКЮСЬКИЙ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-9280-8098
в.м. гусев
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-7775-2276 IB. СОКОЛ
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-7324-1441 1.О. ДОРОВСЬКА
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0001-5990-0992
МЕТОД ПОШУКУ БЕЗПЕЧНИХ ТРАСКТОР1Й РУХУ БЕЗП1ЛОТНИХ
АПАРАТ1В
У сmаmmi запропоновано метод пошуку безпечних траекторш руху в конфiгурацiйному просторi, поданому м'якою наближеною або м'якою нечiтко-наближеною топологiею, що використовуе коридори безпечного руху, заснованi на суперпозицИ багаторiвневих дометв безпеки. Метод використовуе модель конфiгурацiйного простору, яку подано у виглядi дворiвневоi динамiчноi топологИ, що враховуе визначен багаторiвневi домени безпеки р1зних розмiрiв i форм. На першому рiвнi моделi визначаються м 'як «вшьний для руху» пiдпростiр та пiдпростiр перешкод, на другому рiвнi отриман м 'як тдпростори розбиваються на м 'як наближенi просторовi елементи, що мають рiзнi ступенi безпеки та розмитi межi. Запропонований метод пошуку безпечних траекторш руху по^довно звужуе конф^рацшний простiр, використовуючи метод потенцтних полiв та метод пошуку подiбних просторових конфiгурацiй 1з застосуванням евристики, засновано'1' на нелiнiйних властивостях дискретного простору пошуку, що дозволяе забезпечити продуктивтсть ктцевого пошуку безпечних траекторш за методом ЯЯТ, достатню для динамiчного планування спшьного руху в системах управлтня безпшотними апаратами в реальному чаа. Нелiнiйну евристику засновано на оцтщ об 'ему секторних комiрок у сферичнш топологИ, за рахунок чого обмежено вплив негативних явищ передискретизацИ й надто широкого розподшу випадкових точок та забезпечено адекватне врахування умов взаемодП й динамiки стльного руху безпшотних апаратiв. Використання запропонованого методу дозволяе зменшити розмiрнiсть простору пошуку, що забезпечуе продуктивтсть, достатню для динамiчного планування стльного руху в системах керування реального часу.
Ключовi слова: безтлотний апарат, конфiгурацiйний простiр, локальний пошук шляху, домен безпеки, безпечна траекторiя, коридор безпечного руху, м 'яка топологiя.
В.Г. ШЕРСТЮК
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-9096-2582 Р.М. ЛЕВКЮСЬКИЙ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-9280-8098
в.м. гуСев
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-7775-2276 IB. СОКОЛ
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-7324-1441 1.О. ДОРОВСЬКА
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0001-5990-0992
МЕТОД ПОИСКА БЕЗОПАСНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫХ АППАРАТОВ
В статье предложен метод поиска безопасных траекторий движения в конфигурационном пространстве, представленном мягкой приближенной или мягкой нечетко-приближенной топологией, использующий коридоры безопасного движения, основанные на суперпозиции многоуровневых доменов безопасности. Метод использует модель конфигурационного пространства, представленную в виде двухуровневой динамической топологии, учитывающий заданные многоуровневые домены безопасности различных размеров и форм. На первом уровне модели определяются мягкие «свободное для движения» подпространство и подпространство препятствий, на втором уровне полученные мягкие подпространства разбиваются на мягкие приближенные пространственные элементы, имеющие различные степени безопасности и размытые границы. Предложенный метод поиска безопасных траекторий движения последовательно сужает конфигурационный пространство, используя метод потенциальных полей и метод поиска подобных пространственных конфигураций с применением эвристики, основанной на нелинейных свойствах дискретного пространства поиска, что позволяет обеспечить производительность конечного поиска безопасных траекторий методом RRT, достаточную для динамического планирования совместного движения в системах управления беспилотными аппаратами в реальном времени. Нелинейная эвристика основана на оценке объема секторных ячеек в сферической топологии, за счет чего ограничено влияние негативных явлений передискретизации и слишком широкого распределения случайных точек, а также обеспечен адекватный учет условий взаимодействия и динамики совместного движения беспилотных аппаратов. Использование предложенного метода позволяет уменьшить размерность пространства поиска и обеспечивает производительность, достаточную для динамического планирования совместного движения в системах управления реальном времени.
Ключевые слова: беспилотный аппарат, конфигурационное пространство, локальный поиск пути, домен безопасности, безопасная траектория, коридор безопасного движения, мягкая топология.
V.G. SHERSTJUK
Kherson National Technical University
ORCID: 0000-0002-9096-2582 R.N. LEVKIVSKYI
Kherson State Maritime Academy
ORCID: 0000-0001-9280-8098 V.N. GUSEV
Kherson State Maritime Academy
ORCID: 0000-0001-7775-2276 IV. SOKOL
Kherson National Technical University
ORCID: 0000-0002-7324-1441 I.O. DOROVSKAJA
Kherson National Technical University
ORCID: 0000-0001-5990-0992
METHOD OF SEARCH FOR SAFE MOTION TRAJECTORIES OF UNMANNED
DEVICES
This paper proposes a method for planning safe trajectories in a configuration space represented by a soft rough or soft fuzzy-rough topology, which uses safe motion corridors based on the superposition of multilevel safety domains. The method uses a model of configuration space, which is defined by a two-level dynamic soft topology, which takes into account certain multi-level safety domains of different sizes and shapes. At the first level of the model, soft "free for movement" subspace and subspace of obstacles are defined, while at the second level the obtained soft subspaces are divided into soft rough spatial elements with different degrees of safety and blurred boundaries. The proposed method of planning safe trajectories of the joint motion consistently narrows the configuration space using the method of potential fields and the method of finding similar spatial configurations using heuristics based on nonlinear properties of discrete search space, which allows to ensure the performance of the final search for safe trajectories sufficient for planning safe trajectories in unmanned vehicle control systems in real time. Nonlinear heuristics are based on estimating the volume of sector cells in a spherical topology, which restrict the impact of negative phenomena of oversampling and too wide distribution of random points and ensures adequate consideration of the conditions of interaction and dynamics of joint motion of unmanned vehicles. The use of the proposed method reduces the dimension of the search space, which provides performance sufficient for dynamic planning of the joint motion of unmanned vehicles in real-time control systems.
Keywords: unmanned vehicle, configuration space, local path planning, safety domain, safe trajectory, safe motion corridor, soft topology.
Постановка проблеми
Техшчний прогрес стимулюе застосування великих груп безпшотних апарапв (БА) для виршення низки задач, небезпечних для життя та здоров'я людини. Так, операцп промислового рибальства, що характеризуються невизначешстю та динaмiкою цiлей, можуть виконуватися гетерогенною групою автономних БА, як спiльно i одночасно за певними ролями виконують сценарп в межах призначених 1м мiсiй для досягнення задано! спшьно! мети - вилову риби. Рухаючись запланованими тpaектоpiями до заданих цiлей, БА мають тдтримувати визначену просторову конфiгуpaцiю, уникати перешкод та зггкнень iз iншими рухомими об'ектами, збер^аючи вiд них безпечну вiдстaнь [1]. Оск1льки середовище руху е динaмiчним, непередбачуваним i лише частково спостережуваним, пiд час стльного руху БА за попередньо запланованими тpaектоpiями виникають ситуaцiйнi збурення, яш змушують БА маневрувати. Проте, змша траекторп руху одним БА може ввдчутно впливати на траекторп руху шших БА, збурюючи !х та вимагаючи змiнити тpaектоpiю руху, сценарш або нaвiть план виконання мюп. Отже, пiд час упpaвлiння спшьним рухом динaмiкa середовища створюе для бортово! системи упpaвлiння БА необхшшсть виpiшувaти задачу динaмiчного планування траекторш руху в реальному чaсi, реагуючи на ситуaцiйнi збурення. Виpiшення ще! зaдaчi ускладнюеться наявними обмеженнями часу, технiчних можливостей, пapaметpiв БА, !х вiдносного просторового положення, динaмiкою цшей та непеpедбaчувaнiстю !х поведiнки.
Вплив низки фaктоpiв невизнaченостi та обмежень в чай вшносять задачу динашчного планування безпечних тpaектоpiй руху до класу складних i вaжкофоpмaлiзовaних, тому в динaмiчному i слабкоструктурованому сеpедовищi !! неможливо розв'язати вiдомими методами планування у реальному чай, оскшьки одночасне маневрування множини БА обумовлюе iтеpaтивнi обчислення [2], як1 мають тим бшьшу обчислювальну склaднiсть, чим б№ше рухомих об'ектiв зосереджено у межах простору взаемодп. Отже, юнуе пpотиpiччя мiж склaднiстю зaдaчi динaмiчного планування безпечних тpaектоpiй спiльного руху та необхшшстю !! виpiшення в реальному чай.
Питання керування спшьним рухом знайшли свое вiдобpaження в роботах багатьох вичизняних i зapубiжних вчених, однак, на даний час щ питання вщпрацьоваш недостатньо, а проблеми управлшня спiльним рухом БА е надто далекими вiд вичерпного piшення, що робить задачу динaмiчного планування безпечних тpaектоpiй руху БА актуальною та обумовлюе гостру потребу у створенш нових високоефективних моделей i методiв динaмiчного планування безпечних траекторш стльного руху.
AH^i3 останшх дослiджень i публiкацiй
Проблема динaмiчного планування спiльного руху БА е предметом штересу багатьох дослiдникiв, що вшображено у численних публiкaцiях. В задачах глобального планування визначають траекторш руху ввд певно1' вихiдно1' точки до задано! цшьово! точки з урахуванням заданих критерпв. Методи глобального планування використовують шформацш, яка вшома про середовище руху aпpiоpi, в тому чи^ розташування статичних перешкод. Однак, динашчш збурення, як1 е ситуацшними перешкодами, вимагають повторного планування траекторш для врахування обставин, яш не були вpaховaнi пiд час початкового планування через юнуючу невизначешсть [3].
Виpiшення цiе! зaдaчi е основним предметом розгляду цiе! стат. На даний момент запропоновано низку пiдходiв та безлiч aлгоpитмiв планування траекторш, пов'язаних iз плануванням руху БА. Нараз^ iснуе евристичний шдхш та вiдповiднi алгоритми, так1 як алгоритми Дейкстри, A*, D*, але добре вшомо, що так1 алгоритми мають високу обчислювальну складшсть, тому !х не можна використовувати для перепланування в реальному чaсi [4].
Якщо розглядати спiльний рух БА у пpостоpi C , то кожен БА мае виконувати заданий сценарш, рухаючись заздалепдь спланованим шляхом P, що може бути поданий як послшовшсть точок шляху (WP) або як послшовшсть пар "точка часу - точка шляху" (TP-WP), яш визначають бажаш пpостоpовi конфiгуpaцi! групи БА, зaдaнi в певш моменти часу, що подаються TP. Отже, тpaектоpiя (шлях) руху р
може бути представлена у виглядi послiдовностi Pi■ = \^(ТРл,ШРл),...{ТР^,WPij^,...(TPn,WPin)], TPn <TPtj <TPn,
визначено! на певному iнтеpвaлi часу, яку зручно використовувати для упpaвлiння рухом БА [5].
Бшьшють бiльш-менш придатних пiдходiв до побудови тpaектоpiй руху пов'язаш з використанням глобальних методiв планування шляху, систематичний огляд яких представлений в [6]: RM-пiдхiд на основi карт мapшpутiв, заснований на алгорштш побудови графу видимостi або на алгорштш побудови дiaгpaми Вороного, шдхщ на основi розкладання клгшн, пiдхiд на основi штучних потенцшних полiв та пiдхiд на основi побудови випадково! вибipки. Остaннiй включае iмовipнiсний метод карт мapшpутiв (PRM) та метод швидкого росту випадкових дерев (RRT). В системах управлшня БА найчаспше застосовуються саме два останшх методи [7].
Для виршення прoблем керyвання стшьним рyxoм БA бiльш важливими e питання динамiчнoгo планyвання траeктoрiй рyxy y cередoвищаx, як1 змiнюютьcя з чашм абo e не зoвciм cпocтережyваними, як1 вiднocятьcя дo лoкальниx метoдiв планyвання шляxy. Ocкiльки БA рyxаeтьcя, вiн пiддаeтьcя значнoмy впливу як динамiчниx (вiтер, xвилi, течи, тoщo), так i cитyацiйниx (рyxoмi oб'eкти, щo пoрyшyють йoгo траeктoрiю) збурень. Koжнoгo разу, якщo виникаe таке збурення, cиcтема yправлiння БA маe реагувати та вiдпoвiднo маневрувати, щoб уникнути зiткнення. Boднoчаc, маe зберiгатиcя задана прocтoрoва кoнфiгyрацiя (тобто вiднocне взаeмне пoлoження БA маe зберiгатиcя пiд чаc викoнання мюп) та забезпечyватиcь безпечна вiдcтань вщ iншиx рyxoмиx oб'eктiв та перештод. Oтже, пoпередньo запланoванy траeктoрiю рyxy p мoже бути змiненo, щo змycить iншиx yчаcникiв cпiльнoгo рyxy такoж кoригyвати cвoï траeктoрiï рyxy.
Oтже, щoб адаптувати траeктoрiю рyxy БA дo динамiчниx змiн cередoвища, пoтрiбнo ïï динамiчнo oнoвлювати вадшвадш дo збурень. Таке динамiчне oнoвлення мoже бути зведенo дo задачi динамiчнoгo планування шляxy [S], яку мoжна вирiшити шляxoм перепланування певнт фрагментiв шляxy абo кoригyвання параметрiв рyxy. Беручи дo уваги oбмеженi oбчиcлювальнi мoжливocтi бoртoвиx cиcтем управлшня БA, а такoж брак чаcy на уникнення зiткнень та перешюэд, для перепланування шляxy p стад викoриcтoвyвати дocить ефективнi метoди, oтже, для реагування на збурення в динамiчнoмy cередoвищi треба забезпечити мoжливicть реактивнoгo планування безпocередньo пiд чаc рyxy, тoбтo в реальнoмy чай. Oтже, алгoритм планування рyxy в реальшму чаci не мoже бути ггеративним.
Mетoд штyчниx пoтенцiйниx пoлiв рoзглядаe перешкoди в якocтi вщразливт пoлiв, тoдi як цiлi
- в ятоей привабливиx пoлiв. Oтже, рyx БA cпрямoвyeтьcя дo привабливт тoчoк прocтoрy, уникаючи при цьoмy вiдразливиx тoчoк. Oднак, метoди штучнт пoтенцiйниx пoлiв, як правилo, ви^р^тов^ть iтеративнi метoди oптимiзацiï, щo рoбить ïx oбчиcлювальнo iнтенcивними та oбмеженo придатними для вирiшення задач реактившго планування траeктoрiй [9].
Mетoди випадкoвoï вибiрки виникли як пoтyжний шструмент для планування шляxy y кoнфiгyрацiйниx прocтoраx великиx рoзмiрiв, ïx алгоритми e oднoчаcнo ефективними та прocтими y реалiзацiï. Oднак, метoди лoкальнoгo планування з кiлькoма запитами (PRM, DRM) мають так1 cyттeви недoлiки, як прямий рiвнoмiрний рoзпoдiл вибiрки та неявне пoдання прocтoрy, щo пoтребye iнтенcивниx пoпереднix oбчиcлень. Kрiм тoгo, алгoритм PRM не гаран^ найкoрoтшиx траeктoрiй [10].
На вщм^ вiд лoкальниx метoдiв планування з шльюзма запитами, в метoдаx, щo працюють на ocнoвi oднoгo запиту, такиx як RRT, пoпереднi oбчиcлення вiдcyтнi. Xoча це даe мoжливicть cтвoрювати невелик! карти маршрyтiв на льoтy, метoд RRT e надто cxильним дo передиcкретизацiï. Kрiм того, методи, заcнoванi на випадкoвиx вибiркаx, не e пoвнoцiнними, ocкiльки не забезпечують пoвнoтy пoшyкy
- вoни не працездатнi в такиx cитyацiяx, кoли не мoже бути знайдеш жoднoгo icнyючoгo шляxy [11].
Для пoдoлання вищезазначениx недoлiкiв дoцiльнo рoзрoбити пбридний метoд, щo пoeднye юнуючий метoд RRT з метoдoм штучнт пoтенцiйниx пoлiв, як1 мають дoпoвнювати oдин oднoгo. Щoб швелювати прoблеми ви6!рки, нам cлiд рoзрoбити таку мoдель кoнфiгyрацiйнoгo прocтoрy, яка не буде вимагати iтеративниx oбчиcлень, щo мoже зменшити oбчиcлювальнy cкладнicть.
Kлючoвим аcпектoм пoeднання метoдiв RRT та штучнт пoтенцiйниx пoлiв e пoбyдoва прocтoрoвoï мoделi, заcнoванoï на тoпoлoгiчнiй мoделi, надiленiй метричними влаcтивocтями, щo дoзвoлить уникнути iнтенcивниx рoзраxyнкiв, для чoгo мoжyть бути викoриcтанi дoбре вiдoмi геoметричнi пiдxoди, заcнoванi на вiднocниx прocтoрoвиx oцiнкаx (так зваш «точки зигснення»), так1 як «to^ot», «oблаcтi безпеки», «точки наближення» тoщo [12].
Мета дослiдження
Цю статтю cпрямoванo на рoзрoбкy гiбриднoгo методу шшуку безпечниx траeктoрiй рyxy в ram^cri керування cпiльним рyxoм БA, щo пoeднye метoд RRT з метoдoм штyчниx пoтенцiйниx пoлiв. Ця задача вiднocитьcя дo клаcy лoкальниx задач планування траeктoрiй рyxy БA, тoбтo планування в реальнoмy чай, безпocередньo тд чаc рyxy, щo вимагаe пoм'якшення yмoв невизначенocтi. Шрб пoдoлати прoблемy oбчиcлювальнoï cкладнocтi, викoриcтанo тoпoлoгiчнy мoдель прocтoрy з викoриcтанням диcкретизацiï м'якoю мнoжинoю.
Для пoбyдoви гiбриднoгo метoдy викoриcтанo кoнфiгyрацiйний ^oc^, щo мoже бути пoданий м'ятою наближенoю абo нечiткo-наближенoю тoпoлoгieю, в межаx якoгo на ocнoвi cyперпoзицiï багатoрiвневиx дoменiв безпеки мoжyть бути визначеш кoридoри безпечнoгo рyxy.
Метою дocлiдження e пoбyдoва гiбриднoгo методу шшуку безпечнт траeктoрiй рyxy БA, щo за раxyнoк викoриcтання запрoпoнoваниx евриcтик зменшye рoзмiрнicть прocтoрy шшуку випадкoвиx тoчoк визначеними кoридoрами безпечшго рyxy та дoзвoляe oтримати прoдyктивнicть пoшyкy безпечниx траeктoрiй за метoдoм RRT, дocтатню для динамiчнoгo планування cпiльнoгo рyxy в реальнoмy чаа.
Викладення основного MaTepi&^y дослвдження
Постановка 3ada4i динамiчного планування безпечного спЫьного руху
Нехай позищя кожного БА в простор! та параметри його руху визначаються множиною з к параметр1в. Кожний БА е рухомою точкою в к -вим1рному конф1гурацшному простор! C .
Конф!гуращя q е одиничною точкою в конф1гурацшному простор! C . Конф!гуращя q е безпечною, якщо БА в точщ q не взаемод1е m з одною з перешкод або з шшими рухомими об'ектами.
Вшьний для руху шдпроспр F е тдмножиною вйх безпечних конф!гурацш з C . Обмежений для руху шдпроспр B е доповненням F до C : B = C\F •
Задачу планування траекгорп БА U може бути подано як задачу пошуку шляху P з певно! стартово! конф1гурацИ q до цшьово! конф1гурацИ q, такого що повшстю метиться у вшьному для руху простор! F. Планування траекторш завжди виконуеться в межах конф1гурацшного простору C .
Шлях P визначаеться неперервною послшовшстю конф!гурацш.
Динам1чне планування траекгорп в момент t визначаеться як змша шляху P з поточно! конф1гурацп q{t) до цшьово! конф!гурацп qt щоразу, коли змша конф!гурацшного простору C виводить будь-як фрагменти шляху P за межi в!льного для руху п!дпростору F (тобто, коли будь-який фрагмент P потрапляе до п!дпростору B ).
Просторова модель задачi динамiчного планування траекторш руху
Нехай T - множина вшлЫв часу. Побудуемо дискретну модель часу за допомогою вшношення суворого порядку <Т, таку що T = {[t;, tt+1 = tt + At), <) .
Побудуемо тривим!рний евкл!д!в проспр C, дискретизований однор!дною метричною с!ткою D координатних прямих так, що D утворюе тривим!рний масив !зометричних куб!чних ком!рок j , де х, у, z е !ндексами, що в!дпов!дають в!сям простору C. Будемо розглядати ком!рку як однор!дну тривим!рну ф!гуру (куб), що мае розм!р 5*5*5 та надшена властив!стю об'ему. Якщо у D визначити функцш вшсташ (метричну функц!ю) , таку що l;D: D * D ^ , отримаемо дискретний метричний прост!р {D,fB), який за допомогою рефлексивного, симетричного та транзитивного в!дношення нерозр!зненосп с D * D може бути подано як тополопчний проспр T>.
Будемо використовувати {D,fD ) як просторову модель для задач! динам!чного планування траекторш, де будь-який об'ект (в т.ч. БА) може займати або одну ком!рку, або певну множину сум!жних ком!рок, а його рух може бути подано як зм!ну його позицп у простор! {D,fD) впродовж певного
!нтервалу часу, заданого на T , яку може бути визначено за допомогою функцп Pos {At), засновано! на метрищ .
Домени безпеки, що традицшно використовуються як зас!б визначення безпечност! руху, побудуемо на основ! дискретизацп сфери з в!дкритим рад!усом та центром в певн!й ком!рщ d е D, за допомогою кутово! с!тки координатних лшш з р!вними кутами та р!вном!рним дискретним рад!усом, що д!лять И на m кутових дискретних елемент!в, а рад!ус - на одноршш дискретн! елементи Al, спрямоваш в!д центру сфери назовн!. Отже, отримуемо дискретну сферу W , що е множиною секторальних ком!рок wiJk, як! е !! найменшими елементами, однор!дними за !х внутр!шн!стю (!нтер'ером).
Простори D та W поеднуються м!ж собою за допомогою !зометрично! б!екц!! %: D ^ W , яка дозволяе взаемно перетворювати прямокутш координати, визначеш у йтщ D, та полярш координати, визначен! у сферичнш с!тц! W, а отже, . В!дзначимо, що метрика може бути нел!н!йною,
якщо !! засновано на об'емних властивостях секторальних ком!рок. В будь-якому раз!, метрика дозволяе визначити в!дношення нерозр!зненост! с W *W за множиною вйх секторальних ком!рок, що м!стяться в дискретн!й сфер! W, та на його основ! подати вшповшний сферичний тополопчний проспр Tw, який також може бути нелшшним.
За допомогою вшношення часткового порядку ' г, що упорядковуе меж! r0 {t),...rm {t) по вшношенню до певно! шкали Q = {®1;...fflmj, так що r0 {t)' r...' rrm{t), на дискретному сферичному
простор! може бути побудовано багатор!внев! сферичш або, за певних умов, несферичш багатор!внев! домени безпеки, що подаються тривим!рними просторовими областями (рис. 1). Вс! секторальш ком!рки
топологи Тт, що зосереджеш всередиш певного , -го домену безпеки щ, мають оцшку небезпеки Д вiдповiдно до табл. 1.
Рис. 1. Багаторiвневi сферичш домени безпеки
Побудова конф^рацшного простору для пошуку безпечних траекторш спЫьного руху Конф^урацшний проспр подаемо у виглад м'яко!' топологи. II перший рiвень засновано на вiднесеннi стану комiрок до множини можливих сташв У (табл. 2).
Таблиця 1
Визначення багаторiвневих доменiв безпеки
Домен безпеки, со Межа, г Ступiнь небезпеки, Я Рiвень безпеки
щ Г (*) 0 Безпечно
о4 Г4 (* ) 0,2 Майже безпечно
щ Гз (* ) 0,4 Суперечливо
щ Г2 (* ) 0,6 Небезпечно
щ г (*) 0,8 Критично
щ0 Г (* ) 1 Заборонено
Таблиця 2
Визначення можливих станш комiрок просторово! моделi
Стан Значення Категорiя Пiдпростiр Потенцшне поле
вiльна комiрка Вшьна 7 Привабливе
У\ цшь Зайнята В
У 2 мiстить перешкоду Вiдразливе
уз рухомий об'ект (свш)
У 4 рухомий об'ект (чужий)
Нехай У(V) = {у, )} - множина можливих станiв комiрок ^ еЖ потужнiстю к +1. Осшльки стан комiрок залежить вщ часу, множина У е динамiчною. Розбиття конфiгурацiйного простору С на тдпростори 7 та В також е динамiчним.
Розглянемо унiверсум Ж, вважаючи елементи множини У як параметри.
Пара (Т,У) утворюе м'яку множину комiрок [13], що е параметризованим сiмейством тдмножин множини комiрок Ж, якщо Т е вiдображенням У у множину вйх пiдмножин множини Ж , Т: у, ^ 2Ж. Тодi Т. =(Т,у), у еУ е у -елементом м'яко1 множини тобто множиною у -
апроксимованих елеменпв м'яко! множини, а (Т,У) подае Ж як Т = ^{Т,.}к , тобто як об'еднання всiх
к II у1 -елеменпв, як1 складають безлiч пар Т,. = {(Т,у1): у, е У,(Т,у,) е 2Ж} [14].
Задаемо на множит комiрок Ж динамiчне вщношення у -нерозрiзненостi
(Уу, е У) ЭТЖ (0 = {К, ^) е Ж хЖ | у, {м>т, = у, (м>п, *)} .
Тодi кожний у -елемент Уг розбивае W на класи екывалентносп, що визначенi вiдношенням у -нерозрiзненостi ЭТУ (г) в момент часу t, а отже, е фактор-множиною W / (г), що мютить всi класи еквiвалентностi W наведеш вiдношенням ЭТу (t). Отже, пара аргж = ЭТУ (()) утворюе динамiчний простiр апроксимаци, що визначае динашчну м'яку топологiю Def (аргш) та динамiчний м'який
тополопчний простiр (г) = (W,Def (aprW)) [15].
Другий рiвень м'яко! множини розбивае елементи першого рiвня м'яко! множини на класи екивалентносп, що вiдповiдають нерозрiзненостi комiрок за ступенем !х безпеки.
Нехай L(г) = {^ (г)} ^ - шкала ступенiв безпеки комiрок ^ е W , така що \(г)' ...' Лд(г)
Осшльки стан комiрок залежить вiд часу, множина Ь теж е динашчною.
На другому рiвнi кожний Уг -елемент м'яко! множини (У(г),У) розбивають на зони безпеки вщповщно до ступеня безпеки Л0,...Ад комiрок.
Нехай (У(г), У) - м'яка множина, така що У(г) = и{Уг (г)}^, У,, (г) = |(у(г), у): у е У,(у(г),у )е 2W}. Нехай ЭТ^ е вiдношенням Х] -нерозрiзненостi, визначеним на у -елементi у (г) м'яко! множини (У(г) ,У), таким що
К )*„ ЭТУ: «={( ^, ^ х^ | ^ еу, (г), ^ еу, (г)}.
Отримуемо Я. -апроксимацiю кожного з у -елеменпв множини (У(г),У).
Нараз!, ((V ( /), К), е динам!чною б!-м'якою (двор!вневою) множиною.
Динам!чна двор!внева тополопя 'Т (() = ^аргп-, || е розбиттям у-елеменпв м'яко!
множини (У (г) ,У) на тдмножини апроксимаци Уу, (г), яш е Х] -пiделементами у -елементiв множини ((у(г),У),Ь(г)). Кожен елемент У (г) утворюе м'яку тополопю (г) [16].
Пара аргх ^ = (у, (г), ЭТ^ визначае динамiчний апроксимацiйний простiр на другому рiвнi, а
отже,
е динамiчною бьм'якою топологiю, яка подае конфiгурацiйний проспр (рис. 2) [17].
W НОС1Й У, (г) НОС1Й У, (г)
ар^ = ^, ЭТУ (г)) арГу(г) = (у, (г), ЭТУ(,))
прост1р апроксимаци
простф апроксимаци
! 1с = ^=„ М=„ 1, (г))
'••Г^ту
подвйна м'яка тополог'!я конфяурацШного простору
Рис. 2. Побудова динамiчноl бьм'яко!" тополога, що подае конф^урацшний простiр
Необхщшсть використання дворiвнево! м'яко! множини випливае з того, що кожна комiрка може бути вiднесена до певного ступеня небезпеки або безпеки безвщносно !! стану - тобто, ввд того чи вiльна вона для руху, чи в нш знаходиться певний рухомий об'ект (рис. 3).
Рис. 3. Визначення простору вшьного руху у динамiчнiй бьм'якш топологи
Побудова потенцшних nолiв у конфкурацшному просторi
На першому етат динамiчного планування траекторп руху БА використаемо метод потенцшних полiв. Всi ратше визначенi точки шляху та цш вважатимемо аттракторами, тобто рiзноманiттями, як притягають БА в процесi руху, а ва перепони та рухомi об'екти, що оточують БА, будемо вважати репеллерами, тобто рiзноманiттями, яш вiдштовхують БА. На цьому етат евристика полягае в тому, що репеллери вщакають небезпечнi областi з поверхш дозволеного руху, зрiзаючи небезпечну частину з ще! поверхнi за заданим пороговим рiвнем.
Будемо використовувати суперпозицш ступенiв небезпеки для вах комiрок, як1 мiстять репеллери, у певних тривимiрних областях, та переходимо до порядковое' шкали. Надбудовуемо над просторовою моделлю додатковий вимiр з вюсю значень в дiапазонi [-1, 1] та отримаемо поверхню дозволеного руху.
Далi за алгоритмом Дейкстри перевiряемо наявшсть неперервного шляху Е вiд поточно! конфиурацп q) до щльово! конфиурацп qí, та за його ввдсутносп маемо зменшувати пороговий
рiвень вiдсiчi до тих тр, поки за наявних умов руху неперервний шлях не з'явиться. Це дасть нам можливють визначити максимально допустиме значения ступеня небезпеки для подальшого використання доменiв безпеки.
Отже, на цьому етапi динамiчного планування траекторп' руху БА наш алгоритм дш е наступним:
1. Розмiщуемо у комiрках дискретного простору О ва зaплaновaнi конфиурацп та вщповщш аттрактори ( у , у ).
2. Розмiщуемо у комiркaх дискретного простору О всi репеллери, тобто вiдомi на поточний момент перешкоди, рухомi об'екти та ситуацшш збурення (у2, у , у4).
3. Визначаемо стутнь небезпеки Я для вах комiрок простору О, що вщповщають репеллерам.
4. Вираховуемо суперпозицш значень ступешв небезпеки множини клтгинок, що мiстяться у тривимiрнiй обласп д : Я = Я .
5. Перетворюемо оцшку ступеня небезпеки Яв за визначеною порядковою шкалою 3, використовуючи функцiю в: Яд ^ .
6. Надбудовуемо над площиною А додатковий (четвертий) вимiр з вюсю значень в дiaпaзонi [—1,1], робимо вщповщш отриманим значенням 9В дискретнi вiдлiки для кожного стовпчика д та
отримуемо тривимiрну поверхню дозволеного руху.
7. Репеллери вщакають небезпечнi облaстi з тривимiрно! поверхнi дозволеного руху через вщповщний зрiз поверхнi за заданим пороговим рiвнем т .
8. Процес пошуку неперервного шляху вiд поточно! конфиурацп q) до наступно! цшьово! конфиурацп qí починають iз значення порогового рiвня т = 1 з виконанням т -зрiзу поверхш:
- якщо неперервний шлях Е вiд q ) до ^ iснуе, на цьому пошук зак1нчуеться i обмежений проспр О*, що охоплюе винайдений шлях Е (тобто, мшмальний простiр, в який вписано винайдений маршрут Е ), повертаемо для побудови безпечних траекторш.
- якщо неперервний шлях ввд q ) до qt не знайдено, знижуемо пороговий рiвень т та повертаемось до виконання т -зрiзу поверхнi.
З мiркувaнь безпеки, шнцеве значення т не може бути менше 0,75. Якщо неперервний шлях Е не вдаеться побудувати, навиъ знижуючи значення т до 0,75, це означае, що задача динaмiчного планування не може бути виршена за наявних умов, отже, необхщно змшити певнi умови, наприклад, обрати шшу цiльову точку qí .
Сумщення м 'яких топологш, що враховуе щтьтсть
На другому етат сумiщуeться динамiчна м'яка тополопя, що подае конфiгурацiйний npocTip, з м'якими сферичними топологiями, що подають 6araTOpÍBHeBÍ домени безпеки (рис. 4).
Евристика полягае в тому, що, використовуючи нелiнiйнiсть об'ему секторних комiрок та знайдений на попередньому етапi пороговий рiвень вiдсiчi, прибираемо з розгляду всi тi тривимiрнi областi, яш подають домени безпеки на рiвнях, вищих або рiвних максимально допустимого ступеню небезпеки, що дозволяе звузити простр пошуку шляхiв.
Рис. 4. Сумщення топологИ конфiгурацiйного простору з тополопями доменiв безпеки
Нехай w^. е W - секторна комiрка, Vyt - ii об'ем, а Xijk - ii ступiнь безпеки. Алгоритм сумщення топологш е наступним:
1. Обчислюемо безпекову щшьшсть аук кожноi комiрки wíjk як oijk = jVi¡k .
2. Воображаемо секторнi комiрки у вщповщт кубiчнi комiрки d е D'. Ступiнь вiдповiдностi враховуемо за допомогою коефiцiенту перекриття у..к. Оск1льки кубiчна комiрка ^ мае об'ем V =S3, коефiцiент перекриття обраховуеться як yijk = Vy*/^* .
Секторна комiрка може мiститися в кубiчнiй комiрцi d^z
- повшстю (yiJk = 1)
- частково (0 <уук< 1)
- або зовам не мютитися (yíjk = 0).
4. Множина секторних комiрок {w¡,..wk}, як1 мають рiзну безпекову щшьшсть (ах,...ок), може накладатися на певну ^6Í4^ комiрку ^ одночасно. Отже, обчислюемо вшносну безпекову щiльнiсть
кожноi кубiчноi комiрки d^ е D' як р^ = ^^ {yi .
5. Обчислюемо для кожноi кубiчноi' комiрки d е D* безпекову щiльнiсть, вiднесену до об'ему
комфки Vxyz = Pxyz¡Vxyz .
Побудова коридору безпечного руху
На третьому етапi будуемо багаторiвневi конуси зiткнень, як1 дозволяють прибрати ва м'як1 елементи з рiвнем безпеки, меншим допустимого, з обмеженого на попередшх етапах конфiгурацiйного простору.
Алгоритм побудови коридорiв безпечного руху е наступним:
1. Будуемо тополопчний простiр TW навколо БА ц з центром в його позицп Pos (ц, t)
2. Будуемо багаторiвневi конуси зiткнень для кожного ц , що присутнiй в областi взаемодп.
3. Для кожноi клiтинки топологiчного простору TW визначаемо рiвень безпеки
к (t )=©;=1 V (t)).
4. Переходимо до топологiчного простору TD та обчислюемо рiвень безпеки у його клггинках, що мютяться у просторi взаемодп, виходячи з стартових умов &d = 1, 3á(t) = 1 — (t) .
5. Обираемо п кттини Тв , що вiдповiдають у0 - та, можливо, у1 -елементам конф^урацшного простору.
6. Будуемо вiдношення нерозрiзненостi яВй на множинi клiтинок В :
яВй ={(йт,йп)еВхВ\/(йт,9й) = /(йп,9й)} .
7. Вважаючи арт^ = (В, Я^ ) наближеним простором апроксимацп Павлака [18], будуемо м'яку наближену множину, що подае коридор безпечного руху:
ТВ (Ъ,*) = {V&л е п(в% (а) £ тВ (ъ,*)|й е в)}
тВ(&л,*) = {v&л (явй (а)пт„ (&л,*) *0|а ев)}
8. Будуемо м'яку нечигсо-наближену множину
Тв (*) = {(,{Тв(^, , ТВ(, *)}) : V Эл е О, Тд (Эй, *) е 2В } ,
що подае Зй -рiвневий динамiчний нечiтко-наближений тополопчний простiр:
(*)= (*) = В,Ве/ (Тв (Эл,*)))
/=1 /=1
який е м'яким об'еднанням ,Э;1 -елементарних коридор!в руху на момент / (рис. 5) [19].
9. Будуемо вцщошення толерантносп Я^ на множит триви\прни\ просторових областей Л , що утворюе класи толерантносп Я^ (г) та наближену область апроксимацп арг^ = (К. А'/.' ). Отримуемо вцщовцщий динам1чний тополопчний проспр 'Т.[г (г) = (К, Ое[(арг^ .
Рис. 5. Визначення м'якого наближеного коридору руху
10. Будуемо штер'ер та замикання тополопчного простору Т'.^ (/) на момент розгляду /.
11. Дискретизуемо гривимiрний топологiчний проспр на двовимiрнi дискрети х,- у потрiбнiй площинi для кожного моменту часу .
12. Отримуемо подання вiльного для безпечного руху простору ^, що е множиною винайдених коридорiв руху, який подаеться &й -рiвневим м'яким нечигсо--наближеним топологiчним простором
Отже, отримуемо коридор безпечного руху, поданий за допомогою м'яко! наближено! або м'яко! нечигсо-наближено! топологп, та визначаемо «вшьний для руху» пiдпростiр конф^урацшного простору, який звужуеться до меж наявних коридорiв руху (рис. 6) [20].
Рис. 6. Побудова безпечного простору вшьного руху в конфиурацшному просторi
Пбридний метод динамiчного планування безпечних траекторш
Запропоноваш алгоритми побудови конфпурацшного простору, побудови потенцшних полiв, сумщення топологш конфпурацшного простору та домешв безпеки, та побудови коридорiв безпечного руху дозволяють визначити безпечний проспр вiльного руху У в конфиурацшному просторi С , який суттево звужено за рахунок побудови коридорiв безпечного руху.
Дал1 для побудови шляху Р з певно! стартово! конфпураци до задано! цшьово! конфiгурацii д(, такого що повшстю метиться у вiльному для руху просторi У, може бути ефективно використаний алгоритм швидкого пошуку шляхiв RRT. Отже, нами побудовано пбридний метод динамiчного планування безпечних траекторш руху БА, що поеднуе процеси пошуку за алгоритмами RRT й потенцiйних полiв з методом побудови м'яких наближених коридорiв безпечного руху та вiдповiдних евристик, використання яких дозволило отримати достатньо низьку обчислювальну складнiсть, яка слабко залежить вiд числа об'ектiв, що одночасно рухаються, та забезпечити продуктившсть пошуку траекторiй, яка вiдповiдае вимогам до роботи в реальному чай. На рис. 7 представлено схему отримання розв'язку задачi динамiчного планування безпечних траекторш спшьного руху групи БА, що використовуе м'яку динамiчну топологiю, якою подано конфiгурацiйний проспр.
Рис. 7. Виршення задачi динамiчного планування безпечних траeкторiй руху
Висновки
1. Побудовано модель конфiгурацiйного простору, що подаеться у виглядi дворiвневоï динамiчноï м'якоï, м'яко1 наближено1' або м'яко1' нечiтко-наближеноï топологiï, простiр апроксимаци якоï побудовано в системi вкладених багаторiвневих доменiв безпеки, що дозволяе використати властивють нелiнiйностi дискретного сферичного простору для побудови евристики пошуку безпечно1' траекторiï, засновано1' на ощнщ об'ему комiрок, за рахунок використання яко1' обмежено вплив негативних явищ передискретизацiï й надто широкого розпод^ випадкових точок.
2. Запропоновано метод пошуку безпечних траекторш руху в конфиурацшному простор^ поданому м'якою наближеною або м'якою нечпко-наближеною топологiею, який використовуе коридори безпечного руху, засноваш на суперпозици багаторiвневих доменiв безпеки, накладених на м'яку наближену топологш, що подае проспр взаемодiï, та послщовно звужуе конфiгурацiйний простiр,
використовуючи метод потенцшних полiв Í3 застосуванням евристики, засновано! на нелшшних властивостях простору пошуку.
3. Використання запропонованого методу пошуку безпечних траекторш руху дозволяе отримати наближений тдпроспр вiльного руху конфiгурацiйного простору, суттево звужений до меж1 визначених коридорiв безпечного руху, та зменшити розмiрнiсть простору пошуку випадкових точок за методом RRT, що забезпечуе адекватне врахування умов взаемодiï та динамiки руху безпiлотних апаратiв та дозволяе отримати продуктивтсть концевого пошуку безпечних траекторш за методом RRT, достатню для динамiчного планування спiльного руху в системах управлшня безпiлотними апаратами в реальному часi.
Список використаиоТ лiтератури
1. Sherstjuk V. Scenario-Case Coordinated Control of Heterogeneous Ensembles of Unmanned Aerial Vehicles. Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments: Proceedings of the 2015 IEEE 3rd International Conference, Kyiv, 2015, pp. 275-279.
2. Sargolzaei, A., Abbaspour, A., Crane, C.D.: Control of Cooperative Unmanned Aerial Vehicles: Review of Applications, Challenges, and Algorithms. Optimization, Learning, and Control for Interdependent Complex Networks. Advances in Intelligent Systems and Computing, 2020, vol. 1123, pp. 229-255.
3. Skowron, M., Chmielowiec, W., Glowacka, K., Krupa, M., Srebro, A.: Sense and avoid for small unmanned aircraft systems: Research on methods and best practices. Journal of Aerospace Engineering, 2019, vol. 233(16), pp. 6044-6062.
4. Abbasi, Y., Moosavian, S., Novinzadeh, A.: Formation control of aerial robots using virtual structure and new fuzzy-based self-tuning synchronization. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2017, vol. 39(12), pp. 1-14.
5. Kang, S., Choi, H., Kim, Y.: Formation flight and collision avoidance for multiple UAVs using concept of elastic weighting factor. Int. Journal of Aeronautical and Space Sciences, 2013, vol. 14, pp. 75-84.
6. Patle, B.K., Babu L, G., Pandey, A., Parhi, D.R.K., Jagadeesh, A.: A review: On path planning strategies for navigation of mobile robot. Defence Technology, 2019, vol. 15(4), pp. 582-606.
7. Short, A., Pan, Z., Larkin, N., van Duin, S.: Recent progress on sampling based dynamic motion planning algorithms. Advanced Intelligent Mechatronics: Proceedings of the 2016 IEEE International Conference, USA, 2016, pp. 1305-1311.
8. González, D., Pérez, J., Milanés, V., Nashashibi, F.: A Review of Motion Planning Techniques for Automated Vehicles. IEEE Trans. on Intelligent Transp. Systems, 2016, vol. 17(4), pp. 1135-1145.
9. Aenugu, V., Woo, P.-Y.: Mobile Robot Path Planning with Randomly Moving Obstacles and Goal. International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2012, vol. 4(2), pp. 1-15.
10. Seif, R., Oskoei, M.A.: Mobile Robot Path Planning by RRT* in Dynamic Environments. International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2015, vol. 7(5), pp. 24-30.
11. Eljinini, M. A. H., Tayyar, A.: Collision-free Random Paths between Two Points. International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2020, vol. 12(3), pp. 27-34.
12. Mujumdar, A., Padhi, R.: Reactive Collision Avoidance Using Nonlinear Geometric and Differential Geometric Guidance. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2011, vol. 34(1), pp. 303-310.
13. Molodtsov, D.: Soft Set Theory - first results. Computers and Mathematics with Applications, 1999, vol. 37, pp. 19-31.
14. Maji, P. K., Roy, A. R., Iswas, R. B.: An application of soft sets in a decision-making problem. Computers and Mathematics with Applications, 2002, vol. 44(8-9), pp. 1077-1083.
15. Zhang, H., Perez Fernandez, R., De Baets, B.: Topologies induced by the representation of a betweenness relation as a family of order relations. Topology and its applications, 2019, vol. 258, pp. 100-114.
16. Tripathy, B. K., Arun, K. R.: Soft Sets and Its Applications. Handbook of Research on Generalized and Hybrid Set Structures and Applications for Soft Computing, IGI Global, 2016, pp. 65-85.
17. Sherstjuk V., Zharikova M., Levkivskiy R.: Bi-soft open sphere topology model of configuration space for reactive joint motion planning of unmanned vehicles. CEUR Workshop Proceedings, 2020, vol. 2608, pp. 169-183.
18. Li, Z., Xie, N., Gao, N.: Rough approximations based on soft binary relations and knowledge bases. Soft Computing, 2017, vol. 21, pp. 839-852.
19. Sherstjuk, V., Zharikova, M., Sokol, I., Levkivskiy, R.: Vehicles' Joint Motion Model Based on Dynamic Soft Rough Set. Advances in Intelligent Systems and Computing 2021, vol. 1247, pp. 231-242.
20. Sherstjuk V., Zharikova M., Levkivskiy R.: Computational model of soft safety domains and rough motion corridors within configuration spaces. CEUR Workshop Proceedings, 2020, vol. 2623, pp. 277-293.
References
1. Sherstjuk V. Scenario-Case Coordinated Control of Heterogeneous Ensembles of Unmanned Aerial Vehicles. Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments: Proceedings of the 2015 IEEE 3rd
International Conference, Kyiv, 2015, pp. 275-279. doi: 10.1109/APUAVD.2015.7346620.
2. Sargolzaei, A., Abbaspour, A., Crane, C.D.: Control of Cooperative Unmanned Aerial Vehicles: Review of Applications, Challenges, and Algorithms. In: Amini M. (eds) Optimization, Learning, and Control for Interdependent Complex Networks. Advances in Intelligent Systems and Computing, 2020, vol. 1123, pp. 229-255. doi: 10.1007/978-3-030-34094-0_10.
3. Skowron, M., Chmielowiec, W., Glowacka, K., Krupa, M., Srebro, A.: Sense and avoid for small unmanned aircraft systems: Research on methods and best practices. Journal of Aerospace Engineering, 2019, vol. 233(16), pp. 6044-6062. doi: 10.1177/0954410019867802
4. Abbasi, Y., Moosavian, S., Novinzadeh, A.: Formation control of aerial robots using virtual structure and new fuzzy-based self-tuning synchronization. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2017, vol. 39(12), pp. 1-14. doi: 10.1177/0142331216649021
5. Kang, S., Choi, H., Kim, Y.: Formation flight and collision avoidance for multiple UAVs using concept of elastic weighting factor. International Journal of Aeronautical and Space Sciences, 2013, vol. 14, pp. 75-84. doi: 10.5139/IJASS.2013.14.1.75
6. Patle, B.K., Babu L, G., Pandey, A., Parhi, D.R.K., Jagadeesh, A.: A review: On path planning strategies for navigation of mobile robot. Defence Technology, 2019, vol. 15(4), pp. 582-606. doi: 10.1016/j.dt.2019.04.011
7. Short, A., Pan, Z., Larkin, N., van Duin, S.: Recent progress on sampling based dynamic motion planning algorithms. Advanced Intelligent Mechatronics: Proceedings of the 2016 IEEE International Conference, USA, 2016, pp. 1305-1311. doi: 10.1109/AIM.2016.7576950
8. González, D., Pérez, J., Milanés, V., Nashashibi, F.: A Review of Motion Planning Techniques for Automated Vehicles. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2016, vol. 17(4), pp. 11351145. doi: 10.1109/TITS.2015.2498841
9. Aenugu, V., Woo, P.-Y.: Mobile Robot Path Planning with Randomly Moving Obstacles and Goal. International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2012, vol. 4(2), pp. 1-15. doi: 10.5815/ijisa.2012.02.01
10. Seif, R., Oskoei, M.A.: Mobile Robot Path Planning by RRT* in Dynamic Environments.
International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2015, vol. 7(5), pp. 24-30. doi: 10.5815/ijisa.2015.05.04
11. Eljinini, M. A. H., Tayyar, A.: Collision-free Random Paths between Two Points. International Journal of Intelligent Systems and Applications, 2020, vol. 12(3), pp. 27-34. doi: 10.5815/ijisa.2020.03.04
12. Mujumdar, A., Padhi, R.: Reactive Collision Avoidance Using Nonlinear Geometric and Differential Geometric Guidance. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2011, vol. 34(1), pp. 303-310. doi: 10.2514/1.50923
13. Molodtsov, D.: Soft Set Theory - first results. Computers and Mathematics with Applications, 1999, vol. 37, pp. 19-31. doi: 10.1016/S0898-1221(99)00056-5
14. Maji, P. K., Roy, A. R., Iswas, R. B.: An application of soft sets in a decision-making problem.
Computers and Mathematics with Applications, 2002, vol. 44(8-9), pp. 1077-1083. doi: 10.1016/S0898-1221(02)00216-X
15. Zhang, H., Perez Fernandez, R., De Baets, B.: Topologies induced by the representation of a betweenness relation as a family of order relations. Topology and its applications, 2019, vol. 258, pp. 100-114. doi: 10.1016/j.topol.2019.02.045
16. Tripathy, B. K., Arun, K. R.: Soft Sets and Its Applications. Handbook of Research on Generalized and Hybrid Set Structures and Applications for Soft Computing, IGI Global, 2016, pp. 65-85. doi: 10.4018/978-1-4666-9798-0.ch005
17. Sherstjuk V., Zharikova M., Levkivskiy R.: Bi-soft open sphere topology model of configuration space for reactive joint motion planning of unmanned vehicles. CEUR Workshop Proceedings, 2020, vol. 2608, pp. 169-183.
18. Li, Z., Xie, N., Gao, N.: Rough approximations based on soft binary relations and knowledge bases. Soft Computing, 2017, vol. 21, pp. 839-852. doi: 10.1007/s00500-016-2077-2
19. Sherstjuk, V., Zharikova, M., Sokol, I., Levkivskiy, R.: Vehicles' Joint Motion Model Based on Dynamic Soft Rough Set. Advances in Intelligent Systems and Computing 2021, vol. 1247, pp. 231-242. doi: 10.1007/978-3-030-55506-1_21
20. Sherstjuk V., Zharikova M., Levkivskiy R.: Computational model of soft safety domains and rough motion corridors within configuration spaces. CEUR Workshop Proceedings, 2020, vol. 2623, pp. 277-293.
