CC BY
35
УДК 004.986 https://doi.org/10.35546/kntu2078-4481.2020.1.1.19
В.Г. ШЕРСТЮК
Херсонський нацюнальний техшчний унiверситет
ORCID: 0000-0002-9096-2582 1.В. ДОРОВСЬКА
европейський унiверситет
ORCID: 0000-0001-5990-0992 Р.М. ЛЕВК1ВСЬКИЙ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-9280-8098
в.м. гусев
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-7775-2276
ОЦ1НКА ПОД1БНОСТ1 СИТУАЦ1Й В СЦЕНАРНО-ПРЕЦЕДЕНТНИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛ1ННЯ: ПРОСТОРОВ1 М1РИ
У cmammi розглянуто питання оцтки просторовог nodi6nocmi ситуацт в сценарно-прецедентних системах управлтня великими групами безпшотних апаратiв. До^джено iснуючi тдходи обчислювальног геометри до визначення мiр просторовог подiбностi, проведено аналгз гх особливостей. Запропоновано теоретичний пiдхiд до оцiнювання просторовог подiбностi, що заснований на поданнi просторових конфiгурацiй у виглядi шаблонiв та застосуванш мiр несхожостi, як визначають ступть гх розбiжностi, зворотний до ступеня подiбностi. Запропоновано дискретизовану просторову модель, основою яког е куля з несктченим радiусом та кутова система координат. На основi просторовог моделi побудовано нелiнiйнум'яку топологт вiдкритоi кулi, яку застосовано для подальшого визначення несхожостi шляхом вимiрювання метричног вiдстанi мiж топологiею шаблону та топологiею зразка. Використано метод оцiнки об'ему симетричног рiзницi шаблотв. Запропонований метод е iнварiантним до можливих перетворень шаблотв за допомогою обертання або масштабування, що зберiгають об'ем. Враховано наявтсть зон, що розбивають просторову конф^урацю вiдповiдно до ступеня впливу з мiркувань безпеки руху. Враховано часткову просторову схожкть щодо вкладених або пiдпорядкованих частин просторовог конф^урацИ. Запропонований метод може використовуватися для визначення ступеня подiбностi просторових шаблонiв, поданих у виглядi топологт, безвiдносно до конкретного класу цих топологт, використовуючи операци вiднiмання топологп. Результати дослiдження дозволяють використовувати сценарно-прецедентний пiдхiд при вирiшеннi важкоформалгзованих задач управлiння великими групами безпшотних апаратiв.
Ключовi слова: мiра подiбностi, просторова подiбнiсть, просторова модель, м 'яка топологiя, шаблон, об'ем симетричногрiзницi.
В.Г. ШЕРСТЮК
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-9096-2582 1.В. ДОРОВСЬКА
европейський ушверситет
ORCID: 0000-0001-5990-0992 Р.М. ЛЕВК1В СЬКИЙ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-9280-8098 В.М. ГУСеВ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-7775-2276
ОЦЕНКА ПОДОБИЯ СИТУАЦИЙ В СЦЕНАРНО-ПРЕЦЕДЕНТНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ: ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МЕРЫ
В статье рассмотрены вопросы оценки пространственного подобия ситуаций в сценарно-прецедентных системах управления большими группами беспилотных аппаратов. Исследованы существующие подходы вычислительной геометрии к определению мер пространственного подобия, проведен анализ их особенностей. Предложен теоретический подход к оценке пространственного подобия, основанный на представлении пространственных конфигураций в виде шаблонов и применении мер несхожести, определяющих степень их отличия, обратную степени подобия. Предложена дискретизированная пространственная модель, в основе которой лежит шар с бесконечным радиусом и
угловая система координат. На основе пространственной модели построена нелинейная мягкая топология открытого шара, которая применяется для дальнейшего определения несхожести измерением метрического расстояния между топологией шаблона и топологией образца. Использован метод оценки объема симметричной разницы шаблонов. Предложенный метод является инвариантным к возможным преобразованиям шаблонов с помощью вращения или масштабирования, которые сохраняют объем. Учтено наличие зон, которые разбивают пространственную конфигурацию в соответствии со степенью воздействия на безопасность движения. Учтено частичное пространственное подобие по вложенным или подчиненным частям пространственной конфигурации. Предложенный метод может использоваться для определения степени подобия пространственных шаблонов, представленных в виде топологий безотносительно конкретного класса этих топологий, используя операции их вычитания. Результаты исследования позволяют использовать сценарно-прецедентный подход при решении трудноформализуемых задач управления большими группами беспилотных аппаратов.
Ключевые слова: мера подобия, пространственное подобие, пространственная модель, мягкая топология, шаблон, объем симметричной разности.
V.G. SHERSTJUK
Kherson National Technical University
ORCID: 0000-0002-9096-2582 I.V. DOROVSKA
European University
ORCID: 0000-0001-5990-0992 R.N. LEVKIVSKYI
Kherson State Maritime Academy
ORCID: 0000-0001-9280-8098 V.N. GUSEV
Kherson State Maritime Academy
ORCID: 0000-0001-7775-2276
ASSESSMENT OF SITUATION SIMILARITY IN SCENARIO-CASE CONTROL SYSTEMS: SPATIAL MEASURES
This paper discusses the issues of assessing the spatial similarity of situations in scenario-case control systems for large groups of unmanned vehicles. The existing computational geometry approaches to the determination of spatial similarity measures are investigated, and their features are analyzed. A theoretical approach to the spatial similarity assessment is proposed, based on the representation of spatial configurations in the form of patterns and the application of dissimilarity measures that determine their divergence degree opposed to the similarity degree. A discretized spatial model is proposed, which is based on a sphere with an infinite radius and an angular coordinate system. Based on the spatial model, a nonlinear soft open-ball topology is constructed, which is used to further determination of the dissimilarity by measuring the metric distance between the pattern topology and the sample topology. The method of estimating the volume of the symmetric difference is used. The proposed method is invariant to possible transformations of patterns by rotation or scaling, which keep their volume. The presence of zones breaking down the spatial configuration in accordance with the degree of impact to the safety conditions is considered. Partial spatial similarity is taken into account for certain nested or subordinate parts of the spatial configuration. The proposed method can be used to determine the similarity degree of spatial patterns presented in the form of topologies regardless of the specific topology classes using the operations of their subtraction. The results of the research make it possible to use a scenario-case approach in solving hard control tasks for large groups of unmanned vehicles.
Keywords: similarity measure, spatial similarity, spatial model, soft topology, pattern, volume of symmetric difference.
Постановка проблеми
Прогрес останшх рошв у сферах створення та застосування безпшотних апаратш nproBiB до !х використання не пльки поодинщ, але i у склащ великих груп для виршення низки важливих задач реального часу. Для !х виршення почали використовувати гетерогенш групи (ансамбл^ безпшотних апарапв, яш мають не тшьки рiзний розмiр, функцюнальне призначення та рол^ а й рiзнi середовища руху. Наприклад, до виршення задачi штелектуального, або смарт-рибальства, можуть спшьно використовуватися групи безпшотних лггальних апарапв для пошуку рибних зграй, групи безпшотних шдводних апарапв для вдентифжаци риб в зграях, гх спрямування та супроводження, групи безпшотних катерiв у якосп носив риболовних знарядь тощо. Надалi будемо розглядати будь-яш безпшотш апарати (БА) як рухомi об'екти (РО) безввдносно гх середовища руху.
Зрозумшо, що одночасне використання множини БА рiзного призначення, як1 функцiонально доповнюють друг друга, дозволяе значно ефектившше вирiшувати !х спiльне завдання. Кожен iз БА у спiльному виконанш певно! тси мае грати свою певну роль, маючи власний сценарш та ввдпрацьовуючи його у склащ велико! команди [1]. Однак, виконання шси передбачае i спiльний одночасний рух у певному обмеженому простор^ що е ввдкритим для будь-яких iнших РО (пiлотованих або непшотованих), як1 можуть збурювати не тшьки рух одного або дек1лькох БА, а i виконання !х шсш. Наприклад, при здiйсненнi смарт-рибальства вторгнення стороннiх РО може вимагати змши траекторiй руху вае! групи БА, що не е простою задачею через вимоги безпечного руху, дистанцп впевненого зв'язку, використання рибальських знарядь тощо. Взагалi, задача динамiчного управлшня траекторiями ансамблю БА е доволi складною, оскiльки БА мають певш вiдмiнностi в законах i особливостях руху, який до того ж е обмеженим у просторi та схильним до впливу динамiчних i ситуацiйних збурень рiзно! природи.
Недосконалiсть моделей РО та обмежешсть моделей управлшня ними, значний проспр рiшень, суттевий вплив факторiв невизначеностi та багато iнших факторiв стримують використання традицшних методiв управлiння. Велика к1льк1сть БА, що одночасно рухаються, та складшсть формалiзацi! знань унеможливлюють також використання методiв, заснованих на алгоритмах перебору. Це спричиняе необхiднiсть застосування шту!тивно-евристичних пiдходiв, заснованих на принципах прийняття рiшень в схожих ситуацiях на основi накопиченого досвiду та лопки «здорового глузду», до яких ввдносять i сценарно-прецедентний пiдхiд [2]. Цей шдхвд значною мiрою грунтуеться на знаходженш подiбних ситуацiй, як1 мали мюце в минулому, утворюючи прецедент, який збережено в базi прецеденпв. За такого подходу, для керування рухом ансамблю БА мае бути визначена певна функщя подiбностi, що використовуеться для пошуку прецедентiв та враховуе при цьому просторовий аспект ситуацп. Проте, мiри просторово! подiбностi опрацьованi недостатньо, а проблема !х використання для сценарно-прецедентного керування рухом БА е ще далекою ввд свого вичерпного рiшення. Отже, актуальною задачею е дослвдження мiр i функцiй просторово! подiбностi, що можуть бути ефективно використаш для пошуку прецеденпв у сценарно-прецедентних системах керування рухом БА.
AH^i3 останшх дослiджень i публiкацiй
Бiльшiсть iз запропонованих на цей час мiр просторово! подiбностi стали результатом дослщжень рiзних аспектiв руху. Це пов'язано з тим, що траекторiя будь-якого об'екту розглядаеться як послiдовнiсть впорядкованих за часом координат точок [3] або як множина точок, що складають статичну геометричну форму без врахування часового вимiру [4]. Виходячи з цього, для визначення просторово! подiбностi зазвичай використовують геометричнi методи.
Геометричш методи працюють з кшцевими множинами точок або багатокутниками, яш можуть бути отриманi на пiдставi векторного подання об'ектiв [5]. При розробщ переважно! бiльшостi алгоритмiв пошуку просторово! подiбностi використовуються методи обчислювально! геометрi!, в першу чергу методи ствставлення фiгур, що вимiрюють ввдстань м1ж двома фiгурами безвiдносно !х можливих перетворень на кшталт обертання або масштабування. Для обчислення ввдсташ м1ж фiгурами в обчислювальнiй геометри використовуються рiзнi мiри геометрично! подiбностi, базовими з яких е мiри, заснованi на спiвставленнi, на обчисленш симетрично! рiзницi, на метриках «найвужчо!» вiдстанi, вiдстанi Хаусдорфа та вщсташ Фреше [6]. Переважна бiльшiсть дослщжень просторових функцiй подiбностi зосередженi на розробщ ефективних алгоршшв для прискорення обчислення саме цих базових мiр.
Розглянемо двi множини точок A i B , що утворюють двi геометричнi фiгури, як1 надалi будемо розглядати як певнi геометричш шаблони. Мiру подiбностi будемо розглядати як функцiею, що присвоюе кожнш парi шаблонiв неввд'емне дiйсне число. Типовим алгоритмом знаходження мiри подiбностi двох шаблонiв е алгоритм пошуку деякого геометричного перетворення g, такого що g(A) = B [7].
Мiри, заснованi на сшвставленш, розглядають A i B як кiнцевi щдмножини Ук, а групу перетворень G як таку, що складаеться з Евклвдових iзометрiй на Ук. Тодi дискретну метрику C визначають як
Г0 якщо A=B C (A, B Н якщ
[1 у шшому разi
Точне спiвставлення A i B у межах групи G може бути зведено до обчислення мшмального значення C(gi (A),B) з уах перетворень g e G . Результат сумщення A i B проектуеться на одиничну
сферу в Ук, а кожна проектована точка позначаеться мiткою l! ввдсташ вiд початково! точки. Алгоритм працюе шляхом спiвставлення вiдповiдних помiчених точок щдмножин A i B [8], i знаходить збн- лише в тому випадку, коли A i B за допомогою низки геометричних перетворень можуть бути зведеш до тотожносп, тому його практичне використання е доволi обмеженим.
В^тянь нaйвyжчoгo мюця мiж двoмa кшвдвими мнoжинaми тoчoк, щo мaють piвнe кapдинaльнe чиcлo, e мiнiмyмoм з ycix бieкцiй мiж цими мнoжинaми 3a мaкcимaльнoю вiдcтaнню мiж тожними двoмa тoчкaми, якi пoв'язaнi бieкцieю [9]. Нexaй A i B - кiнцeвi пiдмнoжини пeвнoгo ^oCT'opy X з мeтpикoю p , яш мяють oднaкoвi кapдинaльнi чистя. HexaM F (A,B) - мнoжинa вcix бieкцiй вщ A дo B. Toдi для бyдь-якиx a e A, b e B няйвужчу в^тянь bp ЩOдo p визнячяють як bp ( A, B) = ^ mi^) max p( f ( a), a). ^иблизний збiг мoжe бути вcтанoвлeний лишe якщo мiж тoчкaми Ai B ic^e бieкцiя [10].
Biдcтaнь Xaycдopфa e нaйбiльш дocлiджeнoю мipoю пoдiбнocтi в oбчиcлювaльнiй гeoмeтpiï [11]. Для двox кoмпaктниx мнoжин тoчoк A i B , щo yтвopюють двi гeoмeтpичнi фiгypи (a6o кpивi), вiдcтaнь Хаусдорфа на ochobí метрики р визначають як /.)„ (А,В) = max min p(a.h). Яюцо р е евкладовою
мeтpикoю, вiдcтaнь Xaycдopфa вiдпoвiдae мaкcимyмy мiнiмaльниx eвклiдoвиx вiдcтaнeй мгж кoжнoю з тoчoк мшжини A дo вiдпoвiднoï тoчки мшжини B, тoж oднoбiчнy ввдагань Xaycдopфa ввд A дo B обчислюють як /J„ (.1./i) = maxniin. де || || - евкладова метрика. Двостороння вадстань Хаусдорфа
визначаеться як найбиьша з двох одностороншх, тобто !),, (.1. /i) = max (/)„ (А, В),/.)„ ( /]. .1 ) j. Алгоритм e
нeeфeктивним, якщo A й B e cyцiльними кpивими a6o cклaдaютьcя з вiдpiзкiв лiнiй. Biдcтaнь Xaycдopфa нe вpaxoвye iнфopмaцiю пpo впopядкyвaння кpивиx тя e зaнaдтo чyтливoю дo шуму, ocкiльки знaчeння вiдcтaнi визнaчaeтьcя точтою "нaйгipшoгo yзгoджeння".
Biдcтaнь Фpeшe e мipoю пoдiбнocтi мiж двoмa ^ивими, якя нe зaлeжить ввд ïx пapaмeтpизaцiï. Kpивy poзглядaють як нeпepepвнy фyнкцiю вiд iнтepвaлy [0,1] в тoпoлoгiчний пpocтip X . Нexaй X -пpocтip з мeтpикoю p, a Hom - cyкyпнicть гoмoмopфiзмiв з [0,1] та ce6e, тaкиx щo <y,re Hom якщo <7,т. [0,1] ^ [0,1]. Biдcтaнь Фpeшe мгж двoмa кpивими a iß, тякими щo a,ß. [0,1] ^ Ук, визнaчaeтьcя та
пiдcтaвi p як D (a,ß)= inf maxp(a(<(t))-ß(r(t))). В^тянь Фpeшe e iнтyïтивнo бiльш зpoзyмiлoю,
шж пoпepeднi мipи. Boнa e кpaщoю зя в^тянь Xaycдopфa з тoчки зopy визнaчeння пoдiбнocтi фiгyp, ocкiльки вpaxoвye впopядкyвaння тoчoк, пpoйдeниx кpивими.
Mipa cимeтpичнoï piзницi мoжe poзглядaтиcя як мipa пoдiбнocтi щoдo пeвнoгo зpaзкa [12]. Вш визнaчaeтьcя ня кoлeкцiï вимipювaниx пiдмнoжин Лeбeгa з Ук, дe cимeтpичнa piзниця AAB двox мнoжин A i B oбчиcлюeтьcя як oб'eднaння двox piзниць мшжин, вiдпoвiднo A - B тя B - A. Нexaй k-poзмipний oб'eм пiдмнoжини P œ Ук e vol (P ), тoдi oб'eм cимeтpичнoï piзницi визнaчaeтьcя як
s(A,B) = vol(AAB), тя e мeтpикoю та кoлeкцiï кoмпaктниx пiдмнoжин Ук, щo дopiвнюють внyтpiшньoмy
зaмикaнню. Симeтpичнa piзниця дae дoвoлi нaдiйнy мipy пoдiбнocтi, ocкiльки дoдaвaння мaлиx шyмoвиx oблacтeй пpaктичнo нe впливae ня ш!. Aлгopитми мiнiмiзaцiï oбcягy cимeтpичнoï piзницi eфeктивнi лишe для oпyклиx випядшв.
Gтжe, кoжнa з icнyючиx мip пpocтopoвoï пoдiбнocтi мae cвoï пepeвaги тя oднoчacнo i cyттeвi oбмeжeння, щo cтpимye ïx пpaктичнe викopиcтaння y cцeнapнo-пpeцeдeнтниx cиcтeмax, дe PG yтвopюють гeoмeтpичнi шaблoни, пoдaнi точкши, щo вiдпoвiдaють пoзицiям PG y ^ocropi ня мoмeнт poзглядy. Boни нe мяють бути тoтoжними дo пpeцeдeнтiв, yтвopювaти кpивi a6o будь-яш гeoмeтpичнi фiгypи, мяти oпyклocтi тoщo. Aлe, викopиcтaння iнcтpyмeнтaльниx зacoбiв cпocтepeжeння зя нaвiгaцiйнoю cитyaцieю cпpичиняe шyмoвi eфeкти, якi пoтpiбнo вpaxoвyвaти. Тяким чинoм, пoтpiбнo кoмбiнyвaти, нaпpиклaд, мipy cимeтpичнoï piзницi тя вiдcтaнь Xaycдopфa тяким чинoм, щoб oтpимaти eфeктивнy пpocтopoвy мipy пoдiбнocтi, мaлoчyтливy дo мoжливиx шyмiв.
Мета дослiдження
PG бyдeмo poзглядaти як пeвнy гeoлoкaлiзoвaнy cyтнicть, пoлoжeння rnoï з чятом змiнюeтьcя. Бyдeмo ввяжяти, щo тожний БA зaймae в пeвний мoмeнт чacy пeвнy пoзицiю в зaдaнoмy тpивимipнoмy пpocтopi, щo пoдaeтьcя röro дeкapтoвими (x, y, z) кoopдинaтaми. Pyx БA зя пeвний пpoмiжoк чacy мoжe бути пoдaний röro тpaeктopieю, тoбтo гeoпpocтopoвим лaнцюжкoм шзицш БA, yпopядкoвaниx зя чacoм.
Meтoю дocлiджeння e пoбyдoвa функцй' пoдiбнocтi, якя вpaxoвyвaтимe пpocтopoвий acпeкт crnya^ï, в тoмy чиcлi мнoжинy PG, щo yтвopюють пpocтopoвy кoнфiгypaцiю, тя ïx вiднocнe poзтaшyвaння. Gcкiльки двox aбcoлютнo oднaкoвиx cитyaцiй нiкoли ш бyвae, пoтpiбнo oбчиcлювaти cтyпiнь ïx cxoжocтi /, щo визнaчae, нacкiльки двi мoжливi cитyaцiï' S i S нягядують oднa oднy:
F ( S, S В цiй crarn poзглянeмo пpocтopoвy пoдiбнicть cитyaцiй та ocнoвi мeтoдiв oбчиcлювaльнoï
гeoмeтpiï. Для визнaчeння cтyпeня cxoжocтi бyдeмo викopиcтoвyвaти звopoтнiй йoмy cтyпiнь нecxoжocтi, щo визнaчaeтьcя як вapтicть пepeтвopeння crnya^ï S в S (aбo нявпяки), тoбтo як пeвнa «в^тянь»
D (S, S ) мiж двoмa cитyaцiями.
Викладення основного MaTepi^y дослщження
Визначення псевдометричного простору. Розглянемо довiльну множину S , мiра подiбностi р
на якш е функцiею р: S х S ^ R, що повертае значения > 0 i мае властивостi: а) Ух e S р(х, x) = 0; б) Ух,y e S,х ф y р(х,y)> 0 ; в) Ух,y e S,х ф y р(х,y~) = р(у,х) ; г) Ух,y,z e S р(х,z)<p(х,y) + p(y,z) ; д) Ух,y,z e S р(х,z)< max(р(х,y),p(y,z)). Якщо функщя задовольняе умовам а)-г), вона е метрикою. Якщо функцiя задовольняе лише умовам а),в),г), вона е псевдометрикою.
Пара (S,р) утворюе метричний простiр, якщо р е метрикою, i псевдометричний простiр, якщо р е псевдометрикою. На Евклщовш площиш, що утворюеться будь-якими двома координатами к -вимiрного простору, р(х,y) = |х -y е псевдометрикою, що забезпечуе структуру пiдлегло! множини.
Псевдометричний проспр е випадком бiльш загальних просторiв, таких як топологiчний простiр [13], а вщповщна топологiя е псевдометричною топологiею. Надалi будемо розглядати лише ri топологiчнi властивостi, якi iндукуються псевдометриками.
Топологiя, що iндукуеться псевдометрикою, визначаеться наступним чином. У псевдометричному просторi (S,р) вщкрита куля Bp (x,s) з центром х i радiусом s е множиною всiх
елементiв y e S, для яких р(х,y) < s. Колекцiя всiх вщкритих куль е основою псевдометрично! топологи
для (S, р). Евклидова метрика iндукуе звичайну топологiю на Ук. Множина е вiдкритою у цiй топологи
тодi i лише тодi, коли !! можливо подати як об'еднання евклiдових куль.
Розбиття множини S е сукупшстю непересiчних пiдмножин, об'еднання яких дорiвнюе S. Нехай Z е таким розбиттям S , що не мютить порожшх множин. Тодi псевдометрика р на S утворюе
мiру подiбностi ръ, визначену на P,Q eZ як ръ (P,Q) = inf р(p,q)|p e P,q e Qj. Розбиття множини е псно
пов'язаним з вщношенням еквiвалентностi.
Вщношення ^ е вщношенням еквiвалентностi на Z, якщо воно задовольняе наступним умовам: а) Ух eZ (х, x)eШ ; б) Ух, y eZ (х, y)e^-o-(y, x)eЭТ ; в) Ух, y, z eZ (х, y )e^A(y,z )e^ ^ (х,г )e^ . Клас екывалентносп x / , визначений елементом x eZ , е сукупнiстю всiх y eZ, що задовольняють умовi (x,y) e^. Тож колек^ всiх класiв еквiвалентностi е розбиттям, яке складаеться з непорожнiх множин.
1дентифшащя точок з нульовою вщстанню призводить саме до в1дношення екывалентносп. З огляду на псевдометрику р на Z, вщповщне вiдношення е^валентносп I складаеться з усiх пар
(х,y)eZxZ для яких р(х,y) = 0. Позначимо як Jz розбиття Z, що iндуковане вiдношениям 1р. Тодi, якщо р - це псевдометрика, то мiра подiбностi р1^ е метрикою на JE , а р1^ е метричним фактором мiри р .
Визначення псевдометричного простору шаблошв. Розглянемо особливий тип псевдометричного простору, в якому елементи е щдмножинами заданого простору X .
Псевдометричний проспр зразшв е структурою (X,P, р), де X - тополопчний простiр, P -сукупнiсть п1дмножин X , а р — псевдометрика. Елементи P називаються шаблонами, а колекцiя P е колекцiею шаблонiв. Множина X е пщлеглим (базовим) простором, тому якщо на ньому визначено певну метрику, вона е базовою метрикою, яку в загальному випадку позначають символом р .
Нехай (X ,р) - певний псевдометричний проспр, а P - сукупнiсть непустих замкнених п1дмножин X . Нехай N (P,s) е об'еднанням усiх вiдкритих куль з радiусом s , вiдцентрованих в точках з множини P, де кулi визначеш вiдносно метрики р. Метрика Хаусдорфа DHp на P з базовою метрикою р визначаеться як DHp(A, B) = inf js> 0 A с Np(B,s), B с Np(A,s)j. Структура (X, P, DHp),
вiдповiдно, е метричним простором шаблонiв.
Розглянемо задачу визначення мiри подiбностi, виходячи з наступних мiркувань. В процесi руху множини РО утворюеться певна просторова конф^ращя (рис. 1), що е статичним описом ситуаци S .
Така конфiгурацiя у термiнах дано! роботи е геометричним шаблоном. Будемо вважати, що шаблон (просторова конфиура^) може бути поданий у виглядi певно! топологи у просторi стльного руху РО. Сховище прецедентiв мютить певну множину просторових зразк1в, яш також можуть бути поданi як шаблони. Отже, пошук релевантного прецеденту для ситуаци S може проводитись на пiдставi функци, що приймае два описи просторово! конфiгурацi! у виглядi шаблонiв та повертае стутнь !х подiбностi.
Прецеденты
Шаблон ! ! „Л Зразок
_ ^ » i . -i •
Рис. 1. Визначення просторовоТ подiбностi шаблошв
Побудова просторово! моделi. Розглянемо тривимiрний лiнiйний рiвномiрний npocTip C . Нехай Y - множина певних елеменпв, а Г - множина ввдлЫв часу t, впорядкованих ввдношенням повного порядку <Т з початковим ввдлшом t0 . Запровадимо в C норму ||y||c = min (y (t)), де y eY, t eT та
вiдповiдну !й метрику Ь(yl,y2) = |у-y2||, таку що: а) Ь(y1;y2) =|yx-y2|| = 0 » yi = y2; б)
ЬС y2 ) Hyi - уЛ H|y2 - У^сС yi) ; в) 4(С у2 )=||yi - yj =l|(yi - Z)-(Z - у 2 )|| „ l|yi - 4 +llz - УЦ=^сС у; );
г) Ь (У^ У 2 ) = Ь (yi + У 2 + a) ; д) ЬС ( , М )=\А'£с (yi ,2 ) •
Визначимо базис e, e, e в просторi C так, щоб метрика Ь залишалась рiвномiрною. Отже, декомпозищя вектору v = ae + а2в2 + a3e3 дае координати у (а, а,а3) певно! точки простору C, що дае
опис позицп РО. Нараз^ ми отримуемо безперервну просторову модель на рiвнi точок. В системi координат саме ще! моделi ми отримуемо iнформацiю спостереження за рухом РО. Однак, безперервну просторову модель доволi складно використати для визначення функцш просторово! подiбностi через !! високу обчислювальну складнiсть, для зменшення яко! просторову модель потрiбно дискретизувати.
Використовуючи метрику Ь, накладемо метричну сiтку координатних лшш розмiром
S = Да = Да = ^а на проспр C з начальною точкою (а = 0, a2 = 0, a = 0) так, щоб координатш лiнi! утворили множину D iзометричних кубiчних комiрок d розмiром SxSxS . Отже, отримуемо проспр, дискретизований решiткою D = {dxyz}, комiрки яко! d^,z е найменшими однорвдними просторовими об'ектами, координати яких x, y, z ввдповвдають e, e, e •
Побудова топологй' вiдкритого кола. Виберемо позицш спостерiгача та надшимо !! властивостями початку координат. Побудуемо навколо цiе! позицй' кулю V с C з неск1нченим радiусом та визначимо кутову систему координат, як показано на рис. 2. Ввдповвдно, координати певного РО A можуть бути визначеш як Crd (Ä) = (ß,ß, r), де ß - широта, ß2 - довгота, r - ввдстань вiд початку системи координат до позицй' РО.
Створимо метрику Ь в системi кутових координат з властивостями, подiбними до Ь, за допомогою iзометрично! бiекцi! х-Ь^Ь • Таким чином, %'-v(a,a,а)^Crd(ß,ß,r), тобто ми можемо перейти ввд координат простору спостереження C до кутових координат в побудованш нами кулi V .
Рис. 3. Дискретизащя кулi з нескшченим радiусом
Пoбyдyeмo диcкpeтнy мoдeль куш, викopиcтoвyючи мeтpикy ÇB тя вiдoбpaжeння p, нaклaдeмo кyтoвy crrey кoopдинaтниx лiнiй з piвними кутями тя piвними вiдpiзкaми paAiycy к^ ф = Aß,Aß,Ar ня кулю V з нaчaльнoю тoчкoю Crd (0,0,0) тяк, щoб кoopдинaтнi лiнiï yтвopили мшжину W кoмipoк w (pиc. 3).
Отжe, ми oтpимaли диcкpeтизoвaнy кулю W = {wfft J, кoмipки якoï w^ e нaймeншими ceктopaми кул1 V з кутовими кoopдинaтaми i, у, к. Koмipки e oднopiдними oб'eктaми щoдo ïx внyтpiшньoгo нaпoвнeння. Gчeвиднo, щo диcкpeтизaцiя кул1 V мнoжинoю кoмipoк W yтвopюe тoпoлoгiчний пpocтip TW =(V,Def (W)), якщo кoмipки кoжнoï з пap (w¡, wm ) e внyтpiшньo oднopiдними тя нeпepeciчними, тoбтo V/,m w¡ оwm =0 , a ïx oб'eднaння пoвнicтю пoкpивae кулю V , тяк щo V = uw ewwl. Gтpимaнa тoпoлoгiя Def (W) e нeлiнiйнoю, ocкiльки чим дaлi ввд ^rnpy кул1, тим бiльшим e oб'eм кoжнoï' нacтyпнoï' кoмipки.
Пoбyдoвa м'ято! тoпoлoгiï вiдкpитoгo кoлa. HexaM Y = {y }к - мнoжинa з к +1 мoжливиx cтaнiв кoмipoк wt¡¡¡ eW . Нaпpиклaд, cтaн y вiдпoвiдae «пустш» кoмipцi, щo нe мютить нiякиx oб'eктiв, y -кoмipцi, щo мicтить пeвнy пepeпoнy для pyxy, у - кoмipцi, щo e цiльoвoю для pyxy БA, y - кoмipцi, щo мютить «^вш» PG, тoбтo тякий, який нaлeжить дo влacнoï' гpyпи БA, тя у - кoмipцi, щo мicтить «чужий» PG, який ш нaлeжить дo влacнoï гpyпи БA. Taким чинoм, пiдмнoжинa cтaнiв {y,у,у,уJeY вiднocить вщшвщш кoмipки дo кaтeгopiï ««arnarax», a y e Y - дo кaтeгopiï «в^нт для pyxy».
Бyдeмo ввяжяти, щo мнoжинa W e yнiвepcaльнoю, a мнoжинa Y e мшжишю пapaмeтpiв. napa (X,Y) yтвopюe м'яку мнoжинy кoмipoк ня W , якщo Т e вiдoбpaжeнням Y ня мнoжинy вcix п^дм^жин
мнoжини W, Т.y ^2W [14]. 1ншими cлoвaми, м'якя мнoжинa e пapaмeтpизoвaним ciмeйcтвoм пiдмнoжин мнoжини кoмipoк W . Швня мнoжинa (Т, y ), y eY з ^oro ciмeйcтвa мoжe poзглядaтиcя як мнoжинa y -aпpoкcимoвaниx eлeмeнтiв м'якoï мшжини [15], aбo y -eлeмeнтoм м^то! мнoжини, пoзнaчeним як Т(. Taким чинoм, yнiвepcaльнa мнoжинa W мoжe бути пoдaнa м'якoю мшжишю (Т,У),
í л к
щo e oб'eднaнням вcix к cвoïx y -eлeмeнтiв, дe Т = ^|Т(}( , тaкиx щo yтвopюють бeзлiч пap Т ={(Т,y) :y¡ eY,(Т,y)e 2WJ. M^^y мнoжинy acoцiюють з мшжишю кляав eквiвaлeнтнocтi, щo iндyкoвaнi вiднoшeнням нepoзpiзнeнocтi. Mи мoжeмo визнячити вiднoшeння y -нepoзpiзнeнocтi ня мнoжинi кoмipoк W як (Vy eY ) ЭТ* ={( wm, w„ )eW xW | yt ( wm ) = y ( w„ )J. Koжний y -eлeмeнт м'якoï' мнoжини Т e poзбиттям мнoжини кoмipoк W ня кляст eквiвaлeнтнocтi, нaвeдeнi вiднoшeнням y -нepoзpiзнeнocтi эту . 1ншими cлoвaми, пapaмeтpизoвaнe ciмeйcтвo пiдмнoжин мнoжини W , яге yтвopюe y -eлeмeнт мнoжини Т(, e фaктop-мнoжинoю W / , щo cклaдaeтьcя з ycix клaciв eквiвaлeнтнocтi мнoжини W , iндyкoвaниx вiднoшeнням . Toдi пapa aprw = (wy.) yтвopюe пpocтip aпpoкcимaцiï [16].
Нexaй пopoжня мнoжинa 0 , yнiвepcaльнa мнoжинa W тя eлeмeнти W / y e eлeмeнтapними мнoжинaми, кiнцeвe oб'eднaння oднoгo aбo бiльшe з якиx e cклaдeнoю мнoжинoю. Якщo ciмeйcтвo вcix cклaдeниx мнoжин e Def (aprw ), тo пpocтip aпpoкcимaцiï' oднoзнaчнo визнaчae тoпoлoгiчний пpocтip
T*"W =(W,Def (aprw)). Biдoмo, щo Def (aprw ) e тoпoлoгieю ня W , якщo йoгo шдмшжини зaдoвoльняють
yмoвaм [17]: a) 0eDef (aprw ), A e Def (aprw ), б) A, B e Def (aprw) ^ A о B e Def (aprw) , в) A, B e Def (aprw A u B e Def (aprw ) . Def (aprw ) e ciмeйcтвoм вiдкpитиx мнoжин,
T*W = (W,Def (aprw)) - тoпoлoгiчним пpocтopoм, a A,B eW - точкями цьoгo тoпoлoгiчнoгo пpocтopy.
Biдoбpaжeння Т y визнaчeнiй нями iнтepпpeтaцiï oднoзнaчнo вiднocить кoжнy кoмipкy yнiвepcaльнoï мшжини W дo пeвнoгo y -eлeмeнтy м'якoï мнoжини (X,Y). Якщo peзyльтaти
cпocтepeжeння мicтять швну нeвизнaчeнicть, ïï мoжливo iнтepпpeтyвaти чepeз «впeвнeнicть» в тoмy, щo KOMipica e в1льною, або мютить перешкоду чи РО. Для цього функщю Т можливо подати як нечгтку, так що Y : yt.—>[0,1], де стушнь впевненосп мае область значень на штервал1 [0,1]. Вадповадно, маемо
послабити вадношення SR* до iï,',., використовуючи вадношення толерантносп замють вадношення CKBÍBa.iCHTHOCTÍ. Toji ми замють м'яко!' множини отримаемо hchítky м'яку множину ком1рок (ï.Г). Нaдaлi, зядявши пeвний пopiг вiдciкaння т e [0,1], ми змoжeмo вiдciкти з poзглядy вci тi кoмipки w eW , щодо яких стушнь впевненосп е нижчим за заданий nopir г, тобто X.(>',) = |и еК':( X. г.)(и)>гj [18]. Taким чинoм, кoжний y -eлeмeнт (Тг, y ) м^^' мнoжини cклaдaeтьcя лишe з rax кoмipoк w eW , для якж cтyпiнь впeвнeнocтi в тому, щo ïx cтaн e y eY , пepeвищye ropiï т. Biдпoвiднo, ми oтpимyeмo npocrip апроксимацй a¡v\v = (l) VU,',, j та hchítky м'яку топологио, яку й будемо використовувати для
визнaчeння пpocтopoвoï пoдiбнocтi. Цe дacть ням мoжливicть вiдфiльтpyвaти шуми, cтвopeнi пвд чac cпocтepeжeння.
Нapaзi, пpocтopoвa кoнфiгypaцiя PG (шaблoн), щo oпиcye шточну cитyaцiю S, мoжe бути годята y виглядi нeчiткoï м'якoï тoпoлoгiï Ts. Пpeцeдeнти, щo нaкoпичeнi y cxoвищi пpeцeдeнтiв (шaблoни-
зpaзки), мoжyть бути пoдaнi y виглядi бeзлiчi м'якиx тoпoлoгiй {T. Gтжe, ням нeoбxiднo зняйти
cтyпiнь нecxoжocтi y виглядi мeтpичнoï вiдcтaнi (диcтaнцiï) м1ж двoмa тoпoлoгiями - oпиcoм гeoмeтpичнoгo шaблoнy пpocтopoвoï кoнфiгypaцiï тя oпиcoм пeвнoгo зpaзкa T зi cxoвищa пpeцeдeнтiв.
Gбчиcлeння пoдiбнocтi двox тoпoлoгiй. Tpaдицiйнi мipи пoдiбнocтi, ня кштялт вiдcтaнi Фpeшe тя мeтpики Xaycдopфa, визнaчaютьcя ня бaзoвoмy пpocтopi. Як ra^^o^ цi мipи e iнвapiaнтними лишe тoдi, кoли iнвapiaнтнa бaзoвa мeтpикa p. Gднaк, y нaшoмy випядку cпiввiднoшeння шaблoнiв зaлeжить вщ пpocтopoвoгo мacштaбy, пpocтiшe - ввд poзмipy кoмipoк. Бiльшe тoгo, шaблoни, щo cтaнoвлять пpeцeдeнти, мoгли бути збepeжeнi в iншoмy мacштaбi тя щд iншим кyтoм poзглядy, тoдi для ïx викopиcтaння тpeбa пoпepeдньo викoнaти мacштaбyвaння тa/aбo oбepтaння шaблoнy. Для тoгo, щoб мipa пoдiбнocтi буля iнвapiaнтнa дo пoдiбниx пepeтвopeнь, бyдeмo викopиcтoвyвaти мipи, зacнoвaнi ня oбчиcлeннi cимeтpичнoï piзницi тoпoлoгiй, щo e iнвapiaнтними щoдo дифeoмopфiзмiв, яш збepiгaють oб'eм.
Biдoмo, щo пoняття дoвжини в oднoмy вимipi, плoщi в двox вимipax тя oб'eмy в тpьox вимipax мoжнa yзaгaльнити дo дoвiльниx poзмipiв: к -poзмipний oб'eм vol(P) щдмшжини P eY4 визнaчaeтьcя
як к -вимipнa мipa Лeбeгa [19]. Ц визнaчeння к -мipнoгo oб'eмy для к -пpocтиx в Ук збiгaeтьcя з визнaчeнням oб'eмy як дeтepмiнaнтa к -вeктopiв.
Симeтpичнa piзниця AAB двox мнoжин кoмipoк A i B e oб'eднaнням мшжини вcix кoмipoк y A, як нe e в B , тя мнoжини вcix тoчoк y B , як1 ж e y A, тобто
AAB = (A - B)u(B - A). (1)
Нexaй K +(T ) - cy^^rnc^ кoмпaктниx пiдмнoжин Ts з нeнyльoвим oб'eмoм. Gб'eм cимeтpичнoï' piзницi для мнoжин A e K + (Ts ) тя B e K + (T) мoжe бути визнaчeний як p(A,B) = vol(AAB), a ïï нopмaлiзoвaний вapiaнт - як
p* (A, B) = vol (AAB) / vol (A u B) . (2)
Bизнaчeний ня кoлeкцiï' кoмпaктниx мшжин K (Ts ), o6^ cимeтpичнoï piзницi нe мae влacтивocтi пoзитивнocтi, a cимeтpичнa piзниця двox тoпoлoгiй тeж e тoпoлoгieю, щo мae кiнцeвий oб'eм тя збepiгae нepiвнicть I vol ( A) - vol ( B)| < vol ( AAB) [20].
he ___
h X ' — % А \
* '' Ч \
I I ^ / 4 1 1
J ; • ! ¡1
\ \ / / I
, л^--' //
^ V /
Рис. 4. Визначення просторових зон
Врахування просторових зон. Задамо множину граничних значень Л = {Л ,...Лт}, так що для кожно! пари РО (А,В) %в(A,B) = ||Crd(A)-Crd(B)||^ Л. На пiдставi граничних значень ми маемо обмежити кулю з несшнченим радiусом, подавши и як систему з m +1 вкладених куль Vm,...¥„ з радiусами вщ Лт до Л з одним спiльним центром у початку координат. Використовуючи таку систему вкладених куль, ми зможемо враховувати певш просторовi зони, як1 визначаються умовами спiльного руху РО. Наприклад, виходячи з параметрiв руху РО, умовами уникнення зiткнень можуть бути визначеш забороненi , небезпечш hB , обмеженi hc та вшьш (необмеженi) hD, зони, що обмежеш вщповщними кулями з граничними лiнiями Въ,B2,Bi, як1 вщповщають граничним значенням ЛЛ,Л,Л (рис. 4) [21].
Просторовi зони мають певний вплив на подiбнiсть ситуацiй в контекстi просторово! конфиураци. Частина кулi V , що лежить за межами зони та вщповщно! гранично! лiнi! Л, може бути взагалi винесена за межi розгляду для зниження обчислювально! складностi, тобто вс елементи топологi!, що знаходяться далi вщ центру кулi нiж Л, можуть не враховуватися при шдрахунку подiбностi. Для iнших зон потрiбно забезпечити зворотну пропорцiональнiсть ступеня подiбностi вiд радiусу клiтинки, бо по мiрi того як об'ем клтгинок збiльшуеться по мiрi !х вiддалення вщ центру кулi за рахунок збiльшення геометричних розмiрiв клгганок, !х вплив на оцiнку ситуацп (в т.ч. просторово! конфiгурацi!), навпаки, повинен зменшуватися, бо чим далi один РО знаходиться вiд шшого РО, тим меншу небезпеку вш становить для останнього. Найбiльший вплив на подiбнiсть ситуацiй повиннi мати клгганки, що належать до зони , бо наявнiсть РО в цш зонi створюе критичну небезпеку, дещо менше -клгганки, що належать до зони hB , ще менше - клiтинки зони hc, та майже не мають впливу клiтинки зони . Отже, необхщно враховувати цю залежнiсть ступеня подiбностi вщ конфiгурацi! просторових зон.
Вище ми параметризували сiмейство y -пщмножин множини W , яке утворюе м'яку або нечгтку м'яку множину комiрок, що пов'язана з розбиттям комiрок на класи еквiвалентностi за !х категорiею. Для врахування розподiлу комiрок по вщповщних зонах кулi V, необхщно виконати розбиття множини комiрок W на зони вiдповiдно до вкладених куль з радiусами Л • Проте, Л -апроксимащя множини комiрок W е бiльш складною, оскшьки iснуе певна невизначенiсть щодо реальних радiусiв куль, що спричиняеться впливом цiло! низки неконтрольованих факторiв [21] •
Для врахування тако! невизначеностi зручно використовувати наближенi множини (rough sets), що звичайно подаються як сукупнiсть нижнього наближення, тобто щдмножини комiрок, що однозначно належать множит, верхнього наближення, тобто щдмножини комiрок, як1 можливо належать цш множинi, та гранично! областi, тобто тдмножини комiрок, ступiнь належностi яких цiй множинi неведома. Вiдповiдно, щоб побудувати Л -апроксимащю м'яко! множини комiрок, нам слщ розмити чита меж1 Л -куль, визначивши !х нижнi i верхнi наближення [22].
Нехай (Y,F) е м'якою множиною на W , Y = ^{Y,}, що утворена об'еднанням всiх k сво!х y -елементiв Y,. ={(Y,y):y eF,(Y,y)e 2W}. Нехай ^Л е вщношенням Л -нерозрiзненостi на множинi
комiрок W , таке що (УЛ{)"о ЭТ^ ={(wm,wn)eWxW | wm eVt,wn eVi}. Тодi можемо побудувати Л -апроксимащю кожного y -елементу множини (Y,F). Отже, для вах комiрок w eW , що належать до y -елемента множини (Y,F), нижне наближення Л. -елементу пщмножини Y, визначаеться як Y={Yi( |weY,v^( w)cYj5( w)}, а верхне наближення, вщповщно,
W 6 (w)nTji(w,) ^0)}. У випадку, якщо Y. = YJ, Я.. -елемент пщмножини Y,. е
читаю множиною, а якщо Hi, то наближеною множиною. Вщповщно, кожен y -елемент множини (Y,Y) може бути подано у виглядi Yi = |(y^ ,,) а власне м'яка множина комiрок як
И ■ h ^ )> .4y )•
Нехай aprn. = (lI'AH^j - npocrip апроксимаци, утворений вадношенням неро ipi зненосп Wr , що
мае властивосп вадношення толерантносп. Toji наближена тополопя 'Тп''':: = (w,Def (aprw)} е розбиттям y -елементiв множини (Y,Y) на апроксимованi щдмножини комiрок Y, що е Я. -елементами y -елеменпв множини ((Т,Я),У). Отже, ми отримали наближену апроксимацш м'яко! множини у формi наближено! м'яко! множини. Якщо ж ми виконуемо yi -апроксимащю нечитан» м'якою множиною
K0Mip0K ( f.i'j. отримаемо наближено-нечику м'яку множину клиинок, де кожний -елемент
буде подано наближеною множиною ко Mi рок (Г./. ), я id мютяться у кул1 'j, яку в свою чергу розбито на y -елементи множини ((Т,Я),У), кожен з яких мiстить комiрки, що вщносяться до певно! категорii y 6 Y . Звiсно, кожен елемент Y^ утворюе топологш . Вщповщно, топологiя шаблону просторово! конфиурацп е розбиттям % = um=0 (uf=0TJiS), а тополопя шаблону зразка - розбиттям % = um=0 (uki=0TJil).
Оскшьки з точки зору подiбностi просторових конфiгурацiй нас щкавлять лише тi комiрки, що вщносяться до категорii' «зайнятих», то ми маемо вщкинути всi y -елементи, що вщносяться до категорii'
«вшьт». Нас не цiкавлять також п частини топологii кулi, що лежать за межами радiусу Я0, тож всi Я0 -
елементи також вщкидаемо. Отже, для визначення подiбностi будемо враховувати редукованi топологи
=J (uf=i Tjs ) та = J (uf=1Tjii) •
Обчислення рiзницi двох топологи може бути виконано поелементно:
-%*=и;=i (и= i (Ts )). (3)
Проте, для врахування рiзного ступеня впливу заданих просторових зон на етат визначення об'ему рiзницi треба ввести коефщенти q\,...q>m, що вщповщатимуть зонам Я1,...Ят,
vol(%; - %•) =®m= 1 (®f= 1 v°i(%]is - Tja)) • (4)
Тож розбивши топологiю кожного шаблону на частини, ми обчислюемо об'ем рiзницi окремо за кожною з них, враховуючи коефщенти просторових зон. Такий споаб може бути застосований до топологш рiзних типiв - м'яких, нечиких м'яких, наближених м'яких, та наближено-нечиких м'яких.
Враховуючи зворотний характер мiри подiбностi до мiри рiзницi, просторову подiбнiсть шаблонiв на основi об'ему симетрично! рiзницi топологiй, використовуючи (2), обчислюеться наступним чином:
м(тх)=voi(T* и г;) / (voi(T*A%•)), (5)
де обсяг симетрично! рiзницi двох топологiй vol (%*A%*) може бути визначений на пiдставi (1) з подстановкою (4).
Формула (5) може використовуватися для визначення ступеня подiбностi просторових шаблотв, поданих у виглядi топологш, безвщносно до конкретного класу цих топологш.
Висновки
1. Розглянуто питання оцiнки просторово! подiбностi ситуацiй в сценарно-прецедентних системах управлiння великими групами безпiлотних апаратiв. Дослщжено iснуючi тдходи обчислювально! геометрii до визначення мiр просторово! подiбностi, проведено аналiз !х особливостей та визначено шляхи розробки мiри подiбностi просторових конфiгурацiй.
2. Запропоновано теоретичний щдхвд до ощнювання просторово! под!бносл, що заснований на поданш просторових конфпурацш у вигляд1 геометричних шаблошв та застосуванш м1р несхожосл, яш визначають стутнь !х розб!жносп, зворотний до ступеня под1бност1 та можуть бути подан на основ1 обчислення об'ему симетрично! р1знищ м1ж двома тополопями.
3. Запропоновано дискретизовану просторову модель, основою яко! е куля з нескшченим рад1усом та кутова система координат. На основ1 ще! модел1 побудовано нелшшну м'яку тополопю вщкрито! кул!, яку застосовано для подальшого визначення несхожосп вим1рюванням об'ему симетрично! р1зниц1 м1ж тополопею шаблону та тополопею зразка. На основ1 м'яко! топологй' може бути побудовано нечггку м'яку тополопю.
4. Запропонований метод оцшки об'ему симетрично! р1знищ м1ж двома тополопями е 1нвар1антним до можливих перетворень шаблошв за допомогою обертання або масштабування, що зберпають об'ем. Запропонований метод може використовуватися для визначення ступеня под1бност1 просторових шаблошв, поданих у вигляд1 топологш, безввдносно до конкретного класу цих топологш. Враховано часткову просторову схожють щодо певних вкладених або пвдпорядкованих частин просторово! конфпурацп.
5. Враховано наявшсть визначених умовами спшьного руху групи безпшотних апаратш зон, що розбивають просторову конфпурацш вщповщно до ступеня !х впливу на безпеку руху. Виконано вщповщне розбиття топологш за допомогою вщношення нерозр1зненост1 клгганок у межах визначених просторових зон.
Результати дослщження дозволяють ефективно використовувати сценарно-прецедентний п1дх1д при виршенш важкоформал1зованих задач управл1ння великими групами безп1лотних апарат1в.
Список використаноТ л^ератури
1. Sherstjuk V. Scenario-Case Coordinated Control of Heterogeneous Ensembles of Unmanned Aerial Vehicles. Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments: Proc. of the 2015 IEEE 3rd Int. Conf. Kyiv, 2015. Pp. 275-279.
2. Шерстюк В.Г. Сценарно-прецедентное управление эргатическими динамическими объектамиЖ монография. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2013. 407 p.
3. Spaccapietra S., Parent C., Damiani M., De Macedo J., Porto F., Vangenot C. A conceptual view on trajectories. Data & Knowledge Engineering. 2008. No. 1, Vol. 65. Pp. 126-146.
4. Etienne L., Devogele T., Bouju A. Spatio-temporal trajectory analysis of mobile objects following the same itinerary. The International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences. 2012. Vol. 38, Part II. Pp 86-91.
5. Moreno F., Arangoa F. Conceptual Trajectory Multidimensional Model: An Application to Public Transportation. Dyna. 2011. No. 166, Vol.78. Pp. 142-149.
6. Dodge S., Laube P., Weibel R. Movement similarity assessment using symbolic representation of trajectories. Int. Journal of Geographical Information Science. 2012. No. 9, Vol. 26. Pp. 1563-1588.
7. Muhtar N., Cahyono E., Arman, Ransi N., Rofianto D. Pattern similarities of vector matrices. Journal of Physics: Conference Series. 2019. No. 6, Vol. 1341. Pp. 062011.
8. Alsaade F., Fouda Y., Khan A. R. Efficient cellular automata algorithm for template matching. Journal of Artificial Intelligence. 2012. No. 3, Vol. 5. Pp. 122-129.
9. Alsaade F., Fouda Y. Template matching based on SAD and pyramid. International Journal of computer science and information security. 2012. No. 4, Vol. 10. Pp. 11-16.
10. Grasl T., Economou A. Spatial Similarity Metrics. In: Computer-Aided Architectural Design Futures / Dong A., Moere A.V., Gero J.S. Springer, 2007.
11. Frontiera P., Larson R., Radke J. A comparison of geometric approaches to assessing spatial similarity for GIR. International Journal of Geographical Information Science. 2008. No. 3, Vol. 22. Pp. 337-360.
12. Chehreghan A., Abbaspour R.A. Assessment of spatial similarity degree between polylines on multi-scale, multi-source maps. Geocarto international. 2017. No. 5, Vol. 32. Pp. 471-487.
13. Alt H. The Computational Geometry of Comparing Shapes. Efficient Algorithms / Albers S., Alt H., Näher S. Lecture Notes in Computer Science. Springer, 2009. Vol. 5760. Pp. 235-248.
14. Molodtsov D. Soft Set Theory - first results. Computers and Mathematics with Applications. 1999. Vol. 37. Pp. 19-31.
15. Maji P. K., Roy A. R., Iswas R. B. An application of soft sets in a decision-making problem. Computers and Mathematics with Applications. 2002. No. 8-9, Vol. 44. Pp. 1077-1083.
16. Feng F., Li Y., Leoreanu-Fotea V. Application of level soft sets in decision making based on interval-valued fuzzy soft sets. Computers and Mathematics with Applications. 2010. Vol. 60. Pp. 1756-1767.
17. Varol B., Aygun H. Fuzzy soft topology. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics. 2012. No. 3, Vol. 41. Pp. 407-419.
18. Mahanta J., Das P.K. Fuzzy soft topological spaces. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems. 2017. No.
1, Vol. 32. Pp. 443-450.
19. Hong D., Wang J., Gardner R. Measure Theory. Real Analysis with an Introduction to Wavelets and Applications. Academic Press, 2005. Pp. 33-63.
20. Sonke W., van Kreveld M., Ophelders T., Speckmann B., Verbeek K. Volume-based similarity of linear features on terrains. Advances in Geographic Information Systems: Proc. of the 26th ACM SIGSPATIAL International Conference. New York, 2018. Pp. 444-447.
21. Zharikova M., Sherstjuk V. Case-based Approach to Intelligent Safety Domains Assessment for Joint Motion of Vehicles Ensembles. Methods and Systems of Navigation and Motion Control: Proceedings of the 4th International Conference. Kyiv, 2016. Pp. 245-250.
22. Skowron A., Dutta S. Rough sets: past, present, and future. Nat. Computing. 2018. Vol. 17. Pp. 855876.
References
1. Sherstjuk V. Scenario-Case Coordinated Control of Heterogeneous Ensembles of Unmanned Aerial Vehicles. Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments: Proceedings of the 2015 IEEE 3rd International Conference, Kyiv, 2015, pp. 275-279. doi: 10.1109/APUAVD.2015.7346620.
2. Sherstjuk V.G. Sczenarno-preczedentnoe upravlenie ergaticheskimi dinamicheskimi obektami [Scenario-case control of ergatic dynamic objects]. Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2013. 407 p.
3. Spaccapietra S., Parent C., Damiani M., De Macedo J., Porto F., Vangenot C. A conceptual view on trajectories. Data & Knowledge Engineering, 2008, vol. 65, no. 1, pp. 126-146. doi: 10.1016/j.datak.2007.10.008.
4. Etienne L., Devogele T., Bouju A. Spatio-temporal trajectory analysis of mobile objects following the same itinerary. The International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, 2012, vol. 38, part II, pp 86-91.
5. Moreno F., Arangoa F. Conceptual Trajectory Multidimensional Model: An Application to Public Transportation. Dyna, 2011, vol.78, no. 166, pp. 142-149.
6. Dodge S., Laube P., Weibel R. Movement similarity assessment using symbolic representation of trajectories. Int. Journal of Geographical Information Science, 2012, vol. 26, no. 9, pp. 1563-1588. doi: 10.1080/13658816.2011.630003.
7. Muhtar N., Cahyono E., Arman, Ransi N., Rofianto D. Pattern similarities of vector matrices. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1341, no. 6, pp. 062011. doi: 10.1088/17426596/1341/6/062011.
8. Alsaade F., Fouda Y., Khan A. R. Efficient cellular automata algorithm for template matching. Journal of Artificial Intelligence, 2012, vol. 5, no. 3, pp. 122-129. doi: 10.3923/jai.2012.122.129.
9. Alsaade F., Fouda Y. Template matching based on SAD and pyramid. International Journal of computer science and information security, 2012, vol. 10, no. 4, pp. 11-16.
10. Grasl T., Economou A. Spatial Similarity Metrics. Computer-Aided Architectural Design Futures. Springer, 2007. doi: 10.1007/978-1-4020-6528-6_19.
11. Frontiera P., Larson R., Radke J. A comparison of geometric approaches to assessing spatial similarity for GIR. International Journal of Geographical Information Science, 2008, vol. 22, no. 3, pp. 337-360. doi: 10.1080/13658810701626293.
12. Chehreghan A., Abbaspour R.A. Assessment of spatial similarity degree between polylines on multi-scale, multi-source maps. Geocarto international, 2017, vol. 32, no. 5, pp. 471-487. doi: 10.1080/10106049.2016.1155659.
13. Alt H. The Computational Geometry of Comparing Shapes. Efficient Algorithms. Lecture Notes in Computer Science, vol. 5760, pp. 235-248. doi: 10.1007/978-3-642-03456-5_16.
14. Molodtsov D. Soft Set Theory - first results. Computers and Mathematics with Applications, 1999, vol. 37, pp. 19-31. doi: 10.1016/S0898-1221(99)00056-5.
15. Maji P. K., Roy A. R., Iswas R. B. An application of soft sets in a decision-making problem. Computers and Mathematics with Applications, 2002, vol. 44, no. 8-9, pp. 1077-1083. doi: 10.1016/S0898-1221(02)00216-X.
16. Feng F., Li Y., Leoreanu-Fotea V. Application of level soft sets in decision making based on interval-valued fuzzy soft sets. Computers and Mathematics with Applications, 2010, vol. 60, pp. 1756-1767. doi: 10.1016/j.camwa.2010.07.006.
17. Varol B.P., Aygun H. Fuzzy soft topology. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2012, vol. 41, no. 3, pp. 407-419.
18. Mahanta J., Das P.K. Fuzzy soft topological spaces. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2017, vol. 32, no. 1, pp. 443-450. doi: 10.3233/JIFS-152165.
19. Hong D., Wang J., Gardner R. Measure Theory. Real Analysis with an Introduction to Wavelets and Applications. Academic Press, 2005, pp. 33-63. doi: 10.1016/B978-012354861-0/50002-6.
20. Sonke W., van Kreveld M., Ophelders T., Speckmann B., Verbeek K. Volume-based similarity of linear features on terrains. Advances in Geographic Information Systems: Proc. of the 26th ACM SIGSPATIAL International Conference, New York, 2018, pp. 444-447. doi: 10.1145/3274895.3274937.
21. Zharikova M., Sherstjuk V. Case-based Approach to Intelligent Safety Domains Assessment for Joint Motion of Vehicles Ensembles. Methods and Systems of Navigation and Motion Control: Proc. of the 4th International Conference, Kyiv, 2016, pp. 245-250. doi: 10.1109/MSNMC.2016.7783153.
22. Skowron A., Dutta S. Rough sets: past, present, and future. Natural Computing, 2018, vol. 17, pp. 855876. doi: 10.1007/s11047-018-9700-3.
