CC BY
17
УДК 004.986 https://doi.org/10.35546/kntu2078-4481.2020A10
В.Г. ШЕРСТЮК
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-9096-2582 Р.М. ЛЕВКЮСЬКИЙ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-9280-8098
в.м. гусев
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-7775-2276 IB. СОКОЛ
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-7324-1441
РОЗРОБКА ПРОГРАМНИХ ЗАСОБ1В ПОШУКУ БЕЗПЕЧНИХ ТРАСКТОР1Й НА ОСНОВ1 НЕКЛАСИЧНИХ ТОПОЛОГ1Й
У cmammi розглянуто питання розробки програмних 3aco6ie, заснованих на моделi м'яких багаторiвневих дометв безпеки, для пошуку безпечних траекторш в задачах реактивного планування спшьного руху множини безтлотних апаратiв. Представлена модель багаторiвневих м'яких доменiв безпеки базуеться на сферичнш топологи, яка дозволяе будувати несферичнi домени безпеки шляхом визначення ргзних радiусiв у секторах, розташованих за разними довготою та широтою. Запропонована для вирiшення задачi пошуку безпечних траекторш м 'яка сферична топологiя е нелiнiйною й може бути застосована для побудови евристик з метою подолання явищ передискретизацИ та надто широкого розподшу випадкових точок, характерних для методiв пошуку траекторш, заснованих на використант швидких випадкових дерев. Запропоновано алгоритм пошуку безпечних траекторш на основi м'яког топологИ, який засновано на суперпозицИ багаторiвневих систем конуав зiткнень, накладених на м 'який топологiчний простiр. Программна реалiзацiя запропонованих моделi та алгоритму дозволяе ефективно планувати траекторИ безпечного руху в конфiгурацiйному просторi та забезпечуе продуктивнкть, достатню для застосування в системах управлiння безтлотними апаратами в умовах реального часу.
Ключовi слова: безтлотний апарат, домен безпеки, конус зiткнення, безпечна траекторiя, сферична топологiя, м 'яка наближена множина, программна реалiзацiя.
В.Г. ШЕРСТЮК
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-9096-2582 Р.М. ЛЕВКЮСЬКИЙ
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-9280-8098
в.м. гуСев
Херсонська державна морська академiя
ORCID: 0000-0001-7775-2276 IB. СОКОЛ
Херсонський нацюнальний техшчний ушверситет
ORCID: 0000-0002-7324-1441
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ПОИСКА БЕЗОПАСНЫХ ТРАЕКТОРИЙ НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЙ
В статье рассмотрены вопросы разработки программных средств, основанных на модели мягких многоуровневых доменов безопасности, для поиска безопасных траекторий в задачах реактивного планирования совместного движения множества беспилотных аппаратов. Представленная модель многоуровневых мягких доменов безопасности базируется на сферической топологии, которая позволяет задавать несферические домены безопасности путем определения различных радиусов в секторах, расположенных по различным долготам и широтам. Предложенная для решения задачи поиска безопасных траекторий мягкая сферическая топология является нелинейной и может быть применена для построения эвристик с целью преодоления явлений передискретизации и слишком широкого распределения случайных точек, характерных для методов поиска траекторий, основанных на использовании быстрых случайных деревьев. Предложен алгоритм поиска безопасных
траекторий на основе мягкой топологии, основанный на суперпозиции многоуровневых систем конусов столкновений, наложенных на мягкое топологическое пространство. Программная реализация предложенных модели и алгоритма позволяет эффективно планировать траектории безопасного движения в конфигурационном пространстве и обеспечивает производительность, достаточную для применения в системах управления беспилотными аппаратами в условиях реального времени.
Ключевые слова: беспилотный аппарат, домен безопасности, конус столкновения, безопасная траектория, сферическая топология, мягкая приближена множество, программная реализация.
V.G. SHERSTJUK
Kherson National Technical University
ORCID: 0000-0002-9096-2582 R.N. LEVKIVSKYI
Kherson State Maritime Academy
ORCID: 0000-0001-9280-8098 V.N. GUSEV
Kherson State Maritime Academy
ORCID: 0000-0001-7775-2276 IV. SOKOL
Kherson National Technical University
ORCID: 0000-0002-7324-1441
DEVELOPMENT OF SOFTWARE TOOLS FOR PLANNING SAFE TRAJECTORIES BASED ON NON-CLASSICAL TOPOLOGIES
This paper discusses the issues of the development of software tools based on a model of soft multilevel safety domains for finding safe trajectories in reactive planning of the joint movement of a multitude of unmanned vehicles. The presented model of multilevel soft safety domains is based on a defined spherical topology, which allows describing non-spherical safety domains by different radii in sectors having different longitudes and latitudes. The soft spherical topology proposed for finding safe trajectories is nonlinear and can be used to construct heuristics in order to overcome the phenomena of oversampling and too wide distribution of random points, which are specific to methods for finding trajectories based on the use of rapid random trees. A soft topology-based algorithm for finding safe trajectories that uses a superposition of multilevel systems of collision cones superimposed on a soft topological space, is proposed. The software implementation of the proposed model and algorithm makes it possible to effectively plan the trajectories of safe movement in the configuration space and provides performance enough for use in control systems of unmanned vehicles in real time.
Keywords: unmanned vehicle, safety domain, collision cone, safe trajectory, spherical topology, soft rough set, software implementation.
Постановка проблеми
Безпшотш апарати, яш ще донедавна вважалися результатом значного техшчного прогресу, сьогодш стали звичним явищем, гх використовують у вйх сферах людськоГ дiяльностi для виршення складних проблем, там де участь людини е небажаною. Бшьше того, почали застосовуватись групи безпшотних апарапв, яш одночасно дшть у рiзних середовищах. Розумне рибальство е гарним прикладом таких задач; для його виконання застосовують множину повиряних, надводних та тдводних апарат!в.
Для ефективного досягнення результапв розумного рибальства всi залучеш безпiлотнi апарати (БА) повиннi спшьно виконувати свог мiсií, синхронiзуючи свш рух та дii в чай й простора Вiдповiдно, кожен з БА повинен мати свш визначений план шси, який передбачае перемщення та виконання необхiдних дiй з урахуванням мiркувань безпеки та ефективносп. Отже, кожен БА за планом мюп отримуе свою заплановану траекторш, яку звичайно подають послiдовнiстю просторових точок (waypoint, WP) у тривимiрному просторi руху. Цi точки часто пов'язують з конкретними точками часу (time point, TP), щоб спростити координацiю спiльного руху. Пiд час планування траекторií мають враховуватись певш, можливо, суперечливi критерií, такi як наявшсть палива, заповнення обсягу трюму, час тощо.
Осшльки БА зазвичай працюють у невизначеному та динамiчному середовищi, юнуе ряд суттевих обмежень, якi накладаються на гх рух. Деякi з цих обмежень пов'язаш зi статичними та динамiчними перешкодами руху, динамжою БА (швидкiсть, прискорення, кут керма), силами навколишнього середовища (вiтри, течи, хвил^ та технiчними можливостями (дальшсть зв'язку). Однак, iснують також ситуативш порушення траекторii' руху, як то iншi рухомi об'екти та обмеження, що
викликаш заданими термами (наприклад, правилами на мoрi) y ^oci^i прoведення oперацiй.
Безyмoвнo, динамiчнi впливи навкoлишньoгo cередoвища зазвичай впливають i на заздалепдь визначенi траeктoрiï, змушуючи БА змiнювати ïx. Змiна траeктoрiï рyxy деяким БА мoже вiдчyтнo впливати на змiнy траeктoрiй рyxy iншиx БА, гoлoвним чинoм з мiркyвань безпеки [1]. Oтже, наразi icнye двi задачi планyвання [2]: перша e пoпередньoю i мoже рoзглядатиcя як задача глoбальнoгo планування, ïï cпрямoванo на планyвання траeктoрiй кoжнoгo з БА в глoбальнoмy прocтoрi ïx cпiльнoгo рyxy, а друга - це лoкальна задача планування траeктoрiй рyxy БА вже тд чаc викoнання мiciï, включаючи уникнення перешкoд та пoм'якшення ушв невизначенocтi та ризику, щo зазвичай швинна вирiшyватиcь у реальнoмy чай. Прoблема, рoзглянyта в цiй статл, найбiльше cтocyeтьcя вирiшення cаме друго1' задачi, тобто ре-планування cпiльнoгo рyxy неoднoрiдниx груп БА у режим реальнoгo чаcy.
Анaлiз оcтaннiх дослвджень i публiкaцiй
В задачаx глoбальнoгo планування визначають траeктoрiю рyxy ввд певнoï виxiднoï точки дo задаш1' цiльoвoï точки з yраxyваниям кoнкретниx критерiïв, такиx як найкoрoтший шлж абo мiнiмальний чаc рyxy. Методи глoбальнoгo планування викoриcтoвyють пoчаткoвy iнфoрмацiю, щo вiдoма апрioрi, включнo з рoзташyванням cтатичниx перешкoд. Oднак, неcпoдiванi динамiчнi перешкoди мoжyть cyттeвo шрушувати заздалегiдь визначенi траeктoрiï, щo вимагатиме адекватнoï реакцй' для уникнення зггкнень. Oтже, icнye неoбxiднicть у швторшму планyваннi, щo маe дoзвoляти гнучш змiни траeктoрiй рyxy БА, яш вiдпoвiдатимyть динамiцi навкoлишньoгo cередoвища, yмoвам безпеки та пoяви iншиx рiзниx oбcтавин, як1 не були враxoванi пiд чаc пoчаткoвoгo планування через юнуючу невизначенicть [3].
Bирiшення ^eï задачi e ocнoвним предметом рoзглядy цieï cтаттi. На даний мoмент запрoпoнoванo низку пiдxoдiв та безлiч алгoритмiв планування траeктoрiй, пoв'язаниx iз плануванням рyxy БА. Наразi, ic^e евристичний пiдxiд та вiдпoвiднi алгоритми, так1 як алгoритми Дейкстри, A*, D*, але дoбре вiдoмo, щo так1 алгoритми мають виcoкy oбчиcлювальнy cкладнicть, тому ïx не мoжна викoриcтoвyвати для перепланування в реальшму чаci [4].
У ocтаннi рoки запрoпoнoванo дек1лька cyчаcниx пiдxoдiв [5], включаючи дiаграми Boрoнoгo, штyчнi штенцшш пoля, швидк1 маршoвi, евoлюцiйнi методи тoщo. Запрoпoнoванo такoж низку пiдxoдiв, як1 заcнoванi на вибiрцi тoчoк шляxy, в тому чиcлi заcнoванi на викoриcтаннi ймoвiрнicниx дoрoжиix карт (PRM) абo швидкиx випадкoвиx дерев (RRT), яш ширoкo викoриcтoвyютьcя в БА. Oднак, цi методи мoжyть бути заcтocoванi в переважнo yмoваx дoбре вивчениx cтатичниx cередoвищ та пoпередньo вiдoмиx cтатичниx перешкoд. Алгоритм RRT e найбшьш пoпyлярним теред цьoгo клаcy метoдiв планування траeктoрiй, ocкiльки алгoритм PRM не гаражу найкoрoтшиx траeктoрiй [б].
Алгoритм RRT заcнoванo на iдеï вирoщyвання дерева ввд пoчаткoвoï точки дo цiльoвoï' точки з дoвiльним випадкoвим шшутом прoмiжииx тoчoк на прocтoрi, в ятому вiдcyтнi перешкoди [7]. Oтже, у RRT мoжливi траeктoрiï мoжyть бути пoбyдoванi шляxoм рoзширення дерев, як рocтyть, пoчинаючи вiд пoчаткoвoï точки, прoxoдячи через набiр випадкoвиx тoчoк, i закiнчyютьcя, кoли дocягнyта цiльoва точка. Перевага алгoритмy RRT пoлягаe в тому, щo дого мoжиа викoриcтoвyвати для планування траeктoрiй у cкладнoмy cередoвищi без пoпередньoï пoбyдoви прocтoрoвoï мoделi [8]. Oднак, метод планування траeктoрiй, заcнoваний на RRT, маe певнi вади, так як виcoкiй cтyпiнь випадкoвocтi, перевибiрка, пoвiльна швидкють oбчиcлення тoщo. Через юнування циx недoлiкiв траeктoрiï, щo вибираютьcя планyвальникoм RRT, не завжди e oптимальними [9], тому були таюэж запрoпoнoванi деяк1 вдocкoналення ^oro методу, але ключoвi прoблеми, щo призвoдять дo пoганoï рoбoти планувальнишв RRT, залишилиcя невивченими. Oтже, ic^e неoбxiднicть рoзрoбки певниx евристик для методу RRT, щo мoгли б том^кши™ вплив недoлiкiв та шлшшити йoгo ефективнicть.
MeTa доcлiдження
Для пoдoлання такиx недoлiкiв, як передиcкретизацiя та надто ширoкий рoзпoдiл випадкoвиx тoчoк, щo знижye ефективнicть шшуку траeктoрiй, мoже бути запрoпoнoвана мoдель кoнфiгyрацiйниx прocтoрiв на ocнoвi тoпoлoгiй, звyжениx м'якими дoменами безпеки. В цш cтаттi ми маeмo дocлiдити викoриcтання нетривiальниx cферичниx тoпoлoгiй для зменшення oбчиcлювальнoï' cкладнocтi за раxyнoк вiдмoви вiд традицiйнo iтеративниx oбчиcлень. Цю статтю cпрямoванo на рoзрoбкy методу визначення м'якиx багатoрiвневиx дoменiв безпеки та пoбyдoви вiдпoвiдниx траeктoрiй безпечнoгo рyxy в кoнфiгyрацiйнoмy прocтoрi, щo викoриcтoвyeтьcя у метoдаx RRT, тд чаc реактивнoгo планування рyxy мнoжини БА. Метою дocлiдження e пoбyдoва мoделi та алгoритмy шшуку безпечнт траeктoрiй БА на ocнoвi неклаcичниx тoпoлoгiй та рoзрoбка вiдпoвiдниx ефективниx прoграмниx заcoбiв, щo мoжyть бути заcтocoванi в cиcтемаx управлшня БА в yмoваx реальнoгo чаcy.
Виклaдeння основного мaтeрiaлу доcлiджeння
Сценарш уникнення зткнень
Poзглянемo тривимiрний ^oc^ C. Припycтимo, щo група БА викoнye у прocтoрi C певну oперацiю, перемiщyючиcь за певшю траeктoрieю. Неxай таку траeктoрiю задаш як заздалегiдь cпланoванy пocлiдoвнicть пар «точка-чао> (WP I TP). Oтже, траeктoрiя рyxy БА пoвинна шчинатшя з
певно! початково! точки i вести до певно! цшьово! точки; як початков^ так i цiльовi точки повиннi бути заданi в межах простору С. Розглянемо найпроспшу ситуацiю, представлену на рис. 1.
Рис. 1. Статичний сценарш уникнення зггкнення
Нехай А - активний об'ект, що рухаеться по заздалепдь спланованiй траекторп Р, що подана на рис. 1 пунктирною лшею, до певно! задано! мети g . Тобто, А - це "оперуючий БА". Досягнувши точки X, БА виявляе перешкоду V на вщсташ ¿х попереду, тому його система управлшня повинна розпочати маневр запобiгання зггкненню десь в точцi х, тобто на певнш вiдстанi <12 вiд перешкоди V. Таким чином, прямолiнiйний фрагмент початково! траекторп Р, починаючи з точки х i до точки х , мае бути замiнений криволшшним фрагментом, поданим на рис. 1 пунктирною лшею. Отже, нову (переплановану) траекторiю Р отримують шляхом додавання додатково! точки х, що знаходиться на мiнiмально безпечнiй ввдсгаш ^ вiд виявлено! перешкоди V •
Знаходячись в точцi х, оперуючий БА А мае два варiанти досягнення цiльово! точки g : або вiн буде продовжувати рухатися за криволiнiйною траекторiею Р i повернеться до початково! траекторп Р в точщ х, або буде додано новий прямолшшний фрагмент з точки х безпосередньо до цiльово! точки g . Хоча представлена ситуацiя здаеться доволi простою, рiшення, яке мае прийняти система управлiння БА, не е простим через невизначешсть, адже невiдомо, як1 ще статичнi чи динамiчнi перешкоди БА А виявить на просторi вiд х до х, перш нiж вш потрапить ближче до точки х •
Розглянемо бiльш складну ситуацш, коли оперуючий БА А виявляе рухомий об'ект А, який мае розглядатися як «порушник» заплановано! траекторi! Р. Безперечно, А е для А динамiчною перешкодою, яко! слiд уникати. Така ситуащя, що подана на рис. 2, мае певну схож1сть до попередньо! ситуацi! (рис. 1), тому потенцшне зiткнення мае бути вирiшено у схожий спойб.
Рис. 2. Динамiчний сценарш уникнення з^кнення
Однак, об'ект А рухаеться. Нараз^ обидва БА А i А з однаковою ймовiрнiстю можуть або наблизитися, або вщдалитися один вiд одного. 1снуе спосiб з'ясувати, чи iснуе небезпека потенцшного зiткнення: ми повиннi розрахувати вiдносну швидк1сть обох учасник1в спшьного руху з врахуванням пеленгу з А до А, що може бути визначена як ия(г) = [иА (г)-о^ В(А1,А2), де иг(г) - проекцiя
ввдносно! швидкосп мiж А i А на пеленг В(Л1,А) вiд А до А в момент часу г, тодi як ц (г) i ц (г)
е векторами швидкостi вщповщно А i А в той самий момент часу г.
Отже, якщо )<0, БА А i А вiддаляються один вiд одного, але якщо ц(г)>0, вони
рухаються до зближення, тому юнуе ймовiрнiсть потенцiйного зiткнення, а отже, мае бути активований вщповщний маневр уникнення зiткнень. В умовах стльного руху багатьох БА розрахунок векторiв вiдносних швидкостей може зайняти доволi багато часу, тому часто спочатку ощнюють вiдноснi пеленги, як показано на рис. 3.
Рис. 3. Оцшка ймовiрностi зпкнення за допомогою в1дносного пеленгу
Вiдносний пеленг вщ БА А до А мае ощнюватися з певною перюдичшстю у часi (моменти часу ^,..Хп); якщо вiдносний пеленг не лишаеться постiйним с плином часу, тобто якщо В44 (^2) * ВАА ¡) * ВАА (г]) протягом принаймнi трьох послiдовних моментiв часу , 15 , то загрози потенцiйного зпкнення немае. I навпаки, якщо ВАА )= (^ ) = ВАА (г]), то кнуе загроза потенцiйного зiткнення, отже, це достатнш привiд для наступно! оцiнки вiдстанi мiж А i А : якщо вона зменшуеться з плином часу, фiксуеться ймовiрне зiткнення. Замiсть використання вiдстанi мiж БА А i А, для з'ясування можливостi !х зггкнення можна використати вектор вщносно! швидкосп.
Умови зiткнення з певним об'ектом А можуть бути адекватно описаш конусом зiткнення, побудованим за допомогою падаючих дотичних 1,12 вщ А до певно! сфери В, яка подае певну зону безпеки навколо А, як показано на рис. 4. Якщо вектор швидкосп ц лежить у межах конусу зпкнення, то А порушуе зону безпеки В{. Розкладання вектору ц за дотичними 11,12 дае ц = + Ы2. Якщо а > 0 та Ь > 0, то перешкода А е критично небезпечною для А . Зрозумiло, щоб уникнути зiткнення, система управлiння БА А мае виконати такий маневр, щоб вектор швидкосп ц залишив межi конусу зпкнення.
Рис. 4. Оцшка ймовiрностi зпкнення за допомогою конусу зпкнення
Домени безпеки
Найбшьш поширеш тдходи до оцшки умов безпеки стльного руху БА засноваш на визначеннi або безпечних просторових зон, або найближчо! точки наближення (closest point to approach, CPA), яку ощнюють за лiнiйними (вщстань до зiткнення, DCK4) та часовими (час до зггкнення, ТСЕ4) метриками для
порiвняння визначених значень DCK4 та/або ТСЕ4 з певними (заданими) пороговими значениями Dz i Tz вiдповiдно. Очевидно, що у разi спiльного руху значного числа БА проблема порiвияния стае комбшаторною та, вiдповiдно, обчислювально складною.
Заметь того, визначення безпечних просторових зон [10] дозволяе розбити навколишнш проспр на безпечнi та небезпечш зони (домени). У цьому випадку оперуючий БА мае попереджати потрапляння будь-яких об'ектiв до свого домену безпеки, а так само уникати порушення домешв безпеки iнших БА, осшльки будь-яке вторгнення в домен безпеки квалiфiкуеться як загроза. За останнш час багато дослiдникiв пропонували рiзнi геометричнi форми доменiв безпеки (коло, елшс, шестикутник тощо) та методи визначення !х розмiрiв. Однак, форма та розмiр домену безпеки залежать вщ низки факторiв стохастичного характеру, якi заважають чiткому його визначенню [11].
Найбiльш суттевим фактором е невизначешсть умов зближення. Вочевидь, не знаючи намiрiв БА A (рис. 2), не можна бути впевненим, що його швидшсть та напрямок руху не змiнюватимуться тд
час зближення. В той же час, точшсть оцiнки розмiру, швидкосп та напряму руху об'екта A обмежуеться точнiстю бортового обладнання БА A та його чутливютю до перешкод; у будь-якому випадку, !х точнiсть не е абсолютною. Таким чином, юнуе певна неточнiсть, невизначешсть та непередбачувашсть ситуацii зближення. Для подолання тако! невизначеностi доцiльно використовувати багаторiвневi домени, як показано на рис. 5. Осшльки в тривимiрних просторах найчаспше використовуються домени безпеки сферично! форми, будемо вважати !х сферичними.
Рис. 5. Визначення 6araTopiBHeB^ доменiв безпеки
Враховуючи невизначенiсть форми та розмiру порушника А, а також складнiсть !х врахування, прийнято подавати форму А як геометрично вписану в певну сферу з радiусом г0 (рис. 5). Звичайно, таке припущення е доволi слабким, тому необхiдно надати можливють доменам безпеки приймати будь-яку геометричну форму. Однак зробити це, використовуючи iснуючi пiдходи, досить складно.
Ми можемо визначити умови безпечного руху БА за допомогою системи концентрично вкладених сфер, радуси яких однозначно визначають межi вiдповiдних рiвнiв домену безпеки:
- радiус г визначае сферу забороненого рiвня домену соа, порушення межi яко! призводить до безумовного зiткнення;
- радiус г визначае сферу критичного рiвня домену а>х, коли зггкнення можна уникнути, лише вдавшись до одночасного екстреного гальмування та рГзкого ухилення;
- радiус г визначае сферу небезпечного рГвня домену аг, в межах яко! уникнути зiткнення можливо, лише термшово змшивши швидшсть або напрямок руху;
- радiус г визначае сферу суперечливого рГвня домену , в межах яко! рух суттево обмежено порушником та iснуе потреба змшити швидк1сть або напрямок руху для уникнення зiткнення, але ця потреба не е такою нагальною, як для небезпечного рГвня домену;
- радiус г визначае сферу майже безпечного рГвня домену а4, в межах якого немае необхiдностi
змiнювати параметри руху, але, враховуючи невизначешсть, потрГ6но прид^ти особливу увагу порушникам домену безпеки, як потрапляють у цю сферу, адже вони можуть непередбачувано змiнювати параметри руху, що може призвести до небезпеки.
Нарешп, проспр су5 за межами сфери су4 домену е безпечним, де можна вiльно пересуватися. Звичайно, в кожному випадку домени безпеки можна розподiляти на бшьшу або меншу к1льк1сть píbhíb, як можуть приймати рiзнi форми, що е особливо важливим для морських застосувань, де переважають вiдносно витягнуп геометричнi форми рухомих об'ектiв, яш мають сутгевi вiдмiнностi вiд розглянутих вище круглих та сферичних форм. Отже, доцшьно розробити модель, яка описуе сфери безпеки будь-яких рiвнiв, розмiрiв та форм, для чого можна застосувати топологи. Тополойя конфкурацшного простору
Нехай Y буде множиною певних елеменпв, а Г - множиною вщшюв часу. Припустимо, що на вiдлiки часу в межах Т накладено суворий порядок <т, а í0 е певним початковим вщтком часу.
Розглянемо тривимiрний евклщв простiр C, дискретизований одноршною метричною сiткою D координатних прямих. Таким чином, D утворюе тривимiрний масив iзометричних кубiчних комiрок }, де x,y,z е розмiрними iндексами.
Нехай D буде непорожньою множиною комiрок, Rбуде множиною невш'емних дiйсних чисел, а буде функщею виду D х D ^ R. Якщо функцiя для кожного d, d, d е D задовольняе умовам:
1) (d, d)= 0 , якщо i тшьки якщо d = d;
2) E,d (di , d2 ) = £, (d2,d1 );
3) é> ( dl, d2 ) + 4d (d2 , d (d1, d ) ,
вона е функцiею вiдстанi (метричною функщею), а gB(d,d) = ||d _ d|| дае нам вiдстань вiд певно! комiрки d до шшо! комiрки d в межах D, i тодi пара (D,^) утворюе метричний простiр.
Будемо розглядати клiтинку як однорiдну фiгуру, надшену властивiстю об'ему. Визначимо рефлексивне, симетричне та транзитивне вiдношення с D х D на множинi вйх клiтин в межах D , яке буде виконувати роль вшношення нерозрiзненостi. З точки зору ступешв безпеки ®eñ, d,d)
значить, що (Vd, d е D)(Vc eQ)[o(d ) = ®(d)], а отже, клтгини d i d е со -нерозрiзненими.
Пара aprD =( D, ЭТд) утворюе проспр апроксимацп, тому фактор-множину, що складаеться з усiх класiв еквiвалентностi D вшносно , позначають як D / [12]. Нехай унiверсальна множина D, порожня множина 0, та елементи фактор-множини D / е елементарними множинами, а кiнцевi об'еднання одше! або дек1лькох елементарних множин утворюе певну складну множину. Отже, позначимо ймейство всiх складених множин як Def (aprD), а клас еквiвалентностi, що мютить певну
клiтинку d е D, як d). Топологiчний простiр T = (D, Def (aprD)) однозначно визначаеться простором апроксимацп aprD =(D, . Вшомо, що Def (aprD) е тополопею на D тодi i тiльки тодi, коли ва його
пiдмножини задовольняють наступним умовам [13]:
1) 0е Def (aprD), D е Def (aprD) ;
2) A, B е Def (aprD) ^ A n B е Def (aprD);
3) A,B е Def (aprD) ^ AuB е Def (aprD).
Отже, якщо Def (aprD) е ймейством вiдкритих множин, то T = (D, Def (aprD)) е топологiчним простором, елементами якого е комiрки d е D.
Кожен об'ект в межах D може займати або одну клпину, або певну множину сумiжних клiтин. Отже, рух будь-якого об'екту, в т.ч. БА, може бути подано як зм^ його позицп у просторi D впродовж деякого iнтервалу часу, заданого на Т . Позищя об'екта в межах D описуеться триплетом просторових iндексiв (x, y, z), яш можуть бути визначеш функцiею Pos (A), що повертае iндекси комiрки, яка
вiдповiдае просторовому положенню геометричного центру об'екта A у виглядi триплету.
Отже, клiтинка е динамiчним типом вокселiв - елеменпв простору, як1 визначають значення певного типу в межах едино! просторово! решпки, у нашому випадку це стутнь безпеки вшповшно! просторово! обласп, значення яких залежать вiд часу. Тополойя домене безпеки
Традицшно домени безпеки будують як сфери, починаючи з поточного мiсцезнаходження порушника. Щоб побудувати домен безпеки для БА A, доцшьно визначити кутову систему координат з центром в поточному положенш цього БА, що дозволить заметь декартових координат (x, y, z) подавати
координати БА триплетами (д,д,l), де Д - широта, Д - довгота i l - це ввдстань ввд центру сфери. 3bícho, центр ще! сфери мае бути сумiщений з центром сфери радiусу r0, що геометрично обмежуе Д .
Побудуемо сферу V з вщкритим радiусом та центром в комiрцi d е D, такш що Pos (Д) = d . Дискретизуемо сферу V за допомогою кутово! сiтки координатних лiнiй з однаковими кутами та рiвномiрним дискретним радiусом. Отже, сферу V буде подшено на m кутових дискретних елементiв, таких що АД=АД = 360/ n як у меридiаннiй, так i у паралельнш площинi (рис. 6), а И радiус також розкладено на однорщш дискретнi елементи Al, спрямоваш назовнi починаючи вiд центру сфери. В результата тако! дискретизацп ми отримуемо кулю W (рис. 6), дискретизовану секторальними клiтинами w¡jk що е найменшими секторами сфери V з кутовими координатами t, j, k. Звiсно, клiтини е однорiдними об'ектами з погляду на !х внутрiшнiсть (iнтер'ер).
Рис. 6. Дискретизащя сфери з ввдкритим радiусом
На основГ отримано! дискретизовано! сфери W ми можемо визначити двГ рГзт метрики, перша з яких - це метрика лшшно! вiдстанi Гз властивостями, подГбними до ¿;в, для визначення яко! ми можемо використати Гзометричну бГекщю . Очевидно, за допомогою бГекци % ми також
можемо перетворювати прямокутш координати будь-яких об'екпв у йтщ D до кутових координат у сферичнш йтщ W Г навпаки.
Друга метрика може бути заснована на об'емних властивостях секторГв. Оск1льки об'ем кожного наступного сектора, розташованого далГ вгд центру кулГ, обов'язково бшьший за об'ем попереднього сектора, метрика ^ е нелшшною. Чим ближчим до центру сфери е такий сектор, тим меншим е його об'ем, Г навпаки. Отже, метрика ^ дозволяе нам визначити вщношення нерозрГзненосл ^г с W xW (рефлексивне, симетричне та транзитивне) за множиною вах секторГв, що мГстяться в дискретнш сферГ W, на основГ ощнок !х об'ему. Використовуючи вщношення , ми надалГ можемо
визначити вгдповгдний проспр апроксимацп apr№ = (W,ЭТ^), який однозначно задае тополопчний проспр Т- =(W,Def ^^ )), де Def (aprW) - сферична тополопя на W . Оск1льки метрика ^ е нелшшною, тополопчний проспр Ту також е нелшшним, що дозволяе використовувати певш евристики для подолання надмГрно! вибГрки, характерно! для методу та покращити ефектившсть пошуку
траекторш у конфГгурацшному простор^ поданому за допомогою нелшшно! сферично! топологи . Побудова тако! сферично! топологи дозволяе отримати несферичш домени безпеки шляхом вщтку рГзних радуав у секторах, розташованих за рГзною довготою та широтою. Приклад двовимГрно! проекцп такого несферичного домену безпеки представлено на рис. 7.
Рис. 7. Визначення сферичних домешв безпеки в сферичнш сггщ
Оцтка рiвня безпеки
Важливою особливютю домену безпеки е те, що його форма та розмiри суттево залежать вiд часу та зазвичай !х значения е актуальними лише на момент вимiрювання поточно! позицп БА. Процес спiльного руху е динамiчним, отже можливi змiни параметрiв руху як оперуючого БА, так i порушника (та навiть шших БА, як на момент розгляду ситуацi! начебто не впливають на безпеку руху оперуючого БА), а також змши параметрiв навколишнього середовища, включно з погодними умовами, спричиняють змiни форми та розмiрiв домешв безпеки. Крiм того, домени безпеки е асиметричними з погляду на те, що оперуючий БА A може порушувати критичний домен БА A, але зворотне твердження може бути неправдивим, оск1льки БА A може доволi безпечно взаемодiяти з A через значну рiзницю в !х розмiрах та швидкостях.
Розглянемо оцшки безпеки БА в динамiцi. Нехай r (t) = {r0 (t),.r (t)} е множиною залежних вiд домену безпеки меж простору, обчислених для певного БА A на момент часу t на основi вище розглянуто! метрики &. Нехай функцiя Pos (A, t) повертае позищю БА A на момент часу t. Для кожио! пари БА (A, \) ми можемо оцшити певну вiдстань ||Pos (A, t)- Pos (Ak,t^ r¡ (t).
Нехай <p¡(t) = {p0(t),.p(t)} е множиною часових меж, заданих на Г, а & е метрикою, визначеною на Т як от ||t¿ - tj ^ p з наступними властивостями Vt¿, tj, tk е Т: 1) & (t¡, tj ) = 0 t¡ = tj; 2) & (t, tj ) = & (tj, t¡); 3) & (t¡, tk )„ & (t. tj )+& (tj. tk).
Використовуючи меж1, визначенi за шкалою часу, ми можемо встановлювати меж1 домену безпеки. Наприклад, межу r (t) критично! сфери домену безпеки може бути оцшено на основi ввдсгаш, необхiдно! для екстреного гальмуваиия, при ввдповщному обмеженнi за часом p(t), необхiдним для екстреного гальмуваиия на поточнiй швидкостi БА v¡(t). Межi r2(t),...r4(t) може бути визначено у такий же спосiб на основi припущень про використания певних маневрiв, щоб уникиути зiткиения. Нарештi, межу r (t) може бути оцшено на пiдставi геометричних розмiрiв порушника, яш практично не
залежать вщ часу, за вииятком тих ситуацш, коли цi розмiри можуть бути уточненими тд час спостереження.
Це дозволяе нам визначити розмитий домен безпеки, представлений системою концентричних сфер на рiзних рiвиях домену безпеки навколо кожного БА A, який бере участь у спшьному руй. Цi рiвнi можуть бути представлен у виглядi конусiв зiткиень на основi оцiнки доменних i часових меж безпеки, як представлено рiзними кольорами на рис. 8. Осшльки рiзнi рiвнi доменiв можуть приймати несферичнi форми, то й так фiгури можуть приймати форми, яш вiдрiзияються вiд конуса.
Рис. 8. Система конуав зпкнення, заснована на 6araT0piBHeB0My домеш безпеки
Нехай icHye певний частковий порядок ' г, який упорядковуе меж1 r (t),..rm (t) по вiдношенню до певно! шкали П = {щ,...®т}, такий що r (t) ' r ••• ' rrm (t). Кшьшсть елементiв цieï шкали m
встановлюють за кшьшстю piBHiB домену безпеки, наприклад, на рис. 8 m = 4. Це значення мае бути певним компромюом мiж точтстю оцiнки безпеки та ïï обчислювальною cкладнicтю. Для прикладу в табл. 1 наведена б^внева шкала. Очевидно, що вй cектоpальнi комipки топологи Tw, що зоcеpедженi вcеpединi певного конуса зiткнення вiдповiдно до i -ï сфери щ домену безпеки мають оцiнкy небезпеки y за табл. 1.
Таблиця 1
Piern безпеки
Сфера домену безпеки, со Межа, r Стушнь небезпеки, y Рiвень безпеки
щ r (t ) 0 Безпечно
Щ r4 (t) 0,2 Майже безпечно
с r ( t ) 0,4 Суперечливо
Щ r (t ) 0,6 Небезпечно
Щ r. ( t ) 0,8 Критично
Щ ro(t ) 1 Заборонено
Визначення траектори безпечного руху в конфщрацшному npocmopi
Нехай Y = {yi}"0 е множиною можливих ступетв безпеки, як1 залежать вiд часу. Припустимо, що множина W е утверсумом та розглянемо множину Y як певний набip паpаметpiв.
Нехай Y е воображениям елементiв множини Y у множину вciх тдмножин yнiвеpcyмy W, так що Y : y ^ 2W . Тодi пару (Y,Y) можемо вважати м'якою множиною секторальних комipок [14], яка, шшими словами, е ймейством тдмножин множини секторальних комipок W, параметризована множиною Y . Отже, кожне значення параметра y е Y однозначно визначае множину y -наближених елеменпв м'якоï множини ( y -елеменпв м'яко1' множини [15]), що позначаеться як Y •
Використовуючи м'яку множину (Y,Y), ми можемо розбити ушверсум W на множину y -
елеменпв, таких що Y = u{Y(}* . Визначимо динамiчне y -вiдношення неpозpiзнення на множит комipок W як (Vy е Y ) ^W (f) = {(wm, wn )eW x W | yi (wm, t) = yi (wn ,t)}. Вiдношення (t) дозволяе розглядати кожен y -елемент м'яко1' множини Y, як вщповщний клас еквiвалентноcтi, отриманий на певний момент t. Отже, параметризоване ймейство тдмножин утверсуму W , що становить певний y -
елемент множини Уг, е фактор-множиною Ж / Шу (е), яка складаеться з усiх класiв еквiвалентностi Ж, iндукованих вiдношенням Шу (г). Таким чином, пара арг№ = (Ж, Шу. (г)) визначае простiр динамiчного наближення. Вiдповiдно, ми можемо визначити ймейство всiх складених множин Бе/ (арг№) та динамiчний м'який топологiчний простiр (г) = (Ж,Бе/(аргж)), що однозначно вiдповiдае простору динамiчного наближення [16].
Вiдповiдно, у -елемент м'яко! множини мiстить уа секторальнi комiрки, як1 мають рiвень
безпеки у = 0, та подае проспр, заборонений для руху шших БА на певний момент г, у -елемент також слщ вважати забороненим з мiркувань безпеки. В той же час, у -елемент м'яко! множини, навпаки, мютить уа секторaльнi комiрки, як1 мають ступiнь безпеки у = 4, i подае проспр, який е "вшьним для пересування" на момент г. Безсумшвно, у4 -елемент м'яко! множини вщноситься пiдпростору "вшьного руху" конф^урацшного простору, а у0 - та у -елементи м'яко! множини вщносяться до тдпростору перешкод конфiгурaцiйного простору. Осшльки у2 - i у -елементи м'яко! множини становлять невизначений проспр, ми можемо дaлi розглядати конф^урацшний простiр як розмитий концепт.
Отже, тепер потрiбно розробити метод пошуку тдходящих трaекторiй у конф^урацшному просторi на основi визначено! м'яко! множини комiрок. Ми будемо спиратися на припущення, що оперуючий БА оточено шлькома iншими БА, як певним чином взaемодiють пiд час руху. Таким чином, домени безпеки повинш бути одночасно визначеш для вах тих БА, як1 взаемодшть або можуть взaемодiяти з оперуючим БА (рис. 9).
Рис. 9. Визначення траекторп безпечного руху на ochobí 6araTopÍBHeBoro домену безпеки
На рис. 9 показано три БА (A, A, i A) навколо оперуючого БА A. Таким чином, ми маемо визначати домени безпеки для кожного з A, A, i A, та будувати вiдповiднi конуси зикнень, що подано рiзними кольорами на рис. 9. Стд зазначити, що на рис. 9 ц конуси показан спрощеним способом, не враховуючи рiвнi безпеки. Розробка коридору руху вимагае багаторiвневих областей безпеки та вадповадних конусiв зiткнень.
Топологiчний проспр Tw, початкова комiрка якого знаходиться в Pos (A, t), е основою для
пошуку траекторп руху. Очевидно, що конуси зпкнень можуть бути представлен як множини секторальних комiрок у межах дискретизовано! сфери W, яш мають певний стутнь небезпеки. Оск1льки всi конуси зпкнень накладаються на топологiю Tw, слiд пiдсумовувати !х оцшки небезпеки
3w (t) = (y¡j (t)). Нехай тепер кожен елемент тополопчного простору T мае початкову функцш значения небезпеки 3á= 1. Для того щоб обчислити стутнь безпеки певного елемента тополопчного простору T, нам потрiбно вiдняти загальний ступiнь небезпеки вщ початкового значення безпеки ) = 1 ). Як наслщок, ми отримуемо певний розподш рiвнiв безпеки за конфiгурацiйним простором.
Обираючи пiдпростiр руху, що вiдповiдае y4 -елементу м'яко! множини, ми отримуемо необхщну пiдпростiр конфiгурацiйного простору, як показано на рис. 9 жовтим кольором, для того щоб саме в цьому пiдпросторi надалi шукати необхщну траекторiю руху з використанням методу RRT. Такий пiдпростiр може бути поданий у виглядi м'яко! наближено! множини на пiдставi припущення, що
apr^ = (D, R%) е простором апроксимацп за Павлаком [17]. Отже, вiдношення нерозбiрливосri може бути визначено на множит комiрок D як RD =|(dm,dn )еD х D|f (dm,Dd ) = f {dn,Dd )J, тодi нижне наближення простору апроксимацп apr% = (D, ) е м'якою пiдмножиною Yd (dd,t) = |V6>„ eCR (d) (D,t)|d e D)J, ^^^i як його верхне наближення е м'якою пiдмножиною
YD (D ,t) = | V^ (RD (d) n Yd (9d ,t) * 01d e D)J .
Розробка програмних 3aco6ie пошуку безпечних траекторш руху
Запропонована модель була розроблена у виглядi програмного модуля з використанням мови програмування С++ та програмних бiблiотек ToPo та SofTo, що пропонують широкий набiр операцiй з побудови декартових та сферичних топологiй, !х додавання та вiднiмання, визначення !х об'еднань, перетишв та iнтер'ерiв. Розроблений програмний модуль реал1зуе алгоритм пошуку безпечних траекторш руху БА, представлений у цш стати. Програмний модуль було штегровано до прототипу бортово! системи управлшня Брiз [18], яку реалiзовано на основi вбудованого мiкроконтролера STM32F429 (180 МГц Cortex M4, 2 Мб Flash / 256 Кб ОЗП, QSPI Flash N25Q512). Реактивний планувальник траекторш перетворюе координати вах спостережуваних БА об'екпв у кутову систему координат у межах конфiгурацiйного простору та визначае обласп безпеки для кожного об'екта та будуе вiдповiдну сферичну топологiю, що подае його домен безпеки. Попм планувальник будуе систему конуав зiткнень на основi прорахованих ступенiв небезпеки i, нарешп, накладае всi конуси зикнень на сферичну топологiю, щоб отримати шуканий пiдпростiр конфiгурацiйного простору, в якому надалi за допомогою методу RRT проводиться пошук безпечно! траекторп руху БА. Таким чином, конфiгурацiйний простiр звужуеться м'якими доменами безпеки, тому планувальник може використовувати лише визначений тдпроспр конфiгурацiйного простору для пошуку випадкових точок.
Ефективнiсть запропонованих моделi та алгоритму було дослвджено у порiвняннi з використанням звичайно! декартово! просторово! моделi шд час комп'ютерного моделювання з використанням б^вневих доменiв безпеки у динамiчному тополопчному просторi, побудованому на основi м'яко-наближено! множини. Результати експерименту показали, що запропонована модель та реалiзований алгоритм забезпечують прийнятну для систем реального часу продуктившсть пошуку безпечних траекторш.
Висновки
1. Розглянуто питання тдвищення ефективностi планування траекторiй за допомогою методу RRT для реактивних планувальнишв руху безпшотних апаратiв. Запропоновано концепщю м'яких багаторiвневих доменiв безпеки та наближеного пiдпростору конфiгурацiйного простору, що зменшуе розмiрнiсть простору пошуку випадкових точок за методом RRT.
2. Представлено модель м'яких багаторiвневих домешв безпеки, що заснована на використанш сферично! топологi!, яка дозволяе визначати несферичш домени безпеки через вщлж рiзних радiусiв за секторами, що розташоваш за рiзною довготою та широтою. Запропонована модель дозволяе визначати тдпроспр безпечного руху, звужений м'якими доменами будь-яких рiвнiв, розмiрiв та форм.
3. Нелшшшсть запропоновано! сферично! топологи дозволяе використовувати евристики для подолання негативних явищ передискретизацi! та надто широкого розподi^ випадкових точок, характерних для методу RRT та тдвищення ефекгивносп пошуку безпечних траекторш.
4. Представлено алгоритм пошуку безпечних траекторш руху в конфпурацшному просторi тд час реактивного планування спшьного руху множини безпшотних апарат1в на основi м'яко! наближено! топологi!, що використовуе суперпозищю багаторiвневих систем конуав зикнень, накладених на м'який тополопчний простiр.
Результати дослiдження дозволяють бшьш ефективно використовувати метод RRT для планування траекторп безпечного руху та забезпечуе продуктившсть, достатню для застосування в системах управлшня безпшотними апаратами в умовах реального часу..
Список використаноТ лператури
1. Sherstjuk V. Scenario-Case Coordinated Control of Heterogeneous Ensembles of Unmanned Aerial Vehicles. Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments: Proceedings of the 2015 IEEE 3rd International Conference, Kyiv, 2015, pp. 275-279.
2. Skowron, M., Chmielowiec, W., Glowacka, K., Krupa, M., Srebro, A.: Sense and avoid for small unmanned aircraft systems: Research on methods and best practices. Journal of Aerospace Engineering, 2019, vol. 233(16), pp. 6044-6062.
3. Abbasi, Y., Moosavian, S., Novinzadeh, A.: Formation control of aerial robots using virtual structure and new fuzzy-based self-tuning synchronization. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2017, vol. 39(12), pp. 1-14.
4. Kang, S., Choi, H., Kim, Y.: Formation flight and collision avoidance for multiple UAVs using concept of elastic weighting factor. Int. Journal of Aeronautical and Space Sciences, 2013, vol. 14, pp. 75-84.
5. Patle, B.K., Babu L, G., Pandey, A., Parhi, D.R.K., Jagadeesh, A.: A review: On path planning strategies for navigation of mobile robot. Defence Technology, 2019, vol. 15(4), pp. 582-606.
6. Short, A., Pan, Z., Larkin, N., van Duin, S.: Recent progress on sampling based dynamic motion planning algorithms. Advanced Intelligent Mechatronics: Proceedings of the 2016 IEEE International Conference, USA, 2016, pp. 1305-1311.
7. González, D., Pérez, J., Milanés, V., Nashashibi, F.: A Review of Motion Planning Techniques for Automated Vehicles. IEEE Trans. on Intelligent Transp. Systems, 2016, vol. 17(4), pp. 1135-1145.
8. Mujumdar, A., Padhi, R.: Reactive Collision Avoidance Using Nonlinear Geometric and Differential Geometric Guidance. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2011, vol. 34(1), pp. 303-310.
9. Sunkara, V. R., Chakravarthy, A.: Cooperative Collision Avoidance and Formation Control for Objects with Heterogeneous Shapes. IFAC-PapersOnLine, 2017, vol. 50(1), pp. 10128-10135.
10. Pietrzykowski, Z., Uriasz, J.: The Ship Domain - A Criterion of Navigational Safety Assessment in an Open Sea Area. Journal of Navigation, 2009, vol. 62, pp. 93-108.
11. Song, L., Chen, Z., Dong, Z., Xiang, Z., Mao, Y., Su, Y., Hu, K. Collision avoidance planning for unmanned surface vehicle based on eccentric expansion. International Journal of Advanced Robotic Systems, 2019, vol. 16(3), pp. 1-9.
12. Zhang, M.: Formation flight and collision avoidance for multiple UAVs based on modified tentacle algorithm in unstructured environments. PLoS ONE, 2017, vol. 12(8), e0182006.
13. Zhang, H., Perez Fernandez, R., De Baets, B.: Topologies induced by the representation of a betweenness relation as a family of order relations. Topology and its applications, 2019, vol. 258, pp. 100-114.
14. Tripathy, B. K., Arun, K. R.: Soft Sets and Its Applications. Handbook of Research on Generalized and Hybrid Set Structures and Applications for Soft Computing, IGI Global, 2016, pp. 65-85.
15. Al Ghour, S., Bin-Saadon, A.: On some generated soft topological spaces and soft homogeneity. Heliyon, 2019, vol. 5(7), e02061.
16. Ali, M.I., Mahmood, T., Rehman, M.M.U., Aslam, M.F.: On lattice ordered soft sets. Applied Soft Computing, 2015, vol. 36, pp. 499-505.
17. Li, Z., Xie, N., Gao, N.: Rough approximations based on soft binary relations and knowledge bases. Soft Computing, 2017, vol. 21, pp. 839-852.
18. Zharikova, M., Sherstjuk, V.: Case-based Approach to Intelligent Safety Domains Assessment for Joint Motion of Vehicles Ensembles. Methods and Systems of Navigation and Motion Control: Proceedings of the 4th International Conference, Kyiv, 2016, pp. 245-250.
References
1. Sherstjuk V. Scenario-Case Coordinated Control of Heterogeneous Ensembles of Unmanned Aerial Vehicles. Actual Problems of Unmanned Aerial Vehicles Developments: Proceedings of the 2015 IEEE 3rd International Conference, Kyiv, 2015, pp. 275-279. doi: 10.1109/APUAVD.2015.7346620.
2. Skowron, M., Chmielowiec, W., Glowacka, K., Krupa, M., Srebro, A.: Sense and avoid for small unmanned aircraft systems: Research on methods and best practices. Journal of Aerospace Engineering, 2019, vol. 233(16), pp. 6044-6062. doi: 10.1177/0954410019867802
3. Abbasi, Y., Moosavian, S., Novinzadeh, A.: Formation control of aerial robots using virtual structure and new fuzzy-based self-tuning synchronization. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2017, vol. 39(12), pp. 1-14. doi: 10.1177/0142331216649021
4. Kang, S., Choi, H., Kim, Y.: Formation flight and collision avoidance for multiple UAVs using concept of elastic weighting factor. International Journal of Aeronautical and Space Sciences, 2013, vol. 14, pp. 75-84. doi: 10.5139/IJASS.2013.14.1.75
5. Patle, B.K., Babu L, G., Pandey, A., Parhi, D.R.K., Jagadeesh, A.: A review: On path planning strategies for navigation of mobile robot. Defence Technology, 2019, vol. 15(4), pp. 582-606. doi: 10.1016/j.dt.2019.04.011
6. Short, A., Pan, Z., Larkin, N., van Duin, S.: Recent progress on sampling based dynamic motion planning algorithms. Advanced Intelligent Mechatronics: Proceedings of the 2016 IEEE International Conference, USA, 2016, pp. 1305-1311. doi: 10.1109/AIM.2016.7576950
7. González, D., Pérez, J., Milanés, V., Nashashibi, F.: A Review of Motion Planning Techniques for Automated Vehicles. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2016, vol. 17(4), pp. 11351145. doi: 10.1109/TITS.2015.2498841
8. Mujumdar, A., Padhi, R.: Reactive Collision Avoidance Using Nonlinear Geometric and Differential Geometric Guidance. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2011, vol. 34(1), pp. 303-310. doi: 10.2514/1.50923
9. Sunkara, V. R., Chakravarthy, A.: Cooperative Collision Avoidance and Formation Control for Objects with Heterogeneous Shapes. IFAC-PapersOnLine, 2017, vol. 50(1), pp. 10128-10135. doi: 10.1016/j.ifacol.2017.08.1793
10. Pietrzykowski, Z., Uriasz, J.: The Ship Domain - A Criterion of Navigational Safety Assessment in an Open Sea Area. Journal of Navigation, 2009, vol. 62, pp. 93-108. doi: 10.1017/S0373463308005018
11. Song, L., Chen, Z., Dong, Z., Xiang, Z., Mao, Y., Su, Y., Hu, K. Collision avoidance planning for unmanned surface vehicle based on eccentric expansion. International Journal of Advanced Robotic Systems, 2019, vol. 16(3), pp. 1-9. doi: 10.1177/1729881419851945
12. Zhang, M.: Formation flight and collision avoidance for multiple UAVs based on modified tentacle algorithm in unstructured environments. PLoS ONE, 2017, vol. 12(8), e0182006. doi: 10.1371/journal.pone.0182006
13. Zhang, H., Perez Fernandez, R., De Baets, B.: Topologies induced by the representation of a betweenness relation as a family of order relations. Topology and its applications, 2019, vol. 258, pp. 100-114. doi: 10.1016/j.topol.2019.02.045
14. Tripathy, B. K., Arun, K. R.: Soft Sets and Its Applications. Handbook of Research on Generalized and Hybrid Set Structures and Applications for Soft Computing, IGI Global, 2016, pp. 65-85. doi: 10.4018/978-1-4666-9798-0.ch005
15. Al Ghour, S., Bin-Saadon, A.: On some generated soft topological spaces and soft homogeneity. Heliyon, 2019, vol. 5(7), e02061. doi: 10.1016/j.heliyon.2019.e02061
16. Ali, M.I., Mahmood, T., Rehman, M.M.U., Aslam, M.F.: On lattice ordered soft sets. Applied Soft Computing, 2015, vol. 36, pp. 499-505. doi: 10.1016/j.asoc.2015.05.052
17. Li, Z., Xie, N., Gao, N.: Rough approximations based on soft binary relations and knowledge bases. Soft Computing, 2017, vol. 21, pp. 839-852. doi: 10.1007/s00500-016-2077-2
18. Zharikova, M., Sherstjuk, V.: Case-based Approach to Intelligent Safety Domains Assessment for Joint Motion of Vehicles Ensembles. Methods and Systems of Navigation and Motion Control: Proceedings of the 4th International Conference, Kyiv, 2016, pp. 245-250. doi: 10.1109/MSNMC.2016.7783153
