CC BY
7
В.М. ОнУфр1енко: СКЕЙЛ1НГОВ1 ВЛАСТИВОСТ1 РОЗПОД1Л1В ЗАРЯД1В У НАНОПОКРИТТЯХ ПОВЕРХОНЬ
-*-f= 10,25 ГГц -B-f= 11 ГГц —•—f = 11,5 ГГц
L, м
Рисунок - 3 - Нормированное распределение амплитуды поля I в плоскости, перпендикулярной к оси антенны на расстоянии 2 = 0,75 м, при / = 10,25 ГГц; 11 ГГц; 11,5 ГГц
Измерена диаграмма направленности структуры с N=3, 5, 7, 10. Результаты измерений совпадают с данными работ [5, 6]. Установлено, что ширина диаграммы направленности антенны Френеля лежит в пределах 8 _10°. Измерения проведены для различных типов облучателей. Максимальный коэффициент направленного действия составлял 19.6.
ВЫВОДЫ
Исследования показали, что при увеличении числа элементов N в антенне Френеля ширина диаграммы направленности изменяется не существенно (не более чем на 20 %), однако при этом существенно возрастает величина коэффициента направленного действия.
Увеличение числа элементов N в антенне Френеля приводит к некоторому сужению рабочей полосы частот.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Fresnel antenna //IEEE Electronics and Wireless World. -1989. - Vol. AP-24. - No. 9. - 8127 p.
2. Кронкевич В. П., Пальчикова И.Г. Современные зонные пластинки // Автометрия. - 1992. - № 1. - С. 57-61.
3. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. - М.: Радио и связь, 1982. -184 с.
4. Базарский О. В., Колесников А.И., Хлявич Я.Л. Частотные свойства зонированных линз Френеля // Радиотехника и электроника. - 1980. - № 12. - С.2492- 2497.
5. Волошин О.И., Цалиев Т. А. Исследование частотных свойств антенн Френеля // Радиоэлектроника. - 1995. -№ 9. - С. 43 - 46. (Изв. высш. учеб. заведений).
6. Лещук И. И., Цалиев Т. А. Численный анализ линзовых антенн Френеля // Радиоэлектроника. - 1998. - № 5. - С. 3 - 8. (Изв. высш. учеб. заведений).
Надшшла 19.09.2003 Шсля доробки 20.09.2003
Розглянуто загальний nidxid до аналгзу явища дифракцп на плоскому зонованому dçepnaëi. Aналiзуютьcя фокуcуючi âëacmueocmi даноЧ структури. Експериментально доcлiд-жена cтpуктуpа дифрагованого поля.
The general approach to analysis of diffraction problems on sounded Fresnel antenna is considered. The frequency characteristics of Fresnel antenna are analyzed. The radiation characteristics of Fresnel antenna are considered.
УДК 537.813
В.М. Онуфр1енко
СКЕЙЛ1НГ0В1 ВЛАСТИВ0СТ1 Р03П0Д1Л1В ЗАРЯД1В У НАН0П0КРИТТЯХ ПОВЕРХОНЬ
Розроблена модель неоднорiдно'i поверхт фрактального нанопокриття застосовуеться для зведення задачi про розподiл зарядiв на складних геометричних носiях до задач про а -розподiл проекций на однорiдну поверхню тонких плiвок з геометричними фрактальними сингулярностями. Узагальнено модель для визначення мультифрактально'( мiри заряду у виглядi моменту з вiдповiдним показником фрактальностi та порядком, що визначаються через показник Гольдера. Результати роботи можуть використо-вуватись для розв'язування задач про управлiння електрич-ним полем за рахунок варiювання скейлiнгового показника у хвилеводних системах з поверхневим нанопокриттям.
ВСТУП
В1дом1 дослщження енергетичних спектров електрошв на однорщних поверхнях тонких пл1вок (див., напри-клад,[1]) демонструють щлу гаму розм1ршсних еле-ктронних ефекпв, коли властивост! об'екпв починають
залежати в1д ряду характеристичних розм1р1в при наближенш розм1р1в об'екпв до довжини хвил1 Де Бройля (квантов! пл1вки, нитки, точки 1 т.п.). Однак, класичш розм1рш ефекти виявляються 1 у випадках значно б1льших розм1р1в об'екпв покриття 1з застосу-ванням високодисперсних частинок, структура котрих утворюеться за рахунок використання порошкових тех-нологш виготовлення конструкцшних та магштних матер1ал1в, керам1чних композицш 1 т.д. Мал1 частинки мають розвинут! границ! розд1лу та високу кривизну в1льних поверхонь. Адсорбцшш процеси на таких поверхнях можуть сильно впливати на рад1оф1зичн1 властивост! таких об'екпв.
Радюф1зична наука вимагае на сучасному етат розвитку усе б1льшо1 точности у постановках задач про використання взаемоди електромагштного поля з геомет-
PAÂIOÔHÈKA
pичнo та cтpyктypнo нeoднoplдними пoвepxнями, гeтepo-гeннlcть якиx oбyмoвлюeтьcя виxoдoм на пoвepxню гpанeй кpиcталlв з нeoднакoвoю xlмlчнoю активнlcтю y вiднoшeннi дo зoвнlшньoгo cepeдoвища. Tакy нeoднopiд-нlcть yтвopюють такoж виxoди диcлoкацiй та lншиx макpocкoпlчниx дeфeктlв, виникають y пpoцecl вини-ктення пoвepxнl абo за lншиx активниx вплив1в (cтyпlнчатий plcт, пopи, мiкpoтpiщини та 1н.).
Poзyмlння peальнoï пoвepxнi зазвичай пoв'язyeтьcя з мoдeллю шаpyватoï cтpyктypи твepдoгo т1ла (мeталy) абo напlвпpoвlдника, пoкpитoгo плlвкoю влаcнoгo omc-лу - дleлeктpика. Aтoмнl, юнн1 та eлeктpoннl пpoцecи, щo вiдбyваютьcя пpи зoвнlшнlx дlяx - дeфopмацiï, накладання eлeктpoмагнlтниx пoлlв, адcopбцГü та 1н., у багатьox випадкаx визначають функцюнування пepepа-xoваниx cтpyктyp у piзнoманiтниx cиcтeмаx мlкpo-, oптo- та акycтoeлeктpoнiки. Bибlp фlзичнoï мoдeлl го-вepxнl вlдlгpаe значну poль у cyчаcнiй нанo- та мoлeкy-ляpнiй eлeктpoнlцl, кoли ф1зика такиx cиcтeм cтаe нeадeкватнoю ф1зиц1 маcивниx твepдиx тГл, а пpoблeми пoвepxнeвиx явищ набувають вте бlльшoï актyальнocтl.
Hайпpocтiшoю мoдeллю oпиcy влаcтивocтeй пoвepxнl взаeмoдГü пoля з peчoвинoю е, звичайго, мoдeль oднo-plднoï пoвepxнl. За ц1ею мoдeллю пoкладаeтьcя oднoplд-н1сть 1 yclx фlзичниx влаcтивocтeй у плoщинi пoвepxнl (x,y). Така пoвepxня xаpактepизyeтьcя cepeднlми eфeктивними значeннями eлeктpичнoгo пoля, пoвepxнe-вoгo заpядy, пoтeнцiалy 1 т. д. Poзглядаeтьcя т1льки зм1на циx фlзичниx паpамeтplв пo нopмалl дo пoвepxнl, за pаxyнoк чoгo задача з тpивимlpнoï пepeтвopюeтьcя в oднoвимlpнy. Пepexlд дo cиcтeм з1 знижeнoю poзмlpнl-cтю (клаcтepи peчoвини, ниткoпoдlбнl cтpyктypи, тoнкl пл1вки: нуль-, oднo- та двoвимlpнl cтpyктypи мlкpo- та нанoeлeктpoнlки), кoли poзмipи нeoднoplдниx oб'eктlв наближаютьcя дo xаpактepиcтичниx дoвжин пoля вза-eмoдlï (дoвжина xвилl, тoвщина cкlн-шаpy та 1н.) дeмoн-cтpye наcкlльки гpyбим мoжe бути у pядl випадк1в наближeння oднoplднoï пoвepxнl, у зв'язку з чим вини-кае питання пpo пpавoмlpнlcть заcтocyвання такoгo п1д-xoдy. Стае зpoзyмlлим, щo гoвopячи пpo пoвepxню, cлlд poзглядати ïï те як гeoмeтpичнy плoщинy (x,y), а як а -вимipнy пoвepxнeвy фазу, pяд фlзичниx влаcтивocтeй я^' в1дм1нний в1д oб'eмниx. У зв'язку з цим актуал1зуе-тьcя заcтocyвання cпeцlальниx матeматичниx мeтoдlв [2;3] з викopиcтанням пpийoмlв фpактальнoгo гeoмeт-pичнoгo анал1зу [4] та апаpатy дpoбoвoгo lнтeгpoди-фepeнцlальнoгo чиcлeння [5].
Запpoпoнoвана у poбoтаx (див., напpиклад,[6]) мo-дeль нeoднoplднoï пoвepxнl заcтocoвyeтьcя дал1 для звeдeння cкладнoï задач1 пpo poзпoдlл заpядlв 1 cтpyмlв на фpактальниx гeoмeтpичниx нoclяx дo задач пpo а -poзпoдlл пpoeкцiй на oднoplднy пoвepxню тoнкиx плiвoк з гeoмeтpичними фpактальними cингyляpнocтями.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!
З дocлiджeнням eлeктpoмагнlтнoгo пoля у матepiаль-нoмy cepeдoвищl у вигляд1 нанoшаpiв мoжливий poзгляд двox ocнoвниx задач. З oднoгo бoкy, мoжлива пpяма
взаeмoдlя пoля з матeplалoм, наст1льки cильна, щo у матeplалl виникають залиштав! зм1ни абo пoшкoджeння. З rnmore бoкy, взаeмoдlя мoжe бути дocтатньo cлабкoю 1 викликати т1льки oбopoтнl зм1ни, за якиx встаговлю-ютьcя нoвl тимчаcoвl yмoви piвнoваги у мlкpocкoпlчнlй cтpyктypl матeplалy. B ocтанньoмy випадку в1дбува-ютьcя зм1на ycepeднeниx eлeктpoмагнlтниx пoлlв вте-peдинi та зoвнl т1ла, вимlpювання кoтpиx дoзвoляe зpo-бити виcнoвки пpo макpocкoпlчнl eлeктpичнl xаpактe-pиcтики матepiальнoгo cepeдoвища.
Mаcштаб мlкpocкoпlчнoï cтpyктypи визначимo дeякoю дoвжинoю (дlамeтpoм) dc , xаpактepизye пpocтopo-вий poзпoдiл чаcтинoк, мoдeллю якиx виcтyпаe точтава мнoжина. Bибlp чиcлoвoгo значeння цieï дoвжини у значн1й мlpl залeжить в1д типу та cтpyктypи poзгля-дyванoгo матeplалy. У твepдиx та p^Mx дleлeктpикаx dc мoжe пpeзeнтyвати мlжатoмнl та мlжмoлeкyляpнl вlдcтанl. Для матepiалiв, у кoтpиx cepeдня дoвжина вlльнoгo пpoбlгy визначае пpoцec пpoвiднocтi, тoбтo для мeталlв, газ1в 1 плазми, dc пpeзeнтye cepeдню дoвжинy вlльнoгo пpoбlгy. У клаcичнoмy пiдxoдi для вимфюва-ння пpoтяжнocтl мiкpocкoпiчнoï cтpyктypи oбиpають
маcштабoм дoвжинy dc = 4 • 10-10м. Poздlлeння вну-тplшньoï oблаcтl твepдoгo абo plдкoгo cepeдoвища на куб1чн1 кoмlpки з1 cтopoнoю d¡ yтвopюe пoкpиття oбла-
cтl кoмlpками, мlcтять у co61 N¡ = ( d¡ / dc )3 части-нoк. Moжна татаж poздlлити тoнкий шаp на мeжi oднoгo 1з cepeдoвищ на пoвepxнeвi кoмlpки oб'eмoм
AVs = d'2dc , у якoмy м^тш^я Ns = (d¡/dc)2 части-
гок. Для твepдиx т1л 1 piдин 4 • 10-3 > d{ > 4 • 10м, а для будь яташ газу за нopмальнoгo ттеку 1 тeмпepатypи d¡ >4 • 10-6м. Таким чинoм, за нopмальниx значeнь тeмпepатypи та тижу кoмlpка для газ1в значго б1льша, н1ж у plдин 1 твepдиx т1л, алe вce ж мала пopiвнянo з макpocкoпlчними в1дстанями. Однак для poзplджeниx газ1в абo poзplджeнoï плазми, напpиклад, за гажу в 0,01 мм pт. ст. дoвжина вlльнoгo пpoбlгy дoplвнюe 1 cм 1 е пoplвнюванoю з макpocкoпiчними вlдcтанями.
Щрб cпpocтити визначeння макpocкoпlчниx тoчниx xаpактepиcтик eлeктpичниx та мexанiчниx влаcтивocтeй cepeдoвища дoцlльнo матeматичнo мoдeлювати йoгo в1д-пoвlднl мiкpocкoпiчнi xаpактepиcтики. Пpактичнo кoжна cтpyктypна oдиниця замlнюeтьcя cyпepпoзицleю ïï eлe-мeнтаpниx xаpактepиcтик, лoкалlзoваниx у тoчцl, пpeзeнтye cтатиcтичнe пoлoжeння cпoкoю. Дo такиx xа-pактepиcтик вlднocятьcя маcа, заpяд, eлeктpичний ди-пoльний мoмeнт, магн1тний дипoльний мoмeнт, eлeктpи-чний квадpyпoльний мoмeнт та 1н. ^61p xаpактepиcтик, щo вxoдять у пpeдcтавлeння cтpyктypнoï oдиницl кoж-нoгo виду, залeжить в1д ïï мlкpocкoпlчнoï cтpyктypи та нeoбxlднoï тoчнocтl макpocкoпlчнoгo oпиcy cepeдoвища.
На в1дм1ну в1д мiкpocкoпiчнoï тeoplï cepeдoвища, дe poзглядаютьcя вeликi чиcла диcкpeтниx атoмlв та мoлe-кул plзнoï cтpyктypи 1 piзниx xаpактepиcтик, макpo-cкoпlчна тeoplя мае cпpавy т1льки 1з cepeднlми
34
ISSN 1607-3274 "Pадioeлeктpoнiка. Iнфopматика. Упpавлiння" № 2, 2003
B.M. OwjôpieHKo: CKEÉËIHTOBI BËACTÈBOCTI POЗПOДIЛIB ЗAPЯДIB У HAHOПOKPИTTЯX ПOBEPXOHЬ
значeннями та eфeктами. Якщo мlкpocкoпlчнl xapa^re-p^rnM cлабo змlнюютьcя на вlдcтаняx, вeликиx у пoplвняннl 1з cepeдньoю дoвжинoю вlльнoгo пpoбlгy (за виключeнням випадк1в пepexoдy чepeз мeжy м1ж ptó-ними матeplалами, дe мае мГ^ швидка зм1на), тo в1дго-в1дн1 ycepeднeнl макpocкoпlчнl xаpактepиcтики мoжна пpeдcтавляти двoма cиcтeмами пoвlльнo змlнюваниx функц1й щlльнocтl: oдна (cиcтeма oб'eмниx густин) xаpактepизye внyтplшнl тoчки запoвнeнoï матepiалoм oблаcтl, а дpyга (cиcтeма пoвepxнeвиx гycтин) вpаxoвye ocoбливl yмoви швидкиx зм1н у пepexoдаx чepeз тонку мeжy на пoвepxнl cepeдoвища абo чepeз мeжoвий шаp.
Heoбxlднe гeoмeтpичнe згладжування кoнтyplв та пoвepxoнь, m;o виникае у клаcичнoмy пlдxoдl дo вимфю-вання пpoтяжнocтl гладкиx абo кycкoвo-гладкиx л1н1й та пoвepxoнь, пpизвoдить дo алгeбpаïчнoгo визначeння ipa-ниць дoвжин впиcаниx у кoнтyp пpямoлiнiйниx в^Гз-к1в, щo дае мoжливicть визначати дифepeнцlал гладкoï лlнlï та ïï дoвжинy заcтocyванням фopмyл iнтeгpyвання. Cпpoби запpoваджeння такoгo пlдxoдy у задачаx вим-lpювання пpoтяжнocтl тoчкoвиx мнoжин, "шopcткиx", cильнo пoplзаниx, rop^rnx кoнтyplв пpизвoдить дo mc-тyпнoгo: дoвжина такиx тoпoлoгlчнo oднoвимlpниx мго-жин дoplвнюe нecкlнчeннocтl, а плoща - нулю, для 1н-шиx мнoжин плoща дoplвнюe нecкlнчeннocтl, а o6^ -нулю. Звичайнo, ця пpoблeма виникае 1 у cпpoбаx заcтo-cyвання клаcичнoгo анал1зу для визначeння пpoтяжнocтl мнoжин заpядlв 1 cтpyмiв у cильнo cтpyктypoваниx cepeдoвищаx, включeння якиx мають вeликl юль^ст! чаcтинoк peчoвини, poздlлeниx пpocтopoвo на в1дстан1, пoplвнюванl з дlамeтpoм видiлeнoï нeoднoplднocтl.
Пoняття фpактальнoï poзмlpнocтl D 1 фpактальнoï м1-pи Иа базyютьcя на oзначeннl Xаycдopфа - Бeзикoвича, цeнтpальнe мlcцe у ятаму займае пoняття вlдcтанl м1ж точками у пpocтopi. Для визначeння poзмipнocтi фpак-тальнoï cильнo cтpyктypoванoï пл1вки з plзним пoтoчкo-вим poзпoдiлoм заpядy пoкpиeмo ïï пpocтими томпакта-ми (пpямoлlнlйними вlдplзками, квадpатами, пpямoкyт-никами, кpyгами) з пoдальшим вимipюванням вlдcтанl м1ж ними.
N тoчкoвиx заpядlв, щo вlдoбpажають poзпoдlл мipи на мнoжинl. Для i -toï кoмlpки ввeдeмo вlднocнy густину qt = Ni/ / N 1 пoбyдyeмo мlpy заpядy у вигляд1 мoмeнтy з пoказникoм d та пopядкoм ß :
Qd (ß, S) = fqf6d = {", d ><()
d <T(ß).
Tака мlpа xаpактepизyeтьcя пoказникoм d = T(ß)
таким, вoна нe пepeтвopюeтьcя в нуль 1 нecкiнчeн-нlcть, тали S ^ 0 .
Зважeнe чиcлo кoмlpoк пoкpиття дoplвнюe
N(ß, S) = £ qß ~ S_T(ß)
звгдки знаxoдитьcя пoказник
in N(ß, S) T(ß) = _ lim l¡ 5^0 ln S
(1)
Hyльoвe значeння мoмeнтy заpядy дае N(ß = 0,S) = N(S) - чиcлo кoмlpoк, щo yтвopюють пoкpиття, а t( 0 ) - фpак-тальна poзмlpнlcть мгожини заpядy.
Bибlp вeликиx значeнь у виpазi T(ß) cпpияe ypaxy-ванню густини заpядy з вlднocнo б1льшими значeннями
qi (для ß >> l та qi >> q , qß >> qß) ^впаки, вибlp
ß << l тдвищуе ypаxyвання вкладу кoмlpoк з вiднocнo малими значeннями мlpи qi . Для гpаничниx значeнь ß :
dT(ß) i =_ lim ln q_^ dß = im ln S
dx(ß^ i • ln q,
=_ lim
= _ап
dß
= _а ln S аmln,
МУЛЬТИФРАКТАЛЬНА М!РА ЗАРЯД!В
Oб'eднання фpакталlв piзниx poзмlpнocтeй (мульти-фpакталlв) мають нeтpивiальнi влаcтивocтl у пoplвняннl з фpакталами. Bизначимo так звану мyльтифpактальнy мipy poзпoдlлlв заpядlв 1 cтpyмlв на фpактальнoмy гeoмeтpичнoмy нoclю у вигляд1 нанoпoкpиття плoщини.
Заcтocyвання poзбиття на гiпepкyби з peбpoм S з го-дальшим пlдpаxyванням чиcла N(S) куб1в, щo мlcтять в ycякoмy pазl oднy тoчкy мнoжини Q дае ^убу oцlнкy
мlpи мгожини, а чиcлo N(S) нe œce у co61 нlякoï lнфopмацlï пpo cтpyктypнl ocoбливocтl такoï мнoжини. Bиxiд з такoï cитyацlï запpoпoнoванo у вигляд1 заcтocyвання згopтання мlpи та poзглядy нeoднакoвoï маcштабнocтl мнoжини (див., напpиклад, [7]).
Hexай фpактальна мнoжина заpядy Q, щo жладае-тьcя з N тoчкoвиx заpядiв, мае в i -т1й кoмipцi poзбиття
а у загальнoмy випадку гоказник Лlпшиця-Гoльдepа dT
а =--— (див., нaпpиклaд, [7]).
dß
Пocлlдoвнlcть пoкaзникlв ß зв'язyeтьcя з кpивoю знaчeнь пoкaзникa а загальгою фyнкцloнaльнoю зaлeж-нlcтю /(а) . Для фpaктaльниx пlдмнoжин з фpaктaль-нoю poзмlpнlcтю f(а) чиcлo вlдplзкlв дoвжинoю S , œ-
oбxlднe для пoкpиття мнoжини q1 з lндeкcoм а в iнтepвaлi ( а, а + da ) дopiвнюe
N (а, S) = o(a)da • S_f (а) ,
дe о(а) - чиcлo мгожин в1д Qа дo Qa+da. Mlpa мнoжини зapядiв
Qd (ß, S) = jo(a)da • S_f (a)SaßSd = jG(a)da^Saß"
!_/(a)+d.
РАД1ОФ13ИКА
1нтеграл у правей частит мажоруеться интегралом з заменою подынтегрального виразу максимальним значен-ням, таким, для якого
dа
{ар_ / (а)} а=а(р) = 0
/ (а(р)) = ра(р) + х(р).
що з урахуванням N(0, е) ~ — можна перетворити в
се а = сгае а + сгае а +...+сг^е а aбо
(2)
г1а + г2а +... + гЛа = 1.
•ы
Отже, штегральний вираз для 0" (в, 5) визначаеться асимптотичною формулою
дЛ (р, 5) ~ 5ва(в)_/(а(в))+" .
М^ра 0" (в, 5) залишаеться скшченною у границ! при 5 ^ 0 , коли
" = т(р) = /(а(р)) _ра(р) , (3)
де а(р) - розв'язок р^вняння (2). Таким чином, пока-зник й фрактальност! заряду визначаеться через показ-ник Лшшиця-Гольдера а(р) ! фрактальну розм!ршсть /(а(р)) множини нос!я цього показника.
Використання (2) та (3) для ведомого показника т(р) надае можлив^сть визначити показник Лшшиця-Гольдера та /(а(р)) :
а(р) = _^т(р), "р
(4)
Формально р^вняння (4) задають перетворення Ле-жандра в!д незалежних змшних (т, р) до незалежних змшних (/ а) . Вони визначають параметричне пред-ставлення криво! (/, а) - фрактально! розм^рноси ноая сингулярностей заряду з показником Лшшиця-Гольдера.
Для узагальнення модел! фрактального заряду Q розглянемо його конструкц!ю на множин! з перетворе-нням под^бност! 01,02,...,Яп таким, що мае м!сце представлення Q = д 1( д д2( д)... ^ д^( д) з по-
парним неперетином (д). Виберемо таке мале додатне число ео, щоб попарно не перетинались дилатацп
01(0) + ео, 02(0) + ео, ..., Яы(0) + ео .
Якщо М( д, е) - юльюсть куль з радиусом е , необх!-дних для покриття заряду д , то для е < ео маемо
N(0,е) = ы(й(0),е) + Ы(02(0),е) + ... + Ы(0ы(0),е).
3а допомогою е -покриття множини (0) пере-творюеться в — е - покриття д з коефщентами под^б-
г
ност! г . Отже,
N (й- (0), е) = N(0, - е),
г
N(0,е) = N(0,—е) + Ы(Q,1 е) + ... + N(0,—е) , г г гк.
Якщо ус! г1, г2,..., гы перетворень ,02,..., Qы належать интервалу (0;1), то розв'язок останнього р!в-няння називають розм^ршстю под^бност! множини д.
При цьому зшмаеться вимога про неперетиншсть (0) ! питання про розм^ршсть фрактально! множини з розбиттям на сум!жн! п!дмножини з точковими зарядами на сшльнш границ! тдмножин за рахунок того, що а -м!ра Хаусдорфа уих попарно перетинних множин дор^внюе нулю.
Визначимо властивост! розпод!лу мультифрактально!
м!ри дй додатних точкових зарядов, розподшених на нос!ю Ь у вигляд! канторово! множини, побудовано! за наступним алгоритмом. У п + 1 - му поколшш кожний з в^др^зк^в делиться на дв! частини - меншу, з вщносною довжиною ¡о , та бшьшу - з вщносною довжиною ¡1 , а середня частина - вир^заеться. Меншш частит ставиться у вщповщшсть частку 2о м!ри попереднього п-го поко-лшня, а бшьшш частит - частку д1 пе! ж м!ри.
У п-ному поколшт маемо ( п) вщр^зюв з довжиною
]к 1п_к _к • "
1о 11 ! зарядом = 0о 01 , а мфа визначаеться як
п
(р, 5) = £ (П )(0ор/о" )к (0?! )п-к = (0ор/о" + )п.
к=0
Ця м!ра е скшченною з 5 = /1п, п ^ ~ у тому ! тшьки тому випадку, якщо вибирати " = т(р) , де т(р) - розв'язок р^вняння
00р/о(р) + 0№(р) = 1. Для точкового фрактального заряду 0 = 01 - 02,
додатного (> 02, 1 = 0 _
_ 1
0 ,
) або вщ'емного
( 01 < 02, 1 = — _ — 0 и
-1
), зосередженого на фрак-
тальн!й множин! точок в!др!зку у розглядуваному мультипликативному биномиальному процесс, число в^др^зк^в покриття з довжиною (див., наприклад, [7])
визначаеться у вигляд!
п
N(р, 5) = £ (п ) 0
к=0
0
+ 1 _
1 _ Q1
р
р(п_к)
е
36
ISSN 1607-3274 "Радюелектронжа. 1нформатика. Упрaвлiння" № 2, 2003
В.М. Онуфр1енко: СКЕЙЛ1НГОВ1 ВЛАСТИВОСТ1 РОЗПОД1Л1В ЗАРЯД1В У НАНОПОКРИТТЯХ ПОВЕРХОНЬ
З урахуванням (1) маемо
1п
т("|, в) = ■
" + (г - ^в в
1п 2
в-
Нет —
I; м
//'..V А/
..-■■■у ю--—" ЗРч /7 3>>7 V
а)
1шт -
7"........
/
-5.2х /
52 \ \
//...
б)
Рисунок 1 - Дшсна (а) та уявна (б) частини показника заряду у мулътиплтативному процеп
Нет -=1-
ЧИСЕЛЬН! РЕЗУЛЬТАТЕ
На рис.1 показана розрахована залежн1сть дшсно!
Ие т(~—, р) та уявно'1' 1т т(в-, р) частин показника зав в
ряду як функцп в1дношення в— б1ном1ального мульти-
пл1кативного процесу.
Для 0 < в— < 1, 0 < р < 1 ус1 значення показника
заряду належать 1нтервалу [0;1] (результат зб1гаеться з даними [7]), для 1нших в1дм1чаемо можлив1сть упра-
• • в- Р
вл1ння цим показником за рахунок варшвання в та р .
2-—. 2
|\ ъ IX:; 0.25ч 0.75 \
1 1 1 ГV \ --
Л
-4 -3 -2
-1
а)
Для 1нтервалу 0 < < - 0 < р < 1 уявна частина показника заряду дор1внюе нулю.
-2
1
:Д 1 ^ 1 * 1 у,
^^ 1 / ъ Ч. 0.25^
_ _ р р ' р- л ^
б)
Рисунок 2 - Залежн1стъ дшсног частини показника заряду в1д р (а) та Ql/ Q2 (б)
На рис.2 а) показана розрахована залежн1сть д1йсно!
Ие т(в,Р) частини показника заряду як функци порядку р моменту б1ном1ального мультипл1кативного про-цесу. Значення розм1рност1 нос1я т( 0) = 1 (одиничного в1др1зка) одержуемо, коли Р = 0 , а Р = 1 в1дпов1дае показнику заряду т( 1) = 0 , що узгоджуеться з в1доми-ми даними [7]. Рис.2 б) демонструе наявн1сть екстре-мальних значень д1йсно! частини показника Л1пшиця-
Гольдера а в 1нтервал1 0 < в— < 1 (уявна частина а у
в
цьому 1нтервал1 в1дсутня).
ВИСНОВКИ
У класичн1й теор1' п1сля вводу структури матер1' у вигляд1 сукупност1 електричних заряд1в (електрон1в 1 протон1в) ставиться питання про те, чи може система таких заряд1в знаходитись у ст1йк1й статичн1й р1вноваз1, чи в атомах 1 молекулах ус1х т1л ц1 заряди повинн1 знаходитись у стан1 неперервного руху. У русл1 роз-
РАДЮФ13ИКА
глянутого питания про мультифрактальне моделювання сукупностей додатних та вщ'емних заряд1в на фракталь-них та дофрактальних ноаях у вигляд1 нанопокриття поверхонь проблема можливостей конструювання стш-ких конф1гурацш заряд1в набувае особливого значення.
Дослщжена модель заряд1в i струм1в у неоднорщному середовищд, яка Грунтуеться на урахуваннi скейлiнгових спiввiдношень у вимiрюваннi протяжностi неоднорiдноï множини точок та виявлеш скейлiнговi властивостi фра-ктальностi поверхневоï неоднорiдностi дозволяють усвь домити постановку ряду технологiчних задач про кон-струювання керованого покриття за рахунок створення активних та реактивних фрактальних дтянок з мульти-фрактальною мiрою.
Результати роботи можуть використовуватись для розв'язування актуальних задач про управлшня електри-чним полем у хвилеводних системах з поверхневим на-нопокриттям за рахунок варшвання скейлшгового показника, що характеризуе ступiнь фрактальностi покриття.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Киселев В.Ф., Козлов С.Н., Зотеев A.B. Основы физики поверхности твердого тела.-М.: МГУ,1999.-284 с.
2. Onufrienko V.M. On "a-features" of electrical waves above impedance plane// Proceedings 12 International. Conference on Microwaves & Radar.-V.1.- Krakov (Poland).-1998.-PP. 212-215.
3. Онуфр1енко В.М. Диферштегральш- форми у хаусдорфо-вш метриц на фрактальних множинах // Радюелектрош-ка. ¡нформатика. Управлшня. - 2002. -№ 2 (8). - С.31-35.
4. Falconer K.J. The Geometry of Fractal Sets. Cambr. Univ.
Press, Cambridge, 1985. - 268p.
5. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688с.
6. Onufriyenko V. M. Integro-Differential Charges and Currents Distribution on the Fractal Medium Topology // Conf. Proc. International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002). - V.2. - Kiev, Ukraine, 2002. - PP. 382-384.
7. Федер E. Фракталы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - 254с.
Надшшла 09.10.2003
Разработанная модель неоднородной поверхности фрактальных нанопокрытий применяется для сведения задачи о распределении зарядов на сложных геометрических носителях к задачам об а -распределениях проекций на однородную поверхность тонких пленок с геометрическими фрактальными сингулярностями. Обобщена модель для определения мультифрактальной меры заряда в виде момента с соответственным показателем фрактальности и порядком, которые определяются через показатель Гельдера. Результаты работы могут быть использованы для решения задач об управлении электрическим полем за счет варьирования скейлингового показателя в волноводных системах с поверхностным нанопокрытием.
The designed model of the heterogeneous surface with fractal nano-cover is applied for reduction problems about support of charges to the composite geometrical supporter to problems about а -allocations of projections to the homogeneous surface thin skin with geometrical fractal singularity. The model for definition multifractal measure of a charge as the moment with a corresponding fractal exponent and the order which are defined through exponent Helder is extended. Effects of operation may be used for the solution of problems on guidance of an electric field due to a variation an scaling exponent in wave propagation systems with the surface nanocover.
УДК 537.876.23
В.М. Онуфр1енко, Т.О. Штефан
1НТЕГР0ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПР0СТ0Р0В01 ФРАКТАЛЬНО! НЕ0ДН0Р1ДН0СТ1 ПЛАЗМ01Д1В
Пропонуеться модель заряд1в та а -польних момен-т1в для досл1дження просторових властивостей пла-змогд1в (неоднор1дного фрактального заповнення деяког област1 згустками однор1дног плазми). За допомогою ттегродиференщального числення задача зводиться до класичного розгляду однор1дного заповнення област1 речовиною (плазмою), але у термтах а - характеристик рад1ус-вектора положення для однор1дног мно-жини. Виявлено вплив негомогенног структури пла-змогда на величину д1електричног проникност1 та можливкть управлтня.
ВСТУП
Основною проблемою застосування електромагн!тно! теор!! до заповнених матер!альним середовищем т!л та
38
областей виступае розробка методу для прогнозування результат!в експериментальних спостережень та вим!рю-вань. Для цього на основ! теоретично! мод ел! склада-еться математична модель середовища, що достов!рно описуе ус! спостережуваш електричш та мехашчш характеристики, але, водночас, простша вщ пе!, що надае атомна теор!я. Необхщну модель можна одержати шляхом прийняття допустимих спрощень атомно! кар-тини середовища, що складаеться з атом!в ! молекул, по-будованих з електрошв, протошв ! нейтрошв. Для бшь-шоси макроскотчних явищ подробищ форми та будови цих елементарних частинок не мають важливого значен-ня ! можна обмежуватись уявленням про них у вигляд! невеликих мас ! заряд!в, що зосереджуються у деяких ф!зичних дискретних точках (геометрично-фракталь-
ISSN 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня" № 2, 2003
