CC BY
117
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика
№91(9)
УДК 537.86
МЕТОД ПОГРУЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР С ФОТОННОЙ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНОЙ
В.Л. КУЗНЕЦОВ, С .А. СИМАКОВ
Построена математическая модель двумерного фотонного кристалла гексагональной структуры. В основу модели положены уравнения погружения для матричных коэффициентов прозрачности и отражения фотонного кристалла. Приводятся результаты численных экспериментов.
Введение
Значительный интерес к фотонным кристаллам (ФК), наблюдающийся последние годы [1-3], связан с осознанием принципиально новых возможностей этих материалов при решении задач передачи и обработки оптической информации. С ФК связывают также большие надежды в прогрессе компьютерных технологий, создании так называемых оптических компьютеров.
Для успешного решения отмеченных проблем нужны материалы с заданными частотными характеристиками отражения и прозрачности. Определение этих характеристик по их макропараметрам, таким как геометрические параметры структуры ФК, диэлектрические проницаемости вкраплений и матрицы, представляет собой прямую задачу электродинамики периодических сред. Для создания эффективных технологий производства таких материалов, на роль которых и претендуют ФК, необходимо по заданным частотным характеристикам уметь рассчитывать макрохарактеристики периодических структур, то есть решать обратную задачу, что, вообще говоря, сейчас не представляется возможным по ряду причин, в частности, и потому, что решение такой обратной задачи, скорее всего, неоднозначно.
В этой ситуации целесообразно создать относительно простую компьютерную модель ФК, способную решать прямую задачу. Использование такой модели, рассматриваемой как имитационную, позволит подобрать варианты макропараметров ФК, максимально соответствующих требуемым спектральным характеристикам. Понятно, что разрабатываемая компьютерная модель должна быть относительно простой и, вместе с тем, достаточно точной. Это необходимо учитывать при выборе математического аппарата модели ФК.
В теории многократного рассеяния в объемных средах известны три подхода: метод композиции операторов рассеяния Ватсона (техника Т-матрицы) [4], метод инвариантного погружения [5] и метод трансфер-матриц [6]. На наш взгляд наиболее подходящим методом для описания ФК является метод погружения. Отметим, что этот метод широко используется как для решений конечно-разностных уравнений, интегральных уравнений Фредгольма [7], так и для широкого класса линейных и нелинейных задач оптимизации и оптимального управления путем сведения их к решению задачи Коши (квадратичная вариационная задача, «квазиквадра-тичная» задача, уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби, задачи оптимального управления и т.д.). Метод инвариантного погружения применяется в различных приложениях, таких как, например, задача моделирования фазированных антенных решеток [8], построение задачи Коши для отыскания функции Грина для плоскопараллельной атмосферы и многие др.
В настоящей работе построены уравнения погружения для матричных коэффициентов прозрачности и отражения двумерного гексагонального ФК, и приведены результаты соответствующих численных экспериментов. При расчетах использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
1. Постановка задачи
Рассмотрим ФК в виде плоскопараллельного слоя с диэлектрической проницаемостью, образующей 2Б-периодическую структуру. Это совокупность одинаковых сонаправленных цилиндров радиуса г с диэлектрической проницаемостью в, погруженных в среду с диэлектрической проницаемостью вьас = 1 (рис. 1).
Рис. 1. Гексагональный двумерный фотонный кристалл
На такой слой падает плоская электромагнитная волна Евх (г) = Е0 * ехр(/£г) . Здесь к -волновой вектор (к = 2п/ А), а Е0 - комплексная амплитуда падающей электромагнитной волны. Необходимо найти матричный коэффициент прозрачности слоя Т как функцию частоты излучения и угла падения внешнего поля.
Определим Т как матричный коэффициент пропорциональности между угловыми компонентами входящего и выходящего полей:
Ееых = Т(а,а) ■ Евх, (1)
Евых = (...,Е-п,...,Ео,...,Еп,...)т, Евх = (...,0,1,0,...)т,
где Е; - комплексные амплитуды углового спектра поля; а,ш - угол падения и частота внешнего поля.
Здесь учтено, что спектр излучения, рассеянного на периодической структуре, дискретен. Заметим также, что матрица Т(а,а) - комплексная, то есть в (1) учтены фазовые искажения угловых компонент поля при прохождении через ФК.
2. Метод расчета
В основе метода погружения, предложенного В.А. Амбарцумяном [9], лежит вывод и решение эволюционных уравнений по параметру погружения. В нашем случае, при решении задачи об энергетическом спектре ФК в качестве параметра погружения будем выбирать толщину кристалла, которая будет варьироваться от нуля до Ь. ФК толщины г + Аг может быть получен из усеченного ФК толщины ъ при добавлении элементарного слоя А (рис. 2,3). При этом априори будем предполагать дифференцируемость электродинамических характеристик
ФК по выбранному параметру погружения, то есть при выводе соотношения будем сохранять в уравнениях лишь члены порядка Лг. Другими словами взаимодействие поля с элементарным
слоем толщины Лг будем рассматривать в борновском приближении Т(г + Лг) - Т(г) ~ Лг, а многократность рассеяния будет учитываться за счет взаимодействия каждого элементарного слоя с соответствующим усеченным ФК.
При прохождении электромагнитной волны через систему „элементарный слой - усеченный ФК” часть выходящего поля дважды взаимодействует с усеченным ФК: один раз при прохождении, второй - при отражении (рис. 2С). Поэтому при рассмотрении задачи о взаимодействии электромагнитного излучения с ФК следует вычислять не только матричный коэффициент прозрачности Т, но и его матричный коэффициент отражения I. Зная электродинамические характеристики усеченного ФК и элементарного слоя, можно выразить Т( г + Лг) - коэффициент прозрачности ФК толщины 2 + Лг через Т(г). Соответствующие дифференциальные уравнения называются уравнениями погружения.
Преимущество описанного метода заключается в том, что:
знание распределения интенсивности излучения внутри ФК не обязательно для решения задачи о нахождении коэффициента отражения и прозрачности ФК;
вместо краевой задачи для уравнения Гельмгольца в достаточно сложной периодической структуре решается задача Коши (начальная задача) для уравнения погружения - матричного уравнения Риккати.
3. Уравнения погружения
Система уравнений погружения относительно Т и I для переходного слоя на границе раздела двух сред была получена в работе [10] и имеет вид:
Рис. 2. Диаграммы прохождения поля через усеченной ФК в присутствии элементарного слоя
(п)
1
(2)
(3)
Применительно к задаче о ФК с квадратной решеткой уравнения погружения рассмотрены в [11]. Будучи идентичными по своей структуре уравнениям (2), (3), они отличаются лишь явным видом матриц элементарного слоя (4).
Преобразуем уравнения (2), (3) так, чтобы их можно было использовать для расчетов коэффициентов отражения и прозрачности двумерного ФК гексагональной структуры. Изменение претерпевает только вид выражения F,. Заметим, что F, в (2), (3) имеет смысл j-го коэффициента Фурье в разложении профиля функции /(x, z) = s(x, z) - sbac в сечении z = const ФК. Для гексагональной структуры, приведенной на рис. 1, видно, что все профили разбиваются на 3 класса: нижний слой вкраплений, однородный слой (s( x, z) = sbac) и средний слой вкраплений. При этом соответствующие профили первого и третьего классов могут быть получены друг из друга при смещении по оси x на величину 3/2 R, что при Фурье-преобразовании проявляется в появлении дополнительного фазового множителя. Таким образом, фактически задача сводится к вычислению коэффициента Фурье профиля лишь одного из классов.
Запишем выражение (4) для произвольного сечения кристалла (z = const) третьего класса (рис. 1).
FJ (z) = — sin
J
2nJf-1 (z )
3R
• (exp^'q.R) + exp(-iqjR)) = — cos(—— j) • sin
j 3
2nf - (z)
3R
(5)
2n . где = 3Rj и
f-,(z) =
r2 - (z - nR——-)2
2
(6)
V3 V3
если выполняется неравенство nR< z < 2r + nR
т.е. секущая плоскость z = const нахо-
дится в пределах слоя цилиндров (п - номер слоя цилиндров). Если секущая плоскость находится между слоями цилиндров (профили второго класса), то Fj - нулевая матрица.
Заметим, что матрица FJ в (2), (3) в силу используемого борновского приближения аддитивна по числу вкраплений на периоде структуры, и Фурье-образ сложного профиля равен сумме соответствующих образов его составляющих. Выражение (5) справедливо для профилей третьего класса. Соответственно выражение для профилей первого класса с учетом сделанных выше замечаний имеет вид:
Fj (z) = ~C0S(nj) • sin J j 3
2nJf ~4 z )
3R
(7)
Рис. 3. Диаграммы отражения поля от усеченного ФК в присутствии элементарного слоя
Физический смысл отдельных членов правой части уравнений (2), (3) легко понять, сопоставив их с диаграммами рассеяния поля, представленными на рис. 2, 3. Первый член правой части уравнений (2), (3) описывает рассеяние только на усеченной поверхности (рис. 2А, ЗА). Второй и третий члены в правой части (2) соответствуют рис. 2В и 2С, соответственно. Свободный член уравнения (3) описывает рассеяние поля только на элементарном слое (рис. ЗВ), второй и третий члены в правой части (3) соответствуют рис. 3С и 3Б, соответственно, а квадратичный по Я член, описывающий двукратное рассеяние на усеченной поверхности, представлен рис. 3Е.
Систему дифференциальных уравнений (2), (3) дополним очевидными «начальными» условиями, которые завершают постановку задачи Коши:
Г(0) = I, Я(0) = 0 (8)
4. Результаты численного эксперимента
Уравнения погружения (2), (3) представляют собой бесконечную систему взаимосвязанных нелинейных уравнений, аналитическое решение которых, к сожалению, в настоящий момент построить не удается. Поэтому, после проведения процедуры усечения системы, мы прибегли к численным методам. При интегрировании уравнений использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Число описываемых угловых мод было ограничено 15, что соответствует совместному решению системы 15 • 15 • 2 = 450 уравнений. В методе Рунге-Кутта 4-го порядка для
нахождения значения коэффициента прохождения в точке Т(х0 + И) нужно знать значения коэффициента отражения в трех точках Я(х0), Я(х0 + И/2) и Я(х0 + И). Поэтому для вычисления коэффициента отражения брался шаг в два раза меньший, чем при вычислении коэффициента прозрачности.
В работе исследовалось прохождение волны через 4 слоя вкраплений в кристалл при нормальном падении (а = 0), радиусе описанной окружности шестиугольника Я = 0,5 мкм, радиусе цилиндров г = 0,2 мкм и г = 0,21 мкм и 8 = 1,5. На рис. 4 представлены графики зависимости модуля коэффициента прозрачности от длины волны для нулевой - 0, первой - 1 и второй -2 мод углового спектра волны в диапазоне длины волн 390 - 430 нм.
нм
Рис. 4а. График зависимости модуля коэффициента прозрачности ФК от длины волны для нулевой - 0, первой - 1 и второй -2 мод углового спектра волны. Параметры модели: а=0, т=4, Я=500нм, г=200нм, £=1.5
Рис. 4б. График зависимости модуля коэффициента прозрачности ФК от длины волны для нулевой - 0, первой - 1 и второй -2 мод углового спектра волны. Параметры модели: а=0, т=4, Я=500нм, г=210нм, £=1.5
Из графика видно, что при длине падающей волны 400 нм модуль коэффициента прозрачности для нулевой моды близок к нулю, то есть имеет место окно непрозрачности (запрещенная энергетическая зона).
Далее рассматривается прохождение волны через 5 слоев кристалла при нормальном падении (а = 0), радиусе описанной окружности шестиугольника Я = 0,5 мкм, радиусе цилиндров г = 0,21 мкм, 8 = 1,9 (рис. 5а) и г = 0,2 мкм, г = 2 (рис. 5б). На рис. 5 видно, что при увеличении диэлектрической проницаемости и уменьшении радиуса цилиндров минимумы модуля коэффициента прозрачности смещаются в область более длинных волн.
нм
нм
Рис. 5а. График зависимости модуля коэффици- Рис. 5б. График зависимости модуля коэффици-
ента прозрачности ФК от длины волны для нуле- ента прозрачности ФК от длины волны для нулевой - 0, первой - 1 и второй -2 мод углового спектра вой - 0, первой - 1 и второй -2 мод углового спек-
волны. Параметры модели: а=0, т=5, Я=500нм, тра волны. Параметры модели: а=0, т=5,
г=210нм, 8=1.9 Я=500нм, г=200нм, 8=2
Заключение
В работе построена математическая модель 2Б ФК гексагональной структуры, основу которой составляет задача Коши для системы матричных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов отражения и прозрачности.
Разработана компьютерная модель 2Б ФК с гексагональной структурой, показана работоспособность модели и проведена серия численных экспериментов для различных ФК в выбранном частотном диапазоне.
В результате исследований получены семейства графиков зависимости модуля коэффициента прозрачности от длины излучения X при различных параметрах ФК, которые позволяют оценить энергетический спектр исследуемых объектов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yablonovitch E. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P 2059.
2. Fan Sh., Villeneuve P.R., Joannopoulos J.D., Haus H.A. Channel Drop Filters in Photonic Crystals. -Optics Express 4, 1998, 6 July, Vol. 3, N1.
3. Nonlinear Optics of Photonic Crystals, Topical Issue of J. Opt. Soc. Am. B 19, 2079-2356 (2003).
4. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. - М.: Мир, 1967.
5. Bellman R., Wing G.M. An introduction to invariant imbedding, Wiley-Interscience, New York,
1975.
6. Barnes C., Pendry J.B. Proc. R. Soc. Lond. A 435, 185, 1975.
7. Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике. - М.: Мир, 1976.
8. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов В.Л. Идеология метода инвариантного погружения в теории рупорных антенн. // Антенны, вып. 2 (48), серия Физика и математика, N42, 2001.
9. Амбарцумян В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // ДАН СССР, 1943, т. 38, №8.
10. Barabanenkov Yu. N., Kouznetsov V. L., Barabanenkov M. Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: TE polarization.// Progress in electromagnetic research. ed. by J. A. Kong, EMW publishing, Cambridge MA, vol. 24, 1999 11. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ, вып. 4, 2003, том 123.
THE INVARIANT IMBEDDING METHOD IN A PROBLEM OF DESIGNING HEXAGONAL STRUCTURES
WITH A PHOTONIC BAND GAP
Kouznetsov V.L., Simakov S.A.
A mathematical model for the hexagonal photonic 2D-crystal is constructed. This model is based on imbedding equations for matrix coefficients of reflection and transparence of the crstal. Results of numerical simulations are presented.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 80 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения волн в пространственно неоднородных и случайных средах.
Симаков Станислав Александрович, 1981 г.р., окончил МГТУ ГА (2004), аспирант кафедры прикладной математики МГТУ ГА, область научных интересов - моделирование задач электродинамики.
