Моделирование дифракции сфокусированного светового пучка на 2D фотонном кристалле Текст научной статьи по специальности «Физика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№114

УДК 537.874

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ СФОКУСИРОВАННОГО СВЕТОВОГО ПУЧКА НА 2Б ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ

В. Л. КУЗНЕЦОВ, А. С. РУДКОВСКИЙ

Рассматривается дифракция светового пучка на 2D-фотонном кристалле. Методом инвариантного погружения получена система матричных уравнений Риккати, описывающая взаимодействие векторного поля с ФК.

Введение

В настоящее время развивается несколько подходов к решению задачи о взаимодействии электромагнитной волны (ЭМВ) с пространственно-периодической структурой фотонного кристалла (ФК). Это методы композиции операторов рассеяния Ватсона (техника Т-матрицы) [1] и инвариантного погружения [2], метод трансфер-матриц [3], метод разложения по плоским волнам [4] и FDTD - метод конечных разностей во временной области [5]. В настоящей работе развивается подход метода инвариантного погружения, являющийся, на наш взгляд, наиболее перспективным. Этот метод позволяет свести краевую задачу для уравнения Г ельмгольца к задаче Коши для уравнения погружения.

2D фотонный кристалл представляет собой несколько слоев параллельных, периодически расположенных цилиндров с диэлектрической проницаемостью е, погруженных в среду с диэлектрической проницаемостью еьас = 1. Г еометрия 2D ФК может задаваться одним его сечением, перпендикулярным образующей цилиндра, которое мы будем называть нормальным сечением ФК (рис. 1).

Рис. 1. Исследуемая система: ФК и ЭМВ с волновым вектором произвольной ориентации

При анализе 2D ФК обычно считается, что волновой вектор падающей ЭМВ лежит в плоскости нормального сечения. При этом горизонтально и вертикально поляризованные волны образуют собственный поляризационный базис, т.е. рассеиваются независимо и кросс-поляризационных эффектов не наблюдается. Уравнения погружения для матричного коэффициента отражения Я в этом случае идентичны соответствующим уравнениям для переходного слоя на границе раздела двух сред, полученным в работе [6]. Для исследования 2D ФК они были использованы в работе [7]. Однако ситуация меняется, если мы рассматриваем взаимодейст-

вие ФК и сфокусированных световых пучков, которые можно представить как суперпозицию плоских волн с различно ориентированными волновыми векторами. При этом очевидно, что в общем случае волновой вектор углового спектра падающего поля некомпланарен плоскости нормального сечения. В этом случае волны горизонтальной и вертикальной поляризации при взаимодействии с ФК «замешиваются» и возникают кросс-поляризационные эффекты. Разработке математической модели для дальнейшего численного исследования этих вопросов посвящена настоящая работа.

1. Постановка задачи, исходные уравнения

Пусть из вакуума на границу ФК, вырезанного в виде плоской пластины (рис. 1), падает сфокусированный пучок ЭМВ произвольной формы и поляризации, который в системе координат X г, у, 2 г, связанной с падающим пучком, имеет вид (разложение в угловой спектр)

е (X, Уг, ,, *) = е (X, Уг, ,) • ехр(-шг) ;

е г (Хг, У , , ) = Ц аг (Чгх, Чгу ) ' еХР(г ' Чгх ' Хг + * ' Чгу ' У г + г ' к г, ' ^ №гЛгу , (1)

(Чи +4 <ко)

где , ч у, к, - проекции волновых векторов плоских волн, составляющих пучок на оси

X, У, 2:

1 5 1 5 1 '

аг (Я х■ Чу ) = а1е1 (Ч х■ Чгу ) + а2е2 (Я х■ Чу );

Є (ч ч ) —---------------— • X +-----—------— • У —-——-------— - *

е,<Чх■Чіу) ІЇЇМ * Хі* Уг *0 —і; (2)

- / ч Ч У - , Ч гх -

е<Ч ■ Ч ) —--, х + , =у.,

2 гх гу 2 ~ г 2 ~

4Чгх + Чгу 4Чх + Ч гу

где хг ■ у г, — - единичные векторы, направленные вдоль осей Хг, Уг, 2г.

Амплитуды а, 2 плоских волн из пучка <1) определяются конкретным видом еі <хг, уг, ) .

Так для горизонтально поляризованного гауссова пучка (распределение поля в перетяжке

х2 + У 2

^г <хг ■ Уг ■ — = °) » ехР[ г—Тг-Щуг ■ м0 >> 1):

М0

а = м0 ЧгУ *г— е ехр< Чгх + ЧгУ м'2) а = Чгх*° а <3)

а1 =~л---------------1 2 2 Т~ Ег 'ЄХР<-"-w0))■ а2 = Т 'а1 ■ <3)

4 Чіх + Ч2у *0 4 ЧгуК

где Ег - максимальная напряженность поля в гауссовом пучке (в точке хг — уг — гг — 0 ), 2 • -

минимальный поперечный размер пучка в перетяжке (в плоскости — .г — 0 ), 1 — - длина вол-

*о

ны излучения. В случае вертикальной поляризации гауссова пучка (распределение поля в пере-

2 , 2 х + у

тяжке еі <хг ■ у г ■ гг — 0) » ехр[—г—Н-]Ег хг, м° >> 1):

м°

'о Чгх *— К ^ Чіх + Чїу — Чгу*0

а, —-Т-ГТ^ТТЕ< •ехр<^^^уМ02),а2 —^-• а, . <4)

4 *УІЧІх + Ч2у *00 4 Чгх*г—

Перейдем в систему координат (x,y,z), связанную с поверхностью по формулам xi = x, У i = y- cos q - z sin q, z i = F + y sin q + z cos q, где q - угол между нормалью к плоскости

z=0 и осью Z. F - расстояние от точки xt = yi = zi = 0 вдоль оси Zi до средней плоскости по-

верхности. В системе для падающего пучка имеем:

е( x У, z) = Я a - exp(iqxx + iqyy + ikzz)dkixdkiy , (5)

QtX +<£y <k0

где qx, qy, kz - проекции волновых векторов падающих плоских волн на оси x, y, z:

qx = q,x, q = cos q+klz sin q, kz = -qtysin q+Кcos q;

ax = ax (qtx, qty) exP(ikizF), ay = -(qxax+kzaz)/ q; (6)

az = [-ary (qtx, qty)sin q+az (q,x, qty) cos q] exP(ikzF).

C учетом идеологии метода инвариантного погружения, линейности материальных уравнений среды и изложенных выше соображений относительно представления светового пучка, можно выделить в качестве базовой следующую вспомогательную задачу.

На тонкий (элементарный) слой фотонного кристалла толщиной Dz падает плоская монохроматическая волна с произвольно ориентированным волновым вектором. Определению подлежат коэффициенты прозрачности и отражения исследуемого слоя.

2. Дифракция плоской волны на элементарном слое 2^кристалла

Будем исходить из стандартного уравнения распространения ЭМВ, записанного в форме, удобной для дальнейшего преобразования:

—® ® ®

rotrotE - k2 E = k 2[e-1] E (7)

Вычислим изменение поля при прохождении им элементарного слоя. Для этого перепишем (7) в виде интегрального уравнения:

—® ® (* -v —®

E(r ) = E0 (r ) + \ dr A (r, r')[(£(?') - 1]k2 En (г ) , (8)

да

'Ki _

где A - тензорная функция Грина однородного уравнения (7), DW - часть пространства, зани-

——

маемая элементарным слоем; E0(r) - общее решение однородного уравнения (7), удовлетво-

—— ——

ряющее краевым условиям задачи для элементарного слоя Е (г) и Е0(г)- поля вне элементар-

—

ного слоя; Еы (г) - поле внутри «брусьев» элементарного слоя, определяющееся по формуле:

Е» (?) = | ^ Ш г £АП', (9)

[ Е0(г) 1бе г <£ АО'

где АО' - часть пространства элементарного слоя АО, характеризуемого е(г) = е; А = diag{\, 1,1/ е}.

В статье [8] было показано, что приращение поля, прошедшего через такой слой в (ц_, z) -представлении можно записать в следующем виде:

7+

Д E„ (^ z) =

+

У t E+ + У r E

nm m nm

m

Дг , (10)

Здесь знаки "+" е "—" у поля Е определяются знаком проекции волнового вектора на ось 02.

m

При этом

=X' й, +0) Йе—М. А. япсрп—т)) еХр(—, рмр—т!).

Л

Л

Л

= 8тгк, + X • (?, +0) .А. яшр(”—т))ехр(—■р (п — т)),

(11)

Л

Л

Л

а матрица тензорной функции Грина принимает вид:

Г ^ " 2 —ЧуЧпх

Г + (?, +0) =

к — Чп

—ЧуЧпх -Чхкг (П — т)

к2

Чу

Чукг (п — т)

—Чпккг (п — т)

—ЧУк, (п — т) 22 Чу + Чпх

(12)

■4к 2 — Ч2у — <

kz(п — т) = у1 к~ — ЧУ — Чп

Для Е— уравнения строятся аналогично.

Следует отметить, что в приведенных уравнениях для коэффициентов прозрачности и отражения фигурирует четырехиндексная матрица Г (2 индекса определяют направления падающего и рассеянного полей, а еще 2 индекса - поляризацию этих полей). Поляризационный индекс принимает три значения. Учитывая поперечность ЭМП, размерность матрицы можно понизить. Для этого представим Г в виде двухиндексной матрицы блочной структуры. Каждая компонента такой матрицы описывает преобразование некоторой плоской волны определенной поляризации (горизонтальной или вертикальной) в другую фиксированную моду с заданной поляризацией.

Для реализации такого подхода рассмотрим сначала падение горизонтально поляризованной волны, т.е. вектор Е одновременно перпендикулярен оси 02 и волновому вектору к = (Чтх, Чу, кг (п)). Из перпендикулярности Е оси 02 следует, что Ег = 0 . Из перпендикулярности Е вектору к получаем уравнение: Ех ■ Чтх + Еу ■ Чу = 0. С учетом того, что Чтх и Чу ортогональны, получаем: Ех = Чу и Еу = —Чтх. В результате: Е = (чу , —Чтх ,0)

После взаимодействия волны с элементарным слоем 2Б-периодической поверхности волновой вектор ЭМВ принимает вид:

к = ^ Чу, kz(п — т)) п,т е х . (13)

Учитывая (10), соотношение для поляризационных компонент поля, провзаимодействовав-шего с элементарным слоем 2Б-периодической поверхности, принимает вид:

Е ■

Чу (к2 — п Чпх X —(к2Чтх + Ч2уп —Чуп kz (п — т)

(14)

Следует отметить появление ненулевой компоненты Ег. Это свидетельствует о возникновении в векторе Е составляющей с вертикальной поляризацией. Поэтому в новом представлении Г будет учитывать кросс-поляризационные эффекты. Т.е. в случае горизонтальной поляризации падающего поля соответствующие блочные элементы матрицы Г целесообразно представить в виде суммы основной и кроссовой составляющих. Основная компонента будет отвечать за то, что после взаимодействия горизонтально поляризованной ЭМВ с периодической структурой поляризация останется прежней, а кроссовая компонента будет отвечать за смену поляризации. Иными словами будут выполняться следующие соотношения

(15)

(16)

^к—к Е0 Ек—к ;

. Е0 = Ек—

г

пт

Т

Ек—к+Ек— = Е ; (17)

Гк—1,+Гк—у = Г . (18)

В уравнениях (15) и (16) компоненты Ек—к и Ек—у неизвестны. Поэтому, прежде чем решать уравнения относительно Гк—к е Гк—у, следует найти эти составляющие поля. Под Ек—к понимается горизонтально поляризованная компонента в дифрагированном поле, волновой вектор которой лежит, вообще говоря, вне плоскости падения. Т. е. Ек—к должен быть одновременно перпендикулярен своему волновому вектору и оси 02. Можно показать, что он должен ле-

жать в плоскости

Чпх ■ х + Чу • у + kz(n — т) ■ Z = 0 (19)

и быть параллельным прямой

Чпх ■х + Чу • у = 0 . (20)

Тогда Ек—к можно найти, спроектировав вектор полного рассеянного поля Е на прямую (20). Далее, используя (17), можно определить значение вектора Ек—у.

Представим матрицу Гк—к в виде следующей структуры

Г*

(Г, 0 0 ^

0 Г*22 0

(21)

0 0 0

ч У

В соответствии с этой структурой и соотношением (15) можно определить вид Гк—к и далее

на основе соотношения (18) вид Гк—у. Явный вид выражений для этих матриц приведен в

прил. 1.

Определим теперь вектор напряженности дифрагированного поля для случая вертикальной поляризации падающей волны. Этот вектор должен быть одновременно перпендикулярен волновому вектору и вектору горизонтальной поляризации, то есть удовлетворять системе уравнений

(Е&, к ) = 0

4 а ’ (22)

.(Е, Ев) = 0

На основе этих соотношений получаем вид вектора напряженности вертикально поляризованного поля

Е. » (Чтхк^, к, — Чт) . (23)

0 Чу Z Чу

На основе полученного вектора найдем проектирующие матрицы, также как это было сделано в случае горизонтальной поляризации. Выражения для Гу—к и Гу—у также приведены в прил. 1.

До сих пор мы рассматривали поле Е+ . Этому случаю соответствовала левая тройка векторов образующих оси ОХ, 0У и 02 (рис. 2).

Рис. 2. Выбор систем координат для Е + (слева) и Е (справа)

В случае Е аналогичное поле должно падать на элементарный слой снизу. Чтобы рассмотреть такой случай, проще сменить направление оси 02. Кроме того, в случае Е+ для создания системы координат использовалась левая тройка векторов, поэтому чтобы рассмотреть аналогичный случай нужно сменить направление ещё одной из осей 0Х или 0У.

При переходе в такую систему координат тензорная функция Г рина для случая Е- примет

вид

С к2

2 • к0 • кг (п - т)

д,ккг(п) -дукг (п)

дА(п) -дук2 (п) д2т+дХ

дуд,

у !пх

дудпх /2 2 к - дУ

\

(24)

Вектор напряженности горизонтально и вертикально поляризованных полей соответственно примет вид

Ен = (~ЧУ, -дпа,0);

Е = (д , -д , —).

V \Ч.тх^ \1у?і /

(25)

ук

С учетом этих преобразований, аналогично тому, как это было сделано выше, можно найти проектирующие матрицы для случая Е- .

Теперь, с учетом того, что был найден явный вид всех проектирующих матриц, уравнения (10) представим в виде:

( ® \

Е -

А

С ® \ Е+

-А

п И

Е+

V п V У

С ® Л

Е- И Е-V п у У

I

гИИ

пт

уИ

Иу

I

ии

пт

уИ

пт

п

пт

т И Е-V ту У

С ® Л Е

+1

ии

пт

у

пт

Иу

т И Е-V ту у

+1

гИИ

пт

-.„уИ

гИу

пт

т И

Е+

V ту У

С ® Л Е+ И

т И

V Е+ ,

\ ту /

Аг;

А2.

(26)

Здесь гПт и ^ - отвечают за то, что после взаимодействия горизонтально поляризованной

волны элементарным слоем поляризация останется горизонтальной; г^У и

за преобразова-

уИ ,уИ

ние горизонтально поляризованной волны в вертикально поляризованную; матрицы гт

і

гуу и і'Ут - отвечают за аналогичные преобразования для падающих волн с вертикальной поляризацией.

Переходя к пределу при Аг ® 0, структуру уравнений (26) можно представить в виде уравнений метода расслоения

г

т

т

і

г

т

т

dE+ dz dE -dz

= AE + + BE - ;

= CE++DE- .

(27)

(28)

Здесь А, В, С е I - некоторые линейные операторы, явный вид которых определяется (26), Е ± - компоненты полей, распространяющихся во встречных направлениях.

Введем оператор К, определяемый соотношением

Е + = К Е _ .

(29)

К имеет смысл коэффициента отражения.

Продифференцируем (29) по ъ

ёЕ + ёК - ёЕ~

----= — Е + К------- ,

и подставим вместо производных их значения из системы уравнений (27), (28)

/-ч ё К /-ч /-ч

АЕ++ ВЕ ~ =-Е_ + К ■ (С ■ Е+ +1 • Е_ ).

Исключая из (31) компоненты вектора Е + с помощью соотношения (29) , находим

Ґ

dR

--------A R + RD + R CR - В

dz

\

E ~= о .

Принимая во внимание произвольность величины E , приходим к уравнению Риккати

dR

— - AR + RD + RCR - B = 0 . dz

(зо)

(ЗІ)

(32)

(33)

В рассмотренном нами случае все матрицы являются блочными, что позволяет рассматривать (33) как систему матричных уравнений Риккати для обыкновенных, не блочных матриц. Явный вид уравнений системы приведен в прил. 2.

Численное решение полученных матричных уравнений позволит определить угловой спектр дифрагированного поля с учетом поляризационных эффектов и с учетом обратных преобразований восстановить геометрические и поляризационные характеристики дифрагированных на 2Б ФК волновых пучков.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Явный вид элементов блочной матрицы

г+ =

1 h®h

к2 • (q2 + q • q )

v^fy 4.mx 4.nx '

qn

о

к2 • q (q2 + q • q )

zinx\^iy 4.mx 4.nx'

qmx • qn

о

о

о

о

о

о

{ ,2 2 п2-к

ь -Я,- —

у®И

Л

Я2 •Ят

ь2 • я

± I

0 0 п2 •к

Л

яП

0

2

И®у

Ь Япх п-2 к _ Я 2

2 а Яю:

Я„ Л

_Яу'Ях

_Яу-ЯпХ

ь2-я2 п-2 к

22 2 ь Я^ Я _ у

у я я'1 л

Ч.тх \1п

■Ят-К (п _ т) _ЯуЬг (п _ т)

\ 1пХ 2

22 ь _ Я

± I

Ь •я у п-2•к

Г+ =

х У®У

Ятх " Яп Л -Яу Япх

Яу Я

у пх

Ь2 (я2 + Я Я )

у тх пх

Яп

тх пх 2

тх пх Яу2

_ЯпХ- Ь2 (п _ т)

Яу Ь2 (п _ т)

_ЯпХ Ь2 (п _ т) _Яу Ь2 (п _ т)

Яп2

\

_Я„Х Ь2 (п _ т) _Яу Ь2 (п _ т)

я1

+

0

0

0

0

+

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Система матричных уравнений риккати

—К _К •г_ К _К (г_ К + 7_)_(К •г~+ 7 + )• К _?'

, “кк “кк 1 кк “кк “кк V Иу \1'-Иу 'ук^1кк' “кк 'к

—2

— К • г • К — К • t — t + • г\ = о

^Чу уу А\к а^Иу уИ Иу 2\к ^

~^Кку _ КИу ' ГуИ ' КИу _ КИу ' (Гуу ' Куу + ^уу ) _ (Ккк ' Гкк + ^кк ) - Кку _ -Гку _

—2

— К • 7 _ К — К • /_ — ^ + К = 0

кк Иу 1Ууу 1Укк 1 Иу 1 к 1Ууу ^

—К _К К _К (г~ К + 7_)_(К г_+ 7+ )• К _7 + _

, уИ уИ гку уИ уИ V кк 1Укк ^ 1 кк) \1Ууу 'уу^1уу) 2\к г уИ

ё2

— Н • 7 _ • Н — Н • t _ — / + • н = о

^уу гуИ А^кк а^уу уИ уИ А^кк ^

-у К _ К-С Куу _ Куу -(7у_ -КИу + 7уУ ) _ (Кук'Гк_ + 7у+ )-Куу _ 7У+ _

ё2

■К г К — К • t — t К = о

ук 'кк Иу уИ 1 ку 1уИ 1УИу ^

<

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольдбергер Н., Ватсон К. Теория столкновений. - М.: Мир, 1967.

2. Bellman R., Wing G.M. An introduction to invariant imbedding, Wiley-Interscience, New York, 1975.

3. Barnes C., Pendry J.B., Proc. R. Soc. Lond. A 435, 185, 1975.

4. http://www.shg.ru/educat/nopc/nopc.pdf

5. http://zfdtd. narod.ru/method/intrfdtd.htm

6. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника, 1999. Т. 44, № 6. С. 659-666.

7. Симаков С.А. Математическая модель фотонного кристалла гексагональной структуры: численное моделирование // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения, 2006. С. 90-97.

8. Рудковский А.С., Яровой Е.С. Исследование кросс-поляризационных эффектов при рассеянии электромагнитной волны на элементарном слое квази 3D периодической структуры // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Студенческая наука, №110, 2006.

MODELING DIFFRACTION OF A FOCUSED BEAM CLUSTER ON 2D PHOTONIC CRYSTAL

Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S.

Diffraction of a beam cluster on a 2D photonic crystal is studied. The system of the matrix Riccati equations describing an interaction of a vector field and a photonic crystal is obtained via the invariant imbedding method.

Сведения об авторах

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 90 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах.

Рудковский Антон Сергеевич, 1984 г.р., окончил МГТУ ГА (2006), аспирант МГТУ ГА, область научных интересов - фотонные кристаллы, поляризационные эффекты при взаимодействии ЭМВ с периодическими структурами.