CC BY
28
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 537.874
ПРОБЛЕМА УСЕЧЕНИЯ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ В МОДЕЛИ ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА ТИПА "WOODPILE" И РАДИУС МЕЖМОДОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В. Л. КУЗНЕЦОВ, АС. РУДКОВСКИИ
Проанализирована возможность применения метода усечения бесконечномерных матриц коэффициентов отражения и прозрачности фотонного кристалла типа “Woodpile” в уравнениях метода погружения. Определены границы адекватности процедуры усечения.
Ключевые слова: фотонный кристалл, метод погружения, процедура усечения.
В настоящее время большой интерес в области исследования взаимодействия электромагнитного поля (ЭМП) и периодических структур представляет создание математических моделей фотонных кристаллов (ФК) [1-3]. В этой работе развивается подход, основанный на методе инвариантного погружения, основное преимущество которого заключается в возможности сведения краевой задачи для уравнения Гельмгольца к решению начальной задачи для уравнений погружения. Эти уравнения строятся относительно новых неизвестных параметров - матричных коэффициентов отражения и прозрачности как функций переменной толщины рассеивающего слоя, в нашем случае - ФК [4-6]. Такой переход обусловлен тем, что матричные коэффициенты удовлетворяют принципу динамической причинности по отношению к толщине ФК, играющего в данном подходе роль времени.
Матричный вид операторов отражения и прозрачности связан с разложением дифрагированного ЭМП по модам Флоке. Дискретность мод Флоке обусловлена периодичностью структуры ФК. В разложении учитываются как однородные, так и неоднородные моды, что приводит к бесконечной размерности исследуемых матриц. Это, в свою очередь, приводит к проблемам при компьютерном моделировании взаимодействия ЭМП с ФК. Естественным в этой ситуации видится применение процедуры усечения бесконечномерных матриц. При этом центральным вопросом становится задача об определении минимального числа мод ЭМП, которое необходимо учитывать в математической модели для получения адекватных результатов.
Как было показано в работах [6,7], ФК типа "woodpile" с учетом поляризации ЭМП может быть описан следующей математической моделью
зрачности ФК переменной толщины г , которые описывают связь между прошедшим и отраженным полями в базисе мод Флоке:
Введение
1. Математическая модель ФК
ab nk
Здесь abR,
a b nm a b
Rsp =
(2)
(3)
Е + (г) = Я( г )• Е - (г ),
Е + ( 2 ) = Т(2 )•Е + (Г).
Индексы а, ¡З принимают значения Ь,Ь; Ь,у; у,Ь и у,у в зависимости от поляризации инициирую-
щеего и дифрагированного полей, а , р^п и характеристики отражения и прозрачности элемен-
тарного слоя ФК, которые имеют следующий вид
і'П=I• 'Кс»,*)• в,+,¡6:С •2 (''(г)~!>( )5Іп(Р^("~т)),
2р(п - т)• к2 („, ^) Лх
= 6Т *Р ± '•(е-1) чІп(рК„-т))
аЗгпп аВ^ пт ^ / \ г / \ ^ V А / •
2р(п - т)• к2 (п, з) Л х
Рис. 1. Элементарный слой ФК с периодичностью вдоль оси ОХ
Здесь е - диэлектрическая проницаемость вставок; Лх - период структуры; d - ширина диэлектрических вставок (рис.1); арСг 6прт± - матрица, описывающая взаимодействие ЭМП и периодической структуры.
Анализ слагаемых в уравнениях (1) и (2) показывает, что они имеют четкую физическую интерпретацию - описывают все возможные виды взаимодействия поля с ФК, которые имеют место в борновском приближении для элементарного слоя ФК (рис. 2).
Рис. 2. Виды взаимодействия поля с ФК при однократном рассеянии на элементарном слое
Размерность матриц отражения и прозрачности в уравнениях (1), (2) определяется числом мод ЭМП, которое принимается во внимание в математической модели, и в общем случае она бесконечна. Очевидно, что для осуществления численных расчетов использование таких матриц невозможно и требуется провести процедуру усечения. Однако возникает вопрос о числе мод, которое нужно сохранить при численных расчетах, чтобы результаты были адекватны.
2. Определение радиуса межмодового взаимодействия для ФК типа "woodpile"
В используемом нами формализме каждая мода однозначно задается тройкой параметров вида {m, p, b} . Здесь m и p характеризуют проекции волнового вектора моды на верхнюю грань ФК:
qx (m) = q0x + m • kx , qy (p) = q0y + p • ky, kx, ky - составляющие вектора обратной решетки ФК, а b -
индикатор поляризации поля моды. Элементы матричных коэффициентов apRim и apTnm характеризуют эффективность преобразования поля из моды {m, p,b} в моду {n, s,a} . Чем больше по модулю
значения матричных коэффициентов, тем выше эффективность взаимодействия описываемых мод.
Понятно, что максимальный вклад в амплитуду поля некоторой выделенной моды оказывают её соседи - моды, смещенные на малое число векторов обратной решетки. При этом влияние дальних мод оказывается незначительным и ими можно пренебречь. Весь вопрос в том, как провести границу между этими группами. Удаленность этой границы от выделенной моды будем называть радиусом межмодового взаимодействия.
Для того, чтобы определить радиус межмодового взаимодействия, проведем ряд расчетов, в которых постепенно будем увеличивать число учитываемых мод ЭМП. Таким образом, каждый новый расчет будет более точным, чем предыдущие, так как он учитывает большее число вариантов взаимодействий между различными модами. Это хорошо видно на рис. 3, где схематически приведены несколько вариантов переходов между модами в случае усечения до 5 и 7 мод соответственно.
Рис 3. Схематическое изображение нескольких переходов усечения
В первом случае существуют переходы, которые не учитываются вследствие процедуры усечения. При расширении границы усечения до 7 мод эти переходы становятся возможными и включаются в расчет. Однако следует отметить, что отличительной особенностью таких переходов является то, что они осуществляются между модами, смещенными на большое число векторов обратной решетки, и по мере роста размера между модами ЭМП в случаях усечения до 5 и 7 мод, их вклад в амплитуду исследуемого поля будет уменьшаться.
Начиная с некоторого момента, увеличение числа мод, принимаемых во внимание при численных расчетах математической модели, не будет приводить к значимым изменениям результатов расчета. То есть, если зафиксировать набор параметров, описывающих математическую модель, и изменять только число учитываемых мод, то изменение результатов расчетов можно представить в следующем виде
,кт (N+&м)=,„£пт (N) +Аав^:,Пп (N), Л'- (N + ДNа¡ТпП- (N) +AaяT*пP,- (N) .
(4)
(5)
Здесь N - число мод ЭМП учитываемое в математической модели. При этом логично предположить, что для любого реального набора параметров ФК и любого в > 0 найдется , такое что
А аРК1 (N)
<в
АаРГ1 (N)
< 8 , как только N > Nmin . Это означает, что при заданной точности
вычислений можно определить , которое и является минимальным размером допустимого усечения и определяет радиус межмодового взаимодействия.
Для проверки этого утверждения проведем ряд численных расчетов модуля амплитуды поля для нулевой моды ЭМП при разном числе учитываемых мод. В качестве исходного случая будем рассматривать расчет, принимающий во внимание 7 мод, и далее будем добавлять по 2 моды (по одной слева и справа). Дополнительно проанализируем относительное изменение результатов расчетов при добавлении новых мод ЭМП, которое будем определять с помощью следующих выражений
А арКРт (N)
К, (N)
аВ пт
Аа№ (N)
Т„1 (N)
аВ п
(6)
На рис. 4, 5 приведены результаты расчетов трехслойного ФК типа "woodpile" для разных типов поляризации ЭМП при следующих параметрах: диэлектрическая проницаемость материала вставок е = 3 , что соответствует широкому классу полимеров; безразмерный период структуры Лх = 8-ж ; ширина
диэлектрических вставок d = 0.33 - Лх .
и
Рис. 4. Результаты расчетов для коэффициентов отражения трехслойного ФК типа ‘Woodpile” для центральной моды как функции числа дополнительно учитываемых мод
Рис. 5. Результаты расчетов для коэффициентов прозрачности трехслойного ФК типа ‘Woodpile” для центральной моды как функции числа дополнительно учитываемых мод
Анализ графиков, приведенных на рис. 4 и 5, показывает, что после добавления 10 мод относительное изменение коэффициентов отражения и прозрачности близко к нулю (~ 10-4), а модуль амплитуды
ЭМП анализируемой моды стабилизируется и перестает существенно изменяться с увеличением размера усечения. Аналогичные результаты были получены и при других наборах параметров, описывающих периодическую структуру.
3. Заключение
Рассмотрена проблема применения процедуры усечения в задаче о моделировании взаимодействия ЭМП с ФК типа "woodpile". Введено понятие радиуса межмодового взаимодействия и сформулированы правила определения числа учитываемых мод, достаточного для вычисления результатов с заданной точностью.
Проведенные численные эксперименты с математической моделью ФК для типичных параметров периодической структуры и значений диэлектрической проницаемости вставок показали хорошую сходимость процедуры усечения. Показано, что правильный выбор радиуса межмодового взаимодействия гарантирует адекватность результатов расчетов. Проведенные эксперименты показывают, что радиус межмодового взаимодействия составляет 7, 8 векторов обратной решетки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N., Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, Princeton Univ. Press, 1995.
2. Prasad P.N., Nanophotonics, John Wiley and Sons, 2004.
3. Lourtioz J.-M., Benistry H., Berger V., Gerard J.-M., Maystre D., Tchelnokov A., Photonic Crystals. Towards Nanoscale Photonic Devices, Springer, 2005.
4. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.Л. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двух-
масштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника, 1999. - Т. 44, - № 6.
5. Кузнецов В.Л., Рудковский А. С. Моделирование дифракции сфокусированного светового пучка на 2D фотонном кристалле // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика, №114, 2007.
6. Кузнецов В.Л., Рудковский А. С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного с фотонным кристаллом конечной толщины// Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, №145, 2009.
7. Kuznetsov V. L., Rudkovskiy A. S. Invariant embedding method in the problem of 3D photonic crystal modeling PIERS Proceedings, 2009.
MATRIX EQUATIONS TRUNCATION PROBLEM IN WOODPILE PC MODEL AND RADIUS OF INTERMODAL INTERACTION
Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S.
We analyzed possibility of using truncation method for infinite-dimensional matrixes of transition and reflection coefficients in invariant embedding equations for woodpile PC. Adequacy limits for truncation procedure were defined.
Key words: photon crystal, imbedding method, truncation procedure.
Сведения об авторах
Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (19Т2), доктор технических наук, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 1QQ научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.
Рудковский Антон Сергеевич, 19S4 г.р., окончил МГТУ ГА (2QQ6), аспирант МГТУ ГА, автор З научных работ, область научных интересов - математическое моделирование взаимодействия поля с периодическими структурами, фотонные кристаллы.
