Аномальные продольные резонансы в фотонных кристаллах типа "woodpile" Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.874

АНОМАЛЬНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ РЕЗОНАНСЫ В ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ ТИПА “WOODPILE”

В.Л. КУЗНЕЦОВ, А.С. РУДКОВСКИЙ

При численном эксперименте на модели фотонного кристалла типа "woodpile" обнаружены аномальные продольные резонансы, связанные с наличием изолированных групп неоднородных мод. На примере частного случая плоскопараллельной пластины показан механизм усиления поля. Рассмотрены межмодовые взаимодействия и выявлены изолированные группы неоднородных мод, играющие роль аккумулятора волнового поля.

Ключевые слова: фотонный кристалл, метод погружения, резонансы.

Фотонный кристалл (ФК) представляет собой пространственно-периодическую структуру, благодаря периодичности которой распространяющиеся в нем электромагнитные волны приобретают зонный спектр. При определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели, подобные запрещенным зонам для электронов в естественных кристаллах. Структура энергетического спектра бесконечного ФК может быть достаточно просто вычислена, например, с помощью метода разложения по плоским волнам [1, 2]. Для модели кристалла конечной толщины наиболее адекватным аппаратом описания взаимодействия поля со средой видится метод инвариантного погружения, где в качестве параметра погружения используется переменная толщина кристалла [3-5]. При таком подходе резонансные эффекты, сопровождающие распространение волн в периодических структурах, проявляются в особенностях поведения коэффициентов отражения и прозрачности как функций таких параметров кристалла, как нормированный вектор обратной решетки и безразмерная толщина образца.

По природе возникновения такие резонансы принято делить на продольные и поперечные. Поперечный резонанс возникает в случае, когда волновой вектор одной из дифрагированных волн ложится на границу ФК. Возникающие вблизи этого состояния аномалии в поведении коэффициентов отражения и прозрачности (резонансные зависимости) принято называть аномалиями Вуда [6, 7]. Другой вид резонансов, называемых продольными, связан с возможными пе-реотражениями волн от неоднородностей, параллельных границам кристалла конечной толщины.

В силу конечности толщины самого кристалла резонансные эффекты могут быть существенны лишь в случае, когда локальные коэффициенты отражения на неоднородностях будут близки к единице, а сами неоднородности удалены друг от друга на расстояние, соответствующее брэгговскому резонансу. Из сказанного может сложиться впечатление, что для ФК с конечными значениями диэлектрической проницаемости неоднородностей продольные резонансы не могут быть сколь-либо значимыми. В этой работе мы покажем, что это не так.

1. Модель ФК типа “Woodpile” и некоторые особенности результатов численного эксперимента

Как было показано в работах [4,5] ФК типа "woodpile", с учетом векторного характера электромагнитного поля может быть описан следующей математической моделью

Введение

d

( Tsp )

\ a b nm J

dz

= T • ( rtr ) • /?'

ab nk \ab*kl) ab l

rp

pp~

+ TS • t

m ab n k ab km

(2)

(3)

ар * 7т (0) = 0 , арт:і (0) = І.

Здесь а.рКІ = а рКІ (2) и ар^пт = ар™ (2) - матричные кШффиЦиентЫ ОТражения И прозрачности ФК как функции переменной толщины кристалла - ъ , которые описывают связь между прошедшим и отраженным полями в базисе мод Флоке

Е + (2) = К (г) • Е- (г) , Е + (г) = Т(г) • Е + (г) .

Индексы а, Р принимают значения к или V в зависимости от того, рассматривается вертикальная или горизонтальна поляризации инициирующего и дифрагированного полей.

6-индексные матрицы рр^т и арї„т описывают характеристики отражения и прозрачности элементарного слоя ФК и имеют следующий вид

С = I • k (n, s) dm •Ssp + abG

ab nm

spp 1 abw nm

і • (є-1)

2p(n - m) • kz (n, s)

. pd(n-m)4 sin(-- ---).

sp

asp _ ('sp-

ab^nm ab nm

G

i •(є-1)

. pd (n -m). sin(-------- ---------).

A..

(4)

(5)

электрических вставок (рис. 1); abG snpm

2ж(п - т) ■ кг (п,

Здесь е - диэлектрическая проницаемость вставок; Лх - период структуры; d - ширина ди-

матричная функция Г рина.

Матрицы аЬЩт и арТ^тС, как, впрочем, и другие, фигурирующие в приведенной модели, имеют бесконечную размерность, т.е. описывают распространение как однородных, так и неоднородных мод. Здесь следует пояснить, что волновые векторы к дифрагированных волн могут отличаться от волнового вектора инициирующей волны к0 на произвольное целое число векторов обратной решетки кристалла - к1,к2, т.е. к = к0 + п1 ■к1 + п2 ■ к2. Если ориентировать ось 2 нормально

верхней грани кристалла, то проекция к некоторой дифрагированной моды на это направление будет равна

к2 = д/к02 - (д0х + п1 ■к1 )2 - (д0^ + п2 ■к2 )2 . Моды, для которых

Рис. 1. Общий вид кристалла типа “woodpile”, образованного диэлектрическими брусьями шириной d

)2 -(70, + п2 ■к"'2

кг оказывается мнимым, называются неоднородными или эванесцентными. Учет последних существенен, поскольку, благодаря межмодовым взаимодействиям, они дают весомый вклад в формирование наблюдаемых вне кристалла однородных мод с вещественными кг. Из сказанного следует,

что при численных расчетах необходимо учитывать значения матричных коэффициентов ар&пт и

арТЦт , соответствующих, в частности, преобразованиям неоднородных мод в неоднородные.

Численный эксперимент показал, что для некоторых неоднородных мод при некоторых толщинах образцов ФК начинают наблюдаться аномалии - соответствующие элементы матричных коэффициентов отражения и прозрачности устремляются к бесконечности, в их поведении наблюдается сингулярность. Кажущаяся нефизичность полученного результата требует интерпретации.

Нетрудно убедиться, что приведенная математическая модель (1)-(5) допускает предельный переход d ® Л. В этом случае рассматриваемый ФК вырождается в плоскопараллельную од-

нородную пластину, межмодовые взаимодействия исчезают, и система допускает аналитическое исследование.

2. Анализ продольных резонансов на примере однородной пластины

В случае однородной пластины задача значительно упрощается, т.к. здесь мы можем рассматривать только одну произвольную моду электромагнитного поля (межмодового взаимодействия нет). Коэффициенты р и т , приведенные в уравнениях (4), (5), в случае однородной пластины могут быть представлены в следующем виде

. , г ■ (е -1) г ■ (е -1)

т = г ■ К+ , ; р =

2 ■ к.

2 ■ к.

для горизонтальной поляризации волны и для вертикальной поляризации

т = г ■ к, +

2 ■ к2 е ' 2 ■ к2

Кроме того, поскольку рассматривается только одна мода электромагнитного поля, то можно найти аналитическое решение уравнения (1), которое при d = Л имеет вид

Я

Я

Я

р ■ (ехр(2 ■ И ■д/т2 -р2) -1)

т + у]т2 -р2 -(т-^тГ-р2)■ ехр(2■ И^т2 -р2)

т2 ■ И

р ■ (1 - т ■ И)

р■ ът(И■д/т2 -р2)

лГ^-р2 ■ ^(И ■^Г-р) - т ■ Вт(И ■ д/т2 -р2)

ирм ц2 - е > 0 ирм q2 - е = 0 ирм q2 - е < 0

Это решение полностью совпадает с известными результатами, полученными для плоской пластины другими методами [8].

В дальнейшем, чтобы проанализировать поведение коэффициента отражения, были построены трехмерные графики зависимости Я от безразмерной толщины пластины И = И ■ к , где

к - волновое число, в диапазоне [0, 16], и величины q' = ЦК - нормированной проекции волнового вектора к на верхнюю грань пластины с диапазоном значений [0, 4]. Соответствующий вид зависимостей Я = Я(ц',,) для значения диэлектрической проницаемости е = 9 в случаях горизонтальной и вертикальной поляризации поля приведен на рис.2.

Из графиков видно, что вся область распадается на 3 части. Первая, соответствующая случаю падения однородной волны 0 < ц < 1, дает понятные результаты: коэффициент отражения не превышает единицы и периодически меняется по мере увеличения толщины пластины. Не вызывает удивления и поведение коэффициента отражения в третьей области, где ц' > л[ё = 3 . Здесь присутствуют только неоднородные моды как вне, так и внутри пластины, поведение коэффициента отражения монотонное.

Наибольший интерес представляет центральная область, в которой отчетливо прослеживаются резонансные эффекты. Специфика этой области заключается в том, что на пластину извне действует неоднородное поле, а внутри пластины это поле становится обычным однородным

Рис. 2. Зависимость коэффициента отражения Я от толщины пластины и величины проекции падающего поля для случаев горизонтальной и вертикальной поляризации поля

Это поле не может покинуть пластины, испытывая на ее границах полное внутреннее отражение. Вне пластины поле становится неоднородным и энергию выводить из пластины не может. При определенной толщине пластины 2 наступает резонанс, и амплитуда поля стремится к бесконечности. Периодичность таких резонансов определяется по известной формуле [8]

л- п - а^( Я(д))

z = ■

e — q‘

где Я(д) - коэффициент отражения, определяемый формулами Френеля.

С физической точки зрения возникновение резонансов - неограниченного роста поля внутри пластины - связано с тем, что инициирующая неоднородная мода, непрерывно воздействуя на среду пластины, закачивает в нее энергию. Поскольку выходящие неоднородные моды в свободное пространство энергию не переносят, то она аккумулируется в этой локализованной области (рис. 3).

Здесь уместно провести аналогию II н [ _н | | _| | ц- с резонансом вынужденных колеба-

ний гармонического осциллятора. В стационарном режиме амплитуда вынужденных колебаний определяется

Ф.

по формуле x(t) =

cos

(Wt),

описывающей резонансную зависимость, в то время как анализ динамики развития колебаний дает просто неограниченный линейный рост амплитуды

ф 0 .

со временем - x(t) = • t • sin(Qt).

Рис. 3. Преобразование инициирующей неоднородной моды в плоскопараллельной пластине

Рассматриваемая нами модель взаимодействия излучения с пластиной предполагает стационарный режим и поэтому выдает сингулярные результаты, предсказывающие неограниченный рост поля при анализе переходных режимов.

3. Интерпретация аномальных резонансов в модели ФК типа "woodpile"

Приведенная выше интерпретация аномалий основана на том, что отвод энергии электромагнитного поля от пластины невозможен, поскольку единственной модой поля, излучаемой системой, является неоднородная мода, не способная переносить энергию. В случае ФК излучение содержит весь возможный спектр как однородных, так и неоднородных мод, и описанный механизм аномального резонанса для ФК необходимо обсудить отдельно.

ФК типа "woodpile" состоит из отдельных слоев, каждый из которых характеризуется лишь одним вектором обратной решетки, перпендикулярным к направляющей брусьев слоя.

Напомним, что уравнения модели (1)-(5) интегрируются, начиная с нижней границы. При

этом, при расчете, например, матричного коэффициента отражения apRnrm необходимо учитывать все моды, которые могут порождаться при дифракции поля в более высоких слоях ФК. Другими словами, если на весь кристалл сверху падает одна плоская волна с волновым вектором k0 = (q, kz), то при расчете первого, нижнего слоя, мы должны предполагать падение всего

углового спектра поля, характеризующегося векторами k = k0 + n1 • k1 + n2 • k2, где n1, n2 є Z .

Покажем, что при взаимодействии с нижним слоем возникает группа неоднородных мод, изолированных от однородных, т.е. не взаимодействующих с ними. Энергия этой группы мод не может уменьшаться за счет излучения поля (рис. 4).

«Родившаяся) —

Вектор обрат- однородная

ной решетки мода

Исходная

неоднородная

мода

«Родившаяся» неоднородная мода

Исходная

неоднородная

мода

b

Рис. 4. Схемы межмодовых взаимодействий в нижнем слое ФК типа "woodpile". Затемненный круг - область однородных мод: а - порождение неоднородной модой однородной - канал отвода энергии; b - замкнутость внутри класса неоднородных мод

На рис. 4 представлены некоторые схемы, иллюстрирующие межмодовые взаимодействия в первом слое. На рис. 4а проиллюстрирован «путь», по которому энергия из некоторой исходной неоднородной моды может перекачиваться в однородные моды и покидать нижний слой. На рис. 4b показана группа изолированных неоднородных мод, играющих роль той одной, что фигурировала в случае плоскопараллельной пластины.

Заключение

Исследования электродинамических характеристик ФК типа "woodpile" показали наличие групп параметров, при которых внутри кристалла может накапливаться энергия электромагнитного поля. Внешним проявлением этого эффекта является неограниченный рост напряженности поля в приповерхностном слое. Близкие, но не эквивалентные по своей сути эффекты, из-

вестны уже достаточно давно [7]. Это существенное усиление поля вблизи периодически возмущенной границе раздела двух сред, наблюдаемое при ее облучении электромагнитным полем. Здесь, в отличие от случая, рассмотренного в статье, аномалии связаны с проявлением поперечного резонанса и известны как аномалии Вуда.

Выявление аномальных продольных резонансов тесно связано с использованием метода инвариантного погружения, согласно идеологии которого, при решении задачи последовательно вычисляются значения матричных коэффициентов apRsnm и „¡¡Tim при всех значениях толщины кристалла z .

ЛИТЕРАТУРА

1. Лозовик Ю.А., Эйдерман С.Л. Зонная структура сверхпроводящих фотонных кристаллов // Физика твердого тела. - 2008. - Т. 50. - Вып. 11.

2. Lifeng Li. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structure.//! Opt. Soc. Am. A. v.13, No.9, 1996.

3. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ. - 2003. - Т. 123. - Вып. 4.

4. Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S. Invariant embedding method in the problem of 3D photonic crystal modeling PIERS Proceedings, 2009.

5. Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного с фотонным кристаллом конечной толщины // Научный Вестник МГТУ ГА. Информатика. - 2009. - № 145.

6. Wood R.W. Anomalous diffraction grating //Phys. Rev., vol. 48, 928-936, 1935.

7. Ахманов С.А., Семиногов В.Н., Соколов В.Н. Дифракция света на шероховатой поверхности с «глубоким» профилем: взаимодействие дифрагированных волн, аномальное поглощение, максимально возможные локальные поля // ЖЭТФ. - 1987. - Т. 93.

8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973.

ABNORMAL LONGITUDINAL RESONANCES IN THE PHOTON CRYSTALS WOODPILE TYPE

Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S.

Abnormal longitudinal resonances for the model of a photon crystal woodpile type, by numerical experiment, are found out. This effect is connected with the presence of isolated groups of evanescent modes. The mechanism of strengthening of the field in the case of plane-parallel plate is shown. Cross-modes interactions are analyzed and the isolated groups of evanescent modes as an accumulator of wave field are noted.

Key words: photon crystal, imbedding method, resonances.

Сведения об авторах

Кузнецов Валерий Леонидович, 1949 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в задачах распространения излучения в пространственно неоднородных случайных и периодических средах, безопасность полетов.

Рудковский Антон Сергеевич, 1984 г.р., окончил МГТУ ГА (2006), аспирант МГТУ ГА, автор 6 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование взаимодействия поля с периодическими структурами, фотонные кристаллы.