Научная статья на тему 'Симметрия кристалла Лина-Флеминга и построение уравнений погружения'

Симметрия кристалла Лина-Флеминга и построение уравнений погружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
107
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бояркин Сергей Валерьевич, Ким Максим Владимирович

Рассмотрен подход к выводу матричных уравнений погружения, основанный на симметрии слоев фотонного кристалла Лина-Флеминга. Предложен метод преобразования блочных матриц начальных условий при послойном анализе.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бояркин Сергей Валерьевич, Ким Максим Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE GEOMMETRY OF THE LINA-FLEMING CRYSTAL AND EMBEDDING EQUESTIONS CONSTRUCTIVY

The approach of the embedding equations constructing, basics on the symmetry of the photon crystal Lina Fleming is considered. The method of initial conditions for block matrices according layer analyses is proposed.

Текст научной работы на тему «Симметрия кристалла Лина-Флеминга и построение уравнений погружения»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука

УДК 537.874

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА ЛИНА-ФЛЕМИНГА И ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОГРУЖЕНИЯ

С.В. БОЯРКИН, М.В. КИМ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Статья подготовлена под руководством доктора технических наук, профессора Кузнецова В.Л.

Рассмотрен подход к выводу матричных уравнений погружения, основанный на симметрии слоев фотонного кристалла Лина-Флеминга. Предложен метод преобразования блочных матриц начальных условий при послойном анализе.

Введение

Структуры с запрещенной зоной, известные более как фотонные кристаллы (ФК), уже более 20 лет привлекают пристальное внимание исследователей [1-3].

Этим термином обозначается новый класс оптических материалов, для которых характерно наличие двух следующих свойств:

1. Периодическая модуляция диэлектрической проницаемости с периодом сравнимым с длиной волн видимого или инфракрасного диапазонов;

2. Наличие обусловленных этими неоднородностями запрещенных зон в энергетическом спектре электромагнитных состояний кристалла.

Последнее означает, что электромагнитные волны с частотой, попадающей в такую запрещенную зону, распространяться в кристалле не могут.

Для разработки и создания новых систем с использованием ФК нужны структуры с заданным энергетическим спектром, т.е. структуры с определенным взаимным расположением запрещенных зон и зон прозрачности. В то же время для разработки технологии изготовления ФК необходима информация о его макрогеометрии (периодичности, форме и размерах вкраплений), а также информация о диэлектрических характеристиках матрицы и неоднородностей, обеспечивающих заданный энергетический спектр. Следует учитывать, что один и тот же (похожий) спектр может быть получен на разных периодических структурах, технология изготовления которых характеризуется различной трудоемкостью. К сожалению, решение задачи об определении макрогеометрии ФК по его заданному энергетическому спектру (задача синтеза) в настоящее время не получено. В современных работах лишь развиваются подходы к решению задачи анализа: по заданной макрогеометрии кристалла восстанавливают его энергетический спектр. Получение относительно простого решения этой задачи позволит построить компьютерную модель ФК, с помощью которой методом перебора параметров можно сформулировать приемлемые рекомендации для разработчиков.

В представленной работе развивается подход к задаче анализа ФК, основанный на использовании метода инвариантного погружения [4]. Он позволяет свести задачу об электромагнитном поле (ЭМП) в кристалле, т.е. задачу для поля в периодической структуре (краевую задачу для уравнения Гельмгольца) к решению начальной задачи Коши для уравнений погружения, относительно матричных коэффициентов отражения Я и прозрачности Т.

Статья посвящена исследованию вопросов симметрии и ее применения при построении электродинамической модели ФК Лина-Флеминга, представляющего собой «поленницу» диэлектрических брусьев.

Отметим, что при такой геометрии в пространственном спектре отраженного и прошедшего поля, как и во всяком ЭБ-ФК, присутствует весь возможный дискретный спектр плоских волн с волновыми векторами кр = {к, + кх ■ п + ку ■ р} , п, р є Z . Здесь:

кх, ку - базисные вектора обратной решетки ФК;

^0 - проекция волнового вектора к0 поля, падающего на ФК.

Волновые вектора дифрагированных на ФК волн не лежат в плоскости, образованной падающим полем и нормалью к верхней границе кристалла, а также в зависимости от индексов п, р є Z образуют различные углы с нормалью, другими словами для ФК закон Снеллиуса не выполняется. Это приводит к тому, что при взаимодействии с кристаллом поляризация поля существенно искажается, возникают так называемые кросс-поляризационные эффекты, которые будут описываться блочной структурой матриц. Такой подход позволяет обойтись без привлечения приближения скалярного поля, часто используемого при описании сложных систем.

Рис. 1. Общий вид ФК Лина-Флеминга

1. Уравнения погружения для первого слоя ФК Лина-Флеминга

В работе [5] были получены уравнения погружения для ФК Лина-Флеминга. Их вывод основывается на идее предельного перехода для элементарного слоя, соответствующего ЭБ ФК, к геометрии кристалла Лина-Флеминга.

Суть предельного перехода ясна из рис. 2. Стрелками указаны направления «растяжения» прямоугольников до их слияния в сплошную полосу.

і і

t t

і

t

_________I

Рис. 2. Иллюстрация перехода к архитектуре Лина-Флеминга

Уравнения погружения для матричных коэффициентов отражения R и прозрачности T имеют вид [5]:

dRsp - - - - - -

-~Т-+RS1 - (PÍ ) • RZ+ R2- 1 ) • RZ+Pl = 0; (і)

dz

-T1

. =ti-T£, + К -(Pp )-Tm . (2)

dz

Здесь:

tm = I -dm dp +C-Dz =

= I-d d +1 - d d -ik(n,s)-Dz + У rp+ d ,(e- 1)koA sin(^d(n-m))-Dz; (3)

nm sp nm sp z V э / / j nm sp p(n m) L

р? =

пт

= р” ^ = у г-^ .<£-1^$1п(Р/<п-т)).а.

гп т п т зр _/ ч V * '

ж(п - т)

Л

(4)

Выражения (3) и (4) описывают взаимодействие волнового поля с элементарным слоем толщины Аг при периодичности структуры вдоль оси ОХ.

Г3р± — функция Грина, представленная в виде матрицы блочной структуры. С учетом сказанного о поляризации дифрагированного поля она имеет вид:

Г± (Ч, ±0) =

( г±

1 нн

V Г±

V уН

'± Л

Ну

(5)

уу у

Каждая компонента такой матрицы описывает преобразование некоторой плоской волны определенной поляризации (горизонтальной или вертикальной) в другую фиксированную моду с вертикальной или горизонтальной поляризацией.

Г к 2<д1 + Чпх 'Чтх )

Г± (д, ±0)т ®

Чп'Чт.

+ -

к ду п-2-ж-кг(т) Л Чп'Чт

\

±

к кг (п)-п-2 ж кг (п)-кт (п) (дУ + Чтх'Чпх ) , Чп Ч,

Л■ Чп'Чт

+-

Г к2'(д2 + Чпх " Чтх )

Г± (Ч, ±0)г ®

±

±

Чп'Чт

к кг (п) - п - 2 - ж Л-Чп'Чт

Чп'Чт е

к-Чуп' 2 - жк2 (т)

Л■ Чп'Чт

(6)

кг (п)- кт (п) (Чу + Чтх'Чпх ) + Чп'Чт

е

(7)

Чп'Чт

Приведенные соотношения справедливы для первого слоя ФК. Решение дифференциальных уравнений (1) и (2) должны удовлетворять простым начальным условиям ^(0) = 0, Т(0) = I. Действительно, если толщина ФК равна нулю, то отраженного поля нет (^(0) = 0), и падающее поле проходит эту плоскость не искажаясь (Т(0) = I ). При переходе к следующему слою ФК Лина-Флеминга его уравнение можно получить по методике, приведенной в [5], проведя растяжения прямоугольников в направлении, ортогональном растяжению первого слоя, а можно использовать симметрию, присущую ФК Лина-Флеминга. Повернув систему отсчета на

угол Ж относительно оси 02 при рассмотрении очередного слоя, приходим к задаче аналогичной задаче первого слоя. Отличие заключается лишь в ориентации волновых векторов падающего поля.

2. Преобразование начальных условий для матричных уравнений погружения при повороте системы отсчета

Как было отмечено в п. 1, при переходе в новую систему отсчета общий вид уравнений погружения сохраняется с точностью до замены параметров ч0х = Ч0у, Ч0у = -Ч0х.

Основные проблемы возникают при формировании начальных условий для решения задачи очередного слоя. Если бы преобразование системы отсчета не использовалось, то результаты расчета предыдущего слоя в точности соответствовали начальным условиям для следующего. При повороте системы отсчета, с переходом к следующему слою, это утверждение не выполня-

т

ется и требуется провести перегруппировку элементов блочных матриц отражения и прозрачности.

Из приведенных соотношений (1)-(7) видно, что изменяемыми параметрами являются проекции волновых векторов дифрагированного поля на верхнюю грань ФК. Если в исходной системе отсчета, для какой-либо компоненты падающего или дифрагированного поля проекция его волнового вектора на плоскость кристалла имеет вид:

Ч = {Ч0 х + ткх, Ч0 у + Рку } , Ч = {Ч0 х + пкх, Ч0 у + Жу } ;

то в повернутой системе отсчета они будут определяться формулами:

Ч ={ Ч0х + Ркх, -Чоу - тку } , Ч = {ч0х + ™х, -Чоу - пку } .

Здесь верхний индекс означает операцию транспонирования.

Сопоставляя приведенные соотношения, приходим к следующему правилу пересчета индексов:

з ® 3 (3 = -п) р ® р (р = -т) п ® п (п = з) т ® т (т = р).

В компактном виде для 4-индексной матрицы получаем следующее правило преобразования индексов:

Кб (чОх, ч0 у) ® КГ (Ч0 х, Ч0 у). (8)

Здесь штрихованные индексы совпадают с индексами матрицы Щт первого слоя,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д0х = д0у , дОу = -д0х .

Нетривиальность преобразования (8) потребовала дополнительной проверки своей справедливости, базирующейся на теореме Пойтинга. Суть этой теоремы заключается в том, что плотность потока энергии падающего поля равна алгебраической сумме потоков энергии дифрагированных однородных мод.

П = П++ П- = у у | к+ (п, з) | -1„,^ кс ь Ет |2 +уу | к: (п, з)У\ЬСг ,е’„ |2. (9)

а п,з а п,з

Отметим, что неоднородные моды в этой проверке игнорируются, поскольку они не переносят энергию в направлении, перпендикулярном плоскости ФК.

На рис. 3 проиллюстрировано правило (8), преобразование начальных условий записанных

в виде блочной матрицы при повороте системы отсчета на угол Ж. Аналогичные преобразования проведены и для блочных матриц коэффициента прозрачности Т.

Описанная процедура формирования начальных условий для матричных уравнений погружения использовалась для численного моделирования взаимодействия излучения с ФК Лина-Флеминга. Проведенные вычисления показали справедливость (9) и соответственно соотношения (8) для исходной и трансформированной матриц.

Заключение

В работе представлен основанный на использовании свойств симметрии ФК, альтернативный изложенному в [5], подход к выводу уравнений погружения.

Полученные результаты полностью совпадают с результатами работы [5], где использовался другой метод расчета. Это свидетельствует о достоверности полученных результатов.

'R-ІЇ' Rï- Ri,!-1

R---1 Кґ КҐ

^-1 ■■

1,-1 р-1,-1 р-1,-1

R1,0 R1,1

Rs =

0,0 0,0

j R-1,o R-1,1

■ !R-o10-w R

0,0 0,0 0,0

■ R0,-1 R R

0,0 0,0 ;■ ■ R1,-1 R1,o R1

0,0 0,1 0,0 D0,0

RZ =

R,1-,1

; »

■■

4R-i,-1 ' R-1,0 R-І

R01-1 Ri o' 1 R0

R1-1 Ri;1 r;,1

\ (

R -

R1

R-

И і

R0,1 Iі

\ R00

■■ > 0:1

\ \ R-1

■ ■■ \ R0,l \ ■■ Nv-\ ■■ ■

■ ■ R1

R0

R-

R1-1

R°-°

R

1,-1

1,-1

R1,-1

R0

R

1,-1

0,-1

R-1,1 '■

n<h>

ra

'\R--u-1

\ ..y

\

^ R11 ^ R11

•^•■¿¿-10^ -1,-1

-----p 0,0

R-1,0 ■■ ■■ ' ---------------------------------^R-1,-1

R--

л

.■y

R-a

Рис. 3. Иллюстрация процедуры формирования начальных условий

Л

\

\

У

V

1,-1

1,-1

V

V

1,-1

V

V

■ V

V

ЛИТЕРАТУРА

1. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface: TE polarization. // Progress In Electromagnetic Research, PIER 24, 1999.

2. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам. ЖЭТФ, 2003. - Т. 123. - Вып. 4.

3. Кособукин В.А Фотонные кристаллы. Физико-технический институт им А.Ф Иоффе РАН // Окно в Микромир. -№ 4. 2002.

4. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. - М.: Наука, 1986.

5. Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного поля с фотонным кристаллом конечной толщины // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, №145, 2009.

THE GEOMMETRY OF THE LINA-FLEMING CRYSTAL AND EMBEDDING

EQUESTIONS CONSTRUCTIVY

Boyarkin S.V., Kim M.V.

The approach of the embedding equations constructing, basics on the symmetry of the photon crystal Lina - Fleming is considered. The method of initial conditions for block matrices according layer analyses is proposed.

Сведения об авторах

Бояркин Сергей Валерьевич, 1987 г.р., студент факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - многократное рассеяние, фотонные кристаллы, поляризационные эффекты в периодических структурах.

Ким Максим Владимирович, 1987 г.р., студент факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - компьютерное моделирование, фотонные кристаллы, численные методы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.