CC BY
16
^1/2009_М|ВУТНИК
МЕТОД ПЕРЕХОДНЫХ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ О КОЛЕБАНИЯХ МОСТОВЫХ БАЛОК, ВЫЗЫВАЕМЫХ ПОДВИЖНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ И СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ НАГРУЗКАМИ
Воронцов Г.В., Евтушенко С.И.
ЮРГТУ (НПИ)
Основные обозначения
V (г, г) - прогибы мостовой балки в сечении г и момент времени г.
q (г, г), I (г, г) - интенсивности распределённых поперечных усилий и моментов, перемещающихся по балке.
т (г), |д(г) - интенсивности распределённых перемещающихся масс и масс балки.
V - скорость перемещающихся масс.
к - коэффициент упругости винклерового основания. N - продольная сила сжатия балки. Е1 - изгибная жёсткость балки.
и - интенсивность распределённых моментов инерции. ¥^ (г) - сосредоточенная перемещающаяся сила.
М ^ (г) - сосредоточенный перемещающийся момент.
1. Дифференциальное уравнение изгибных колебаний балки
Ускорение движения массы т (г) Сг, находящейся в положении г (рис. 1,а), определяем на основании выражения
2 , , д2v (г, г) 2 д2v (г, г) д2v (г, г) 2 С2У (г, г )=-у-^-сИ2 + 2-с!гс!г +-2. (1)
т2 д^ дг2
2
Разделив уравнение (1) на Сt и полагая Сг = V , получаем 2
У (г,г): = С У ^, 1 ^ = V(г,г) + 2V\г,г)м> + ^{г,г) V2. (2)
С t2
Здесь последовательно записаны: ускорение V (г,г) колебательного движения
2
массы т (г)Сг; корриолисово ускорение 2V'(г,г) V и ускорение v"^г,гпереносного движения.
Уравнение поперечных изгибных колебаний записываем в виде
Е1 vIV (г, г) = q (г, г) -1\г, г) - кV (г, г) - NV' (г, г),
(3)
- т
V(г,г) + 2V'(г,г)м> + ,г)м>2 (г,г'(г,г).
Ч (2, г)- к V (2, г)- V (2, г )(да +
I 1
~ и(г, / )- N V' (2 ,г )
' ^ (г)- мк [2у
' ^ = d2 йг
V ( 2,1)
¿0 1
« *у . й2
Рис. ¡.Интенсивности распределённых (а) сил д(2,г) , моментов V(2,г) и Ч (2, г) - кV (2, г) - 2, г)(да + |д) сосредоточенных сил (б)
В выражении (3) некоторые второстепенные слагаемые, в частности, от коррио-лисова ускорения, отброшены. Если принять
д (2, г) = да (2)
V (2, г) = va (2)
V ( 2, ( ) = va ( 2 )
из уравнения (3) следует:
VaV (2, ') = ^[Ча (2)" ф)" кVa )- N{х)-
+ (т + Va (2)-т^^)м>2 + иА,2v'a (2 Индексы «а» обозначают амплитудные значения функций.
2. Построение переходной матрицы задачи
Введём новые функции %у (у = 1.. .4), определяемые схемой
(4)
Va ( 2 ) V'a{ 2 ) va( 2) 2)!
*1 (2 ) (2) Х3 (2) Х4 (2)Г
в соответствии с которой
2) = *2 (2), (2) = *3 (2), (2) = *4 (2); ;
*4 (2)=(2) - ^ (2) - к%1 (2) - Nl2 (2)+
2 2 2
+ (т + |д)А, х1 (2)-тм> х3 (2) + иА, Х2 (2
см. уравнение (4) и зависимости (5), (6).
(5)
(6)
0
1/2009
ВЕСТНИК _МГСУ
Формируя обобщённый вектор функций % j (t)
ч(z) = colon[x1 (z) j X2 (z) j X3 (z)\ 14 (z)]> приведём уравнения (5), (6) к матричной форме
*1 (z) 12 (z) Х3 (z) _Х4 (z)
d_
dz
0 1
1
1
Ь41 Ь42 Ь43 0
*1 (z) " 0
(z) —1— 0
Х3 (z) I 0
Х4 (z)_ _ f
(7)
(8)
в которой обозначены:
Ьлл = —
41
EI
Ьл„ = —
42
EI
vX2 - N
(m + |д)А, - к
f=EE [ (z)-*a(z )]■
Ь43 =-"
EI
(9)
(10)
Заметим, что в общем случае т: = т(г), ц: = |д(г), и: = и(г). В сокращённой форме уравнение (8) запишем так:
^ (г ) = Ач (г) + / (г) •
Введём переходную матрицу П(г, однородного уравнения
ч (г) = Ач (г) • Для матрицы А с постоянными коэффициентами (9)
П (г -С) =exp [ А (г -С)] • Для матрицы с переменными коэффициентами
п (г, с)=х (г )х-1 (с),
где X (г) есть фундаментальная матрица совокупных решений уравнения (11) при начальных
условиях типа Xs ^ j = colon
w 0...1...0
, подробнее см. в [1].
3. Расчёт колебаний балки при действии распределённых и сосредоточенных сил, перемещающихся со значительной скоростью
Решение уравнения (10) записываем в виде
ч (z ) = П (z, z0 )i| (z0)+ j" п (z, Qf (C)d С ■
z0
Поскольку Va (z ) = colon [ va (z) j v'a (z) j v"a[ z) | z)], получаем
Va (z) = П (z, z0 )Va (z0) + i П(z, Qf (C) dС, (12)
z0
после чего находим не только амплитуды прогибов va (z) и углов поворота v'a (z), но и амплитуды изгибающих моментов и поперечных сил
Ма (г ) = Е1 и"а{ г), (г ) = Е1 г£( г). Учёт влияния на колебания балки сосредоточенной силы (рис. 1,6)
Е} (Г) = Г^М-5(-С)
выполняем по формуле
0
АКе (г)= \ П(г,= |П(г,2;)
0 0
Ра; / Е1
Дополнительный «вклад» сосредоточенных инерционных сил находим, полагая
А Км (г) = I П (г, -х 26 (с - г; У С: = П (г,
М;Х2 /Е1
М ^ / Е1
Если на мостовую балку действуют нагрузки типа я я
д(г,/) = £ да; (гг (г,/) = £ ¿а (г,
;=1 ;=1 я
полагаем V (г, /) = ^ са^пХ Л,
]=1
причём общее решение задачи выполняем по методу сложения действий отдельных гармонических усилий.
Более подробное изложение предложенного метода решения задачи при общих граничных условиях, счётного количества сосредоточенных перемещающихся сил и масс будет дано в работе [1].
г
0
г
г
0
0
Литература
1. Воронцов Г.В. Введение в математическую теорию оптимального оценивания и управления состояниями технических систем: Учебное пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т(НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ(НПИ), 2006. - 308 с.
Рецензент: Заведующий кафедрой САПР ОСФ ЮРГТУ(НПИ), д.т.н., профессор Скибин Г.М.
