CC BY
25
СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 624.042
МЕТОД ПЕРЕХОДНЫХ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ О КОЛЕБАНИЯХ МОСТОВЫХ БАЛОК ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ
© 2009 г. Г.В. Воронцов, С.И. Евтушенко
South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
Приведено решение уравнений изгибных колебаний мостовых балок. Учитывается влияние распределённых и сосредоточенных сил, перемещающихся по балке, а также инерционных сил, отвечающих переносному ускорению масс и их моментов инерции. Учитывается влияние на прогибы балок отпора упругого основания и продольных сжимающих сил.
Ключевые слова: переходные матрицы, мостовые балки, отпор упругого основания, изгибные колебания, прогибы балок, изгибная жесткость, дифференциальное уравнение, распределенные и сосредоточенные силы, инерционные силы.
The decision of the equations bendings fluctuations of bridge beams is resulted. Influence of the distributed and concentrated forces moving on a beam, and as the inertial forces answering to portable acceleration of weights and their moments of inertia is considered. Influence on deflections of beams of repulse of the elastic basis and longitudinal compressing forces is considered.
Keywords: transitive matrixes, bridge beams, repulse of the elastic basis, bending fluctuations, deflections of beams, bending rigidity, the differential equation, the distributed and concentrated forces, inertial forces.
Основные обозначения
V (z, г) - прогибы мостовой балки в сечении z и момент времени г;
q(z,г), /(z,г) - интенсивности распределённых
поперечных усилий и моментов, перемещающихся по балке;
т (z) , z) - интенсивности распределённых перемещающихся масс и масс балки; н - скорость перемещающихся масс; k - коэффициент упругости винклерового основания; N - продольная сила сжатия балки; Е1 - изгибная жёсткость балки;
и - интенсивность распределённых моментов инерции;
Fj (г) - сосредоточенная перемещающаяся сила; Mj (г) - сосредоточенный перемещающийся момент.
1. Дифференциальное уравнение изгибных колебаний балки
Ускорение движения массы т (z) dz , находящейся в положении z (рисунок), определяем на основании выражения
2
Разделив уравнение (1) на dt и полагая dz = w. получаем
'2т' 1 z,
ч d 2V( z, t) V1 ^ t): = —^ =
d t
= V ( z, г) + 2)( z, г) н + v''( z, г) н2.
Здесь последовательно записаны: ускорение
V ( z, г) колебательного движения массы т ( z ) dz ;
кориолисово ускорение 2V ' (z, г)н и ускорение
V "( z, I) н2 переносного движения.
Уравнение поперечных изгибных колебаний записываем в виде
Е1V(z, г ) = q (z, г)-1'(z, г )-^ V (z, г)- N V' (z, г )-
-m
v ( z, t) + 2v' ( z, t) w + v''( z, t) w-
(2)
d 2V ( z, t ) =
-З2^ ^ t2 + 2 dMz,t)
dt2
dzdt
-dzdt +
+
d 2v (z, t)
dz2
dz
(1)
-щ) (z, г )-иг) ' (z, г).
В выражении (2) некоторые второстепенные слагаемые, в частности от кориолисова ускорения, отброшены.
Если принять
q (^г ) = qa (z)
V ( z, г) = Уа ( z ) Бт^г;
V ( 2, t) = Va ( 2 ) SmXt, из уравнения (3) следует:
JV, - 1 г
va ( z,t ) = EI № (z )- l'a( z )- kva (z )-
Формируя обобщённый вектор функций X j (t)
х (2) = с0оп [%1 (2) | X2 (2) ! Хз (2 ) ! Х4 (2 )] ,
приведём уравнения (4), (5) к матричной форме
-Nv'a (z)-+(m + |д)Л2Va (z)-
(3)
-mva (z) w2+иЛ ч (z)
2
d_ dz
Индексы «а» обозначают амплитудные значения функций.
2. Построение переходной матрицы задачи
Введём новые функции X j (] = 1 — 4) , определяемые схемой
ч (2)! va (2)! va (2)! va (2 )\
Xi( z ) X 2 ( z ) Хз(z) X4 ( z ).
I I " I I
' i" 1 i"
y41
b42 [b43 [0
Xi( z ) Х2 (z) Хз (z)
Х4 (z).
+
0 0
0
f _
(6)
в которой обозначены:
7 1
b4i =— 41 EI
(m + 2 - к
; b42 =-
42 EI
иЛ2 - N
b43 =-
mw
1 X1(z) ! X2(z) ! Хз(z) ! X4(z)!
EI; f=EItqa(z)-z'a(z)_.
I Л1 V / | Л2 V ' I
в соответствии с которой ^2 )
X1(z) = X2 (z), X2 (z) = Хз (z), x3 (z ) = X 4 (z);
(4)
(5)
Х4 (2) = — [Ча (2) - г'а(2) - kХ1 (2) - NX2 (2) +
+ (т + д) X2Х1 (2) - тм>2Хз (2) + иХ2X2 (2)
см. уравнение (3) и зависимости (4), (5).
Ч (2, t)- kV (2, t)- V (2, t)(т + д)
( z, t)- N v'( z, t)
(7)
Заметим, что в общем случае т: = т (2) ,
д: = д( 2), и: = и( 2).
В сокращённой форме уравнение (6) запишем так:
X ( 2 ) = АХ ( 2 ) + / ( 2 ) . (8)
Введём переходную матрицу П (2, однородного уравнения
X ( 2 ) = АХ ( 2 ).
F (t)-MV(zj,t)
Интенсивности распределённых (а) сил Ч ( 2, t) , моментов V ( 2, t) и Ч (2, t) - kV (2, t) - V (2, t) (т + Д ) сосредоточенных сил (б)
0
0
б
а
Для матрицы A с постоянными коэффициентами
(7)
П ( z-С) =exp [A ( z-С)]. Для матрицы с переменными коэффициентами
П (z, С) =X ( z ) X-1 (С),
(9)
X s ( zo ) = colon
подробнее см. в [1].
AVaF (z)= J П(z,CFa,s(c-zj)dC: z0
0
=2 п (z,z,)
где X ( z ) есть фундаментальная матрица совокупных
решений уравнения (9) при начальных условиях типа " "
0...1...0
0 0
Faj / EI
Дополнительный «вклад» сосредоточенных инерционных сил находим, полагая
Л "V аМ ( z )= / П (z, С)М.Л25(С-Zj ) dC: =
zo
3. Расчёт колебаний балки при действии распределённых и сосредоточенных сил, перемещающихся со значительной скоростью
Решение уравнения (8) записываем в виде
X(z) = П(z,zo)X(zo)+ z п(z,Cf (С)dС.
z0
Поскольку
Va (z ) = colon [va (z) I x!a (z) I v'"(z) I z)],
получаем
Va (z) = П(z, zo) Va (zo)+ z П(z,С)f (С)dС,
zo
после чего находим не только амплитуды прогибов Va (z) и углов поворота v'a (z), но и амплитуды изгибающих моментов и поперечных сил
Ma (z )= EIv"a(z ), 0a (z ) = EIz ).
Учёт влияния на колебания балки сосредоточенной силы (рисунок б)
Fj (f ) = Fajsin^5(zj -С)
выполняем по формуле Поступила в редакцию
П(z,z, )
М, 12 / EI
M, w2 / EI
полагаем
0
Если на мостовую балку действуют нагрузки типа
5
q (z, г )= Е qaj (z) ^ jг;
у=1
5
1 (^ г)= Е (z) jг
j=1
5
[V (z, г)= Е VajSink¡г, причём общее ре-j=1
шение задачи выполняем по методу сложения действий отдельных гармонических усилий.
Более подробное изложение предложенного метода решения задачи при общих граничных условиях, счётного количества сосредоточенных перемещающихся сил и масс дано в работе [1].
Литература
1. Воронцов Г.В. Введение в математическую теорию оптимального оценивания и управления состояниями технических систем : учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2006.
13 ноября 2008 г.
Воронцов Георгий Васильевич - докт. техн. наук, академик МАНВШ, профессор кафедры сопротивления материалов, строительной и прикладной механики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. (863 52) 553-12.
Евтушенко Сергей Иванович - канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов, строительной и прикладной механики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Scince, member of the Academy, professor of department resistance of materials, construction and applied mechanics of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (863 52) 553-12.
Evtushenko Sergey Ivanovich - Candidate of Technical Scince, professor, head of department department resistance of materials, construction and applied mechanics of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).
z
0
