CC BY
24
УДК 539.3
В О. ВАХНЕНКО
1нститут геофiзики ím. С.1. Субботша НАН Укра1ни, Ки1в, Укра1на
Е.Дж. ПАРКЕС
Департамент математики та статистики, Страсклайдський ушверситет, Глазго, Великобританiя
МЕТОД ОБЕРНЕНО1 ЗАДАЧ1 РОЗС1ЮВАННЯ ДЛЯ ЕВОЛЮЦ1ЙНОГО Р1ВНЯННЯ З1 СПЕКТРАЛЬНИМ Р1ВНЯННЯМ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
Грунтуючись на doceidi вивчення ргвняння Вахненка (the Vakhnenko equation (VE)), ми знайомимо читача з низкою Memodie та nidxodie, яю можуть бути викoриcтанi для деяких нелШйних рiвнянь. Ми вiдmвoрюeмo шлях, по якому нeдocвiдчeний читач м^ би до^дити нове нeлiнiйнe рiвняння. Прямим ттегруванням VE отримано перюдичш та усамтнеш розв 'язки на бiжучих хвилях, зокрема пemлeпoдiбнi. Альтернативна форма VE вiдoма як рiвняння Вахненка-Паркеса (the Vakhnenko-Parkes equation (VPE)). Метод Хiрomи дозволив нам знайти N-солтонш розв 'язки для VPE. Перетворення Беклунда, що випливае з бi-лiнiйнoi форми рiвняння (форма Хiрomи), веде до закотв збереження. З отримано'1 пари Лакса ми формулюемо метод обернено'1' задачi розствання. Цей метод для третього порядку спектрально'1' задачi ми використали для до^дження зв'язаного i неперервного cпeкmрiв. Це дозволило знайти N-солтонш розв'язки та M-мoдoвi перюдичш розв'язки, вiдпoвiднo. До^джуеться взаемoдiя мiж цими типами розв 'язюв.
Ключoвi слова: нелттне рiвняння, метод Хiрomи, метод обернено'1' задачi розствання, пара Лакса, N-солтонш розв 'язки, M-мoдoвi перюдичш розв 'язки.
В.А. ВАХНЕНКО
Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев, Украина
Е.Дж. ПАРКЕС
Департамент математики и статистики, Страсклайдский университет, Глазго, Великобритания
МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ С СПЕКТРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Исходя из опыта изучения уравнения Вахненко (the Vakhnenko equation (VE)), мы знакомим читателя с рядом подходов и методов, которые могут быть применены к нелинейным уравнениям. Мы начерчиваем путь, по которому читатель мог бы исследовать новое нелинейное уравнение. Прямым интегрированием получены периодические и уединенные решения на бегущих волнах, некоторые из которых - петлеподобны. Альтернативная форма для VE известна как уравнение Вахненко-Паркеса (the Vakhnenko-Parkes equation (VPE)). Метод Хироты позволил нам найти N-солитонные решения для VPE. Преобразование Бэклунда, вытекающее из би-линейной формы уравнения (форма Хироты), приводит к законам сохранения. Из полученной пары Лакса мы формулируем метод обратной задачи рассеяния. Этот метод для третьего порядка спектральной задачи применен для исследования связанных состояний и непрерывного спектра. Таким образом, получены N-солитонные решения и M-модовые решения, соответственно. Исследуется взаимодействие между указанными типами волн.
Ключевые слова: нелинейное уравнение, метод Хироты, метод обратной задачи рассеяния, пара Лакса, N-солитонные решения, M-модовые решения.
V.O. VAKHNENKO
Subbotin Institute of Geophysics, Kyiv , Ukraine
EJ. PARKES
Department of Mathematics and Statistics, University of Strathclyde, Glasgow, UK
THE INVERSE SCATTERING PROBLEM FOR EVOLUTION EQUATION WITH THIRD ORDER SPECTRAL EQUATION
Based on experience of the study of the Vakhnenko equation (VE), we acquaint the reader with a series of methods and approaches which may be applied to certain nonlinear equations. Thus we outline a way in which an uninitiated reader could investigate a new nonlinear equation. By direct integrating of the VE we obtain the periodic and solitary traveling wave solutions some of which are loop-like in nature. An alternative form of the VE is known as the Vakhnenko-Parkes equation (VPE). The Hirota method enables us to find an N-soliton solution for the VPE. A Backlund transformation following from the be-linear form of equation (Hirota's form) is used to construct conservation laws. From the obtained Lax pair we formulate the inverse scattering transform (1ST) method. The standard 1ST method for third-order spectral problems is applied to investigate solutions
corresponding to bound states of the spectrum and to a continuous spectrum. This leads to N-soliton solutions and M-mode periodic solutions, respectively. Interactions between these types of solutions are investigated.
Keywords: nonlinear equation, Hirota method, inverse scattering transform method, Lax pair, N-soliton solutions, M-mode periodic solutions.
Постановка проблеми
Фiзичнi явища та процеси, що мають мюце в природ^ у загальному носять нелшшний характер. Це приводить до нелшшних математичних моделей для реальних процеав, а також до ускладнення опису. Вивчення кожного нового нелшшного рiвняння вважаеться важливим кроком. Мета доповщ надати загальнi уявлення про методи та пiдходи, яш розробленi в математичнiй фiзицi для дослвдження нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь. Ми вказуемо послщовний шлях, проходячи який, необiзнаний читач може дослiдити нове рiвняння.
Викладення основного матерiалу дослщження
Нелiнiйним системам (рiвнянням) притаманнi уткальт властивостi. До таких, в першу чергу, потрiбно ввднести сол1тони. Не претендуючи на строге означення, зазначимо, що солтгон - це хвиля з властивостями частинки. Це - усаштнена стiйка хвиля. Важливо, що тсля нелшшно! взаемоди единим результатом буде набуття солiтонами фазового зсуву. З математично! точки зору стшшсть солiтону зумовлена двома взаемо конкуруючими чинниками. З одного боку, нелшшшсть намагаеться перевернути хвилю, з шшого боку, дисперсiя розмивае хвилю. Баланс цих двох процеав веде до можливосп утворення стiйких хвильових утворень - солтгошв. Взаемодш двох солтгошв для KdV рiвняння (2) шюструемо на рис. 1. Бiльший солтгон наздоганяе менший, ввдбуваеться нелiнiйна взаемодiя (перекачуеться енергiя вiд бiльшого солтгону до меншого), потiм, ввдновивши початкову форму, солтгони розходяться.
Рiзнi методи вивчення властивостей нелшшних еволюцшних рiвнянь будемо пояснювати на прикладi рiвняння Вахненка (the Vakhnenko equation) [1, 3]:
d(d d .
— I--+ u — | u + u = 0.
3x \3t 3x
(1)
Це рiвняння моделюе, зокрема, розповсюдження високочастотних хвиль у релакавному середовищi. Крiм того, неодноразово будемо звертатися до класичного рiвняння Кортевега-де Врiза (the KdV equation) [4]:
d u d u „ „ — + u — + —- = 0.
d3 u
dt
dx dx3
(2)
Рис. 1. Зикнення двох сол1тотв для KdV р1вняння.
Розпочинаючи вивчення нелшшного еволюцшного рiвняння, перш за все потрiбно удатися до прямих методiв. Отже, повиннi бути дослвджеш, насамперед, розв'язки на бiжучих хвилях. Для цього замшою z = u — и, п = x — ut з и = const потрiбне початкове рiвняння зводимо до звичайного
диференцiйного рiвняння, певна рiч, нелшшного. У нашому випадку маемо рiвняння (zz^n + z + u = 0,
яке двiчi iнтегруемо [1]. Розв'язок набувае параметрично! залежностi з параметром р:
• 2 z3 — z Sin р =
п =
-ч/бz1
rF(р| m) + ^6(z3 — zi)E(р| m),
(3)
z3 — z 2 Vz3 — z1
де F(р| m), E(р m) - елiптичнi iнтеграли першого i другого роду, вiдповiдно, m = (z3 — z2)/(z3 — zi), а
3 3 2
zi < z2 < z3 - коренi рiвняння z + -^uz + A = 0, A = const. Розв'язки подаш на рис. 2 i 3. Виявилось, що усаминена хвиля 1 з рис. 2 - солтгон.
«/и
1,0
0,5
0,0
К
---"l
Рис. 2. Розв'язки ршняння (1) на 51жучих хвилях для и > 0.
Рис. 3. Розв'язки ршняння (1) на 51жучих хвилях для и < 0.
Одним з фундаментальних прямих методiв без сумшву е метод ХТроти [5], якому притаманнi ушкальш особливосл. Зокрема, метод дозволяе знайти N -солггонш розв'язки, закони збереження, а також вказати на шлях для отримання пари Лакса та сформулювати обернену задачу розсшвання.
Записавши рТвняння, що дослвджуеться (1), у нових координатах x = T + W(X,T) + xq , t = X з u(x, t) = U(X,T) = Wx (X,T) маемо альтернативне рТвняння, яке вщоме як рТвняння Вахненка-Паркеса (the Vakhnenko-Parkes equation (VPE)) [6]:
WXXT + (1 + WT )WX = 0. (4)
Це рТвняння набувае такого вигляду у бшншнш формТ ХТроти [7]:
(DtDX + D2x)f • f = 0, W = 6(ln f) x . (5)
За означениям оператор ХТроти [5]:
D^Dfa • b =
(
d T
d
d T'
d
d
a(T, X )b(T', X')
(6)
d X d X
У v X T=T\X=X
Тут звертаемо особливу увагу на те, що защкавлений читач повинен з бшншно! форми рТвняння, що вивчаеться, (в нашому випадку з рТвняння (5)) отримати бшншну форму перетворення Беклунда
(DX — Л) f '•f = 0, (3DxDt +1+ D) f 'f = 0 (7)
та пару Лакса з ц = f'/ f
wxxx + Wxwx —Лц = 0, 3цXT + (1 + Wt )ц + ццх = 0. (8)
Бшншно! форми рТвняння (у нас це рТвняння (5)) достатньо, щоб отримати N-солггонш розв'язки. Наприклад, двосолггонний розв'язок для (4) набувае вигляду
f = 1 + exp(2m) + exp(2n2) + b exp(2(n + П2)) (9)
з b =
k 2 — ki
ki + k 2 — ki k
1*2
k12 + k 2 + k1k 2
та ni = (kiX — c(T) + a,.
к2 + kl
Три типи взаемоди показанi для солiтонiв рiвняння (1) на рис. 4-6.
Отеж, якщо читачевi вдалось отримати пару Лакса для рiвняння, яке вiн вивчае, значить наполегливий читач досяг значного прогресу. Власне сумiснiсть рiвнянь в парi Лакса з необхiднiстю породжуе початкове нелiнiйне рiвняння. Перше рiвняння з пари Лакса (8) визначае спектральш данi при заданих початкових умовах. За еволюцш спектральних даних вщповщае друге рiвняння (8), а така функцiональна залежнiсть виявляеться досить простою. Часто вважаеться, що якщо пара Лакса вже отримана, тобто доведена штегровшсть, то потрiбне рiвняння може бути розв'язане методом обернено! задачi розсiювання. Однак, щоб досягти цього, необхiдно прикласти зусиль для реалiзацil вщомо! процедури. Для прикладу прослвдкуемо реал1зацш методу обернено! задачi розсшвання для VPE (4).
n
m
2
Рис. 4. Взаемод1я солттомшв для
к1 = 0.99, к2 = 1.
Рис. 5. Взаемод1я солиотв для
к = 0.88867, к2 = 1.
Рис. 6. Взаемодая солиошв для
к1 = 0.5, к2 = 1.
Ключовий момент в методi обернено! задачi розсiювання полягае в дослiдженнi спектрального рiвняння (8), оск1льки спектр (величина Л), як доведено в [7], збертаеться. Розв'язок лiнiйного рiвняння (8) був здобутий Каудреем у [8] у виглядi функцiй Йоста ф (X,(¡) через
Ф ■ (X ,£) = ехр{-Лу (^)Х) ф■ (Х,£), Л}- (£) = а£ , Л (0 = Л, о}- = е 2п(>-1)/3. Комплексна площина ¿Ц розбиваеться на дешлька областей таких, всерединi яких порядок числа Яе(Лу (£)) сталий (див. рис. 7). Функщя Йоста ф■ (Xрегулярна на площинi £, за виключенням полюсiв i меж мiж видшеними
областями (рис. 7). Всерединi окремо! областi розв'язок спектрального рiвняння (8) тдпорядковуеться спiввiдношенню (2.12) з [8]. Це - пряма спектральна задача.
Рис. 7. Регулярна область для фумкщй Йоста ф .(Xна комплексн1й мницшм ^ .
Примiтка. Пунктирнi лшп визначають меж1 регулярних областей. На цих лшях задаються функци сингулярносп Q1 ■ (£'). На лшях з точок можуть появлятися полюси.
Реконструкцiя розв'язку Ж(X, Т) зi спектральних даних становить суть обернено! спектрально! задача У загальному випадку необх1дно враховувати як дискретний спектр (полюси), так i неперервний (функци Ql■ (£')). У ввдповвдносп до спiввiдношення (6.20) з [8] розв'язок спектрального рiвняння (8) подаеться у виглядi
К 3 (к ,ехр{[Лу )) - Л1(<1к ^}
ф^.о =1 - е ы)> ■ ' Л) Ф^■
к=1 ■=2 Л(£{ О -Л^)
=1./Е а ■ юехр{[Л'ю-Ло"" ±
(к))
+ -
2П ■
-ф± (X а ¿'Ж'.
Рiвняння (10) утримуе спектральш даш, а саме, К полюав i величин уу) для дискретного спектру, а також для неперервного спектру функци а1 у (£') на межах, де ЯеЛ (£') - Лу (£')) = 0 при у Ф1. Функцiя Йоста Ф1 (X,пов'язана з розв'язком таким чином (див. (5.11) у [8])
Ф1 (X= 1 - [ж(X) - Ж(-»)]+0(Л-2 о. (11)
3 Л1 (ь)
Як приклад, наводимо результат по взаемоди солiтону та перюдично! хвилi, отриманий з методу обернено! задачi розсшвання [9-11]
„ L 1 1 12
W(X, T) = 3—ln(F (X ,T)), F = 1 + -f= qi + q2 + qq
dX
4b ^ 4b
(12)
де qi = exp[V3£X - (V^)-1T], q2 = expR^X + (iV^)-1T], b =
+ 1X212 £2-X22 + 1X1X2
£1 -1£2
£12 -£22 -1£1£2
Висновки
Ми познайомили читача з низкою методiв та пiдходiв, яш можуть бути використанi для вивчення еволюцiйних нелiнiйних рiвнянь. Ми вщтворили шлях (деталi в [11]), по якому допитливий читач може дослвдити нове нелiнiйне рiвняння.
Список використаноТ лiтератури
1. Vakhnenko, V. A. Solitons in a nonlinear model medium / V.A. Vakhnenko // .J. Phys.A: Math. Gen. -
1992. - V.25. - PP. 4181 - 4187.
2. Parkes, E. J. The stability of solutions of Vakhnenko's equation / E.J. Parkes // J. Phys.A: Math. Gen. -
1993. - V.26. - PP. 6469 - 6475.
3. Vakhnenko, V. O. High frequency soliton-like waves in a relaxing medium / V.O. Vakhnenko // J. Math. Phys. - 1999. - V.40, № 3. - PP. 2011 - 2020.
4. Додд, P. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. - М.: Мир. - 1988. - 694 с.
5. Hirota, R. The direct method in soliton theory / R. Hirota, - Cambridge: University Press, Cambridge, UK, - 2004. - 200 p.
6. Vakhnenko, V. O. The two loop soliton solution of the Vakhnenko equation / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Nonlinearity. - 1998. - V.11, № 6. - PP. 1457 - 1464.
7. Vakhnenko, V. O. The calculation of multisoliton solutions of the Vakhnenko equation by the inverse scattering method / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Chaos, Solitons & Fractals. - 2002. - V.13, N. 9. -PP. 1819 - 1826.
8. Caudrey, P. J. The inverse problem for a general NxN spectral equation / P.J. Caudrey // Physica D. - 1982. -V.6. - PP. 51 - 66.
9. Vakhnenko, V. O. The singular solutions of a nonlinear evolution equation taking continuous part of the spectral data into account in inverse scattering method / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Chaos, Solitons & Fractals. - 2012. - V.45, N. 6. - PP. 846 - 852.
10. Vakhnenko, V. O. Solutions associated with discrete and continuous spectrums in the inverse scattering method for the vakhnenko-parkes equation / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Progress of Theoretical Physics. - 2012. - V.127, № 4. - PP. 593 - 613.
11. Vakhnenko, V. O. Approach in theory of nonlinear evolution equations: the Vakhnenko-Parkes equation / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Advances in Mathematical Physics. - 2016. - V.2016, Article ID 2916582. -39 p.
