CC BY
8
УДК 517.9:519.6
В.П. ЛЯШЕНКО, ОБ. КОБИЛЬСЬКА, Т.С. БРИЛЬ
Кременчуцький нацюнальний ушверситет iMeHi Михайла Остроградського
О.П. ДЕМ'ЯНЧЕНКО
Азовський морський iнституг Нацюнального унiверситету "Одеська морська акаде]шя"
НЕЛ1Н1ЙН1 1НТЕГРАЛЬН1 Р1ВНЯННЯ У МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЯХ ТЕПЛООБМ1НУ РУХОМОГО ОСЕСИМЕТРИЧНОГО СЕРЕДОВИЩА
Розглянуто застосування iнтегрального ргвняння типу Гаммерштейна при моделюванн процесу теплообмту рухомо'1' цилiндричноi областi з навколишнiм середовищем, що нагрiваeться внутрiшнiми та зовнштми джерелами тепла. Побудовано функцт Грта для спряженого диференщального оператора. Це дозволило нелттну двовимiрну крайову задачу звести до одновимiрного нелiнiйного iнтегрального рiвняння. Розв 'язок рiвняння отримано чисельним модифкованим методом Ньютона. Проведен чисельн експерименти та побудован графжи температурних розподШв. Отримане ттегральне рiвняння може бути використане у якостi математично'1' моделi теплового процесу тд час термiчноi обробки рухомого дроту.
Ключовi слова: математична модель, рiвняння теплопровiдностi, крайова задача, ттегральне рiвняння типу Гаммерштейна, функщя Грта.
В.П. ЛЯШЕНКО, Е.Б. КОБЫЛЬСКАЯ, Т.С. БРЫЛЬ
Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского
О.П. ДЕМЬЯНЧЕНКО
Азовский морской институт Национального университета "Одесская морская академия"
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ТЕПЛООБМЕНА ДВИЖУЩЕЙСЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрено применение интегрального уравнения типа Гаммерштейна при моделировании процесса теплообмена движущейся цилиндрической области, которая нагревается внутренними и внешними источниками тепла с окружающей средой. Построена функция Грина для сопряженного дифференциального оператора. Это позволило нелинейную двумерную краевую задачу свести к одномерному нелинейному интегральному уравнению. Решение уравнения получено модифицированным численным методом Ньютона. Проведены численные эксперименты и построены графики температурных распределений. Полученное интегральное уравнение может быть использовано в качестве математической модели теплового процесса во время термической обработки движущейся проволоки.
Ключевые слова: математическая модель, уравнение теплопроводности, краевая задача, интегральное уравнения типа Гаммерштейна, функция Грина.
V. LYASHENKO, E. KOBILSKAYA, T. BRYL
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University
O. DEMYANCHENKO
Azov maritime institute of National university "Odessa maritime academy"
NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS IN THE MATHEMATICAL MODELS OF HEAT TRANSFER
IN A MOVING AXIAL-SYMMETRIC MEDIUM
The application of an integral equation of Hammerstein type in modeling the heat transfer process of a moving cylindrical area that is heated by internal and external heat sources with an environment is considered. The Green's function for the adjoint differential operator is constructed. This made it possible to reduce the nonlinear two-dimensional boundary value problem to a one-dimensional nonlinear integral equation. The solution of the equation was obtained by a modified numerical Newton's method. Numerical experiments have been carried out and graphs of temperature distributions have been constructed. The resulting integral equation can be used as a mathematical model of the thermal process during the heat treatment of a moving wire.
Key words: mathematical model, heat equation, boundary value problem, integral equation of Hammerstein type, Green's function
Постановка проблеми
В основ1 бшьшосп математичних моделей ф1зичних та технолопчних процеав лежать крайов1 та нелокальш задач1 математично! ф1зики. Значна !х шльшсть е нелшшними, а розв'язки можна знайти лише чисельними методами i3 застосуванням комп'ютерно! математики. Зниження розм1рност1 крайово! задач1
дозволяе спростити алгоритм знаходження Н розв'язку. Одним iз шляхiв зниження розмiрностi крайово! задачi е зведення до iнтегрального рiвняння, лiнiйного або нелшшного, алгоритм розв'язку якого б№ш простий нiж алгоритм розв'язку крайово! задача
Аналiз останнiх дослiджень i публiкацiй
Iнтегральнi рiвняння знаходять широке застосування при розв'язаннi задач математично! фiзики та пiд час моделювання багатьох неперервних фiзичних та технолопчних процесiв[1]. Зведення крайово! задачi для рiвняння з частинними похвдними до ввдповщного iнтегрального рiвняння дозволяе у багатьох випадках спростити алгоритм и розв'язання методами комп'ютерно! математики [1,2].
Мета досл1дження
Побудувати алгоритм зведення третьо! крайово! задачi для рiвняння теплопровiдностi до iнтегрального рiвняння та розв'язання !! методами комп'ютерно! математики.
Викладення основного матерiалу дослiдження
Розглянемо математичну модель температурного поля у рухомому осесиметричному середовищi, що розiгрiваеться у обмеженiй замкненiй областi О внутршшми або зовнiшнiми джерелами тепла, i яка е однiею з проблем металургп - дослiдження температурних розподшв пiд час пластично! деформаци та термiчно!' обробки рухомого дроту внутршшми та зовнiшнiми джерелами тепла [3,4].
Розглянемо фiзичну та математичну модель такого процесу. Пiд час виробництва тугоплавкого та важкодеформованого дроту ввдбуваеться його попереднiй розiгрiв перед пластичною деформащею. Термiчна обробка рухомого дроту у б№шосп технологiчних процеав ввдбуваеться шд дiею постiйно дшчих внутрiшнiх або зовнiшнiх джерел тепла. Основна проблема, що виникае тд час дослiдження процесу термiчно! обробки е визначення температурного розподiлу у зош нагрiвання, а додаткова -визначення параметрiв керування температурним полем [5,6]. Математична модель процесу на^вання дроту внутрiшнiми джерелами тепла приводить до дослвдження крайових задач для неоднородного рiвняння теплопровiдностi з граничними умовами 1-111 роду, як1 ввдображають втрати тепла з поверхнi середовища, що нагрiваеться. У цiй моделi джерела тепла у неоднородному рiвняннi задаються у виглядi функцп, що залежить ввд просторових координат та невщомо! функцi!. Математичну модель процесу названия рухомого осесиметричного середовища зi сталою швидк1стю V внутрiшнiми джерелами тепла можна задати
у виглядi крайово! задачi для рiвияния теплопровщносл в областi О :{0 < г < 1,0 < г < г0 }
1 д ( дт) .д2т дт /2р0(1+рг) Л~т\ гтИтУ- VCPn Т =--2 4 ^ (1)
г дг \ дг) дг дг п2г04
Т(г,0) = «о, Т(г,I) = щ, (2)
^ = 0, ^ = «(«с - Т)+ - т4), (3)
дг дг
де Т(г, г) - температурне поле дроту, I - величина струму, а, Л - вщповщно коефщенти тепловщдач^ теплопровщностц с - теплоемшсть матерiалу; I - довжина зони нагрiвания; , рп -вiдповiдно радiус та щтшсть рухомого середовища; и,в - стала Стефана-Больцмана та ступiнь чорноти середовища; «0,«I,«с - початкова, к1нцева та температура навколишнього середовища; Р0,в - питомий опiр та температурний коефщенти опору [5].
Задачу (1)-(3) можна звести до нелшшно! крайово! задачi для звичайного диференцiального рiвияния другого порядку шляхом усереднення за радiусом[5,6].
У результата перетворень отримаемо нелiнiйну крайову задачу для звичайного диференцiального
рiвняння другого порядку у областi Q: {(г)| ,0 < г < I}
ё2ы ё« 4
—тт-vx — +rы = +ты -®1, (4)
ёг2 ёг
ы (0) = «0, ы (1) = «I,
—1 / 2 2 3 \/ 2 4 \ 1
де х = сРпЛ , У = у Р0в — 2п г0 а)(П г0 Л) , т = 2еа( ^Л) 1,®1 =(12р0 + 2а«сп2г03 )(п2 г04л) +т«С
При цьому враховуеться теплообмш поверхнi рухомого середовища iз навколишнiм. Усереднення за радiусом дозволяе зменшити розмiрнiсть задачi та звести !! до розв'язання нелiнiйно!' крайово! задачi для
диференщального рiвняння другого порядку.Якщо покласти у задачi (4) а = 0, то рiвняння стае лшшним, точний розв'язок якого отримано у роботах[4,5].
Зведемо нелшшну задачу (4) до штегрального рiвняння типу Гаммерштейна з ядром у виглядi функцп Грiна [1,7]. Напишемо рiвняння задачi (4) в операторнiй формi
Ьы = ты - щ,
(5)
де Ь = —— - --+ у- лшшний диференцiальний оператор.
ёг1 ёг
ё2 d
Для знаходження розв'язку будуемо функцш Грiна О (г, 4) для спряженого до Ь = —— - --+ у
dz ёг
ё2 ё , .
оператора Ь = —— + Vх--+ у , якии е розв язком однорвдно! задачi
2
ЬО( г,4) = 8( г-4), О (0,4) = 0,0 (I,4) = 0,
(6) (7)
де 8 (г - 4) - дельта-функ^ Ддрака.
Функцiя ГрiнаО(г,4) в обласп 0 = <4, г >4} повинна задовольняти однорiдному рiвнянню
та однорiдним умовам. У кожнiИ iз шд областей обласп 0 = {г <4, г >4}знаходимо задачi (6)-(7) та функцш Грiна
загальний розв'язок
0 + vхd0 + у0 = 0, 0 < г <4, 4< г < I
О ( 0,4) = О (I,4) = 0,
>1 (4)екг + С2 (4) е*2г, У г <4 [{Сз (4)ек г + С4 (4)е*2г,Уг >4
О ( г ,4) =
(8)
(9)
де 2 = -(vх / 2) vх / 2)2 - у - коренi характеристичного рiвняння для рiвняння задачi (8).
Коефщенти С1 + С4, визначаемо iз розв'язку наступно! системи скориставшись однорщними граничними умовами (7) та властивостями функци Грiна[1].
С1(4)+С2(4) = 0
С3(4)ек + С4(4)ек = 0
С1(4)е*14 + С2(4)е*24 = Сз(4)ек4 + С4(4)ек4 '
-С1(4)к/14 -С2(4)к2ек24 + Сз(4)к1ек14 + С4(4)к2ек24 = -1
(10)
Звщки коефщенти С1 (4) ^ С4 (4 ) мають вигляд
С1(4) = ■
ек24 - ек21 Щ4-1)
(к1 - к2) (е( к1+к2 )4(1 - е( к1+к2 У
С2(4) = -
ек24 - ек21 +44-1)
(к1 - к2)( е( к1 +к2 )4(1-е( к1+к2 У
-е^У (/¿(1 -ек4) ¿4 ^
С3(#=--/„ Л./ ,, , с4(^) =- е е
к - к2) (е^ +к2 )4(1 - е(-*1 +к2У ))' (к1 - к2) (е(к+к2 )4(1 - е(-к +к2)1))'
Подставивши значення коефiцiентiв С1 (4)^ (4)у (10) отримаемо функцш Грша. Пiсля перетворень рОвняння Гаммерштейна можна записати у виглядО [7]
1
« (4) = «L ({)-т$0(г,{)м4ёг, (11)
0
1
де «ь (4) = «00^(0,4)-«10,2(1,4) + а1\0(г,4)ёг. (12)
0
РОвняння (11) нелшшне. Тому для знаходження його чисельного розв'язку застосуемо модифшэваний метод Ньютона[7]. Напишемо (11) у виглядО
« (4) = «-тйО (г; 4) ёг, (13)
де « - додатнш коршь рОвняння, середне значення температури по координат г
й = А - Ей4, (14)
, I II
де А = -\«Ь (4)ё4, Е=Т\с14р(г;4)ёг. (15)
10 1 0 0
Дещо шший вигляд мають математичш модел температурного поля зони нагрОвання дроту зовшшшми джерелами тепла. У таких моделях температурне поле визначаеться Оз розв'язку крайово! задачО для однородного рОвняння теплопровщносп, де зовшшш джерела тепла висвгглюються у граничних умовах. Визначення стацюнарного температурного розподОлу у зош нагрОву рухомого середовища,через поверхню, зовшшшми джерелами тепла(променевий нагрОв) з врахуванням перерозподОлу температури за рахунок теплопровщносл приводить до розв'язання наступно! задачО для рОвняння теплопровщносл О1 :{0 < г < 1,0 < г < г0 }
л1 ±
г дг
дТ \ д Т дТ п
гТ" 1 + Л_Т - ™Рп~Г = 0, (16)
. дг) дг2 дг
Т (г ,0) = «0, Т (г, 1) = «1, (17)
дТ (0, г) дТ (а, г) 4 4
-= 0, -= -£CГ(ЫC - Т ).
дг дг
Шсля перетворень, шляхом усереднення за радОусом, задача в обласп О = {0 < г <4, 4 < г < 1} трансформуеться у наступну[7]
2-(
vx—=т^
ё « 2
■(«4 -«4),0 < г < 1, (18)
« (0) = «0
або в операторнш формО
ёг 2
«(0) = «0, «(1 ) =«1 (19)
44 ё2 ё
Ь« = т« -т«с, Ь = —-- vx—. (20)
ёг 2 ёг
Будуемо функцш Грша в обласп О = {0 < г <4, 4< г < 1}аналопчно(6)-(10). Кореш однорщного характеристичного рОвняння лшшного оператора (20) будуть
х + vxx = 0 ^ х = 0; %2 = -Vх = к. (21)
Тодi зпдно визначення функщя Грша мае вигляд
|Ci(£) + C2(4)e~KZ,z <4 G (z;4) = \ ^ % (22)
[C3(4) + C4(4)e~Kz, z >4
1 _ ek(4-l) ek(4-l) _1
Ci(4) = -—^, C2(4) =
k (1 _ e~kl)' k (1 _ e~kl)' kl _ ek(4_l) ek4 _ 1 C3(4) =-k—, c4(4) =-kr. (23)
к (1 _ e~kl) k (1 _ e~kl)
Рiвняння Гаммерштейна задачi (18),(19) буде мати вигляд, аналогiчний (11)
l
u (4) = uL (4)_T$G(z;4)u4dz, (24)
0
(ul + u0)(ek(4_l) _e~kl) I
де ul (4)=-/ _kA-- + t4 Jg (z;4)dz. (25)
(1 _e ) 0 Його розв'язок знаходимо аналогiчно (13) модифжованим методо Ньютона[7].
Висновки
Розроблено алгоритм зведення крайово! задачi, що моделюе процес теплообмiну рухомо! цилiндричноl областi з навколишшм середовищем, до iнтегрального рiвняння типу Гаммерштейна. Розглянуто випадки на^вання середовища внутрiшнiми та зовнiшнiми джерелами тепла. Побудовано функцш Грiна для спряженого диференцiального оператора, яка використана у якосп ядра рiвняння типу Гаммерштейна. Це дозволило звести нелшшну двовимiрну крайову задачу до одновимiрного нелiнiйного iнтегрального рiвняння. Розв'язок рiвняння отримано чисельним модифiкованим методом Ньютона. Отримаш iнтегральнi рiвняння можуть бути використаш у якостi математично! моделi термiчно! обробки рухомого дроту.
Список використаноТ лггератури
1. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа /Лизоркин П.И. - М.: Наука, 1981.—381с.
2. V. Lyashenko, E. Kobilskaya Control of Heat Source in a Heat Conduction Problem // AIP Conference Proceedings. — Sophia (Bulgaria), 2014. — 85(2014), P. 94—101.
3. V. Lyashenko, E. Kobilskaya. Methods for Solving of Inverse Heat Conduction Problems // Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, AIP Conference Proceedings— 2016. — P. 040005-1—040005-7.
4. Ляшенко В.П., Бриль Т.С. Математична модель температурнго поля рухомого дроту, що на^ваеться зовшштми джерелами тепла // Вюник Кременчуцького нацюнального ушверситету iменi Михайла Остроградського. — Кременчук: КрНУ, 2012. — Вип. 1/2012 (72), — С. 50—53.
5. Ляшенко В.П., Григорова Т.А. Моделювання процеав сткання у контейнера // ВестникХерсонскогонациональноготехническогоуниверситета. Вып. 3(39). — Херсон: ХНТУ, 2010. — С. 292 — 296.
6. Ляшенко В. П. Застосування методу Роте до розв'язання одше! нелшшно! задачi теплопровщносп / В. П. Ляшенко, Н. Г. Кирилаха // Вестник Херсонского государственного технического университета. — Вып. 3 (19), Херсон, 2003. — С. 235—239.
7. Верлань А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / Верлань А.Ф., Сизиков В.С.—К. Наукова думка 1978.—291с.
