CC BY
23
УДК 517.929.7
А.П. СЛЕСАРЕНКО
1нститут проблем машинобудування ím. О.М. Пщгорного НАНУ
О. П. ДЕМ'ЯНЧЕНКО
Азовський морський iнститут Одесько! нащонально! морсько! академп
В.П. ЛЯШЕНКО, ОБ. КОБИЛЬСЬКА
Кременчуцький нацiональний унiверситет ÍMeHÍ Михайла Остроградського
ЧИСЕЛЬНО - АНАЛ1ТИЧНИЙ МЕТОД У МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЯХ ВИСОКОТЕМПЕРАТУРНИХ ПРОЦЕС1В
Запропоновано чисельно-аналтичний метод дослгдження математично'1 модел1 високотемпературного процесу. Модель розглядаеться у виглядг нелтшноИ початково - крайово'1 задач1 для нестацюнарного ргвняння теплопровгдностг у неканотчнш, з геометрично'1 точки зору, областг. Для дослгдження температурного розподшу застосовано регюнально-структурний метод. Нестащонарна задача методом Рот, зводиться до сукупностг крайових задач для лтеаризованих ргзницевих ргвнянь для ргвняння теплопровгдностг, яю, у свою чергу, методом зважених неув'язок Гальоркта зводяться до системи алгебра'1'чних ргвнянь. Запропонований метод може бути застосований при досл1джент температурних процесгв, що проткають у складних з геометрично'1 точки зору, областях, шляхом зведення складноi областi до пгдобластей - регготв.
Ключовi слова: математична модель, неканонгчна область, регюнально - структурний метод, метод Роте, метод зважених неув 'язок Гальоркта.
А.П. СЛЕСАРЕНКО
Институт проблем машиностроения им. А.М. Подгорного НАНУ
О. П. ДЕМЬЯНЧЕНКО
Азовский морской институт Одесской национальной морской академии
В.П. ЛЯШЕНКО, Е.Б. КОБЫЛЬСКАЯ
Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского
ЧИСЛЕННО - АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Предложен численно-аналитический метод исследования математической модели высокотемпературного процесса. Модель рассматривается в виде нелинейной начально - краевой задачи для нестационарного уравнения теплопроводности в неканонической, с геометрической точки зрения, области. Для исследования температурного распределения применен регионально-структурный метод. Нестационарная задача методом Роте сводится к совокупности краевых задач для линеаризованных разностных уравнений для уравнения теплопроводности, которые, в свою очередь, методом взвешенных неувязок Галеркина сводятся к системе алгебраических уравнений. Предложенный метод может быть применен при исследовании температурных процессов, протекающих в сложных с геометрической точки зрения, областях, путем сведения сложной области к совокупности подобластей - регионов.
Ключевые слова математическая модель, неканоническая область, регионально - структурный метод, метод Роте, метод взвешенных неувязок Галеркина.
А. SLESARENKO
Institute of Mechanical Engineering Problems Named After Pidhorny, Ukrainian Academy of Sciences
O. DEMYANCHENKO
Azov maritime institute Odesa national maritime akademy
V. LYASHENKO, E. KOBILSKAYA
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi national university
NUMERICAL ANALYTICAL METHODS IN MATHEMATICAL MODELS OF HIGH-TEMPERATURE
PROCESSES
Numerical-analytical method proposed for the study of the mathematical model of high-temperature process. The model is considered as a nonlinear initial - boundary value problem for a nonstationary heat equation in non-canonical, from the geometrical point of view, the area. To study the temperature distribution applied regionalno strukturniy method. Non-stationary problem Rothe reduced to a set of boundary value problems for the linearized differential equations for the heat equation, which, in turn, by the Galerkin weighted discrepancies are reduced to a system of algebraic equations. The proposed method can be applied in the study of thermal processes
in the complex from a geometrical point of view, the areas by reducing the complex field to a set of sub-areas -regions.
Keywords: mathematical model, non-canonical region, regionally - structural method, Rothe method Galerkin weighted inconsistencies.
Загальна постановка питання i його актуальшсть
Дослщження високоштенсивних теплових процеав, що пропкають в таких галузях промисловосп, як енергетика, машинобудування, металурпя, де мають мюце велик! гращенти температур, а теплофiзичнi властивосп матерiалiв, як правило, залежать вщ температури, виникае необхвдшсть розв'язання нелiнiйних задач теплопровiдностi, яш е моделями цих процесiв [1-4]. Якщо тепловий процес протiкае у каношчнш, з геометрично! точки зору, обласп i умови теплообмiну дозволяють представити модель у виглядi першо! або друго! початково-крайово! задачi, то !! розв'язок можна шукати методами штегральних перетворень або методом Фур'е [5]. Незважаючи на успiхи класично! аналогично! теорй' теплопровiдностi, !! можливосп обмеженi.
Аналiз iснуючих дослiджень
Iснуючi аналiтичнi методи розв'язання лiнiйних крайових задач теплопровщносп досить добре вивчеш i вiдомi [1,5]. Труднощi починають виникати коли математична модель приводить до розв'язання нелшшно! або нелокально! задачi для рiвняння теплопровiдностi. Вони пов'язаш з урахуванням залежностi коефщенпв рiвняння теплопровiдностi i граничних умов в!д температури i координат, складнощiв геометрично! форми тiла. 1х класичними аналiтичними методами подолати практично неможливо. Коли при теплообмiнi процес названия або охолодження ввдбуваеться шляхом випромiнювання, а тепловий потiк залежить в!д температури за законом Стефана-Больцмана, задачу можна лшеаризувати [6,7]. Замiна цих залежностей лiнiйним законом Ньютона у багатьох випадках може призвести до помилок. Тому бшьшють виникаючих на практищ задач не може бути розв'язана методами класично! теорй' теплопровщносп, яш, щоправда, пiсля лiнеаризацi! математично! моделi можуть бути використанi для тестування розв'язк1в бiльш складних задач.
Бшьш широк! можливостi мають чисельш методи: кiнцево-рiзницевi та метод шнцевих елементiв. Вони дозволяють ефективно дослщжувати нелiнiйну математичну модель для тш складно! форми !з застосуванням комп'ютерно! технiки [8,9]. Деяк1 нестацiонарнi нелшшш задачi, до розв'язання яких зводиться дослщження змшних теплових процесiв, допускають точний аналiтичний розв'язок, i то для найпростших конструктивних елементiв i пор!вняно простих крайових умов . Тому виникае необхщшсть у розвитку наближених чисельно-аналiтичних методiв дослвдження змшних у простор! та часi теплових процеав. Тут розглядаються питання спшьного застосування репонально-структурного i проекцшних метод!в до розв'язання нелшшних нестацюнарних задач теплопровщносп для неканошчних областей. При цьому точно враховуеться геометрична шформащя i точно задовольняються нелшшш граничш умови в задачах теплопроввдносп для областей складно! форми.
Мета дослщження
Побудова р!зницево! схеми крайово! задач! для р!вняння теплопровщносп у неканошчнш области
Матерiали дослiдження
Розглянемо нелшшну задачу для нестацюнарного р!вняння теплопровщносп в обласп Qt:{Г1 и Г2,0 < t <т}
дТ
cp(T)д = dlv (^(T)VT) + F(Т); (1)
Т ( 0) = То; (2)
т| г =Я0, -Л(Т) f| Г2 =а(т - ТСр ) + еа(т4 - Тс4р ) , (3)
де Г1 ,Г2- кусково-гладш поверхт.
Скориставшись методом Роте проведемо дискретизацш частинно! похвдно! за часом
д Т к Тз+1 - Тз At =т
д t At m'
Шсля дискретизацп на кожному часовому шар! отримаемо задачу
- <цу (Цтя+1 )у т3+1) +Т5+1 - ^ {Та+1)-Р^1 = 0;
Г2 =а(т - Тср ) + Цг4 - Тс4р ) .
т*+1 -Чт)
де Г* +1 =
Задачу (4),(5) розв'язуемо методом послiдовних наближень [9-12]
—Ну [л{тк+1 )чт!£ ) + - Fsk+l — 0;
грк +1 _ I
Т*+1 Г1 -Т0 '
2(тк +1\ дТ!к++1 — ак (тк+1 тк \ ] дп Г2 -as+1 ^ +1 - Tср,s +1} ,
сРтк+11.
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
ср
(т£ 1)
А ?
Рк+1 — F
(тк \ У\*+1т „к „,(тк Г тк
(т*+1)+—А-? т; а*+1=а+8ст\т*+1), тср,8+1
аТпп + £сг т
ср
ср
ак+1
Тут на кожному *-му часовому шарi задача (6),(8) зводиться до розв'язання сукупносп лiнiйних крайових задач, структура розв'язшв яких мае вигляд [13]
п
пк +1
тк+11 -Ф о +1 Ск+^г , 1—1
де Ф0 = ф0 на Г1; ф = 0 на Г2, ф,-, , — 1 п - повна лшшно незалежна система функций.
(9)
Скориставшись методом зважених неув'язок у формi Гальорк1на, отримаемо лiнiйну систему
Л+1
алгебрачних рiвнянь ввдносно компоненпв вектора С*+1
)уф- Уф, +Г'к+1ФгФ]- ] й О+ \а1к+1ф1ф]ё Г 2 }:
О Г2
-{[¿(т^ )vФoVфj +7^+^ -
+1
4+1,,
й О+
(10)
+
\ак+1 (тскр,*+1 -ФофйГ, j — 1,п, к — 0,1,2,...,* — 0,т -1.
Проводячи послiдовно ггерацп (9) до тих шр, поки два вектора i С^+1 не стануть близьк1 в будь-якому сена, будемо мати розподiл температури в (8 + 1) -й момент часу. Наприклад, при переходi до наступного часового шару обчислюються норми рiзницi ||7*+1 — т*|| для попереднього i подальшого крок1в i
перевiряеться виконання нерiвностi||т* +1 -т*|| <£, де е> 0 - попередньо задана величина. Якщо ця
нерiвнiсть не виконуеться, то крок за часом Аt зменшуеться у 2 рази i послiдовно проводиться ггерацд. Даний алгоритм дозволяе автоматизувати процес вибiрки кроку за часом i зменшити 1х к1льк1сть на вiдрiзку, де початкове значения т вже не робить ютотного впливу на розподiл температури, або на вiдрiзку з вщносно малим температурним градiентом.
Якщо розглянута область О мае досить складну форму, то найбiльш ефективним виявляеться регiонально-структурний метод [14,15]. У цьому випадку область О розбиваеться на ряд непереачних
пiдоблaстей регiонiв Ор р — 1 п . так, щоб конф^рацш регiону Ор була б опуклою i по можливостi простою. Для кожного з репошв окремо будуються регiонaльнi структури розв'язшв [14],
тр —Ф о р +
IX Р
що точно задовольняють нелiнiйним регiонaльним граничним умовам i «умовам
сполучення» на кордонах контакту репошв при будь-якому нaборi неввдомих компонентiв для кожного з репошв Ор. Компоненти Ср^ визначаються iз системи алгебра1чних рiвнянь (10).
У регюнально-аналтгичних структурах розв'язання нелiнiйних крайових задач теплопровщносп випромiнюючих тепло тш неканошчно1 форми i нелiнiйних задач теплообмiну з внутрiшнiми джерелами енергп геометричнi та фiзичнi параметри входять в явному виглядi, що досягаеться завдяки точному розв'язанню обернено! зaдaчi диференщально1 геометрп з використанням S-функцiй на регюнально-aнaлiтичному рiвнi . Це випдно вiдрiзняе зaпропоновaнi регюнально-аналггачш структури розв'язання
2
даних задач вщ чисельних методiв i вiдкриваe новi якiснi можливосп при оптимiзацii теплофiзичних режимiв.
Розглянуп пiдходи дозволяють проводити математичне моделювання нелiнiйних нестацiонарних теплових процесiв в обмежених тшах, що мають складний поперечний перерiз в дiалоговому режимi з комп'ютером. Особливу науково-технiчну щнтсть наближенi аналiтичнi та чисельно-аналiтичнi розв'язки багатовимiрних нелiнiйних нестацiонарних задач теплопровщносп набувають у зв'язку з розробкою нових шформацшних технологiй оргашзацп баз даних теплового стану конструктивних елеменпв при змiнi 1х геометричних параметрiв та характеру взаемодп з навколишшм середовищем. У цьому випадку використання пропонованих пiдходiв до моделювання теплових процеав передбачае обчислення i збержання в базi даних тiльки коефщенпв для невеликого числа членiв вщповщних наближених аналiтичних розв'язкiв задач теплопроввдносп. Тому при аналiзi тисяч варiантiв теплових режимiв даний пiдхiд дозволяе значно розширити обсяги аналiзу, переробки та зберiгання шформацп у базах даних. Це може випдно його вО^зняти у порiвняннi з чисельними методами.
Проведенi чисельнi розрахунки температурних розподшв в областях, що мають складну геометричну форму з використанням регюнально-структурного методу (Рис.1).
Г,
П
Рис1. Поперечний перер1з т1ла , що мае складну геометричну форму.
Поверхня, nepepi3 яко! зображений на рисунку, розбиваеться на калька простих поверхонь - регюшв, що мають просту геометричну форму. Математична модель температурного розпод^ тiла, що мае складну геометричну форму, розглядаеться у виглядi суперпозицп математичних моделей тш, обмежених поверхнями каношчно! форми, з умовами спряження на границях розбиття пoвepхнi складно! форми.
Висновки
Запропоновано метод дoслiджeння математично! мoдeлi високотемпературного процесу. Модель розглядаеться у виглядi нелшшно! початково - крайово! задачi для нeстацioнаpнoгo piвняння тeплoпpoвiднoстi у неканошчнш, з геометрично! точки зору, область Для дoслiджeння температурного розпод^ застосовано peгioнальнo-стpуктуpний метод. Нeстацioнаpна задача методом Роте зводиться до сукупносп крайових задач для лшеаризованих piзницeвих piвнянь для piвняння тeплoпpoвiднoстi, яш у свою чергу методом зважених неув'язок Гальоршна зводяться до системи алгебра!чних piвнянь. Запропонований метод може бути застосований при дослщженш температурних процеав, що протжають у складних, з геометрично! точки зору, областях, шляхом зведення складно! oбластi до тдобластей - peгioнiв .
Список використаноТ л1тератури
1. Карслоу Г., Егер Л. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964. - 488 с.
2. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А.П. Некорректные многопараметрические задачи теплопроводности и регионально-структурная регуляризация их решений / Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П.: - Киев: Наук. Думка. 2014. - 336 с.
3. V. Lyashenko, T. Hryhorova Generalized Mathematical Model of Thermal Diffusion in Powder Metallurgy // AIP Conference Proceedings. - Sophia (Bulgaria), 2014. - 85(2014), P. 85-93.
4. V. Lyashenko, E. Kobilskaya Control of Heat Source in a Heat Conduction Problem // AIP Conference Proceedings. - Sophia (Bulgaria), 2014. - 85(2014), P. 94-101.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -Москва: Наука, 1972. - 736 с.
6. Сидоренко С.И., Березовский А.А., Волошко С.М. Нелинейные задачи массопереноса.:-Киев: Наук.Думка , 2002. - 448 с.
7. Ляшенко В.П., Григорова Т.А. Моделювання процеав сткання у контейнера // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 3(39). - Херсон: ХНТУ, 2010. -С. 292-296.
8. V.P. Lyshenko, M.V. Zagirnyak, T.A. Grigorova D. Miljavec Modeling the sintering of powder parts // Powder Metallurgy and Metal Ceramics, Vol. 49, Nos. 11-12, March, 2011. - P. 737-741.
9. Мацевитый Ю. М., Слесаренко А. П., Сафонов Н. А. Численно-аналитическое моделирование тепловых процессов в конструктивных элементах при нестационарных высокоинтенсивных тепловых нагрузках. // Пробл. машиностроения. - 2001. - № 1-2., С. 19-28.
10. Слесаренко А. П., Сафонов Н. А. Структурный метод в нестационарных нелинейных задачах теплопроводности для многосвязных областей // Докл. НАН Украины. - 1996. - № 1. - С. 27-30.
11. Слесаренко А. П., Сафонов Н. А. Регионально-структурный и проекционные методы в нелинейных краевых задачах теплопроводности для тел неканонической формы с источниками энергии // Проблемы машиностроения. - 1998. - Т. 1. № 1, С. 61-69.
12. Самарский А.А. Теория разностных систем.- М.: Наука, 1983. - 616 с.
13. Слесаренко А. П., Сафонов Н. А. Регионально-структурный и проекционные методы в нелинейных краевых задачах теплопроводности для тел неканонической формы с источниками энергии // Проблемы машиностроения. - 1998. - Т. 1. № 1, С. 61-69.
14. Слесаренко А.П., Сафонов Н.А. Нелинейные интегральные преобразования, регионально-структурный, проекционные и итерационные методы в нелинейной нестационарной задаче радиационно-конвективного теплообмена. Вестник ХГУ. - 2003. - № 590. С. 219-224.
15. Слесаренко А.П., Ганчин В.В. Регионально-аналитическое моделирование нелинейных нестационарных процессов теплопроводности в областях неканонической формы с неоднородной средой. Проблемы машиностроения. - 2003. - Т.6, № 3., С. 79-87.
