CC BY
8
УДК 539.3
В О. ВАХНЕНКО
1нститут геофiзики iM. C.I. Субботша НАН Укра1ни, Ки1в, Укра1на
Е.Дж. ПАРКЕС
Департамент математики та статистики, Страсклайдський yнiверситет, Глазго, Великобриташя
ПРОСТИЙ ПОЛЮС ТА ПОЛЮС ДРУГОГО ПОРЯДКУ У ДИСКРЕТНОМУ СПЕКТР1 ДЛЯ ОБЕРНЕНО1 ЗАДАЧ1 РОЗС1ЯННЯ
Для дискретно'1 частини спектральних даних у Memodi обернено'1 3ada4i роз^яння враховат двократн полюси та простий полюс. Обсяг застосування запропонованих спектральних даних демонструеться через аналiз рiвняння Вахненка-Паркеса, що дозволило отримати нoвi розв 'язки. Цей niдхiд може бути використаний для iнших iнmeгрoваних нелШйних рiвнянь.
Ключoвi слова: Обернена задача розаяння, спектральш дат, двократн полюси.
В.А. ВАХНЕНКО
Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев, Украина
Е.Дж. ПАРКЕС
Департамент математики и статистики, Страсклайдский университет, Глазго, Великобритания
ПРОСТОЙ ПОЛЮС И ПОЛЮС ВТОРОГО ПОРЯДКА В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ ДЛЯ
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
Для дискретной части спектральных данных в методе обратной задачи рассеяния учтены двукратные полюса и простой полюс. Область применения предложенных спектральных данных демонстрируется посредством анализа уравнения Вахненко-Паркеса, что позволило получить новые решения. Этот подход может быть применен к другим интегрируемым нелинейным уравнениям.
Ключевые слова: Обратная задача рассеяния, спектральные данные, двукратные полюса.
V.O. VAKHNENKO
Subbotin Institute of Geophysics, Kyi'v , Ukraine
Е.1 PARKES
Department of Mathematics and Statistics, University of Strathclyde, Glasgow, UK
A SINGLE POLE AND THE TWO-MULTIPLE POLES IN THE DISCRETE SPECTRUM FOR INVERSE
SCATTERING PROBLEM
For the discrete part of the spectral data in the inverse scattering transform method, the two-multiple poles with a single pole are taken into account. The scope for the suggested spectral data is demonstrated through the analysis of the Vakhnenko-Parkes equation that allows new solutions to be obtained. This approach can be applied to other integrable nonlinear equations.
Keywords: Inverse problem, spectral data, two-multiple poles.
Постановка проблеми
Низка задач, що дослщжуються в pi3H0MaHrram галузях фiзики: оптищ, пдродинамщ, фiзицi плазми [1-4], приводить до píbmhm Вахненка-Паркеса (the Vakhnenko-Parkes equation (VPE)) [5-7]:
Wxxt + (1 + WT )WX =0. (1)
Якщо рiвняння VPE (1) спочатку виклигало штерес з точки зору математично! фiзики як одне з рiвнянь, що штегруються, то зараз воно використовуеться також для опису фiзичних явищ, зокрема, гранично коротких електромагниних iмпульсiв [2], високочастотних збурень у релаксивному середовищi [3, 4], магнггаих солгготв [4].
Рiвняння (1) пов'язане взаемнооберненим перетворенням з рiвнянням Вахненка (the Vakhnenko equation (VE)) [8]:
(ut + uux) x + u = 0. (2)
Детальний опис властивостей рiвняння VPE (1) можна знайти в оглядi [7]. Подальший розвиток у вивченш рiвняння VPE пов'язаний iз дослщженням двократних полюав у методi обернено! зaдaчi розаяння (ОЗР) [10]. Запропонований нами шдхщ [10] суттево розширюе стандартну процедуру ОЗР, в якш розглянутi тiльки простi полюси. Такий пiдхiд може бути з устхом використаний i для iнших штегрованих рiвнянь.
Мета роботи полягае у вивченш взаемодп солiтонa зi збуреннями, що вiдповiдaють полюсам другого порядку в спек^ для ОЗР.
Викладення основного MaTepi&^y дослвдження
Ми виходимо з того, що для рИвняння (1) ввдома пара Лакса:
WXXX + WX¥X-Лу = 0, Зухг + (1 + WT )V + VVX = (3)
Тут W = 6(ln f)x , W = f' / f • СумИснИсть рИвнянь у парИ Лакса з необхiднiстю породжуе початкове нелшшне рИвняння. Перше рИвняння з пари Лакса (3) визначае спектральш данi при заданих початкових умовах. За еволюцию спектральних даних вцщовИдае друге рiвняння (3), а така фyнкцiональна залежнiсть виявляеться досить простою. Часто вважаеться, що коли пара Лакса отримана, тобто доведена штегровашсть, то рИвняння може бути розв'язане методом обернено! зацачi розсИяння.
Ключовий момент у методИ обернено! задачИ розсИяння полягае в дослвдженш спектрального рИвняння (3), оскИльки спектр (величина Л), як вИдомо з [5], зберИгаеться. Розв'язок спектрального лшшного рИвняння (3) знайшов Каудрей [11] у виглядИ функцш Йоста ф j (X ,Z) через
Фj(XZ) = exp{-^(Z)X} ф,(X,Z), Л (Z) = J , Л}(0 = Л, coj = e2п(j-1)/3 • Комплексна площина Z розбиваеться на декИлька областей таких, всерединИ яких знак числа Яе(Л^- (Z)) сталий (див. рис. 1 у
[10]). ФункцИя Йоста ф j(X,Z) регулярна на площинИ Z , за виключенням полюсИв i меж мИж видшеними
областями (рис. 1 у [10]). ВсерединИ окремо! обласп розв'язок спектрального рИвняння (3) пвдпорядковуеться сшвввдношенню (2.12) з [11]. Це - пряма спектральна задача.
Ми будемо вважати, що спектральш данИ вИдомИ та зосередимося на реконструкци розв'язку W нелшшного рИвняння, тобто ми розглядаемо тИльки обернену спектральну задачу. 1нформацИя про сингуляршсть функцИй Йоста ф j (X ,Z) утримуеться в спектральних даних.
Простi полюси. Розпочинаючи з простих полюсИв, ми використаемо добре вИдомИ сшвввдношення з
[11] для того, щоб порИвняти з новими результатами для кратних полюсИв, зокрема, для двократних полюсИв. Як доведено в [11] лишок простого полюса може бути вирахуваний так:
Res фг(X,Zk))= £yf) ф j(XZ)). (4)
j=1
j * i
Величини Z) i vj) визначають дискретну частину спектральних даних у випадку простих полюсИв. i ij
Заключним кроком у методИ ОЗР е реконструкция розв'язку W(X,T) зИ спектральних даних. Каудрей довИв, що для простих полюсИв спектральш данИ визначають Ф1 (X ,Z) однозначно у виглядИ (див. сшвввдношення (6.20) у [11]):
3 exp{[ Л,- (Z(k)) -Л^ ))]X} Ф1(х,T;Z) = 1 - (T) y J %-^-, (5)
J=2 1 Л1 (Z1(k)) - Л1 (Z)
РИвняння (5) утримуе спектральш данИ, а саме, K простих полюсИв з величинами ) для спектра зв'язаних станИв.
З придатним вибором величини Z лИва сторона в (5) може бути Ф^X,TjZ^)), що веде до системи лшшних рИвнянь для невИдомих Ф^Х,^®jZi^)) [10]. Розв'язок системи цих рИвнянь дае
можливИсть визначити Ф1 (X,T;Z) з (5). Знаючи Ф1 (X,T;Z) та враховуючи екстра шформащю, а саме,
вид розвинут W (X ,T) [7]
вид розвинуто! функцп Ф1 (X,T;Z) в асимптотичний ряд за Л-1 (Z), знаходимо зв'язок з розв'язком
Ф1 (X,Т;£) = 1 - —[Ж(Х,Т) -Ж(-<ю)]+ 0(Л-2(0). (6)
3Л1(Ь)
Отже, розв'язок Ж (X ,Т) вдаеться реконструювати зi спектральних даних.
Двократш полюси. Для простих полюсiв справедлива формула (5). Зараз зшмаемо обмеження щодо простих полюсiв та врахуемо двiчi виродженi полюси для дискретно! частини спектральних даних [10]. Для цього розглянемо додаткове рiвняння до спектрального рiвняння (3):
3 2
ZXXX + WZX¥x + WXZx-Z Z-3Z ¥ = 0.
(7)
Для х = У Z piBHaHHa (7) випливае з (3) тсля диференцшвання його за Z . Зручно спектральний параметр Л подати як: Л = Z3 •
Детальний аналiз системи рiвнянь (3), (7), який викладено в [10], приводить до розв'язку через функцп Йоста:
2 3
Ф1(х z) =i -Ц
+-
k=1j=2 д
(к) exp{[4(Z(k)) - 4(Z(k))]X} (к)
tt) FXL jVbl(k У ПЫ Л / фг(x. z(k))
j (Zj )) -4j(Z)
dZj
(k)
k) exp{[4'(ZJk))-41(Zi(k))]X} ф Z(k))
Y1 j+3-k-...ф1(х ,®jzi )
j 4i(Zi(k))-4(Z)
(8)
де полюси Zj(k) (k = 1,2) - двократно виродженi. Крiм того, у сшввщношенш (8) утримуються спектральнi
данi ylj^ з j = 1...6. Зручно позначити величини через сшввщношення Yi(^+3=1 kfcyiy^, щоб
узгодити (8) зi сшввщношеннями (3.14), (5.1) з [11].
Як було доведено в [5, 12] полюси з'являються парами:
ZJ(1) = i®2^1, Z1(2) = -i®3<ib
(9)
де - дiйсна стала. Бшьш того, й^Т^р = Обмежимося однieю парою двократних полюав. З (9) ясно,
що к =1®2к, ^2 = -шзк, де к - дiйсна стала.
Тут необхiдно вiдмiтити, що часова еволющя спектральних даних для двократних полюав бiльш складна, нiж для простих полюсiв i з'являеться у виглядi [10]:
= const, h = const, yj ^(J ) = Y\j ^(0)exp
( L}
Сшввщношення (8) стльно з (6) дають
д
W (X ,T) - W (-да) = 3-ln(det M( X, T)),
дХ
(10)
(11)
де detM(X,T) - детермiнант деяко! матрицi M(X,T), явний вид яко! можна знайти в [10]. Метод щдрахунку детермшанта викладено в [10]. Ми наводимо його значення через допом1жну функцш F2p (X,T) = sjdet M(X,T) . 1ндекс 2p вщносить функцш до двократного полюса:
F2 p (X, T ) = 1 +
f
s2 + r2
X +
T
exp(^2) + P2 exp(2^2),
(12)
S.....- h 4 , S2=M X - T
s2 = c2
1 + -
2#1
r2= ^ P2 = - 4 2 2 3 • 24#12
Стал ^i, к - дiйснi. 1снуе одна довiльна стала ßi. Вона повинна бути дшсна для дшсних розв'язк1в.
Оск1льки p2 < 0 для довшъно! дшсно! ßi, тому маемо lim F = 1, а також lim F = —да ,
X ^—да X ^+да
значить iснуе Xr таке, що F(Xr) = 0. Отже, дшсний розв'язок (11) з (12) е сингулярним. Якщо визначити величину ß1 як уявну, то розв'язки будуть глади, але комплекснi. Вибiр дшсних розв'язшв з комплексних е ввдкритою задачею.
Двократний та простий полюси. Зараз розглянемо взаемодш солiтона з хвилею, що асоцшеться з двократним полюсом. Вважаемо, що солггону ввдповщае простий полюс з . Солггон характеризуеться
ß T тодi величинами С3 = —р—, 63 = V3^3 X--j=— •
2V3#3 V3^3
Для зручностi перепишемо (12) у виглядi:
h
V3
1 3
F2p (X,T) = 1 + с2 (1 + gh)exp(02 ) + p2 exp(2#2 ), g = —
2^1 2
( T ^ x +—2
(13)
W (X, T ) - W (-<») = 6—ln(F2 ps (X, T )) (14)
(15)
Доповнюючи це збурення (13) солггоном, можна отримати розв'язок:
д дХ
через допом1жну функцш:
ps (X ,Т) = 1 + с2 (1 + gh)eщ>(в2) + сз ехр(^) + р2 ехр(2^)
+ *13[1 + (g + g3ЭДС2С3 ехр(^2)ехр(^з) + Р2ь^зСз ехр(2#2)ехр(#з), де
а _ 1 Ь13р ь _(У -1)3 У3 +1 у _ ь _ dblз
g3 _—I—, ь13--—, у ь13р ——•
2#3 Ь13 (у +1)3 у3 -1 #3 dУ
Таким чином, ми отримали розв'язок, що асоцшеться з простим полюсом (солiтон) та двократним полюсом у дискретному спектр для обернено! задачi розсiяння.
Висновки
Для дискретно! частини спектральних даних у методi обернено! задачi розаяння врахованi двократнi полюси та простий полюс. Цей пiдхiд може бути використаний для шших iнтегрованих нелшшних рiвнянь.
Список використано'1 лiтератури
1. Kraenkel, R.A. An integrable evolution equation for surface waves in deep water / R.A. Kraenkel, H. Leblond, M.A. Manna // J. Phys. A: Math. Theor. - 2014. - V. 47, № 2. - 025208 (17pp).
2. Сазонов, С.В. Нелинейное распространение векторных предельно коротких импульсов в среде симметричных и несимметричных молекул / С.В. Сазонов, Н.В. Устинов // ЖЭТФ. - 2017. - Т. 151, Вып. 2. - C. 249-269.
3. Vakhnenko, V.O. High frequency soliton-like waves in a relaxing medium / V.O. Vakhnenko // J. Math. Phys. -1999. - V.40, N 3. - PP. 2011 - 2020.
4. Kuetche, V.K. Inhomogeneous exchange within ferrites: Magnetic solitons and their interactions / V.K. Kuetche // J. Magnetism Magnetic Materials. - 2016. - V.398. - PP. 70-81.
5. Vakhnenko, V.O. The calculation of multisoliton solutions of the Vakhnenko equation by the inverse scattering method / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Chaos, Solitons & Fractals. - 2002. - V. 13, № 9. - PP. 1819 - 1826.
6. Ye, Y. New coherent structures of the Vakhnenko-Parkes equation / Y. Ye, J. Song, S. Shen, Y. Di // Results in Physics. - 2012. - V.2. - PP. 170-174.
7. Vakhnenko, V.O. Approach in theory of nonlinear evolution equations: the Vakhnenko-Parkes equation / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Advances in Mathematical Physics. - 2016. - V. 2016. - Article ID 2916582. -39 p.
8. Vakhnenko, V.A. Solitons in a nonlinear model medium / V.A. Vakhnenko // J. Phys.A: Math.Gen. - 1992. -V.25. - PP. 4181-4187.
9. Roshid, H. Investigation of solitary wave solutions for Vakhnenko-Parkes equation via exp-function and -expansion method / H. Roshid, M. R. Kabir, R. C. Bhowmik, B. K. Datta // SpringerPlus - 2014. - V. 3. - 692 (10pp).
10. Vakhnenko, V.O. Inverse problem for some special spectral data / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Chaos, Solitons & Fractals. - 2016. - V. 82. - PP. 116-124.
11. Caudrey, P. J. The inverse problem for a general NxN spectral equation / P.J. Caudrey // Physica D. - 1982. -V. 6. - PP. 51 - 66.
12. Vakhnenko, V.O. The singular solutions of a nonlinear evolution equation taking continuous part of the spectral data into account in inverse scattering method / V.O. Vakhnenko, E.J. Parkes // Chaos, Solitons & Fractals. -2012. - V. 45, № 6. - PP. 846-852.
