CC BY
32
УДК 514.18
ОПИС ПРОЯВУ СОЛ1ТОН1В У МЕХАН1ЧНИХ СИСТЕМАХ НЕЛ1Н1ЙНИМИ ДИФЕРЕНЦ1АЛБНИМИ Р1ВНЯННЯМИ
Г. В. Морозова, к. т. н., УкраТнська державна академ1я зал1зничного транспорту, м. Харкчв
Анотац1я. Розглянуто приклади поодиноких (в1докремлених) хеилъ, що описат нел^нтними ди-ференц1альними р1вняннями типу sin-Гордона на прикладi епроеадженъ сол1томв nid час моде-люеання механичных систем. За допомогою алгоритму побудоеи ноеих псеедосферичних повер-хонъ на ocHoei перетеорення Беклунда наведено, як можна одержати розе'язки нел1мйного диференц1ального р1вняння sin-Гордона.
Ключов1 слова: сол1тон, мехамчна система, диференц1альне р1вняння.
ОПИСАНИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ СОЛИТОНОВ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
Г. В. Морозова, к. т. н., Украинская государственная академия железнодорожного транспорта, г. Харьков
Аннотация. Рассмотрены примеры уединенных (отделенных) волн, описанных нелинейными дифференциальными уравнениями типа sin-Гордона на примере внедрений солитонов при моделировании механических систем. С помощью алгоритма построения новых псевдосферических поверхностей на основе преобразования Беклунда показано, как можно получить решения нелинейного дифференциального уравнения sin-Гордона.
Ключевые слова: солитон, механическая система, дифференциальное уравнение.
DESCRIPTION OF SOLITONS BEHAVIOUR IN A MECHANICAL SYSTEMS BY NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
G. Morozova, Ph. D. (Eng.), Ukrainian State Academy of Railway Transport, Kharkiv
Abstract. Examples of solitary (separated) waves described by nonlinear differential equations of the sin-Gordon solitons on example of solitong implementations at mechanical systems modeling are considered. Using the algorithm for constructing new pseudo-spherical surfaced based on Backlund transformation it was shown how one can get the solution of the nonlinear differential equation ofsin-Gordon.
Key words: soliton, mechanical system, differential equation.
Вступ
Особливе мюце серед нелшшних диференщ-альних р1внянь займае р1вняння 8т-Гордона, яке описуе ф1зичш процеси в нелшшних се-редовищах [1-3]. Становления сучасно! науки неможливе без !х розв'язання. Для прик-ладно! геометрп це р1вняння щкаве тим, що воно мае природну граф1чну штерпретащю, пов'язану з уточнениям р1зновид1в повер-
хонь постшно! вщ'емно! гауссово! кривини (скорочено - псевдосфер). Р1вняння 8т-Гордона дозволяе дослщжувати сол1тон як нелшшну поодиноку (вщокремлену) хвилю у вигляд1 ¿мпульсу, здатну поширюватися у нелшшно-му середовищ1 без змши форми 1 втрат енер-гл. Поняття «сол1тон» започаткував британ-ський шженер Джон Скотт Рассел (18081882). У 1834 рощ вш першим описав «вели-ку вщокремлену хвилю». Сол1тон - це вщо-
кремлена хвиля в середовищах р1зно! ф1зич-но1 природи, яка збер1гае незмшною свою форму 1 швидюсть при поширенш [4, 5].
1нтерпретащя геометричного образу сол1тона за допомогою поверхонь постшно! вщ'емно! кривини поеднуе результаты теорп нелшш-них хвиль, описи диференщально! геометрп поверхонь та можливосп комп'ютерно! графой [6, 7].
Шведський математик Беклунд, розглядаючи геометр1ю поверхонь ¿з постшною вщ'емною кривиною, в 1876 р. вказав на спос1б побудо-ви ¿ерархп розв'язюв р1вняння 81п-Гордона, коли новий розв'язок можна знайти на баз1 вщомих розв'язюв.
Анал1з публжацш
Для р1вняння 81п-Гордона
творениям Беклунда ¿з параметром а1 з розв'язком у2 1 перетворенням Беклунда ¿з параметром а2 з розв'язком у 1.
Тод1 ми можемо записати перетворення Беклунда для пар (уо,У:),(У0,^2>,(^1,У3) 1 (у2,у3). Складаючи першу \ третю пару, а пот1м вщшмаючи вщ них суму друго! \ чет-верто!, одержуемо вираз без похвдних, що пов'язуе вс1 чотири розв'язки [4]
1
1пт(Уо-У1+У2-Уз) =
а1 81п
= а2 ^^ (У 0 + У 2 -Уз )
(4)
3 формули (4) одержуемо
*ё7 (Уз-Уо) = а1 + °2гё1(У2 +У1). (5)
дх дТ
у( х, Т) = а 81п(у( х, Т))
(1)
перетворення Беклунда можна надати [1, 2] у вигляд1
Пщставляючи розв'язки у1 { у2 ¿з формули (3) в тотожшсть (5), одержуемо двосол1-тонний розв'язок р1вняння 81п-Гордона у такому вигляд1 [5]
2 (у+у)) = а 81п2 (у-у);
2 (у-у)=аа(У + у). (2)
Диференщюючи (тут \ дат похщну позначе-но шдексом) перше р1вняння по х, а друге -по Т, шдставляючи значения перших похщ-них знову з (2), додаючи або вщшмаючи отримаш р1вняння й використовуючи тотожшсть ухТ = ух, одержуемо обидв1 функцп у 1 у, яю задовольняють те саме р1вняння Ц1х = 8т у . Под1бш перетворення, що пов'язу-ють два розв'язки одного р1вняння, назива-ють автоперетворенням (або скорочено - перетворенням) Беклунда. Пщставляючи у формулу (2) очевидний розв'язок р1вняння 81п-Гордона у0 = 0 та штегруючи один раз кож-не з р1внянь, одержуемо розв'язок - «кшк» р1вняння 81п-Гордона
у(х, Т) = 4агСё ехр(ах + Т / а + ф0) . (3)
Розглянемо тепер два розв'язки (3) у1 { у2 з р1зними параметрами а1 1 а2. Припустимо, що один 1 той же розв'язок у3 пов'язаний пере-
у(х, Т) = 4агСё
а1 + а2 ехр 91 - ехр92 а1 - а2 1 + ехр( 91 + 02)
(6)
де 0г- = а^ + Т / ai +фг. - фаза вщповщного розв'язку.
Мета 1 постановка завдання
Мета роботи - розглянути приклади поодни-нок (вщокремлених) хвиль, яю можна описати нелшшними диференщальними р1вняннями типу 81п-Гордона, та на приклад! впрова-джень сол1тошв шд час моделювання меха-шчних систем розробити спос1б унаочнення псевдосферичних поверхонь, яю вщповща-ють р1зновидам розв'язюв диференщального р1вняння 81п-Гордона 1 форму яких можна описати на основ! перетворення Беклунда.
Прояв сол1тошв у мехашчних системах
На рис. 1 наведено деяю приклади прояву сол1тошв у мехашчних системах, описаних нелшшним р1внянням типу 81п-Гордона. У певнш мехашчнш систем! збудження (коли-вання) передаватимуться завдяки пружному зв'язку м1ж сусщшми елементами, в результа-
2
Т1 ЧОГО ПО ланцюгу рОЗПОВСЮДИТЬСЯ СОЛ1ТОН, описаний р1внянням 8т-Гордона [8, 9].
Наприклад, якщо у карданнш передач! центральна частина обертаеться з непостшною кутовою швидюстю за наявносп кутового зсуву поздовжньо! ос1 вала, тод1 описати ко-ливальну систему можна р1внянням 8т-Гордона [4, 10, 11].
АЧЯУТт^
Ф„-1 Фп
ф
п+1
Рис. 1. Приклади мехашзм1в, де можливе ут-ворення аналопв поодиноких хвиль
1снуе багато приклад1в мехашзм1в утворення вщокремлених хвиль - аналопв сол1тошв.
Так, сол1тонна хвиля може утворитися в лан-цюжку маятниюв, закршлених на струш й попарно з'еднаних пружинами, а також у лан-цюжку карданних вал1в за наявносп пром1ж-юв у вузлах !хшх з'еднань.
Для розробки способу унаочнення псевдо-сферичних поверхонь, яю вщповщають р1з-новидам розв'язюв диференщального р1в-няння 8т-Гордона, наведемо зв'язок м1ж описами псевдосфер Дм й Куена. Нехай маемо псевдосферичну поверхню Дш1, описану виразом
г : =
cos(-u + V) + V)
cosh(u + V)' cosh(u + V) u + V - tanh(u + V)
(7)
Псевдосфер! Дм вщповщае сол1тон (його позначають 1-сол1тон)
2k2
u =
С08Ь2( k (х - 4k2о)
(8)
графш якого [7] мае вигляд горба (рис. 2).
Рис. 2. Графш 1-сол1тона на «яюсному» р1вш
На рис. 3 зображено псевдосферу Дм для пор1вняння ¿з «класичною» параметризащею (а) та з параметризащею асимптотичними кри-вими, тобто з мережею Чебишева (б).
3 рис. 3,6 видно, що величина мережного кута шд час руху по поверхш Дш може змшюва-тися за графшом, наведеним на рис. 2.
Поставимо завдання описати й унаочнити за допомогою перетворення Беклунда поверхню Куена, використовуючи при цьому опис псевдосферично! поверхш Дшг
Рис. 3. Псевдосфера Дш з «класичною» па-раметризащею (а) та «репараметризова-на» асимптотичними кривими (б).
У середовишд процесора Maple вщповщт перетворення для опису на аналтгичному piBHi можна здшсиити [12] за допомогою оператор1в (тут i дал1 збережено синтаксис мови Maple):
ru := diff(r, u);
sin( —u + v) cos( —u + v) sinh(u + v) cosh( u + v ) cosh( u + v )2
cos( — u + v) sin( —u + v) sinh( u + v)
cosh( u + v )
rv := diff(r, v);
cosh( u + v )2
tanh( u + v )2
(9)
sin( — u + v) cos( — u + v) sinh( u + v) cosh( u + v) cosh( u + v )2
cos( — u + v) sin( — u + v) sinh( u + v) cosh( u + v) cosh( u + v )2
tanh( u + v )2
(10)
Двосол1тонний розв'язок, одержаний як перетворення Беклунда
z2pq : = 4 • arctan((exp(p*u+v/p) -- exp(q • u + v / q)) • (p + q) /
(1 + exp (p • u + v / p + q • u + v / q)) / (p - q));
z2pq := 4 arctan
. . , q u +--
( u + v ) q
e — e
(1 + q)
1 + e
u + v + q u + -
(1 — q) (11)
zip : = 4 • arctan ((exp (p • u + v / p));
z1 p := 4arctan(e(u+v)). (12)
sinsini := sin((zip + z2pq)/2)/sin(zip);
sinsinl
2 arctan (e( )) + 2 arctan
(1 + q)
1 + ev
(1 — q)
sin( 4 arctan (e( )))
(13)
sinsin2 := sin((zip - z2pq)/2)/sin(zip);
sinsin2
2 arctan (e( )) — 2 arctan
1 + ev
(1 + q)
(1 — q)
sin( 4 arctan (e( )))
(14)
Визначаються координатт функцп опису ре-зультуючо! поверхт.
for i from i to 3 do rr[i] := r[i] + 2*p*(ru[i]ftsinsini + rv[i]*sinsin2)/(i + pA2); end:
R := [rr[i], rr[2], rr[3]]:
П1сля присвоения необх1дних значень параметрам p i q виконуеться уиаочиеиня одер-жаного опису за допомогою оператора
plot3d(R, u=-Pi..Pi, v=-Pi..Pi, scaling=constrained, axes=BOXED, view=[-2..2,-2..2,-6..6], orientation=[-i20,70]);
Приклад. Для p = 1 i q = 0,98 одержано таш складов! частини елемент1в перетворення Беклунда:
z 2 pq = 4arctan х
99.00000000 (e
(u+v) — e(0.98u +1.020408163v) ^
1 + e(198u+2.020408163v)
z1 p := 4arctan (e(u+v));
v
v
q
q
e
v + q u + — q
q
( u + v)
e — e
qu + v
q
х
81п 1 :=
. 21 p z 2 pq
81П —— +-—
2 2
81п( 21 р)
При цьому опис мереж асимптотичних лшш
( 2е(-и) С1 -е(-2и) + С12 ^
81П
8ш 81п 2 := -
г1 р г 2 pq
8ш( г1р)
х := г1 + гих 81п 81п 1 + гу1 81п 81п 2 ;
у := г2 + ги2 81п 81п 1 + гу2 81п 81п 2;
г := г3 + ги3 8ш 81п 1 + гу3 81п 81п 2 .
На рис. 4 залежно вщ р 1 q зображено «некла-сичш» поверхш псевдосфери Куена, опис \ унаочнення яких здшснено за допомогою перетворення Беклунда.
v(u) = агеШт
v(u) = аШат
С12 + е(-2и, С12 + е(-2и)
( 2е(-и) С1 е(2и) С12 -1 ^
1 + е(2и)_ С12' 1 + е(2и) _ С12у
(15)
на псевдосфер! Куена було знайдено ¿з дифе-ренщальних р1внянь
—v(u) = -s1n(v(u)), —v(u) = s1n(v(u)). (16)
ёи ёи
На рис. 5 наведено зображення «класично!» псевдосфери Куена, причому на рис 5,а зображено И «стандартну» параметризащю, а на рис. 5,6 - репараметризовану поверхню за допомогою асимптотичних кривих, яю утво-рюють мережу Чебишева.
р = 1; q = 0,95
р = 1,5; q = 0,5
Рис. 4. Зображення псевдосфери Куена залежно вщ р 1 q
Рис. 5. Псевдосфера Куена ¿з «класичною» параметризащю (а) та «репараметризо-вана» асимптотичними кривими (б)
Анатз перемщення по мереж1 Чебишева псевдосферы Куена на яюсному piBHi дозво-ляе зробити висновок, що «узагальнений» сол1тон мае вигляд «процесу взаемодп» двох солггошв (рис. 6).
Рис. 6. Результат взаемодп двох сол1тошв у певш моменти часу
Поверхт Куена вщповщае розв'язок р1вняння 8т-Гордона [6] у вигляд1 опису 2-сол1тона, узагальнене р1вняння якого мае вигляд
i = -2
k2k22 (cosh2 K1 - cosh2 K2 +1) + kf (cosh2 K2 -1) - k24 cosh2 K1
(k1 sinh K2 sinh K1 — k2 cosh K1 cosh K2)
(17)
де K1 = k1(x — 4kj2t); K2 = k2(x — 4k221).
Висновки
Розглянувши приклади поодиноких (вщо-кремлених) хвиль, що описаш нелшшними диференц1альними р1вняннями типу 81п-Гордона, та на приклад1 впроваджень сол1то-н1в п1д час моделювання мехашчних систем доведено, що за формулою (17) можна побу-дувати ашмацшш кадри взаемод1! двох сол1-тошв, причому пара сол1тон1в буде описана единим р1внянням (17).
За допомогою алгоритму побудови нових псевдосферичних поверхонь на основ1 перет-ворення Беклунда можна одержати розв'язки нел1н1йного диференщального р1вняння 81п-Гордона.
Л1тература
1. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов /
Лэм Дж. Л. - Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. - 296 с.
2. Маевский Е. В. Асимптотические методы
в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа 8т-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей: дисс. ... к. ф.-м. н.: 01.01.03 - математическая физика / Е. В. Маевский. - М., 2004. -124 с.
3. Попов А. Г. Аналитические подходы к
исследованию уравнений 8т-Гордона и псевдосферических поверхностей / А. Г. Попов, Е. В. Маевский // Современная математика и ее приложения. -2003. - Том 31. - С. 13-52.
4. Кудряшов Н. А. Нелинейные волны и со-
литоны / Н. А. Кудряшов // Соросовский образовательный журнал. - 1997. - № 2. -С. 85-91.
5. Солитоны в математике и физике / А. Нью-
элл; пер. с англ. И. Р. Габитова и др.; под ред. А. В. Михайлова. - М.: Мир, 1989. - 324 с.
6. Новокшенов В. Ю. Введение в теорию со-
литонов / В. Ю. Новокшенов. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 96 с.
7. Позняк Э. Г. Уравнение синус-Гордона:
геометрия и физика. Новое в жизни, науке, технике / Э. Г. Позняк, А. Г. Попов. - М.: Знание, 1991. - Серия «Математика, кибернетика». Т. 6. - 1991. -44 с.
8. Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных
системах / А. С. Давыдов. - 2-е изд., испр., перераб. и доп. - К.: Наукова думка, 1988. - 304 с.
9. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. /
A. Т. Филиппов // Квант. - 1986. -Вып. 48. - С. 97-99.
10. Юркевич В. Э. Физика солитонов /
B. Э. Юркевич, Б. Н. Ролов. - Рост. н/Д.: гос. пед. ин-т, 1985. - 192 с.
11. Дмитриев П. Е. Теория солитонов в работе
карданных передач. [Электронный ресурс] / П. Е. Дмитриев. - Режим дос тупу: http: //www .nntu.nnov.ru/RU S/ NEWS/futuretechnology/s4p1 05.rtf
12. Мисюра M. I. Геометричне моделювання усам1тнених хвиль методом псевдосфер: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 - при-кладна геометр1я, шженерна графша / М. I. Мисюра. - Мели-ополь: ТДАТУ, 2008. - 164с.
Рецензент: Ю. В. Батигш, професор, д. т. н., ХНАДУ.
Стаття над1йшла до редакц1! 12 лютого 2014 р.
