CC BY
12
Д. В. Поплавский
УДК 517.95
МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БОГОЯВЛЕНСКОГ О НА ПОЛУОСИ*
В статье изучается следующая краевая задача:
и, = ~иххх + 6ыих + 6\'х. V, = 2уххх - Ьи\'х, х > 0, Г > 0, (1)
«|^о=ио(х>. У|,_0=у0(х), (2)
~ =«*('). ^ =у4(0, к = и. (3)
дх |х=о дх ]*=о
Здесь ик, к = 0,3 - непрерывные комплекснозначные функции. Как показано в [1, 2], система (1) является вполне интегрируемой.
Для решения краевой задачи (1) - (3) будем применять метод обратной спектральной задачи, в котором нелинейная задача (1) - (3) сводится к обратной задаче для линейного дифференциального оператора четвёртого порядка на полуоси по матрице Вейля (МВ). В статье получены эволюционные уравнения для элементов МВ и дан алгоритм решения задачи (1) -(3). При этом используются результаты по обратной задаче восстановления дифференциальных операторов высших порядков по МВ, изложенные в [3, 4].
Пусть О = {(х,Г) :х > 0,г > О}. Обозначим через ./ множество функций /(х,/) таких, что функции д'+к//дх'д^ , 0<у + 2£ < 2 непрерывны в О и суммируемы на полуоси х > 0 при каждом фиксированном Г > 0. Будем говорить, что {и(х,1),у(х,1)}& Р, если Ф,(),у(х,/)е/ и г<2е/Д0,оо) при каждом / > 0. Решение задачи (1) - (3) будем искать в классе Р.
Система (1) равносильна уравнению Лакса
Ь = [А,Ц,
где Ьу = - 2(иу')' + (г + и2 ~ихх)у, Ау = -4ут + 6иу + 3иху.
Здесь и в дальнейшем "штрих" обозначает дифференцирование по х, а
"точка" - дифференцирование по /.
Пусть {гг(х,Г),решение задачи (1) - (3). При фиксированном ? > 0 рассмотрим дифференциальное уравнение по х :
¿у = у(4> - 2(иу')'+ (V + и2 -ихх)у = Ху = р4у, х > 0, (4)
Пусть Фк(х,г,\), ¿ = 1,4 - решения уравнения (4) при условиях Ф^'-1)(0,/Д) = 5^, у=й; Фк(х,1Х) = 0(ехр(ргкх)), *-»«>.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007).
115
F =
(5)
Здесь rk - корни уравнения г4 — 1 = 0, занумерованные так, что Re(pr, ) < Re(pr2 ) < Re(pr3 ) < Re(pr, ) .
Положим k<j; Mkj(t,\) = 5kJ, k>j\
M(t,X) = [Mkj{t,A.)]t — . Матрица M(t,X) называется матрицей Вей-ля для уравнения (4). Введём матрицу F(t,k) = [Fk/(t,X)]k . — по формуле 3и2, 6м,, 0, -4 ^
- 4А. + 4v, + 4м,2 - м3, и2, -2м,, О
4v2 + 8м,м2-и4, -4Я. + 4v, + 4м2, -м2, -2м
F4], 8v2 + 12М,М2 — «4, -4Х. + 4v, -м3, -Зм2//
где
F4] = -2M,(?t - v, — м,2 - Зм3) + 4v3 + 8и2 _ м5,
м4 = —м, + 6г/|М2 + 6v2, м5 = — й2 + 6М|м3 + 6и2 + 6v3. (6)
ТЕОРЕМА 1. Элементы матрицы Вейля M(t,X) удовлетворяют следующим эволюционным уравнениям:
Мч = (FjA + Fj2Mu + FJ3MU + FJ4M[4) -
- M4{Fn + F]2M]2 + Fl3A/i3 + FUMU), y = 2,3,4,
M2j=(Fj2 + Fj3M23 + FJ4M24)- M2j(F22 + F22M2}+F24M24) +
+ (-MXJ + MnM2J)(F2] + F13M23 + FuM24), j = 3,4, (7)
M34 = + ^44^34) - ^34(^33 + ^34^34) +
+ (-M24 + M23M34)(F2J + F24M34) +
+ (-M,4+M,2M24 +M13M34 -Ml2M23Mi4)(Fli+Fi4Mi4).
Используя эволюционные уравнения (7) и решение обратной задачи восстановления L по матрице Вейля, получаем следующий алгоритм решения краевой задачи (1) - (3).
Алгоритм 1. Пусть заданы функции uk(t), vk(t), ¿ = 0,3.
1. Вычисляем функции u4(t), us(t) по формулам (6).
2. Находим матрицу F(t,X) = [Fkj(t,X)]k 4 по формуле (5).
3. По функциям m0(x),v0(x) строим M0Çk) = [Мц]j - MB для
/ = 0.
4. Решая эволюционные уравнения (7) при начальных условиях находим MB M{t,\) при всех t > 0.
5. Находим функции u(x,t) и v(x,r), решая обратную задачу по M(t,X) методом, изложенным в [3, 4].
116
Отметим, что нелинейные эволюционные уравнения (7) могут быть сведены к линейной дифференциальной системе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны в двумерных интегрируемых уравнениях //УМН. 1990. Т. 45, №4. С. 17-77.
2. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. Москва: Наука, 1991
3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. пед. ин-та, 2001. 499 с.
4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002. 303 p.
УДК 517.51
И. А. Привалов
ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ШУРА НА СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКОВ*
Среди неравенств для многочленов важное место занимают неравенства типа Маркова и Бернштейна. Пусть Рп - многочлен степени п, х е (-1,1), ||/||с(£) = sup|/(jc)|. Тогда
хс Е
п\\Р II
I Рп (х)\ <-. ' — неравенство Бернштейна,
' 1 V 1-х2
|р„(х)| < 2и2||Рп|| щ- неравенство Маркова.
Среди неравенств этого типа отметим также интересный результат Шура (1919 г.):
если \Рп^(х)\< М(\ - X2) 1, то для всех х е [-1,1], ¡^„-¡¡^ — Мп .
В частности, из неравенств Бернштейна и Шура немедленно получается неравенство Маркова.
Известны также многочисленные обобщения неравенств Бернштейна и Шура на случай рациональных функций с фиксированным знаменателем. Приведем одно из них, принадлежащее В.Н. Русаку.
Р (х) 2п
Пусть R„{x) = —где t2n(x) = [~[(1 + akx). Тогда, если при всех
\1(2л(х) *=1
х :/?„(x)j < 1, то
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01 -00060).
117
