Метод обратной спектральной задачи для векторного уравнения КдФ на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЛЕДСТВИЕ. Определитель всякой матрицы без внутренности можно разложить по любой строке с номером i, то есть

" " Ir i

DetA-\J(a'kr\Det{d'kA)). Аналогично DetA= U(a* nDet(d A)) есть раз-

4=1 к=1

ложение по произвольному столбцу с номером j.

Последняя формула является очевидным следствием формул (1), (2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Rutherford D. Е. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963. Vol. 6,№1.P. 49-53.

2. Golan J. S. Semirings and their Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1999. xi, 381 p.

3. Poplin P. L., Hartwig R. E. Determinantal identities over commutative semirings // Linear Algebra Appl. 2004. Vol. 387. P. 99 - 132.

4. Попяавский В. Б. О равенстве обратных булевых матриц симметрической разности ориентированных присоединенных матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2005. Вып. 7. С. 94 - 97.

5. Потавский В. Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2004. Вып. 6. С. 111 - 114.

6. Chesley D. S., Bevis J. Н. Determinants for matrices over lattices // Proc. Roy. Soc Edinburgh. 1969. A 68, №2. P. 138- 144.

7. Poplavski V. B. Orientation and permanent decomposition of Boolean matrices // Abstracts The 9lh Asian Logic Conference. 16 - 19 aug. 2005, Novosibirsk, Russia. Novosibirsk State University, Sobolev Institute of Mathematics. Novosibirsk, 2005. P. 117-119.

УДК 517.95

Д. В. Поплавский

МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДФ

НА ПОЛУОСИ*

Рассматривается следующая краевая задача при х > 0, / > 0

(1)

u¡ + 2 их (3 и2 + у2 ) + 4 uvvx + и¿¿j,. = 0, V, +2vx(3v2 +u2) + Avuux + vxxx =0,J

"I i=o = "о (*)> Ч /=о = vo (*)> (2)

dk~xu

dxk

= «*('). ?TT =v*(f). /С = 1,3. (3)

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00007).

108

Здесь ик^к , к = 0,3 - непрерывные комплекснозначные функции. Известно [1], что система (1) допускает эквивалентное представление нулевой кривизны, а следовательно, смешанная задача (1) - (3) может быть решена методом обратной спектральной задачи, в котором нелинейная задача (1) -(3) сводится к обратной задаче на полуоси для соответствующей дифференциальной системы первого порядка по матрице Вейля. В данной статье получены нелинейные эволюционные уравнения для элементов матрицы Вейля и дан алгоритм решения задачи (1) - (3). При этом активно привлекаются результаты по обратной задаче на полуоси для дифференциальных систем с кратными корнями характеристического многочлена [2, 3].

Пусть £>= > 0,/> О}. Обозначим через 3 множество вектор-

функций таких, что функции д'//дх', 8'£"/'&', / — 0,3,

¿У/Э/, дg/8t непрерывны в Б и суммируемы на полуоси х>0 при каждом фиксированном г>0. Будем говорить, что {и(х,(),у(х,г)]ЁР, если (u(x,t),v(x,t))eJ. Решение задачи (1) - (3) будем искать в классе Р.

Систему (1) можно представить в виде условия совместности двух линейных уравнений

Ух=ОУ, У, = ГУ,

которое записывается в виде

б, -Рх + 6Т - ЯЗ = 0, Г-Х и у4

(4)

где 7 = (Г„72,73)г, в(х,1,Х) = 1

X 0

Р\х,1,Х) = 4/

- Хм>

1 ч 1 и\\>--1 Хиг--иу

2 4

1 -1 1 УИ'--(/.V.--V..

2 ■'4 х

' + —1Хиг--иг

2 х 4 *

Х(Х2--и2) 2

— Хиг 2

2 ■

— ~Хт 2

Х(Х2

м> = Х2 ---(и2 2

V ), X - спектральный параметр.

Пусть {м(х,0,у(л:,0} ~ решение задачи (1) - (3). При фиксированном ( > 0 рассмотрим векторное уравнение (4) или, что то же самое, систему

'0 и И ГР. 0 0%

Г - / и 0 0 У = 1Х 0 р2 0

0 0; 0

У-. Р,=-1, (32=1.

Рассмотрим сектора

5-0 ={Х:Яе(?,(31)<Ке(Х(32)}, 5, = {Я : Яе(Лр2) < Яе(^Р,)}.

109

(5)

Обозначим Ф(х,/,Х) = (Ф1(х,/Л),Ф2(х,гД),Фз(л:!гД)):=[Ф^(д:,гД)]^у=-,

где Ф*(х,гД), к = 1,3 - решения системы (5) такие, что а) при Л. е 5"0 :

ФП(0,?Д) = 1; Ф12(0,гД) = 0, Ф22(0,а) = 1, Ф32(0,а) = 0; Ф13(0,гД) = 0,

Ф23(0,ГД) = 0, Ф33(0,/Д) = 1; Ф|(х,?Д) = С(ехр(А.р|Х)), х->оо; б) при

X е : Фц(0,/Д) = 1; Ф21(0,?Д) = 0, Ф|2(0,?Д) = 0, Ф22(0,гД) = 1;

Ф13(0,гД) = 0, Ф23(0,/Д) = 0, Ф33(0,а) = 1; Ф4(х,гД) = 0(ехРДр2х)),

к = 1,2, х-»ао. Введем матрицу Д) = [Мц Д)]

образом:

а) при А. е 50

kj=\, з

следующим

M(t,X) =

б) при А, е M{t,X)

1

О О

М2,(/Д) 1 о М31(гД) О 1

1 О Ф21(0,?Д) 1 о Ф31(0,гД) О 1

1 о о

О 1 о

М31(гД) M32(i Д) 1.

ф31(о,?д) Ф32(о,а) 1.

Матрица M(t,X) называется матрицей Вейля для системы (5). Введем также матрицу F°(t,X) = [F°j(t,X)], -- по формуле

F°(t,X) = 4i

- Ан1! 1 а

W|Wj--IKU2

vlwl - »

V 2

iXv-,

k,j=1,3

1 1

— —

2

"з viH'i + 2_ 4 v3 2 '

X(X2-lvf)

Д6)

где и', =Х2 -^(м,2 + V,2).

ТЕОРЕМА 1. Элементы матрицы Вейля М(7Д) удовлетворяют следующим нелинейным эволюционным уравнениям по переменной г: а) при А, е

д

dt dt

М2] =~M?lF]02+M2](F^2-Fl0])-M2,MnF]03+M2lF20,+F^>

M3i = -M32,F,°3 + M3I(F3U3 - F,",) - M2]M3]F»2 + M2iF3»2 + F3" ;

б) при X е 5]

з2,F\] + М,,(Fj3 - /tf) - М3,M32F2\ - МпР2] + F&,

(8)

IM3, = -Ml F° н- M,, (F3°3 - /^n) - M3, M32 F2°3 - MnF^ + F3°U ot

1M32 = -A/22F2°3 + A'/32(F3°3 - F2°2) - М31ЛЗД°3 - M31F,°2 + Fl

ot J

Используя эволюционные уравнения (7), (8) и решение обратной задачи восстановления потенциала системы (5) по матрице Вейля, строим алгоритм решения краевой задачи (1) - (3).

Алгоритм 1. Пусть заданы функции и0(х), v0(x), uk(t), vk(t),

k = lj.

1. Находим матрицу F°(/,A.) = [F/iy(i,A.)]t j-j по формуле (6).

2. По функциям и0(х), v0(x) строим M°(X) = [Mkj(X)]j - матрицу Вейля при t = 0.

3. Решая эволюционные уравнения (7), (8) при начальных условиях Mkj(K), находим матрицу Вейля M(t,Х) при всех />0.

4. Находим функции u(x,t) и v(x,t), решая обратную задачу по M(t,X) методом, изложенным в [2, 3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наянов В. И. Многополевые солитоны. М.: Наука, 2005. 278 с.

2. Yurko V. A. An inverse spectral problem for differential systems on the half-line with multiplied roots of characteristic polynomial // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13, №5. P. 503 -512.

3. Юрко Л. А. Обратная спектральная задача для сингулярных несамосопряженных дифференциальных систем // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 12. С. 123 - 155.

УДК 004.77

А. А. Попов

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ СЕРВИСОВ ИНТЕРНЕТ

Появление первого сервиса (предоставление информации в виде Ьип1-страниц) можно отнести к 1990 году - времени создания глобальной сети Интернет. Сейчас по некоторым оценкам специалистов, отслеживающих список новых сетевых сервисов, (http://www.ernilychang.com/go/ehub), их количество измеряется сотнями. Резкий скачок популярности интернет-сервисов в последние годы во многом, помимо наблюдаемого ныне многообразия общедоступных источников информации, связан с тем, что технологический прогресс, наконец, достиг возможности, предоставляемые сетью. Среди конечных пользователей нормой стали не модемные, а ши-

111