Параметрический синтез системы управления гибким манипулятором Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 531.36

Д.К. Андрейченко, К.С. Сперанский ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ГИБКИМ МАНИПУЛЯТОРОМ

Исследуются динамика и устойчивость манипулятора, представленного как дискретно-континуальная динамическая система.

Для подбора параметров конструкции манипулятора, с целью обеспечения требуемого качества переходных процессов, предложен вариант метода параметрического синтеза по вещественной частотной характеристике.

D.K. Andreichenko, K.S. Speransky

THE PARAMETRIC SYNTHESIS OF THE CONTROL SYSTEM, DIRECTING A FLEXIBLE MANIPULATOR

The authors study the behavior and stability of the manipulator, represented as a discrete-continued dynamic system in this paper. To adjust the parameters of the manipulator, which would provide the best quality of transients, we have used the improved method of parametric synthesis by a real response function.

Введение

В данной работе рассматривается оригинальная модель двузвенного плоского манипулятора с гибкими звеньями, представленная как дискретно-континуальная динамическая система. Потребность в подобном моделировании значительно увеличилась в последние годы в связи с появлением высокоскоростных манипуляторов и манипуляторов со сверхдлинными звеньями.

На основе теорем об устойчивом квазимногочлене, а также об асимптотически устойчивых и неустойчивых квазирациональных дробях [1], в работе [2] был получен ряд результатов для однозвенного манипулятора. В линейной постановке задачи система строго исследовалась на устойчивость: были определены границы областей устойчивости в пространстве параметров обратных связей по методу D-разбиений, а также построены графики переходных функций. В системе с нелинейностью в регуляторе вне области устойчивости были исследованы предельные циклы и переходные процессы, соответствующие развитию малых начальных возмущений. Все найденные предельные циклы оказались неустойчивыми, следовательно, представляют интерес точное определение границ областей устойчивости и параметрический синтез регуляторов.

В данной работе будем рассматривать плоский двузвенный манипулятор, в котором в качестве дискретных элементов выступают вертикальные управляющие валы и

сосредоточенная масса захвата, в качестве континуальных элементов - упругие стержни, внутреннее трение в которых учитывается по теории Фойгта. Первоначально строго исследуется устойчивость подобной системы, а далее, основываясь на полученных границах областей устойчивости, производится параметрический синтез регуляторов. Следует отметить, что классический вариант параметрического синтеза, базирующийся лишь на действительной части частотной характеристики, не принес желаемого результата. Однако, после соответствующей оптимизации, метод был успешно приспособлен к решению поставленной задачи.

1. Исследование манипулятора на устойчивость в малом

Для того чтобы построить модель, составим уравнения движения малого фрагмента стержня. Посредством физических соотношений, связывающих деформации, кривизны с компонентами внутренних сил и моментов, определим воздействия со стороны упругого звена на сочленения. Это, в свою очередь, позволит замкнуть уравнения движения дискретных элементов и получить в итоге обобщенную модель системы.

Дискретные элементы системы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (1)-(6), причем первые два из них описывают поступательное движение элементов, а оставшиеся - их вращательное движение.

[m2 + mъ + (т4 +р£2/2)8т2 р][(г1 + /Г + г2)а1 + й'^] = -М2(0, t)собв+ M1,(l1, t) ; (1)

m4 { [(г + /г + г2 )а1 + ]соБ в + (г3 + /2 + г4 )(а1 + а2 + а3) + = М2 (/2,С) ; (2)

Згаг = М1 (0, t) - гМ;(0, t) + М0(й); (3)

з2 (а1 + а 2) = -м1 (о, t) - г2м;(о, t) - мГ(й); (4)

з 2(а1 +а 2 +а3)=м2(о, t) - г3м’2(о, t)+м1(я); (5)

з2(а1 +а 2 +а3 +а1) = -м2(/2, t) - г4м'2(/2, ^. (6)

С другой стороны, поведение континуальных элементов описывается уравнениями в частных производных (7)-(8), полученных исходя из законов движения малого элемента стержня.

р^1 [(г + ^1 + й] = - Е1Х К' ' ' + тйГ ' ' ]; (7)

pS2[a3 + (г3 + ^)(а1 + а 2 + а3)+и2] = - е12[ы’2 '' + уй2' '' ]. (8)

Закон управления задаётся с помощью ПД-регулятора, что обусловлено простотой его реализации и широким распространением в промышленных разработках. Следует отметить, что в управлении учитывается задержка сигнала с датчиков путем введения запаздывающего аргумента т. Как мы увидим в дальнейшем, запаздывающий аргумент является ключевым параметром, определяющим поведение системы.

м 0й) = - № ^ - т) - Р2а1 ^ - т)+Р2 х ^ - т); (9)

М1(й) = -Р1а1 (t - Т) - Р2а1 (t - Т) + Р2Х1 (t - Т).

Остальные параметры манипулятора, такие как носимая масса, длина стержней и коэффициент внутреннего трения, безусловно, также оказывают влияние на поведение системы.

Преобразуя уравнения в частных производных по Лапласу, решаем их как обыкновенные дифференциальные уравнения 4-го порядка. Полученные точные решения подставляются в условия связи

М1 = ^К+тО; (10)

М2 = Е^К + Ю, ( )

которые, в свою очередь, вводятся в уравнения движения дискретных элементов, что позволяет составить модель исследуемой системы.

'фп(Х) Ф12 (х) Ф13(Х) 0 0 0 " а1 (X) ( "1" "0" л

Ф21<Х) Ф22 (Х) Ф23 (Х) Ф24 (X) 0 0 а2(X) 0 -1

Ф31 (Х) Ф41 (X) Ф32 (Х) Ф42 (Х) Ф33 (Х) Ф34 (X) Ф34^) Ф44 (X) Ф35 (X) Ф45 (X) Ф36(X) Ф46 (X) ис2 (^,) a3(X) = Р2^Л 0 0 х1 (X) + 0 1 Х2Ф)

Ф51 (X) Ф52 (Х) Ф35 (X) Ф54(X) Ф55 (X) Ф56(X) а^) 0 0

_Ф61(Х) Ф62(Х) Ф36(Х) Ф64 Ф65(X) ФаДХ. _ис4 (X)_ V 0 0 )

Здесь .О(А) = det{фv/ (А,)}; V, ] = 1...6 есть характеристический определитель и именно на его рассмотрении основывается дальнейшее исследование системы.

Рис. 1

В соответствии с теоремой об устойчивой квазирациональной дроби [1], появилась возможность использовать аналог метода .О-разбиений для подобных систем. Заменяя аргумент преобразования Лапласа X на /ш и приравнивая нулю действительную и мнимую части характеристического определителя, приходим к уравнению границы О-разбиения в параметрической форме:

ReО(/ш,р1,р2) = 0, 1тО(/ш,р1,р2) = 0,0 < ш < да . (12)

Каждая частичная область проверяется на устойчивость в соответствии с теоремой об устойчивом квазимногочлене [1] по углу поворота годографа при конкретных параметрах регулятора.

На рис. 2, a показано О-разбиение, в то время как на рис. 2, б изображен частотный годограф характеристического квазимногочлена, соответствующий параметрам регулятора из области устойчивости.

Как показало исследование, время запаздывания регулятора т оказывает наибольшее влияние на размер и конфигурацию областей устойчивости: даже

незначительное увеличение т приводит к их радикальному сокращению. С другой стороны, величина области устойчивости практически не зависит от угла поворота между звеньями.

Рис. 2

2. Параметрический синтез регуляторов

После подробного рассмотрения областей устойчивости необходимо провести параметрический синтез регулятора, с целью оптимизации его характеристик. В асимптотически устойчивой системе переходные функции к(і) и передаточные функции Ф(Х), т.е. действительные частотные характеристики Ке[Ф(Х)]связаны друг с другом следующим образом:

к(і) = — [ Яе[Ф(Х)]—-—ёш; і > 0. п 0 ш

(13)

Изменяя параметры регулятора, требуется приблизить (по форме) переходные функции И(і) к желаемой переходной функции:

и*(і) = і -42в і^л/2 Біп

і п

■ + ■

и

1

1

42 4 1 х і+42их+і2Х2

(14)

V 1о * ^ V • » ^*о'* 1 ‘■о

имеющей время переходного процесса не более 3і0, которой соответствует желаемая действительная частотная характеристика

1 - (іош)2

Я(ш) = Яе[ф*(/'ш)] =

1 + (іош)2

(15)

В принципе, можно было бы минимизировать непосредственно параметры из (11), однако более естественно рассматривать координаты точки захвата wx,wy и угол его поворота а(16)

^ =-[4(а1 +а 2 +аз) + ис4 ]вт Р;

wy = (г1 +1 + г2)а1 + ис +[/2(а1 +а2 + а3)соБв + ис ]собв; (16)

а = а1 +а 2 +а3 +а 4.

Им соответствует матрица передаточных функций [Ф^-1 ]

Х1(х)‘

Х2(Х).

(х) Ф1Г)(Х) Ф(2(х)

™у (Х) = ф 2:)(х) Ф22)(х)

а(Х) ф31)(Х) Ф32)(х)

элементы которой легко находятся из (11).

б

а

При проведении параметрического синтеза по координатам точки захвата и углу его поворота первоначально минимизировался следующий функционал:

рр2) = !||ЯеPl,Р2)-ф7)(0,р^Р2)Л(®^

(18)

где Яе Ф^('ю, р1, р2) - действительные частотные характеристики системы; Р(ш) -желаемая действительная передаточная характеристика; Ф ^(О, р1, р2) -

масштабирующие множители.

Однако резкие скачки действительной

передаточной характеристики (рис. 3, а),

приводящие к наложению слабозатухающих

колебаний на переходную характеристику (рис. 3, б), не позволили получить стабильно оптимальное решение. Как мы можем видеть на рис. 4, первые и вторые производные от действительных частотных характеристик позволяют эффективно выявлять подобные ситуации. Поэтому был осуществлен переход к модифицированной версии функционала (19), содержащей первые и вторые производные от действительных передаточных характеристик

(рис. 4). Так как эти дополнения носят поправочный характер, то возможно определение первых и вторых производных при помощи разностных аппроксимаций, что приводит к значительному упрощению алгоритма. Для того чтобы параметры регуляторов, в процессе минимизации, не вышли за пределы области устойчивости, были введены

дополнительные условия, обращающие функционал в бесконечность за границей области устойчивости 8^ Ситуации (рьр2.. .р„)е& и (рьр2..

элементарно различаются при помощи теоремы об устойчивом квазимногочлене [1] и анализа приращения аргумента характеристического квазимногочлена, причем во втором случае выражение (13) не имеет смысла.

2

зо

Рис. 4

с

о

Лрир2...рп] - {(р1 ,р2...рп)Я(а)| +

О

С1 d^Re^Ф(Z'Ю), р^ р2... рп ]'- ( р1 , р2... рп ) ~^Е(Ш)\

Re[ФM,рир2...рп]-1(р1 ,р2...рп)~Т^2 Я(а)

+

йш

(19)

йа1 1 4 ,,Г"Г2 гпх [ ^^2

о:(р^р2...рп) ^

В качестве алгоритма минимизации может быть использован любой, не требующий вычисления производной минимизируемой функции. В данном случае применялся алгоритм Нелдера - Мида, причем было установлено, что функционал имеет значительное количество локальных минимумов. Поэтому целесообразно начинать минимизацию из нескольких точек и далее выбирать наиболее подходящий результат. Подбор соответствующих поправочных коэффициентов с1 и с2 также позволяет улучшить сходимость алгоритма; опытным путем были получены наиболее оптимальные диапазоны изменения величин с1^0,01-0,1; с2^0,001-

0,01.

Для сопоставления амплитуд желаемых переходных функций с реальными свойствами системы была введена матрица характерных амплитуд

* = {„}=*( А-р^-- рп ).

Если конкретный выход системы не зависит от интегрирующего звена, то среди предельных значений (о) = Фу;.(0,р1,р2...рп) е Я гарантированно найдутся ненулевые и

можно полагать:

^ (р^р2 . рп) = Ф(0,р^рг...рп) е Я. (20)

Рис. 5

На рис. 5 представлены графики переходных процессов для двух регуляторов с незначительно отличающимися коэффициентами обратных связей, причем при построении правого рисунка использовались параметры, полученные с помощью модифицированного алгоритма параметрического синтеза. Как мы можем видеть, даже небольшое изменение параметров регуляторов может значительно улучшить переходные процессы в системе.

Основываясь на теории исследования дискретно-континуальных систем, из [1] были получены области устойчивости в пространстве параметров регуляторов для гибкого двухзвенного манипулятора. Модифицированный алгоритм параметрического синтеза, в свою очередь, позволил приблизить параметры системы управления к оптимальным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андрейченко К.П. Математическое моделирование динамических систем / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко. Саратов: СГТУ, 2000. 140 с.

2. Андрейченко Д.К. Моделирование гибкого манипулятора как комбинированной

динамической системы / Д.К. Андрейченко, К.С. Сперанский, И.А. Дементьев //

Математические методы в технике и технологиях: сб. трудов XX науч. конф. Ярославль, 2007. С. 286-291.

3. Lewis F.L. Robot manipulator control / F.L. Lewis, D.M. Dawson, C.T. Abdallah. CRC, 2003. 430 p.

4. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей / В.А. Светлицкий. М.: Машиностроение, 1978. 223 с.

Андрейченко Дмитрий Константинович -

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры «Механика и прикладная информатика»

Саратовского государственного технического университета

Сперанский Константин Сергеевич -

аспирант кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 27.06.07, принята к опубликованию 05.09.07