Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 531.36

Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, Т.Ю. Петрова ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНОЙ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Известны исследования влияния диссипативных сил и сосредоточенных масс на устойчивость неконсервативных континуальных моделей с конечномерной аппроксимацией по первым собственным формам. В предлагаемой работе на примере дискретно-континуальной модели нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом на конце проведено динамическое моделирование устойчивости и импульсных переходных функций системы на основе точного решения уравнений движения.

D.K. Andreychenko, K.P. Andreychenko, T.Yu. Petrova DYNAMICAL MODELLING OF NON-CONSERVATIVE DISCRETE-CONTINUAL SYSTEM

A study of dissipation power and concentrated masses influence on stability of non-conservative discrete-continual models with finite-dimensional first own forms approximation is being carried out. In this work on the example of discrete-continual models of laden watching power elastico-viscous shank with absolutely hard body on the end dynamic modeling of stability and pulsed connecting system functions on the basis of exact motion equations is being conducted.

1. Уравнения движения

Пусть упруговязкий прямолинейный однородный стержень длиной 1, внутреннее трение в котором учитывается по Фойгту, консольно закреплен в неподвижном основании (рис. 1) и нагружен следящей силой Р. На конце стержня закреплено в центре массы абсолютно жесткое тело с массой M и моментом инерции A. Линеаризованные в окрестности нулевого состояния Y (Z, T )=Ф(Т) = 0 уравнения движения рассматриваемой дискретноконтинуальной системы (ДКС) под действием малой силы F(T), T - время, имеют вид

б

й2 У (г) й2 Ф(г)

Ыа 1Г = Ы(Г) + Г(Г) , А {І ! = 5(Г)

1 + к-

Э Г

Е1

д4 к (г, Г) д2 у(х Г) д2 у (х Г)

д г4

+ р

д г2

+ р-

д Г2

= о ,

у(0,Г) = о , ду(0,Г) = 0 , у (1,Г) = у (Г) , ду (1,Г) =Ф(Г) , дХ дХ

N (Г) = Е1

1 + к-

д Г

д3 У (I,Г)

В(Г) = -Е1

1 + к-

д Г

д2 У (і,Г)

д г2

Т = 0: Г! (0) = У (7,0) = 0, ф(0) = 0 ,

где Е1 - жесткость сечения стержня при изгибе; р - погонная плотность стержня; к - коэффициент внутреннего трения по Фойгту.

Вводя безразмерные переменные и параметры

і = Г

Г 14 Л -/2

> Р Е1 ,

V Е1

, у

Ух

х

у1 = 6 , г = 7 ,

5 1 І Ф 12 О

-<< 1 , ф = -ф , р =— р I 5 Е1

I

13 М

------г , т = — , а

Е15 р I

А

р 13

Е15

N

Ь =

Е15

В , у = к

Г 14 Л V2

.р Еі

V Еі У

представим уравнения движения линеаризованной ДКС в безразмерной форме

Л2 УДг) г, ч Л2 ф(г) _м

га , 2 = и(0 + /(?), а = Ь(?) ,

Л г Л г

д4у (г, і) д2 у (г, і) д2у (г, і)

У

д г2

д і2

= 0 ,

г = 0: у (0, і) = д У(0, і) = 0, г = 1: у (1, і) = у1 (і) , = ф(і)

д г

г д ^ д3 у (1, і)

п(і) = 1 + у—

ді

У

д г3

Ь (і) = - 1 + у— ді

дг

д Л д2 у (1, і)

д г2

і = 0: у1 (0) = ф(0)= у (г,0) = 0 .

(1.1)

д

д

д

5

3

п

2

2. Динамическая модель линеаризованной ДКС

Пусть функции /(г), у1(г), ф(г), п(г), Ь(г), у^,г) удовлетворяют условиям существования интегрального преобразования Лапласа по времени г. Тогда из соотношений (1.1) следуют уравнения линеаризованной ДКС в изображениях

тЯ2 у1 (Я) = п (Я) + / (Я) , а X2 ф(Я) = Ь (Я) , (2.1)

3 4 y (z' Х> + Р(Х)32у<іХ> - Є (Х) y (z, Х) = О

Э z4

Р(Х) =

д z2

p k2 (х)= Х2

(2.2)

І + уХ

1 + уХ

z = 0 : y (О,Х) = д y д(0,Х) = 0 , z = 1: y(І,Х) = Уі (Х), = ф(Х) , (2.3)

д z д z

n(Х) = (і+ух)д3y(1,Х), ь(Х)=-(1+ух)д2y(i;Х)

д г

д 3 ............д . (2-4)

д z д z

Здесь Х=а+г’ю - произвольный комплексный параметр преобразования Лапласа; yi(X), ф(Х), n(X), b(X), y(z,X), f(X) - изображения соответствующих оригиналов.

Общее решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (2.2) имеет вид

y (z, X) = C1 sin1 z + C2cos r1 z + C3 sinh r2z + C4 cosh r2z , (2.5)

ri2 (x) =

e(x), ffe(x)

2

+

2

2 І

2 Л 2

+ к2 (Х)

!(x)=

-р(Х)+ff р(Х)

2

2

І

2 Л 2 + к2 (Х)

Удовлетворяя граничным условиям (2.3), определяем постоянные интегрирования Сі, С2, С3, С4. Подставляя известное теперь у(г,Я) в (2.4) и далее в (2.1), получаем изображение сосредоточенных реакций системы, то есть параметров возмущенного движения абсолютно жесткого тела

у (Я) = Wl (Я)I(Я) , ф(Я) = ^2(Я)I(Я) , ж (я) = ОМ , (я) = , (2.6)

D(Х) = maХ4 + | a^1 + m^12 IуХ3 +| a^1 + m^ +

%ii + „А22 + %ii %22 -%i2 %21 Y2 I x2

АА

+ 2

АА уХ + -

А2

Y2 IХ2 +

%ii % 22 -%i2 % 21 Y? + %ii % 22 -%i2 % 21 А2 YX+ А2

Ql (X)= a X2 +‘%f2 YX + -%72 , Q2 (X) = --%^ YX-‘%f1 , А V11V22 - V12V21 Ф 0

А

А

А

А

%11 = -v22 (r1 cos r1 + r1r2 cosh r2) - v21 (-r1 sin r1 + r2 sinh r2) . %12 = v11 (-r13 sin r1 + r23 sinh r2) - v12 (r13 cos r1 + r1r22 cosh r2) , %21 = v22 (r12 sin r1 + r1r2 sinh r2) + v21 (r12 cos r1 + r22 cosh r2) , %22 =-v11(r12cos r1 + r22cosh r2) + v12(r12sin r1 + r1r2sinh r2) ,

r

2

в

v11 = sin r1 -—sinh r2 , v12 = cos r1 - cosh r2 , r2

V21 = ri V12 , V22 = ri sin ri + r2 sinh r2 .

Здесь D(X) - характеристический квазимногочлен; Q1(X) и Q2(X) - возмущающие квазимногочлены; Wi(X) и W2(X) - сосредоточенные передаточные функции в форме квазираци-ональных дробей.

Вводя далее известные согласно (2.6) изображения сосредоточенных реакций y1(X) и ф1(Х) в соотношения для постоянных интегрирования Сь C2, C3, C4 и подставляя в решение (2.5), получаем изображение распределенной реакции системы, то есть изгибного движения стержня

y (z,X) = W(z,X) f (X) , W(z,X) = DX , (2.7)

Q (z, X) = -7 [-|M (z, X)v22 -M 2 ^ X)v21 ]X2 +

A

+ ~~2 [P-1 (z,X)(v12 ^21 - v22 ^22 )-M2 (z,X)(v11^21 + v21^22 )] (YX + 1),

M1 (z,X) = sin r1 z -—sinh r2z , M2 (z, X) = cos r1 z - cosh r2z , r2

где Q(z,X) - распределенный возмущающий квазимногочлен; W(z,X) - распределенная передаточная функция.

Заметим, что сосредоточенные передаточные функции W1(X), W2(X) и распределенная передаточная функция W(z,X) являются изображениями соответственно сосредоточенных по выходам y1(X), ф(X) импульсных переходного функций q1(t), q2(t) и распределенной по выходу y(z,t) импульсной переходной функции q(z,t) линеаризованной ДКС, возмущенной функцией Дирака f(t)=8(t). При этом Q(1,X)=Q1(X), W(1,X)=W1(X).

Выражения (2.6), (2.7) определяют ДКС с динамической моделью стержня,

где весь бесконечный спектр собственных частот и форм колебаний стержня

учитывается через переменные коэффициенты ^vj. A-1, (v, j = 1,2), m1 (z,t)v22 A-1, m2 (z,t)v21 A-1,

M1 (z,X)(v12^21 - v22^22 )A , M2 (z,X)(v11^21 + v21^22 )A .

3. Устойчивость и импульсные переходные функции динамической модели

неконсервативной ДКС

Исследуем устойчивость динамической модели (2.6). Заметим, что функции

^ (X)a(X)-1 , (v, j = 1,2) аналитичны по крайней мере на мнимой оси и в правой половине

комплексной плоскости X=a+iro, при этом

^ (- i Ю) = ^j (i ю)

A (- i ю) A(i ю)

и существуют пределы

$vj

, (v, j = 1,2) (3.1)

lim—ve— = b■ при , ™<то, ,

А Xе ^j vj 1 1 11

О ,3п .П І

3 і- i— — I i— —

Pii = bii =JTe 8 Y 4, Pi2 = bi2 = e 8 Y 2

,5п 1ч ,п 1

I I------------------ I /- I—

Р21 = Ь21 =е 4 V 3. р22 = 4. Ьп = Л е 8Т 4 . (3.2)

В соответствии с условием (3.1) справедливы равенства

Яе О (- г ю) = Яе О (гю) , 1т О (- г ю) = - 1т О (гю) , Яе Qj (-г ю) = Яе Qj (г ю) ,

1тQj(-гю) = - 1тQj(гю) , (/=1,2) . (3.3)

Согласно (3.2) существуют также действительные числа X, в и а, что

О (Я) Q1 (Я) Q2 (Я)

—+^ = с0, Ит^-^ = с1, Ит^у 7

Яп+Х Я*+в Я

О1А/ ^ 1А.1 Qo\'Ь^ |Л I II

11т ^п+х = с0, 11т * = с1, 11т 25+а = с2, при |Я|^го, |а|<^, ю^<^.

п + х > * + в +1 , п + х > я + а +1 , |с^<<^, |с2|<<^ , (3.4)

где п, *, 1 - целые степени, а X, в, а - приращение степеней квазимногочленов соответствен-

но О(Я), Ql(Я), Q2(Я) при | Я | ^^.

Отметим случаи, в которых соотношения (3.4) выполняются

1) если аФ0, шФ0, уф0, то п=4, х=0, с0=та, *=2, в=0, с1=а, 5=1, а=1/2, с2=-Ь21у,

2) если а=0, шФ0, уф0, то п=3, Х=1/2, с0=шуЬ12, *=1, в=1/4, с1=Ь22у,

5=1, а=1/2, с2=-Ь21у, (3.5)

3) если а=0, ш=0, уф0, то п=2, х=1, со=(Ь11Ь22-Ь12Ь21)у2, *=1, в=1/4,

С1=Ь22у, 5=1, а=1/2, с2=-Ь21у.

Таким образом, в случаях (3.5) соотношения (3.4), (3.3) выполняются и по известному определению [4,5] рассматриваемые квазирациональные дроби W1 (г, Я) = Q1 (г, Я)/О (Я), W2 (г, Я) = Q2 (г, Я)/О (Я) являются физически возможными. Кроме того, функции О(Я), Ql(Я) и Q2(Я) аналитичны на мнимой оси и в правой половине комплексной плоскости (Я). Следовательно, в соответствии с теоремами [4,5] об устойчивости квазирациональных дробей динамическая модель (2.6) является асимптотически устойчивой, если характеристический квазимногочлен О(Я) устойчивый, то есть все его корни лежат слева от мнимой оси, на комплексной плоскости (Я). Если хотя бы один корень квазимногочлена О(Я) лежит справа от мнимой оси комплексной плоскости (Я), то динамическая модель (2.6) неустойчивая. Так как функция О(Я) аналитична на мнимой оси и в правой половине комплексной плоскости Я=а+гю, то согласно (3.3), (3.4) выполняются условия

Уа> 0: 11т{= с0 ф 0 ,

|ЯЬ~^ Яп+Х )

Уюе (-то,то): О(гю) = и(ю)+/у(ю)ф0, и(-ю) = и(ю), V(ю) =-V(ю) .

Тогда по теореме об устойчивости квазимногочлена [4] все корни квазимногочлена О(Я) будут расположены левее мнимой оси комплексной плоскости (Я), если при монотонном возрастании ю от 0 до ^ вектор О(гю) повернется на плоскости (и,гу) от положительной действительной

полуоси в положительном направлении на угол (п + %)П, то есть получит приращение аргумента

ф= А а^О(гю) = (п + х) — . (3.6)

0<ю<^ 2

Из доказательства [4] указанной теоремы следует, что в случае неустойчивого квазимногочлена О(Я) при расположении N его корней в правой полуплоскости (Я) вектор О(гю) получит приращение аргумента

ф= А а^ Б (їю) = (п + %)П- . (3.7)

о<ю<гс 2

Обратимся теперь к распределенной динамической модели (2.7). Как видно, в любой фиксированной точке ^е(0,1] срединной линии стержня имеет место: yj(Я)=Wj(Я) / (Я), Wj(k)=Qj(k)/D(k), Qj(X)=Qj(zj, Я). Все рассуждения относительно устойчивости квазирацио-нальных дробей W1(Я) и W2(Я) будут справедливы и для квазирациональных дробей Wj(Я).

Следовательно, динамическая модель рассматриваемой линеаризованной неконсервативной ДКС в случаях (3.5) является асимптотически устойчивой, если выполняется равенство (3.6) и все корни квазимногочлена Б(Я) лежат на плоскости (Я) слева от мнимой оси. Более того, расположение годографа вектора Б(їю)=и(ю) + їу(ю) на плоскости (и, їу) при 0<ю<<^ в зависимости от возрастающей следящей силы р позволяет судить о границе области асимптотической устойчивости, которой соответствует критическое значение следящей силы р=р*. При р>р* система неустойчива, корни характеристического квазимногочлена Б(Я) переходят в правую половину комплексной плоскости (Я) и число N этих корней можно определить по соотношению (3.7).

Заметим, что в случае у=0 условия (3.4) не выполняются и квазирациональные дроби W1(Я) и W2(Я) не являются физически возможными. Это согласуется с известным выводом [2] о том, что модель неконсервативной системы при у=0 неадекватна и ей соответствует ква-зикритическая сила, отличная от истинной критической силы р*, вычисляемой при у^0. Далее в работе приведены результаты анализа динамической модели (2.6) по передаточной функции W1(Я)=Q1(Я)/D(Я) в случаях (3.5) при у^0.

На рис. 2 приведены частотные годографы вектора Б(їю), 0<ю<<*> на плоскости (и, їу) в зависимости от величины следящей силы р , для случая упруговязкого стержня с абсолютно

жестким телом на конце, 7=0,1, т=1, а=0,4, п=4, %=0. При р=3,13<р* (1) согласно (3.6) имеем ф=2п и система асимптотически устойчива. При р=р*=4,13 (2) линия годографа проходит через точку (0,0) и система находится на границе устойчивости. При р=5,13>р* (3) имеем ф=0, то есть согласно (3.7) два корня характеристического квазимногочлена Б(Я) перешли в правую половину комплексной плоскости (Я) и система стала неустойчивой. Аналогично для случая упруговязкого стержня с сосредоточенной массой на конце 7=0,1, т=1, а=0, п=3, Х=0,5 показаны годографы вектора Б(їю), 0<ю<^ асимптотически устойчивой при р=5,263<р*=8,263 7п

ф = — (4) системы, далее системы на границе устойчивости при р=р*=8,263 (5) и неустойчи-

п

вой при р=11,263>р*=8,263, ф = - ^ (6) системы. В случае упруговязкого стержня без груза на конце 7=0,1, т=0, а=0, п=2, %=1, как видно по годографам Б(їю), при р=10,38<р*=13,64,

3п

ф = —— (7) стержень асимптотически устойчив, при р=р*=13,64 (8) на границе устойчивости и

п

при р=15,38>р*=13,64, ф = - ^ (9) стержень неустойчив. Все рассмотренные выше годографы,

Б(їю) приведены в специальном масштабе и + їу = Б(їю^АгеИ |Б(їю)|)/ \Б(їю) .

На рис. 3 построены линии границ областей устойчивости при различных коэффициентах внутреннего трения 7=0,01; 0,1; 0,2; 0,3 для стержня с сосредоточенной массой т на конце при а=0 (1) на плоскости параметров (т,р).

Области устойчивости расположены ниже соответствующих линий. Как видно, увеличение массы т и уменьшение коэффициента внутреннего трения у снижают значение критической следящей силы р* и существенно уменьшают область устойчивости. Однако при

7=0,01 область устойчивости достигает своего асимптотического наименьшего значения и при дальнейшем уменьшении у до исчезающе малого значения 7=0,0001 линия границы области устойчивости остается практически неизменной. Заметим, что при ш=0 и 7=0,0001 критическая сила имеет значение р*=10,96, которое на 17,5% превосходит критическую [3] силу р*=9,328, вычисленную на основе приближенной модели с аппроксимацией по двум первым собственным формам.

-5 0 5 и -5 0 5 и -5 0 5 и

-5 0 и 5 -5 0и5 -5 0и5

-5

0 и 5 Рис. 2

-5

0 и 5

Для стержня с закрепленным на конце абсолютно жестким телом массой т=1 и моментом инерции ає [0,1] на плоскости параметров (а, р) приведены (2) границы областей устойчивости при различных коэффициентах у. Как видно, уменьшение у и увеличение а су-

щественно уменьшают значение критической следящей силы. Например, р*=3,7 при т=1, а=1.

40 Р

30

20

10

0

0 0,5 т 1

Рис. 3

Пусть/(?)=§(?) - функция Дирака. Тогда реакция ДКС по выходу у 1(0 на данное возмущение есть сосредоточенная импульсная переходная функция, которая была обозначена ранее через ^(0. Так как передаточная функция ^х(Я) есть изображение сосредоточенной импульсной переходной функции q1(t) (интеграл Лапласа) с абсциссой абсолютной сходимости 0=0, то используя интеграл Меллина, имеем

1 а0

ql (t) =-: |W(l) вХгйI , ао > о , t > 0 . (3.8)

2 Пг ао —г^

С помощью эффективного алгоритма [6] были вычислены сосредоточенные импульсные переходные функции q1(t) в зависимости от коэффициента у=0,0001; 0,01; 0,1 внутреннего трения в стержне в случаях асимптотически устойчивой системы (р<р*) и системы на границе устойчивости (р=р*) при различных вариантах груза, а также без груза на конце стержня. На рис. 4 приведены вычисленные импульсные переходные функции. Для стержня без груза (т=а=0) на конце стержня, при р=8 в случаях у=0,0001 (1), у=0,01 (2), 7=0,1 (3) импульсные переходные функции (первые три графика) асимптотически устойчивы. Увеличение коэффициента 7 приводит к сглаживанию высокочастотных форм, уменьшению амплитуды колебаний и времени переходного процесса. При р=р*=10,96, 7=0,0001 (4); р=р*=10,96, 7=0,01 (5); р=р*=13,63, 7=0,1 (6) (следующие три графика) на границе устойчивости импульсные переходные функции принимают форму незатухающих колебаний.

При 7=0,01 амплитуда высокочастотных форм пренебрежимо мала и конец стержня колеблется на основной форме с амплитудой 300 и частотой 0,85. При 7=0,0001 амплитуда

0,5

а 1

0

01

400

1 1 8

12

-400

01 400

-400

01 50

0

-50

01 50

0

-50

01 30 0

-30

01 30 0

-30

0 4 8 Г 0 4 8 Г 0 4 8?

высокочастотных форм достигает величины 100 и, следовательно, амплитуда незатухающей импульсной переходной функции возрастает до величины 400.

1 17

к _

18

К

Рис. 4

0

Для стержня с сосредоточенной массой т=1, а=0 на конце приведены при р=6<р* для случаев у=0,0001 (7), у=0,01 (8), у=0,1 (9) асимптотически устойчивые импульсные переходные функции, а также импульсные переходные функции на границе устойчивости для случаев р=р*=7,9, у=0,0001 (10); р=р*=7,9, у=0,01 (11); р=р*=8,26, у=0,1 (12). Аналогично для стержня с абсолютно жестким телом т=1, а=0,4 на конце приведены при р=3<р* для случаев у=0,0001 (13), у=0,01 (14), у=0,1 (15) асимптотически устойчивые импульсные переходные функции, а также импульсные переходные функции для случаев р=р*=4, у=0,0001 (16); р=р*=4, у=0,01 (17); р=р*=4,13, у=0,1 (18) на границе устойчивости.

Из приведенных на рис. 4 графиков видно, что увеличение коэффициента внутреннего трения у сглаживает высокочастотные формы колебаний, а увеличение следящей силы р приводит к некоторому увеличению частоты и амплитуды основной (низшей) формы колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

2. Болотин В.В., Гришко А. А., Петровский А.П. О влиянии демпфирующих сил на по-слекритическое поведение существенно непотенциальных систем // Известия РАН. МТТ. 1995. № 2. С. 158-167.

3. Агафонов С.А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруговязкого стержня, находящегося под действием следящей силы // Известия РАН. МТТ. 1996. № 2. С.138-141.

4. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К, Смарунь А.Б. Динамическое моделирование линейных дискретно-континуальных систем // ПММ. 2000. Т.64. Вып.2. С. 183-195.

5. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории комбинированных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С.54-69.

6. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т.40. № 7. С.1030-1044.

Андрейченко Дмитрий Константинович -

доктор технических наук, доцент кафедры «Механика и прикладная информатика» Саратовского государственного технического университета

Андрейченко Константин Петрович -

доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой «Прикладная математика и теория навигационных приборов» Саратовского государственного технического университета

Петрова Татьяна Юрьевна -

аспирант кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» Саратовского государственного технического университета.