Научная статья на тему 'Аналог метода Хилла в задачах устойчивости периодических решений нелинейных дискретно-континуальных систем'

Аналог метода Хилла в задачах устойчивости периодических решений нелинейных дискретно-континуальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

56
16
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Андрейченко Дмитрий Константинович

Предложен аналог метода Хилла исследования устойчивости периодических решений применительно к дискретно-континуальным механическим системам, движение дискретных элементов которых описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Андрейченко Дмитрий Константинович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The analog of the stability Hill method research of periodic solutions with reference to discrete continual mechanical systems is offered here, driving of which discrete elements are described by the nonlinear ordinary differential equations with lagging argument.

Текст научной работы на тему «Аналог метода Хилла в задачах устойчивости периодических решений нелинейных дискретно-континуальных систем»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 531.36

Д.К. Андрейченко

АНАЛОГ МЕТОДА ХИЛЛА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Предложен аналог метода Хилла исследования устойчивости периодических решений применительно к дискретно-континуальным механическим системам, движение дискретных элементов которых описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.

D.K. Andreichenko

THE HILL METHOD ANALOG IN THE STABILITY PROBLEMS OF PERIODIC SOLUTIONS OF NONLINEAR DISCRETE-CONTINUAL SYSTEMS

The analog of the stability Hill method research of periodic solutions with reference to discrete - continual mechanical systems is offered here, driving of which discrete elements are described by the nonlinear ordinary differential equations with lagging argument.

Введение

Исследование устойчивости в малом периодических решений нелинейных систем обыкновенных

дифференциальных уравнений, в соответствии с теорией Флоке, сводится к вычислению матрицы монодромии и исследованию ее собственных значений [1, с.187].

Применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом либо к дискретноконтинуальным системам (ДКС), описываемым совокупностями обыкновенных дифференциальных уравнений и связанными с ними граничными условиями и условиями связи уравнениями в частных производных, численное построение матрицы монодромии становится

проблематичным. В настоящей статье, на примере рассмотренной ранее в [2] нелинейной газореактивной системы стабилизации спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом, показана принципиальная возможность развития метода Хилла [3, с. 269] к исследованию устойчивости периодических решений ДКС, движение континуальных элементов которых описывается линейными уравнениями в частных производных с не зависящими явно от времени коэффициентами, а движение дискретных

элементов - нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.

1. Уравнения движения дискретно-континуальной системы

Уравнения движения показанной на рис. 1 ДКС (совершающего плоское движение абсолютно жесткого спутника с моментом инерции Jc и массой тс под действием возмущающего момента Ь, с жестко закрепленным на расстоянии а от центра массы спутника прямолинейным однородным упругим стержнем, несущим жестко закрепленное на противоположном конце абсолютно жесткое тело с массой т1 и моментом инерции J1) в безразмерной форме имеют вид

Jcа = Ь - /(н>(г -т)) + Ь0 -аЫ0, м>(г) = Ь1<х(г) + Ъ2а(г) + Ъ31 а(^)^Е,, (1.1)

тсУс = N0, Л(« + &&1) = К т1[Ус + - (1+ а)а] = N , (12)

У(z,г) + ус - (а + *)а = -(У""(^ г) + Yy""(z,t)), ( У = д/д* , (1.3)

* = 0 : У (0, г) = У'(0, г) = 0; г = 1: у (1, г) = у (г), у'(1, г) = -а,; (г) , (1.4)

Ьо = - у "(0, г) - ТУ "(0, г), N0 = - у "(0, г) - уу т(0, г)

Ь = у 41, г) + ту41, г), N = у "(1, г) + Уу41, г) ( ' )

г < 0: а(г) = сх(г) = ус(г) = .Ус(г) = у(г, г) = .У(* г) = 0 . (16)

Здесь У(^) - некоторая функция своего аргумента, описывающая нелинейность типа насыщения, Ъ1, Ъ2, Ъ3 - коэффициенты обратных связей ( ) ' = д( )/ дг, ( ) = д( )/ дг. Примем далее

/ ^ = Ш(^0 .

Линеаризация в окрестности состояния равновесия приводит уравнение (1.1) к виду (уравнения (1.2)-(1.6) при этом своего вида не изменяют)

Г1 -т

Jcd = Ь - Ъ1сх(г -т) - Ъ2а(г -т) - Ъ31 а(^)^Е, + Ь0 - а#0, ] = 1,2,3 . (1.1. а)

•< 0

Области устойчивости линейной ДКС (1.1.а), (1.2)-(1.6) в пространстве параметров обратных связей Ъ1, Ъ2, Ъ3, приведенные в [5], подробно исследовались на основе предложенных в [4] теорем об устойчивом квазимногочлене и об устойчивых, неустойчивых и асимптотически устойчивых квазирациональных дробях, а также предложенного в [5] варианта метода .О-разбиений. Следует отметить, что наличие малого запаздывания т резко ограничивало области устойчивости за счет дестабилизации управляемой деформируемой конструкции по высшим формам колебаний. В случае, когда параметры обратных связей выходят за пределы областей устойчивости, исходные уравнения (1. 1)-(1.6) при Ь(г)=0 (с точностью до несущественного выбора начального момента времени) допускают 2п/ш-периодические решения

а = а(0)(гX а = ус = уС°)(гX у = у10)(гX у(г,г) = у(0)(г,г) , (1.7)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

которые описывают возможные периодические автоколебательные режимы с частотой ш, исследованные численно в [2] на основе метода гармонического баланса в высших приближениях. Во всех случаях период возможных автоколебаний (даже по высшим формам) превосходил характерное время запаздывания:

2п / ш > т . (1.8)

При численном моделировании развития начальных возмущений [2] выполнялась дискретизация уравнения (1.1) на основе проекционного метода Бубнова-Галеркина с использованием в качестве координатных базисных функций ортогональных полиномов

Чебышева 1-го рода, и далее полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом интегрировалась численно. При этом было выяснено, что на фазовой плоскости (а, а) фазовые траектории достаточно быстро попадали в окрестность одного из возможных предельных циклов, однако вопрос о строгом исследовании устойчивости предельных циклов по Ляпунову остался открытым.

С точностью до выбора несущественного начального момента времени і=0, линейные уравнения движения ДКС, возмущенной в малой окрестности возможного предельного цикла, имеют вид (уравнения (1.2)-(1.5) своего вида не изменяют)

Jcа = -/(0)(і -т)^(і-т) + Ь0 -аЫ0, н,(і) = ^а(і) + Ь2а(і) + Ь3у(і), і>(і) = а(і)

Аналогично [1, с. 298], поскольку исходные уравнения (1.1), (1.2)-(1.5) не зависят от времени, с точностью до несущественного выбора начального момента времени при Ь(г) = 0 уравнения возмущенного движения (2.1), (1.2)-(1.5) по форме записи аналогичны уравнениям относительно набора величин

полученным дифференцированием по времени (1.1), (1.2)-(1.5). Следовательно, 2п/ш-периодические функции

заведомо будут решением уравнения возмущенного движения.

Модельные уравнения (2.1), (1.2)-(1.5) задают некоторый линейный оператор

(строго говоря, задание «предыстории» на отрезке [-т,0] требуется лишь для функций

Далее, поскольку правые части линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1), (1.2) являются достаточно гладкими функциями времени, а уравнение (1.3) учитывает малое, но ненулевое вязкое трение в материале конструкции согласно модели Фойгта, относительно негладким «предысториям» У |[-т 0] при г > т будут соответствовать

более гладкие решения У |[1-т г] (рассматриваемые как функции пространственной

переменной и времени). Следовательно, оператор Ц при г > т будет вполне непрерывен в

смысле [6].

Так как коэффициент линейного уравнения (2.1) при слагаемом с запаздывающим аргументом является 2п / ш -периодической функцией времени, при выполнении условия

2. Исследование устойчивости предельных циклов

І(0)(і) = І,(Ь1а(0)(і) + Ь2а(0)(і) + Ь3|а(0)(і)йі), ))г) = 1/еЬ2(г)

(2.1)

Обозначим

У(і) = {у(і), а(і), (х(і), а(і), (х!(іX Ус(і X У с(іX У1(і), У(і X У(г і X У(г і)} .

У(і) = {у(і) = а(іX а(і), с&(і), (х 1(іX а (і), Ус(і), У(іX У(і), У(і), У(г іX У(& і)} ,

(2.3)

у(г) = , а(г), а(г) , для остальных функций требуется задание начальных условий)

(1.7)

(2.4)

и соответственно

Ц+„Г = І, IТ = ІТЦ, Т = 2п / ш, п = 1,2,3,...

(2.5)

Следует отметить, что условие (1.8) не является достаточно жестким ограничением; так, если оно не выполняется, следует выбрать период Т>т, кратный периоду автоколебаний, и соответственно уменьшить частоту ш.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из (2.5) непосредственно следует, что, в соответствии с теорией Флоке, возможные частные решения уравнений (2.1), (1.2)-(1.5) будут представлять собой произведение показательной функции времени ' на 2п / ш -периодические функции времени

*(>)=I Г««/“. «.(')=е1' 11«“^“. ус о)=е" I;_ ус п п 6)

у()=е- I ;=-; , у(2, ')=г'!;;_; Ус (2у-' .

Далее, легко убедиться, что совокупность значений функций (2.6) при ' е [-т,0] представляет собой «собственный элемент» линейного оператора Ь Т, Т = 2п/ш , а

величина екТ = в2 пХ / ш является соответствующим ему собственным значением. Поскольку оператор Ь Т вполне непрерывен, его спектр ограничен, состоит из не более чем счетного множества собственных значений и имеет единственную возможную точку сгущения вкТ = 0 [6, с. 189], чему соответствует Яе X ^ -; . Таким образом, имеется лишь конечное число решений, которым соответствуют показатели X, лежащие в правой комплексной полуплоскости Яе Х>0, и обеспечивающие неустойчивость предельных циклов. Из (2.2) следует наличие среди (2.6) по крайней мере одного чисто периодического решения, которому соответствует показатель Х=0. Следует отметить, что добавление к показателю X величины гш приводит к сдвигу на 1 индекса Фурье-коэффициентов в (2.6), т.е. фактически подобные показатели неразличимы.

Далее полагаем

Ут(>) = 1 Г=-;Г’е“" • (2.7)

Выражения (2.2) позволяют удовлетворить уравнениям движения (1.2)-(1.5) (в силу их линейности), при этом уравнения относительно ас, а(с1}, у(пс), Уп'>, Уп (2) аналогичны уравнениям (2.2)-(2.5) из [2] при замене Х^Х + шш и приводятся к следующему результату

фу1(Х+ /'пш)ап + фу 2 (Х + /'пш)аС1) +Фv3(X+ гПш)У<п) + (Х+ гСш)2 Фv4(X+ гПш)У(пС) = 0 (2 8)

п = 0, ±1, ±2,..., у = 2,3,4

Подстановка (2.6), (2.7) в (2.1) и перемножение рядов Фурье приводит к следующим линейным уравнениям (вообще говоря, бесконечным)

Ф11(Х + тп)ап +ф12(Х + 1шп)а(1) +ф13(Х + гшп )уП'} + (Х + гшп)2 ф14(Х + тп)у(п0) =

= -(Х + вдс)е-’'Х™п)I У)[*,(Х + /ш/) + Ь2 + Ъs/(X + to/)], п = 0,±1,±2,...

(2.9)

‘ ] *п -

Здесь

ф11(Х) = (^с + а^21 - М-11)Х3 + У0(0)(Ъ1Х2 + Ъ2Х + Ъ3)е ТХ ,

а остальные величины полностью аналогичны [2]

ф14(Х) = Х(«^24 - М"14) , ф12(Х) = (1 + УХ)Х(а^22 - ^12) , ф13(Х) = (1 + УХЖа^23 - ^13) , ф21(Х) = -^21Х , ф22 (Х) = -(1 + УХ)^22 , ф23 (Х) = -(1 + УХ)^23 , ф24(Х) = - М*24 ,

ф31(Х) = (^ 1 - ^31)Х , ф32(Х) = ^1Х - (1 + УХ)Мз2 , ф33(Х) = -(1 + УХ)Мз3 , ф34(Х) = -М'34,

ф41 = -[т1 (1 + а) + д41 ]Х2, ф42 (X) = -(1 + уХ)д42, ф43 (X) = т1Х2 - (1 + уХ)д43, ф44 = т1Х2 - |д44, = ц„ [‘(X)], V,) = 1,2,3,4, ¿(X) = е»'4Л(1 + уЯ)-1/4,

(2.10)

^(/(к) = к- (ch к - cos к - sh к sin к)/а(к), ^(дк) = к- [к (ch к - cos к) - sin к (ch к -1) +

+ sh к (cos к -1)]/а(к), д12(к) = к (sh к - sin к)/а(к), ц13(к) = к 2(ch к - cos к)/а(к) ,

Д14(к) = -ДиЧ к), ^21)(к) = к ~'[sin к (ch к -1) + sh к (cos к -1)]/ а(к),

^21|)(к) = к ~2 [ch к - cos к - к (sh к + sin к) + sh к sin к ]/ а(к), ц22 (к) = -ц13 (к) ,

д 23(к) = -к3(sh к + sin к) / а(к), д 24(к) = -ц^Чк),

д311) (к) = -ДиЧк), д32)(к) = к~3[(1 - ch к)sin к + (cos к + к sin к -1) sh к] / а(к) ,

ц32 (к) = к (ch к sin к - sh к cos к) / а(к), ц33 (к) = к2 sh к sin к / а(к) , ц34 (к) = (к),

= к-2 (cos к - ch к + к ch к sin к + (к cos к - sin к) sh к) / а(к),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|д4?(к) = Д(211)(к), |Д42(к) = |Д33(к), |Д43(к) = к3(ch к sin к + sh к cos к)/ а(к), |Д44(к) = -ц^Чк), а(к) = ch к cos к -1.

Функции ц . (к), V, j = 1,2,3,4 аналитичны в окрестности точки к=0 и при конечных

Y>0 не имеют особенностей в правой половине и на мнимой оси комплексной плоскости (X). Легко проверить

lim X vV u . [k(X)] = b . = const, ReX > 0, v, j = 1,2,3,4

(2.11)

b11 = ß11 =-1/2, b12 = b13 = ^ ß12 =ß13 =0, b14 =-У-1/2, ß14 = 1/2, b21 = (1 + iWlA/Л.

ß21 =-1/4, b22 = b23 = 0, ß22 =ß23 = 0, b24 = л/2у-3/4, ß24 = 3/4, b31 = -/^2у3/4, ß31 =-3/4,

Ьз2 = ->/2y-1/4, ß32 = 1/4, b33 = b34 = y-1/2, ß33 =ß34 = 1/2, b^ = (a + 1)V2y1/4, ß41 =-1/4, b42 =y-1/2, ß42 = 1/2, b43 = b44 = >/2

-3/4, ß43 =ß44 = 3/4 .

Uv. [k (X)] = Uv. [k (X)] .

(2.12)

3. Аналог метода Хилла

Вводя обозначение = ау /(Х + /шу), удобно представить бесконечную

однородную систему линейных уравнений (2.8), (2.9) в форме

1>,+Ф(Х + /шу)е-«Х+”>^/V-0’[Р,(Х + /ш/)2 + Р,(Х + /ш/) + в3]]0, у = 0,±1,±2,... (3.1)

Здесь

Ф(Х) = б(Х)/£>(Х), £>(Х) = ёй{фч.(Х)}, V,] = 1,2,3,4 ; 0(Х) = ёе1{фч-(Х)}, V,] = 2,3,4 (3.2)

Ф(Х), ^(Х), б(Х)- соответственно, аналоги передаточной функции,

характеристического и возмущающего квазимногочленов ДКС [2], [4]. В соответствии с (2.10)-(2.12), функции О(Х) и б(Х) аналитичны при ReХ > 0, и

ImX

©

D(X) = D(X), Q(X) = О (X),

lim X-7D(X) = Const, Re X > 0

(3.3)

Рассуждения, аналогичные п. 2, позволяют

установить, что характеристический квазимногочлен

ReX

Рис. 2

D(X) имеет не более чем конечное число нулей при Re X>0. Заметим, что аналитичность функций D(X) и Q(X), а также конечность числа нулей функции D(X) в правой полуплоскости позволяют достаточно быстро на основании принципа аргумента провести проверку наличия у них совпадающих нулей в правой комплексной полуплоскости. Для этого достаточно сначала проверить наличие нулей D(X) и Q(X) в некоторых вертикальных полубесконечных полосах, а затем, если таковые будут выявлены, проверить наличие нулей D(X) и Q(X) в прямоугольниках некоторой конечной высоты в пределах полуполосы (рис. 2).

Из приведенного в [4] доказательства теоремы об устойчивом квазимногочлене следует, что, в соответствии с (3.3), число нулей (с учетом их кратности) характеристического квазимногочлена D(X) в правой полуплоскости Re X>0 определяется величиной

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

P = — (7-2 А argD(/о)) . (3.4)

2я V o<a<w /

Будем далее предполагать, что квазимногочлены D(X) и Q(X) не имеют совпадающих нулей при Re X>0; в таком случае величина (3.4) определяет суммарную кратность полюсов передаточной функции Ф(Х) в правой полуплоскости.

Определитель бесконечной системы линейных уравнений (3.1), являющийся аналогом определителя Хилла, вычисляется следующим образом:

D (X) = lim D„ (X), D„ (X) = det{D (X)}, - n <v< n, - n < j < n , (3.5)

n^w

Dvv(X) = 1, D,.(X) = /V:-jV,(“"v^(X + rnv)[b,(X + /fflj)2 + ¿2(X + rnj) + ь,], V] . (3.6)

Используя неравенство Адамара [7, с. 35], можно показать, что в некоторой

конечной области правой комплексной полуплоскости, последовательность (3.5) сходится равномерно, и, следовательно, функция D(X) обладает свойствами, типичными для определителя Хилла:

D(X) = D(X) , (3.7)

D (X + /и) = D (X) , (3.8)

D (X) ^ 1 при Re X^-ro . (3.9)

Сверх того, из равномерной сходимости последовательности (3.5) и свойства периодичности (3.8) следует, что функция D(X) будет аналитична при ReX> 0, за исключением счетного числа полюсов, получающихся сдвигом полюсов передаточной функции Ф^) (т.е. нулей характеристического квазимногочлена D(X)) на величину /пи , n = 0, ±1, ±2,...

С вычислительной точки зрения, последовательность (3.5) может сходиться достаточно медленно, однако сходимость соответствующего ей ряда

D (X) = 1 + (D1(X) -1) + (D2(X) - D,(X)) + (D3(X) - D2(X)) +...

значительно улучшается преобразованием в непрерывную дробь [8].

Можно показать, что, если в правой части бесконечной однородной системы уравнений (3.1) заменить нули некоторой последовательностью, для которой сходится сумма квадратов модулей элементов, то решение можно найти по формулам, аналогичным формулам Крамера, и оно также будет представлять последовательность, для которой будет сходиться сумма квадратов модулей элементов. Следовательно, для того, чтобы бесконечная однородная система линейных уравнений (3.1) допускала нетривиальное решение относительно Фурье-коэффициентов vV, v = 0, ±1, ±2,..., необходимо потребовать выполнения условия, аналогичного уравнению Хилла

Аналогично теореме Андронова-Витта можно полагать, что предельный цикл будет орбитально асимптотически устойчив [1, с. 309], если, с точностью до несущественного сдвига на кратную /ш величину, все возможные показатели X будут иметь отрицательные мнимые части, кроме одного показателя Х=0 кратности 1.

Применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям, когда отсутствует запаздывание аргумента, а передаточная функция Ф(Х) представляет собой рациональную дробь, расположение и кратность полюсов которой известны, имеется возможность выделения особенностей определителя Хилла й(Х) и его дальнейшего упрощения на основе теоремы Лиувилля. Однако в случае ДКС сложность поведения передаточной функции Ф(Х) в левой комплексной полуплоскости исключает подобную возможность.

а б в

Рис. 3

Из свойства периодичности (3.8) следует, что, при исследовании устойчивости предельного цикла достаточно исследовать наличие либо отсутствие корней определителя Хилла й(Х) в некоторой полубесконечной полосе (рис. 3, а) в правой комплексной

полуплоскости, параллельной действительной оси и имеющей ширину ш, причем там может быть лишь конечное число корней. Далее, из свойства периодичности следует, что в рассматриваемую полуполосу попадет лишь столько различных полюсов определителя Хилла, сколько имеется в правой полуплоскости различных полюсов передаточной функции Ф(Х), если только полюса не отличаются друг от друга на величину, кратную /ш.

С другой стороны, из (3.6) непосредственно следует, что, если Х=Х0 и Х=Х1 являются различными полюсами передаточной функции Ф(Х), отличающимися на величину, кратную /ш, то Х=Х0 будет полюсом определителя Хилла, причем его кратность будет равна суммарной кратности двух указанных полюсов передаточной функции. Следовательно, суммарная кратность полюсов определителя Хилла в рассматриваемой полубесконечной полосе априорно известна, совпадает с суммарной кратностью полюсов передаточной функции Ф(Х) в правой полуплоскости и определяется величиной (3.4). Однако в подобном случае число нулей в рассматриваемой полуполосе легко устанавливается на основе принципа аргумента.

Значение Х=0 априорно является корнем определителя Хилла й (X), причем

устойчивому периодическому предельному циклу соответствует корень Х=0 кратности 1. Следовательно, с учетом (3.8), (3.9), суммарная кратность полюсов Р и «опасных» нулей N определителя Хилла в полубесконечной полосе (пути обхода контуров 11 и 12 показаны на рис. 3, а и б соответственно) оценивается выражениями

1 Г ^

Р = — 7п-2Ааг§£(Х) I , (3.11)

2п ^ Хе12 у

N = — ilnP- A argD(X))-1 . (3.12)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2n \ Xe11 !

Полуполоса на рис. 3, a должна выбираться так, чтобы ее верхняя и, следовательно, нижняя полубесконечные границы не проходили через полюса определителя Хилла D (X) , т.е. через нули функций D(X + in&), n = 0,±1,±2,.... Такой выбор расположения верхней границы заведомо возможен, т.к. в правой комплексной полуплоскости в любой параллельной действительной оси полубесконечной полосе ширины ш функция D(X) имеет не более чем конечное число полюсов, и может быть достигнут, например, перемещением верхней границы по вертикали (с некоторым шагом) от точки т /2 до точки гш . В свою очередь, проверка отсутствия нулей функций D(X + i^), n = 0,±1,±2,... в узкой окрестности верхней границы проверяется посредством анализа изменения аргумента указанных функций при обходе контура, показанного на рис. 3, в.

В случае, когда входящая в (2.1) функция f (0)(t) мало отличается от константы, т.е. коэффициенты соответствующих модельных уравнений практически не зависят от времени, для коэффициентов Фурье-разложения (2.7) выполняется условие |fv(0)| << fTI.

v = ±1,±2,±3,... В тех областях правой комплексной полуплоскости, где отсутствуют полюса передаточных функций Ф(Х + гпш), n = 0,±1,±2,..., внедиагональные элементы определителя Хилла (3.5) будут пренебрежимо малы. Следовательно, некоторые из возможных нулей определителя Хилла будут содержаться в достаточно малых окрестностях полюсов передаточных функций Ф(Х + шш), n = 0,±1,±2,..., т.е. в малых окрестностях корней (нулей) характеристического квазимногочлена D(X), сдвинутых на величину, кратную гш .

В качестве примера рассмотрим спутник с безразмерными параметрами a=0,05, mc=3, Jc=0,5, m1=1, J1=0,3, y=0,08, т=0,11, ¿1=0,5, ¿2=16,5, b3=5. В данном случае параметры обратных связей не принадлежат области устойчивости, а приведенные в табл. 1

собственные частоты колебаний позволяют сделать вывод о

дестабилизации 3-й формы колебаний деформируемой

конструкции. Система допускает три предельных цикла с

частотами автоколебаний ш=1,25, 4,39, 5,81, показанные на рис. 4, а штриховой линией, пунктиром и сплошной линией соответственно. Фазовые траектории (показаны на рис. 4, б пунктиром) на плоскости (а,а), соответствующие процессу развития малых начальных возмущений, достаточно быстро подходят к предельному циклу с частотой ш=5,81 (показан сплошной линией). Приращение аргумента характеристического определителя D(X) при обходе контура 12, показанного на рис. 3, б, составляет 7п /2, а его годограф в специальном масштабе

u + iv = D(X )ln(1+ | D(X )|)/| D(X )| приведен на рис. 4, в. Следовательно, согласно (3.11), в правой полуплоскости корни характеристического определителя D(X) отсутствуют. Далее, приращение аргумента определителя Хилла D(X) при обходе контура 1Х, показанного на рис. 3, а, равно 2п, а его годограф показан на рис. 4, г. Согласно (3.12), определитель Хилла не имеет «опасных» корней в полосе, показанной на рис. 3, а, и предельный цикл с частотой ш=5,81 устойчив по отношению к малым возмущениям. Ближайшим к мнимой оси корнем определителя Хилла D (X), кроме X = 0 , оказывается X = -0,0368 ± 1,41i.

Таблица 1

Re X Im X

-0,3030 0

-0,0314 1,281

-0,2979 4,600

0,2734 5,989

а

0

-0,2

-0,4

0=1,25 у- I / — 4 о=4,3( \

1/ 7' о=5 ',81 \ п \ \

\ \ \ V #- / 1 У

\ \ \ V Ч.ч. Г

-0,14 -0,07 0 0,07 а

0,15

0

-0,15

-0,3

-0,05 -0,025 0 0,025 а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

б

Рис. 4

г

Два других предельных цикла с частотами автоколебаний ш=1,25 и о=4,39 оказываются неустойчивыми. Согласно (3.12), для предельного цикла с частотой о=1,25 в показанной на рис. 3, а полубесконечной полосе определитель Хилла й (X) кроме корня Х=0 имеет еще 3 корня (Х = 0,0561 и Х = 0,1463±0,6002/). Для предельного цикла с частотой о =4,39 определитель Хилла согласно (3.12) имеет 1 «опасный» корень (Х=0,4024).

В качестве другого примера приведем рассмотренный ранее в [2,5] спутник с параметрами а=0,05, дас=34,75, /с=0,07442, да1=3, У1=0,007, у=0,01, т=0,01, Ь1=0,7, ¿2=200, ¿з=150. В данном случае параметры обратных связей не принадлежат области устойчивости, а приведенные в табл. 2 собственные частоты колебаний позволяют сделать вывод о дестабилизации 4-й формы колебаний деформируемой конструкции. Возникает предположение о том, что развитие малых возмущений может привести к возникновению автоколебаний.

Формально, система допускает три предельных цикла с частотами автоколебаний 0=6,787, 11,46, 20,12, показанные на рис. 5, а штриховой линией, пунктиром и сплошной линией соответственно. В начальные моменты времени 0 < I < 4,5 фазовые траектории (показаны на рис. 5, б пунктиром) на плоскости (а,а), соответствующие процессу развития малых начальных возмущений, достаточно быстро подходят к предельному циклу с частотой о=20,12 (показан сплошной линией). Далее, как показано на рис. 5, в, в моменты времени 4,5<^<180 (чему соответствует примерно 560 предполагаемых периодов автоколебаний), фазовые траектории заполняют некоторую относительно узкую окрестность предельного цикла, и становится неясно, является ли предельный цикл

Таблица 2

Ре X 1т X

-0,9948 0

-0,00076 1,003

-0,8905 13,69

-5,550 34,05

6,861 50,55

устойчивым. Приращение аргумента характеристического определителя D(X) при обходе контура 12, показанного на рис. 3, б, составляет -п/2, а его годограф приведен на рис. 5, г. а

-6

ю=6,7 ✓ / \ V |>7 t Г / ч ч

/ t / ю=20, V 12\ \ I

L ' ш= ч у 1,46^ } 1 / /

N > ч г „ + ' /

а

0,7

0

-0,7

-1,4

ю=20, 12 W

А / s:-XV. ■ / / , ! t w » *,v® * v

ь: '• 1 \ * V \ \ \ \ \ Щ: * / < 'S/S. V* 1*’ *♦* - : f ///§ w

|&g * «* .» ,♦

-0,8 -0,4 0 0,4 а

-0,06 -0,03 0 0,03 а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а

3

0

-3

flOl

3 ‘ I At*

и--'""" «

-40

-20

а

д

Рис. 5

а

в

г

0

е

Следовательно, согласно (3.11), О(к) имеет две пары комплексно сопряженных корней в правой полуплоскости (Х = 0,05583 ± 0,9162/ и Х = 0,1251 ± 10,19/ соответственно). Далее, приращение аргумента определителя Хилла й (X) при обходе контура 11, показанного на рис. 3, а, равно нулю, а его годограф показан на рис. 5, д.

Согласно (3.12), определитель Хилла имеет в полосе, показанной на рис. 3, а, две пары комплексно сопряженных корней (Х = 0,04654 ± 0,9373/ и Х = 0,03037 ± 9,136/ соответственно), которые и обеспечивают постепенное отталкивание фазовых траекторий от неустойчивого предельного цикла. Далее, с возрастанием времени ¿, фазовые траектории постепенно уходят на бесконечность (рис. 5, е). Следует отметить, что корни

определителя Хилла й (X) в рассматриваемом случае оказались достаточно близкими к корням характеристического квазимногочлена О(к), что в принципе позволило бы установить слабую неустойчивость возможного автоколебательного режима при помощи анализа частотного годографа характеристического квазимногочлена О(Х) .

Два других предельных цикла с частотами автоколебаний ш=6,787 и ш=11,46 также оказываются неустойчивыми.

Заключение

Следует отметить, что, после несущественных изменений, предложенный метод будет применим и к исследованию устойчивости вынужденных периодических колебаний ДКС с нелинейными дискретными элементами. Как показано в настоящей работе, информация о расположении областей устойчивости управляемых деформируемых конструкций в пространстве параметров обратных связей имеет существенное значение, так как малоамплитудные высокочастотные автоколебания, вызванные неудачным выбором параметров проектируемой конструкции, могут, вообще говоря, оказаться неустойчивыми, что приведет к дальнейшему (теоретически - неограниченному) нарастанию начальных возмущений. В связи с этим далее представляет интерес применение моделей упругих элементов конструкций, более точно описывающих их поведение в высокочастотной области (например, с использованием моделей тонкостенных конструкций типа Тимошенко), а также уточнение математических моделей запаздывающих звеньев в системе управления. Также представляет интерес развитие строгих методов исследования устойчивости периодических режимов и для ДКС с нелинейными континуальными элементами. Однако решение данных задач выходит за рамки настоящей работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и по государственной поддержке ведущих научных школ (грант № МД-2328.2005-1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Изд-во МГУ, 1998. 480 с.

2. Моделирование влияния запаздывающего аргумента в нелинейной газореактивной системе стабилизации спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, В.С. Шорин, С.Г. Наумов / Вестник СГТУ. 2005. № 3. С. 17-27.

3. Уиттекер Э.Т. Курс современного анализа. Ч.2. Трансцендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. М.: Физматгиз, 1963. 516 с.

4. Андрейченко Д.К. К теории комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №

3. С. 54-69.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Андрейченко Д. К. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. № 6. С. 149-162.

6. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. М.: Высшая школа, 1982. 271 с.

7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1978. 832 с.

8. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К. Андрейченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 7. С. 1030-1044.

Андрейченко Дмитрий Константинович -

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета