Решение краевой задачи для системы Буссинеска на полуоси методом обратной спектральной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

на единичной окружности, то есть lim |/(z)-//2n__|(A/,/,z)j = co, причём

П—>СО

lm\f(z)-H2n_,{Mj,z}=o.

rt-»oo

Сформулированные выше результаты ранее были получены для интерполяционного процесса Лагранжа [3]. Разработанный в [3] метод построения функций из класса или ДС*(ш), для которых процесс

Лагранжа, построенный по правильной матрице М е (Вт) (либо по матрице корней п-й степени из (-1)), расходится почти всюду (либо всюду) на единичной окружности, применим для исследования других интерполяционных процессов. Установлено, что многочлены Эрмита-Фейера можно представить как сумму интерполяционного многочлена, аналогичного многочлену Лагранжа и некоторого «добавочного» слагаемого. Получены удобные для дальнейших рассуждений оценки этого слагаемого, что позволило использовать уже известные факты для построения функций с нужными свойствами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964.

2. Лозинский С.М. Об интерполяционном процессе Fejer'a // ДАН СССР. 1939. Т. 24. С. 318-321.

3. Шаталина A.B. Расходимость интерполяционных процессов Лагранжа на единичной окружности. Саратов, 1990. 30 с. Деп.в ВИНИТИ 19.07.90, № 4060-В90.

УДК 517.95

В. А. Юрко

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БУССИНЕСКА НА ПОЛУОСИ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ*

Рассмотрим следующую краевую задачу: и, =1(2^ -£<„), Зу, =/(Зухг - Ти^ - 2иих), х>0, ?>(), (!) «|,=о="о(-0> ^=0 =уо (•*•)> «оС*).^^) е 1(0,оо), (2)

«|*=о =«1(0. "4^0= «г(0, Ч*=о=П(0. ул),=0=у2(0. (3)

Система (1) после исключения у(х,г) сводится к уравнению Буссинеска

Зи„ =ихххх +2(и1)хх.

'Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (проект Е02-1.0-186).

Система (1) имеет пару Лакса, и поэтому краевая задача (1)-(3) может быть решена методом обратной спектральной задачи [1]. При этом спектральная задача соответствует линейному дифференциальному уравнению 3-го порядка, а в качестве основной спектральной характеристики берется матрица Вейля-Юрко этого оператора [2, 3].

Обозначим через ]п множество функций /(х,1) таких, что функции

д'+к

—:—-/(*,/), 0 < у + 2 к<п непрерывны при х> О, <>0, интегрируемы дх'дГ

дп

на полуоси х>0 при любом фиксированном I >0, и /С*.') 6 ЦО.оо).

Будем говорить, что {и(л:,*),у(дс,<)} е Р, если u(x,l)eJ?í,v(x,t)eJ2■ Решение задачи (1)-(3) будем искать в классе Р.

Пусть {к(дс,<),у(х,/)} - решение задачи (1)-(3). При фиксированном />0 рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка относительно х:

¿у:= у +иу +уу = Ху, х > 0. Пусть Л/тД/Д), 1<т< ] <3 - функции Вейля-Юрко для I,

соответствующие линейным формам [/^(у) := 4 = 1.3 (см. [2]-

[3]). Обозначим М®ДХ) = А/ -(ОД) - функции Вейля-Юрко для начальных данных {н0,у0} . Для случая полуоси дг>0 эволюционные уравнения на функции Вейля-Юрко являются нелинейными. Однако их можно свести к цепочке двух последовательно решаемых уравнений Риккати, каждое из которых, в свою очередь, может быть сведено к системе линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Точнее, справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 1. Пусть

"м12(ая

м13 (а).

22(гД):=Л/23(а),

и пусть

г\

Р,=ш,/3, Р^Цк-ч^Ъ^/З), Р, =/(А,-V,+«2/3), Р< ={(уг +21— и,)/3.

д1

Тогда ¿к(1,\), к =1,2, являются решениями следующих задач Коши для уравнений Риккати:

=лк+ вкгк - гкск -гкБкгк, к=1,2, (4)

zk(0,x)=z°(x),

(5)

где

Г ^2] "— F, 0 "

A\ = i. , л,=

A.

д 'K Q Dk 1 hi

dt ?k. Л k

с,=щ, а =[о,4

с2=~р\> Г>2 = ~м\г-Используя лемму Радона [4, с. 212], можно записать решение задачи Коши (4)-(5) в виде

= к = 1>2> (6) "к

где И'д(гД) и У4(/Д) являются решениями следующих задач Коши для линейных систем:

(7)

при начальных условиях

Wk(t,X) = l, Yk(Q,X)=Z°k(X). (8)

Таким образом, мы получаем следующий алгоритм решения краевой задачи (1 )-(3) для системы Буссинеска.

Алгоритм 1. (1) Но начальным данным {u(J,v0} строим функции

Вейля-Юрко M?nj(X), 1 < т < j < 3.

(2) Последовательно при к =1,2 вычисляем Zk (l,X) по формулам (6), где Wk (t,X) и Yk(t,X) находятся из (7)-(8). Тем самым построены функции Вейля-Юрко Mmj (f Д), 1 < т < j < 3.

(3) Находим функции {ii(jc,f),v(.*:,f)}, решая обратную спектральную задачу по функциям Вейля-Юрко Mmj(t,X), l<m<j<3, методом спектральных отображений [2].

ЬИВЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Dei/! P., Tomei С., Trubowilz Е. Inverse scattering and the Boussinesq equation // Comm. Pure Appl. Math. 1982. Vol. 35. P. 567 - 628.

2. Yurko V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

3. Юрко В А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов, 2001.

499 с.

4. Freiling G., Yurko V.A. Inverse Sturm-Liouville Problems and their Applications. N. Y.: NOVA Science Publishers, 2001. 305 p.