CC BY
17
булевых матриц А, В и С. Последняя система дает эквивалентную ей систему условий:
[(АП А'1) с: А\\iadj А и аф А) \ АЦ(А ~1 п афА п афА) = 0
(АЦаф'А) с АЦСА1 и ас1] А)
+
\{А\\афА)а А\\(А^ иаф А). Умножим слева каждое условие последней системы на обратную матрицу. Получим
А 1 с (adj А \ adj А) и (adj А \ adj А) + -
adj А \ adj Ас А 1
- +
adj А \ adj А с А~1.
A cz adj А и adj А
т—I —] ,, А'] n adj A n adj А = © Аf] А = К ->-j + J J_
adj А с А~х ^ adj А
\ adj A a A~l и adj А Таким образом, обратная матрица должна быть вида
А~х - (adj А \ adj А) и (adj А \ adj А), что завершает доказательство.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Потавский В. Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика- Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 111-114.
2. Rudeanu S. Boolean functions and eguations. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1974. xix+ 442 p.
3. Rutherford D. E. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963. Vol. 6,№ 1. P. 49-53.
УДК 517.95
Д. В. Понлавский
О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БОГОЯВЛЕНСКОГО*
Рассмотрим следующую задачу:
«; = ~иххх + 6гшх + 6х'х. V, = 2уххх - 6и\-х, х > 0, 1>(). (1)
"!г=о = "о(*)> *||=о =уо(х)> (2)
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376) и РФФИ (проект 04-01-00007).
98
Здесь ut,vk, к = 0,3, - непрерывные комплекснозначные функция.
В настоящей статье приводятся необходимое и достаточное условия разрешимости задачи (1) - (3) (см. теоремы 1 и 2).
Пусть D = {(х, t): х > 0, í > 0}. Обозначим через J множество вектор-функций (f(x,t),g(x,t)) таких, что функции
/ -)i'Л ' JXt ' í хх -* ''гт/» Ахжс ■ fxxxx' fxxxxx iS'St* Sx 1 ^XV ' ёдХС
непрерывны в D и суммируемы на полуоси х > 0 при каждом фиксированном í>0. Будем говорить, что функции принадлежат классу А", если вектор (ф,?),у(х,())е J и функции
хи,гГ,( I + x)mj.x2wv,(1 + х)их,хиххх,хАихххх,х2иххххх,
2 2 2 ч 2
ш<ж,(1 + х )« M^.fl + + jc )и1.и,юе,(1 + .х
ÍVaJC^Vra,(l + x)mv, (1 + -X2 )z¿vx, (1 + X2 )и t V суммируемы на полуоси x > 0 при каждом фиксированном t > 0.
Решение задачи (1) — (3) ищется в классе К . Система (1) равносильна [1] уравнению Лакса L = AL - LA, где
Ly = >'(4) - 2(иу'У + (v + и2 - )у, Ду = -Лу" + биу' + Ъиху. Здесь и в дальнейшем «штрих» обозначает дифференцирование по х, а «точка» - дифференцирование по i.
При фиксированном t > 0 рассмотрим дифференциальное уравнение
по х:
Ly = Ху, /. = р4, х > 0. (4)
Пусть ФА(х,гД), к = 1,4, - решения уравнения (4) при условиях o[J'x)(Q,í,X) = 8Jk, 7=1,Т; Ф*(х,/Л) = 0(ехр(рд*х))5 х->оо. Здесь гк -
4 i
корни уравнения г -1 = 0, занумерованные так, что
Re(pr,) < Reípíj) < Re(pr3) < Re(pr4).
Положим Mkj(t,X)~ Ф^-1)(0,*,А.), k<j\ Mkj(t,X) = &kJ, k> j;
M= kj(t.,K)\k . —. Матрица M{t,h) называется матрицей Вейля
для уравнения (4). Введем матрицу , =¡-4 по формуле
Ъи2, Ьии 0, -4 N
-4X.+ 4v, +4и?-и3, -2«,, 0
4v2 + 8г/|«2 — "4, -4А. + 4v, + 4м,, -и2, -2м,
^ , Sv2+I2u¡ít2 ~и4, -4X+4v,-M3, -3Í/2,
где
F41 = -2щ (к - vj - uf - 3иъ ) + 4v3 + 8м| - и5,
значим
и4 = -их + 6uxu2 + 6v2, и5 = -ù2 + 6г<|И3 + 6«2 + 6v3. (6)
ТЕОРЕМА 1. Пусть {u(x,t),v(x,t)\ - решение задачи (1)-(3), Обо-М° (Я.) = [M0Jk (Щ^ - [M jk (О, ~ элементы матрицы
Вейля для {м0(л-)л'о(.г)'|. И пусть матрица R(t,'A) = [R:k(t,K)]j к 4 есть решение задачи Коши
Rt(t,X) = -R(t,X)F(t,X), R(t,X\^E, (7)
где Е — единичная матрица
Тогда элементы матрицы Вейля Mit,К) удовлетворяют следующим эволюционным уравнениям по переменной t : M.j = (Fjy + FJ2Mu + Fj3^i3 + FJ4Mu) -- My(Fu + FnMn + FUMU + FUM14), ./ = 2,3,4, M2j = {Fji + Р^М2Ъ + F/4M24) - M2J (F22 + F22M2J + F24M24 ) + + (-MXJ + MnM2j)(F2X + FuM23 + F14M24), j = 3,4, (8)
Mu = + Î44M34) - MM(F33 + +
+ (-M24 + M23M34)(F2 3 + F24M34) + + (-M14 + MaM24 4- MI3A/34 - M,2M23A/-,4)(^ 13 + F]4M34) и могут быть найдены по формулам
Д/ч'Л)
«„(а).«-'.)' f^.t-M.
где Д® =det[^ 14 ,,, р = 1,4,
А® = det[RJt - M2jR2s + (-Ml- + MX2M2j)RUP = 2Л,
A? = - + (-M2°4 + M°23M*A)R2k +
+ (-<4 + MX2M24 + М?3М%Л - M?2M°3M°4)Ru]k=3A,p, p = 3,4.
Частично теорема 1 получена в [2]. Используя теорему 1, строим алгоритм решения краевой задачи (1) - (3).
Алгоритм 1. Пусть заданы функции uk(t), vk(t), к - 0,3, такие, что
M0(i),v0(i)el(0,oo), мп(0) = и,(0), v0(0) = v,(0) и щ(г), u2(t) непрерывны.
1. Вычисляем функции uA(t), u5(t) по формулам (6).
2. Находим матрицу F(t,X) = [Fkj(t,X)]k по формуле (5).
3. Находим матрицу решая задачу (7).
4. Находим матрицу Вейля M(t,X) при всех г>0 по формулам (9).
5. Находим функции u(x,t) и v(jc,f), решая обратную задачу по MU,'К) методом, изложенным в [3, 4].
ТЕОРЕМА 2. Пусть матрица M(t,X) построена по данным функциям uk,vk, к = 0,3, согласно шагам (1) - (5) алгоритма 1. Предположим, что существуют функции u(x,t), v(x,t) из класса К такие, что M(t,X) есть матрица Вейля для уравнения (4). Тогда {u(x,t),v(x,t)} есть решение задачи
(1)-(3).
Таким образом, разрешимость задачи (1) - (3) эквивалентна разрешимости соответствующей обратной задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитовы. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.; Наука, 1991. 319 с.
2. Поплавский Д. В. Метод обратной спектральной задачи для системы Богоявленского на полуоси // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2004. Вып. 6. С. 115-117.
3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. пед. ин-та, 2001. 499 с.
4. Yurko V. A Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. VSP, Utrecht, 2002. 303 c.
УДК 517.51
E. В. Разумовская, В. Г. Тимофеев О ФУНКЦИЯХ, ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ В СЛОЕ
Пусть С = С(Я") - пространство непрерывных ограниченных функций на R", п > 2, с нормой . и j - sup{ и(х) х е- R"}, = L^(R") - пространство измеримых, существенно ограниченных функций на R" с нормой I и |х; = esssup{| и(х) : х е R"}.
Обозначим через U класс функций и е С, для которых значение и, Q2u
оператора Лапласа Ан = £ ~~—Т принадлежит пространству Lrxi (R "), а сам
i=i дх~
оператор понимается в обобщенном, по Соболеву, смысле.
