Обобщение неравенства Шура на случай нескольких отрезков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отметим, что нелинейные эволюционные уравнения (7) могут быть сведены к линейной дифференциальной системе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны в двумерных интегрируемых уравнениях //УМН. 1990. Т. 45, №4. С. 17-77.

2. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. Москва: Наука, 1991

3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. пед. ин-та, 2001. 499 с.

4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002. 303 p.

УДК 517.51

И. А. Привалов

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ШУРА НА СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКОВ*

Среди неравенств для многочленов важное место занимают неравенства типа Маркова и Бернштейна. Пусть Рп - многочлен степени п, х е (-1,1), ||/||с(£) = sup|/(jc)|. Тогда

хс Е

п\\Р II

I Рп (х)\ <-. ' — неравенство Бернштейна,

' 1 V 1-х2

|р„(х)| < 2и2||Рп|| щ- неравенство Маркова.

Среди неравенств этого типа отметим также интересный результат Шура (1919 г.):

если |/^_|(jc)| < М(1 - х2) 2, то для всех х е [-1,1], ¡^„-¡¡^ 5Ми.

В частности, из неравенств Бернштейна и Шура немедленно получается неравенство Маркова.

Известны также многочисленные обобщения неравенств Бернштейна и Шура на случай рациональных функций с фиксированным знаменателем. Приведем одно из них, принадлежащее В.Н. Русаку.

Р (х) 2п

Пусть R„{x) = —где t2n(x) = [~[(1 + akx). Тогда, если при всех

\1(2л(х) *=1

х :/?„(x)j < 1, то

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01 -00060).

117

kw^vr^-^2?'где

i i vi -x

+ ал.х

Приведём следующее обобщение неравенства Шура для рациональных функций с фиксированным знаменателем на случай нескольких отрезков.

ТЕОРЕМА. Пусть

' г -I Р(хЛ м '"■>

Е, = {][а2^,агЛах=-\,а21=\, /?„(*) = А(х) = с\\{х - х^

/=1 А(х) /=1

полином порядка М , действительный, не обращающийся на Е/ в 0.

На Есправедливо следующее неравенство:

1С(£,)

М

(п + Х-М *)co(oo,») + ^w,a)(x(-,«) /=1

), (1)

где co(z,x)- плотность гармонической меры со(£/n[-l,x],C\£,z), то

X -

есть а>(£/ n[-l,x],C\£,z) = jco(z,x)dz, а ю(£/П[-1,х],С\£,г)- гармо-

-1

ническая мера [4],

h2j{x) = h2J+|(jc) = j(x - a2J)(x - a2j+i), j = 1,..(/ - 1), /г,(х) = /i2/(x) = VI - ,v2,

I/L-.=II/ * 1ЦЯ„_,. ^tsi],. *=2,..(/ -1)

¡/¡2/=|/^/lc{^,,])' Ml, =I/^.«c([-,,

/с.

2*

К

, а2кЛ ~ü2k-l

a2k+\~a2k a2k+i~a2k 2 *a2k+2 ~~a2k

2k~\

, если x e

, если x €

а^Ь-

2 I

a2k--\+a2k

>a2k

2k-\»

«2*1 + a2A

,k = 2...l,

a2k+\~a2k a2k + \~a2k

причём при = = 1.

Доказательство. Пусть х0 - точка максимума Rn(x) на E¡. a, + a2

1. Пусть х0 е

. Тогда при x0=cos90 (/?n(cos0o)) = 0.

Функция sin0*Ä„(cos0) является рациональной григонометрической функцией. Следовательно, к пей можно применить теорему А.Л. Лукашова

[3]:

(sin 8 * Ä„(cos9))

_____и _ м __

(и +1 — М*)(со,.(=о, е'®) + шЕ(0, е10)) + ^ туЮ(е'ф/ ,е'° + ,е'е)

7=1 7=1

Не),

+ (sin 0 * R„ (cos 9))2 < ¡sin 9 * R„ (cos 0)¡£ , (2)

где E = {вю : cos 6 e E}, e*9" +еч<9к =2zk, к = 1... M,

C0e (г,е'в) - плотность гармонической меры юЕ(еп{ е"?: (р е [О, G]}, С \ е,z). Обозначив функцию под знаком нормы в знаменателе в (2) через

h„(B), в точке 0О получим

(йя2(90)-1)sin2е0 *R](cosе0)<IIRJh(Е)\hn(в0)

(3)

Теперь обозначим hn{x) = со£(оо,х)п{п + 1 - M') + '^mia(zk.x), тогда из

í=i

теорем 2 и 3 из [3] можно получить /?„(()) = fi„(cos0)*sin 0 .

Из (3) следует ¡Я„||С(Я;) *^i||C(£()|H| > то есть требуемое. Заметим,

что вместо а> * °2 можно было взять любую точку из интервала (а,,а2 )■

2. Пусть теперь дг0 е [с|,а2]> где с, — середина отрезка [- 1,в2]. Возьмём некоторую точку Ье(а2,а3) и рассмотрим конформное отображение Ах + В

w(x) вида-, осуществляющее перенос а2 в 1, а3 в (-1), b в да. По-

х-Ъ

лученную после отображения систему отрезков назовём E¡ (с соответствующими üj, сj и Rn , не обращающимся на E¡ в 0). Коэффициенты А, В такого отображения будут

л = 1Ь~а2~аз В=2а2аз -Ь(а2+аз)

а3 -а2 я3 - а2

Выберем теперь такую б>0, что с, + к < х < а2 и подберём Ь так, чтобы выполнялось условие

w(c, +е) =--и (4)

Используя инвариантность гармонической меры относительно конформных отображений [4], а также аддитивность гармонической меры, получим ю£/ (x,z) = со(£/ n[-l,x],C\£,z) = ±ш(£/П[-1,а2у],С \ E¡, w(z)]),

где знак ' + ' или ' - ' ставится в зависимости от взаимного расположения и>(х) и a2j ■

Используя определение плотности гармонической меры, получим

окончательно со . (w(x),z) -

АЬ+В

ю£ (x,z).

Непосредственным подсчётом можно получить h2l(Mx)) = .

(1 -А1)

(х-ЬУ

(5)

Далее, поскольку |йл|

С([сп,а21)

R,

получим следующее не-

С([-1,с,])

равенство:

И»1с(£,) -

R.

* х-ь

,](х-а2)(х-а3)

С(Е,)

п(п + 1-М )((■

(.х-ЬУ

АЬ + В

Нетрудно подсчитать, что

)со(ю,.) + (-

(х-Ь)

2 М

Ab + В

)2>,ю(х,,«))

л/ГГ

х-Ь

АЬ + В

откуда получим окончательно

lR^mT\alj+x-a2Jf

\х-Ь\ <

а-i -а,

1 -<- 2

2 ¡х - b\ а3 - а2 '

\R„h:\\ тс

Аналогичным образом неравенство можно распространить и на остальные отрезки из Е,, рассмотрев их как объединение соответствующих половин отрезков.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Borwein P., Erdelyi Т. Polynomials and polynomial inequalities. N.Y.: Springer,

1995.

2. Milovanovic G.V. et al. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific, 1994.

3. Лукашов А. Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках (в печати).

4. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: Изд-во иностр. лит.,

1941.