CC BY
24
УДК 517.518
С. В. Тышкевич
О НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМАХ
В данной работе приводится условие наименьшего уклонения от нуля тригонометрического полинома на системе отрезков среди всех полиномов, старшие коэффициенты (А, В) которых удовлетворяют соотношению А2 + В2 = 1.
Пусть а\,а2,..., а2\ таковы, что
а\ < а2 < ... < а21, 0 < а21 — а < 2п,
и
E = У [a2k-i,a2k]
k=1
Обозначим через класс тригонометрических полиномов вида
. . . N N (N \ 7 ( N \
tn(() = A cos — (+B sin — (+a1 cos I —— 11 (+b1 sin I —— 11 (+..
N
+ a[N]cos U -
N
Y
N
( + b[N]sinU -
N ~2
A,B,a\,b\,..., a[n], n] e R, A2 + B2 = 1.
Этот класс включает в себя не только обычные тригонометрические полиномы (при чётном N), но и тригонометрические полиномы полуцелого порядка, рассмотренные в работах [1-3].
Положим ||tn|| := max |tnТочками уклонения полинома tn
сpes
па S будем называть точки, в которых |tn(^)| достигает своего максимума па S. Кроме того, через Tn (x) будем обозначать многочлены Чебышёва
Tn (x) =-7 cos n arccos x.
n v > 2n-i
Если гармонические меры отрезков рациональны, то по теореме 2 [4 найдется Ф такое, что тригонометрический полином вида
N N (N \ 7 (N \
cosФcos — ( + sinФsin — ( + a1 cos I —— 11 ( + b1 sin ( —— 1 J ( +...
наименее уклоняющийся от нуля среди всех полиномов класса
/-.-(ссеФ, ётФ) ^
IN , имеет на Е максимальное число точек уклонения.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если
N * Л • (Я Л
тм(р) = сое у р + а! со8 ( у - 11 р + Ь1 - 11 р + ...
... + ]со8(у -
N ~2
+ Ь1 ■ (N
р + Ь[1 Мт -
N ~2
Р е ^
(1,0) N
имеет, на Е максимальное число точек уклонения (^ + I), то он наименее уклоняется от нуля на Е среди полиномов в классе
ъ = у т<А'В).
А,В: А2+В2=1
Доказательство. Проведём доказательство теоремы от противного. Пусть полином
1 ( ) N + 1 (N Л + ■ (N Л + тм(р) = со8ур + а1 со8 ( у - ЧР + 81111 у - ЧР + ...
Е
Предположим, что для некоторого ф имеет место
тЦ| > ||т
Ы,ф 1
где
т
Ы,ф
/ ч . N ... N (р) = со8 ф со8 — р + 81 П ф 81 П — р+ 2 2
+а
1,Ф со8
...+а
у - чр + Ь1,Ф81П
Т - х)р +...
N
N ],* со8и -
N
р + Ь
N ],Ф
■ / N
81П и-
N ~2
Ч>
ПС ^(ссё ф,ёШ ф) г-р
— полином, наименее уклоняющийся от 0 на Е в классе . 1ак
как ||т1ф|| непрерывно зависит от ф, можно считать, что е 0, т-е-
ф = 2пр,р е е N. Я
2
Поскольку
' / N ... N Vf (N \y
cos ф cos — p + si n ф si n —Lp ) = I COs I — Lp — ФИ
1 (N Л
cos — p — ф q +
2q—1 V 2
то пары старших коэффициентов полиномов Tq f TiT*^) и T (jlT'*" ^ ) PaB~
^25=11 M 1 M " — 1 "
полиномы
ны соответственно ^-^т* ||5 ' и ^2g—1 jTT*—jjq, a H0PMы z—î- Поэтому
||тЦ|% ( Т^г) = т1, ( Р)
| т |
И
||т 1 ||дТ (ТкФФ (рЛ = т 1 (р)
||тм,Ф|| Тд ||т1 II = ТМд,ф(р)
V ||ТМ,ФН )
имеют одинаковые пары старших коэффициентов (^рт,0), при этом нормы удовлетворяют неравенству
|| 1 || _ 1 11 1 ||9 ^ 1 11 1 ||д _ || 1 ||
||ТМд || = ||ТМ|| > 29-1 ||ТМ,Ф || = ||Т^,Ф ||.
С другой стороны, тГ(гу на E пробегает отрезок [—1,1] N раз, поэтому полипом
п-* (,л lu* \\т itN( p)\ TNq (Р) = IITvIIV
ITvI
пробегает па E отрезок [—jr*q j, ||rNq j] Nq раз, a значит наименее уклоняется о венству.
с т(1,0)
няется от нуля на E в классе /Nq , что противоречит последнему нера-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Виденский В. С. О тригонометрических полиномах полуцелого порядка // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. науки. 1964. Т. 17, № 3. С. 133-140.
2. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on ares of the unit circle I I J. Approx. Theory. 1996. Vol. 85. P. 140-184.
3. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle. Orthogonal polynomials with periodic reflection coefficients // J. Approx. Theory. 1996. Vol. 87. P. 60-102.
4. Лукашов А. Л. Неравенства для производных рациональных функций // Изв. РАН. Сер. мат. 2004. Т. 68, № 3. С. 115-138.
