Чебышевские полиномы на дугах единичной окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. В. Тышкевич

УДК 517.51

ЧЕБЫШЁВСКИЕ ПОЛИНОМЫ НА ДУГАХ ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ"

Задачи о нахождении полинома степени п с заданным старшим коэффициентом, наименее уклоняющегося от нуля в метриках С([-1,1]) и ¿,([-1,1]), были решены П. Л. Чебышёвым [1, 2]. В метрике С([-1,1]) наименее уклоняющимися от нуля многочленами являются многочлены Че-бышёва первого рода

ТАх) = —- cos п arccos х, 2

в метрике Ц ([-1,1]) - многочлены Чебышёва второго рода

U „(х) = fx - cos П 1. ..fx -cos—" -1. "V (, n + \) V n + l)

В 2004 г. А. Л. Лукашов [3] решил задачу о рациональной тригонометрической функции с фиксированным знаменателем, наименее уклоняющейся от нуля на нескольких отрезках на периоде.

Известно, что полиномы Чебышёва, нули которых расположены на фиксированном компакте комплексной плоскости, применяются, например, при изучении свойств его трансфинитного диаметра, для оценки оптимальной ошибки экстраполяции с конечного множества целых функций из класса Винера [4].

Цель настоящей статьи - найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на дугах единичной окружности, с нулями на этих дугах. На множестве

Г£ = jz е С : z = е'ф, ф е £■}, где Е = [(p1,cp2]u...u[cp2/-i,q>2/]> 0 < ф, <ф2 <...<ф2/ < 2л, /> 2,

п _

будем рассматривать многочлены Pn(z) = (z-z;), zy- e ГE,j = 1 ,n.

M

Множество таких многочленов обозначим p„(£). Напомним, функция со(z, G, С \ Г£ ) называется гармонической мерой множества бсГ£ в точке z е С \ Г£ относительно области С \ Г£, если:

1) co(z, G, С \ Г£) — гармоническая и ограниченная в С \ Г£;

2) o)(z,G,C\ Г£) = 1 при z е G и co(z,G,C\ Г£) = 0 при z е Г£ \G.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).

141

Обозначив через gE(q,z) функцию Грина области С\Г£, и- внешнюю нормаль в точке q, Г£^ = jq : q = е'ф,ф е Ек = [фгА-i «Ф2А ]}> Для гармонической меры ык (z) = co(z,r£t ,С \ Г^ )можем записать соотношение

1 ф" д 1 ф24 <Э -

~ J -z-gE(4^)\dq\ + ~ { —gE(q,z)\dq\ = ak(z) + (ük(z). 71 an я дп

4>2i-l Ч>24-1

ТЕОРЕМА. Если гармонические меры юА(оо) дуг Г£ ,к — \,1,- рациональные числа, n(z,x) - плотность гармонической меры, определяемая равенством

w(z,x) = — co(z,r£ n {е'ф :0 < ф < х \с \ I £),

дх

то минимум в экстремальной задаче

maxlP Jz)\ = min maxiP (z)! (1)

геГ£' " Р„(г)ер„(Е) геГ£'

доставляют многочлены

<• \ п / ч А жп

Р„ (z)=^„ecos

V 2 £г>[0,<р]

где е £ {-1,1}, Ап = const.

Доказательство. Тригонометрический полином Тт(ф) порядка т может быть записан через свои корни следующим образом:

2m m - ф 2т i / \ 2т , ,

7=1 ^ 7=1 11 7=1

с 2m

г = 2 .

4 7=1

где с = const.

Следовательно, алгебраический многочлен степени и представим в виде

1 'Мф = г[я1(Ф),

С 12 ]

где Т (ф) - тригонометрический полином полуцелого порядка, причем

каждому корню ф, полинома Т. 1 (ф) соответствует корень г] = е'"''1 той

же кратности многочлена Р„(г) и наоборот.

Таким образом,

min maxjPn(z)¡ =

2" .

— mm max

С ф,е£ фе£

В работе [3] приводится решение задачи

min max | A cos Nq>+ В sin Mp + a, cos(N — 1)ф + ¿>, sin(W - 1)ф + ...

anb¡eR феЯ

cos N-2

Ni 2

|ф + b[n] sin

N-2

(2)

где Л'-полуцелое,N <=N/2, А, В е К, А2 + В2 Ф 0.

Анализируя доказательство теоремы 2 [3], можно заметить, что нули тригонометрического полинома 7|„ ¡(ф), решающего задачу (2), лежат на

множестве Е, значит, нули алгебраического многочлена Р* (г), решающего задачу (1), лежат на множестве Г£. Поэтому будем иметь

рп (z)=A„e cos

KU 2

£о[0,ф]

где та(г,х) = —о(г,Г£ п {е'ф : 0 < ф < х \с \ Г£), ее {-1,1}, константа А

дх

выражается в терминах автоморфных функций. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чебышёв П. Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов: Поли. собр. соч. М.;Л„ 1947. Т. 2. С. 23 - 51.

2. Чебышёв П. Л. Об интерполировании в случае большого числа данных, доставленных наблюдением: Поли. собр. соч. М.;Л., 1947. Т. 2. С. 244 - 313.

3. Лукашов А. Л. Неравенства для производных рациональных функций // Изв. РАН. Сер. Математическая. 2004. Т. 68, № 3. С. 115 - 138.

4. Маергойз Л. С. Полиномы Чебышёва на заданном компакте и их приложения Ч Комплексный анализ и его приложения: Тез. докл. междунар. шк.-конф., посвященной памяти профессора И. П. Мнтюка. Краснодар, 11-17 сент. 2005 г. Краснодар, 2005. С. 75 -76.