CC BY
11
МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ДВУХ СЕМЕЙСТВ МОДЕЛЕЙ ФРИДРИХСА Умиркулова Г.Х. Email: [email protected]
Умиркулова Гулхаё Хусниддин кизи - магистр, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: данная работа посвящена исследованию числа и местонахождения собственных значений двух семейств моделей Фридрихса hí^)(x) и x) /J,,y> 0,
x e (—t; t]1, ассоциированных с системами двух квантовых частиц на одномерной
решетке. Рассматриваемые семейства являются линейными, ограниченными и самосопряженными операторами в комплексном гильбертовом пространстве квадратично
интегрируемых функций, определенных на (—ж;ж~]. Определено число собственных значений моделей Фридрихса h(1)(x) и h(2>(x), изучено местоположение этих собственных значений, а также найдены их условия существования.
Ключевые слова: семейства моделей Фридрихса, определитель Фредгольма, собственные значения.
LOCATION OF THE EIGENVALUES OF THE TWO FAMILIES OF
FRIEDRICHS MODELS Umirkulova G.&
Umirkulova Gulhayo Husniddin kizi - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this paper is devoted to the number and location of the eigenvalues of the two families of
the Friedrichs models x) и h(2\x) jU,Y> 0, x e (—я;я], associated with the
system of two quantum particles on the one dimensional lattice. Considered families are linear bounded and self-adjoint operator in complex Hilbert space of square integrable functions defined
on (—T; я] . The number of the eigenvalues of the Friedrichs models kf( x) и h<2)( x) are
defined, the location of these eigenvalues are studied and its existence conditions are found. Keywords: Friedrichs model, system of two particles, essential spectrum.
УДК 517.984
Пусть T1 - одномерный тор и -^(T1)-гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на T1. В гильбертовом пространстве L2(T1) рассматривается два семейства моделей Фридрихса вида
h™(x)= h01}(x) — W; h™(x)= С(x)— rv2.
Здесь операторы h0X) (л;) и Va, X = 1,2 определены следующим образом:
(О x)f )( y) = u( л, y) f ( y),
(h02)(x)f )(y) = u(x,x — y) f (y), f e L2(T1);
(vf)(y) = v(yv(t)f (t)dt, ^f)(y) =|f(t)dt; f e L2(T1).
Где ¡1, Y > 0 - положительные вещественные числа, v(-) - вещественнозначная
непрерывная функция на T1 и u(-,-) — вещественнозначная непрерывная функция T2.
Пользуясь определениями линейности, ограниченности, самосопряженности оператора, можно показать, что оба семейства моделей Фридрихса hjp(x) и h^(x) являются
линейными, ограниченными и самосопряженными в L2 (T1 ) . Легко можно проверить, что
^ (h^(x)) = [m(x); M(x)]; (hf(x)) = [m(x); M(x)];
где числа m(x) и M(x) определяются равенствами:
m(x) := min u(x, y), M(x) := max u(x, y).
yET1 yET1
При каждом фиксированном x e Т1 определим регулярные в области C \ [m(x);M(x)] функции
A(>;z) = 1 — Abv2^t; A(72)(x;z) = 1 — 11 \ u( x; t ) — z ' \ u( x; t ) — z
Обычно функции A^^x;-) и A(2)(x;-) называется определителем Фредгольма,
ассоциированным с оператором hjl)(x ) и h )(x ) соответственно.
Лемма 1. Для дискретного спектра 5disc (h(l)(x)) и 5disc (hj(2)(x)) операторов
disc V Л
h ^(x ) и h(2 )(x ) имеют места равенства:
(disc (h®(x)) = {z E C \ [m(x);M(x)];A(^(x; z) = 0}; 5dlsc(hf(x)) = {z E C \ [m(x);M(x)];A<2>(x; z) = 0}.
Y
Обозначим
m := min u(x, y), M := max u(x, y).
x, уеГ1 x,ye71
Рассмотрим задачу о существовании собственных значений, операторов hjp^x) и
h^(x), лежащих левее точки m и правее точки M .
, V 2(t )dt . Пусть интеграл I- расходится при некотором x = x0 £ T , т.е.
u( x; t) - m
f V2(t)dt
lim I-—-= .
z^m-0 \ u(x; t) - m
Тогда lim A(2(x0; Z)=-<ю. Так как lim A(l)(x0; Z)= 1 и функция A(1)(x;-) монотонно убывает на полуоси (— К; m) существует единственная точка Z = Zo такая, что A(J(Xo; Zo) = 0 В силу леммы. 1 при всех J> 0 оператор hh^(xo) имеет единственное собственное значение Z0 £ (— К; m).
П xt=T 1 f v2(t)dt
Пусть теперь при всех X £ T интеграл I
i u( x; t) - m
конечен. Тогда из
.2
Aj(x;m)= 1 -J>- 0
1 u( x; t) - m
Т
следует, что
J<
f 2 Y1
, V 2(t )dt ( л
- =: J0(x)
1 u( x; t) - m
V т v ' ' у
Таким образом, в силу леммы 1 при [ < [0 (х) оператор ^^(х) не имеет собственных значений в (— Ш). В противном случае, т.е. когда [ > [ (х) оператор h (1)(х) имеет единственное собственное значение, лежащих на (— ш) . По
определению
Aj(x; M ) = 1 -J V(t)dt > 1 jV ' J u(x; t) - M
и lim A((1)(x; z) = 1 Поэтому при всех JJ> 0 и x £ T1 оператор hh^(x) не
имеет собственных значений, лежащих правее точки M.
Аналогично, если при некотором x0 £ T1 интеграл 1- расходится, то
TJi u( x0; t) - m
A^^; Z) =-К). В этом случае для любого у> 0 оператор h^2) (x0) имеет единственное собственное значение, ниже m .
В случае, когда интеграл 1- сходится, обозначеним его чрез (У)(x)) 1.
\ u (x; t) - m
Верны следующие утверждение: 1) При у < у0(x) оператор h2)(x) не имеет
собственных значений, лежащих на промежутке ш); 2) Если у > у (х), то
оператор ^> (х) имеет единственное собственное значение, лежащее левее точки ш .
Следует отметить, многие задачи, связанные с собственными значениями семейства моделей Фридрихса и обобщенных моделей Фридрихса, исследованы в работах [1-28].
Список литературы /References
1. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020). Part II. С. 19-22.
2. Умиркулова Г.Х. Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке // Вестник науки и образования. 16-2 (94), 2020. С. 14-17.
3. Умиркулова Г.Х. Использование Mathcad при обучении теме «квадратичные функции» // Проблемы педагогики. № 6 (51), 2020. С. 93-95.
4. Умиркулова Г.Х. Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса // Наука и образование сегодня. № 1 (60), 2020. С. 17-20.
5. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). С.37-41.
6. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
7. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). С. 327-342.
8. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
9. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61:7 (2014). С. 27-29.
10. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
11. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
12. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
13. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.
14.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
15. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета, Серия физ.-мат. науки, 35:2 (2014). С. 50-63.
16. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis, 11:1 (2020). С. 17-37.
17. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5 (2019). С. 511-519.
18. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). С. 616-622.
19. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
20. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теор. матем. физика, 161:3 (2009). С. 164-175.
21. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
22. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функциональный анализ и его приложения, 37:1 (2003). С. 81-84.
23. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2 (2016). C. 293-310.
24. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
25. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал, 54:4 (2015). C. 878-895.
26. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
27. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
28. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51:2 (2020). С. 7-10.
