CC BY
12
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
МОДЕЛИ ФРИДРИХСА 1 2
Хайитова Х.Г. , Ибодова С.Т. Email: [email protected]
1Хайитова Хилола Гафуровна - преподаватель; 2Ибодова Севарабону Тухтасиновна - студент, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в гильбертовом пространстве L2\—7,7], квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на \—7, 7Т\, рассматривается так называемая модель Фридрихса вида H^ = H0 — JjV, J> 0 . Здесь - оператор
умножения и V - одномерный интегральный оператор. Приведен пошаговый алгоритм исследования собственных значений оператора
H...
Построен определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором H...
[Л J
Утверждается, что правее существенного спектра оператора
H отсутствую т
собственные значения. Указаны условия существования собственных значений относительно J > 0.
Ключевые слова: модель Фридрихса, оператор умножения, оператор возмущения.
AN ALGORITM OF THE INVESTIGATION OF EIGENVALUES OF THE FRIEDRICHS MODEL Khayitova Kh.G.1, Ibodova S.^2
1Khayitova Khilola Gafurovna - Teacher; 2Ibodova Sevarabonu Tukhtasinovna- Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in the Hilbert space L2\—7,7] of square-integrable (complex valued) functions defined on \—7,7\, we consider so-called Friedrichs model of the form H^ = H0 — JiV, J> 0. Here Hо is a multiplication operator and V is a integral operator. A step by step algorithm of the investigation of eigenvalues of the operator
H
is given.
The Fredholm determinant associated with the operator H is constructed. It is stated that there are no eigenvalues to the right of the essential spectrum of the operator H
. Conditions for the
existence of eigenvalues with respect to J> 0 are indicated. Keywords: Friedrichs model, multiplication operator, perturbation operator.
УДК 517.984
Постановка задачи. Пусть я, я] - гильбертово пространство квадратично-
интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на [—я, я] . В гильбертовом пространстве L2[—я,я] рассмотрим так называемую модель Фридрихса вида
H = И0 — jV, j>0.
Здесь Ио - оператор умножения вида
(Hof)(x) = (1 — cosx)f (x), f e L2[—я, я],
а V - интегральный оператор вида
я
(Vf)(x) = sin x Jsin tf (t)dt, f e L2[—я,я],
—я
jj> 0 - параметр взаимодействие.
Шаг 1. Найдется область определение D(Иj) оператора И... В данном случае
D( Им) = L2[—я; Я].
Шаг 2. Показывается, что оператор И.. есть линейный оператор, т.е. для любых
н-
X, Р e C и f, g e L2 [—я; я] имеет место равенство
Hj(qf + Pg) = xHjf + pHjg.
Шаг 3. Доказывается ограниченность оператора И.. , т.е. существует число C, > 0
[Л [Л
такое, что для любого f e L2 [—я; я] верно неравенство
Hf||< Cj||f||, ||f|=
V
JI f (t)|2 dt.
Шаг 4. Проверяется самосопряженность оператора н,, , т.е. справедливость равенства
(н^, g) = ( f, н^ )
для любых /", g е [—я; я], где
я _
(f, g) = I f ($) g а уь.
—я
Легко можно убедится, что рассматриваемая модель Фридрихса является линейным, ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве ^2[—я,я] .
Следовательно, спектр оператора
н.. лежит в вещественной оси.
н-
Шаг 5. Показывается одномерность оператора возмущения V оператора
. Для этого
надо найти область значения ImV оператора V , и затем надо наити размерность подпространства ImV . В данном случае dim(ImV) = 1.
—я
Шаг 6. Найдется существенный спектр (7ess (Нц) оператора H... Так
как
ess\ ц
dim(ImK) = 1 , из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора Н
ц
совпадает с существенным спектром оператора H0. А для существенного спектра оператора Н имеет место равенство (Jess (Н0) = [0;2]. Следовательно, Cess(Hц) = [0; 2] . Очевидно, что существенный спектр оператора H не зависят от параметра взаимодействия Ц.
Шаг 7. Определяется так называемый определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором H.. , т.е. определим регулярную в C \ [0;2] функцию
А (z] sin21 dt
ц -Д - cost - z
Шаг 8. Доказывается, что оператор H.. имеет собственное значение Z G C \ [0;2] тогда и только тогда, когда Д^ (Z ) = 0. При доказательстве этого факта в основном исследуется уравнение на собственное значение H f = zf .
Шаг 9. Определяется дискретный спектр (disc (Н) оператора . Очевидно, что
0*0 (Нц) = {z G C \ [0; 2]: ДД z) = 0}.
Шаг 10. Изучается свойства монотонности функции Д (•) в интервалах (-да;0) и (2; + да) . При этом показывает, что
Í ДЦ(z) < 0
для
любого z G (-го; 0) ^ (2; + да). Действительно,
d t , N г sin21 dt
— Дц(z) = -ц I-г < 0
dz ц } ^¿(l - cost - z)2
для любого 2 £ (-да; 0) ^ (2; + да). Таким образом, функции Д^ (•) монотонно убывает в интервалах (-да; 0) и (2; + да) .
Шаг 11. Определяется местоположение собственных значений оператора И.. относительно значении параметра взаимодействия Ц. Так как Д (2) > 1 при всех г £ (2; + да), для любого н > 0 оператор
И не имеет собственных значений больших чем 2. Из за монотонности функции Д (•) в интервале (-да;0), оно может иметь не более одного отрицательного нуля. Следовательно, оператор
И имеет не более одно
отрицательное собственное значение.
Шаг 12. Нахождение условия существования отрицательного собственного значения
оператора H . Для этого решается неравенство Дц (z) < 0 и находится условия
для
параметра fl> 0.
Для аналогичных рассуждений см. [1-25].
Список литературы /References
1. Ибодова С. Т. О методах решений функциональных уравнений // Проблемы педагогики. № 6 (51), 2020. С. 98-100.
2. Ибодова С.Т. Некоторые факты по теории множеств // Наука и образование сегодня. 60:1 (2021). С. 69-72.
3. Хайитова Х.Г. О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 5-8.
4. Хайитова Х.Г., Рустамова Б.И. Метод обобщения при обучении математике в школе // Проблемы педагогики. 51:6 (2020). С. 45-47.
5. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:3 (2014). С. 327-342.
6. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
7. Ekincioglu I., Ikromov IA. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
8. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теорет. матем. физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
9. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.
10. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Comm. Math. Analysis, 11:1 (2020). С. 17-37.
11. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
12.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теорет. матем. физика. 103:1 (1995). С. 5462.
13. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5 (2019). С. 511-519.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). С. 616-622.
15. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods Func. Anal. Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
16. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теор. матем. физика, 161:3 (2009). Стр. 164-175.
17. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Матем. заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
18. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмуще-ний существенного спектра // Функц. анализ и его прил., 37:1 (2003). С. 81-84.
19. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
20. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сиб. мат. журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
21. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2 (2016), C. 293-310.
22. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сиб. мат. журнал, 54:4 (2015), C. 878-895.
23. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
24. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51:2 (2020). С. 7-10.
25. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020), Part II. С. 19-22.
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ И ХИМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ почвы Хикматов Б.А. Email: [email protected]
Хикматов Бехзод Амонович - магистр, кафедра физики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в целях дальнейшего развития строительной отрасли Президент Мирзиёев 23 мая 2019-года подписал документ «О дополнительных мерах по ускоренному развитию отрасли строительных материалов». Согласно постановлению, сырьевая база строительной отрасли будет расширена с целью создания благоприятных условий для быстрого развития и диверсификации отрасли, привлечения инвестиций в переработку местных минеральных ресурсов и увеличения экспорта строительных материалов. Сегодня важно производить качественные, недорогие и долговечные строительные материалы на основе местного сырья
Ключевые слова: гигроскопическая влажность, пористость почвы, плотность, механического состава, глиняных компонентов, кварцевого песка.
STUDY OF PHYSICAL-MECHANICAL AND CHEMICAL PROPERTIES
OF SOIL Hikmatov BA.
Hikmatov Behzod Amonovich - Master, DEPARTMENT OF PHYSICS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in order to further develop the construction industry, on May 23, 2019, President Mirziyoyev signed a document "On additional measures for the accelerated development of the construction materials industry". According to the decree, the raw material base of the construction industry will be expanded in order to create favorable conditions for the rapid development and diversification of the industry, attracting investments in the processing of local mineral resources and increasing the export of construction materials. Today it is important to produce high quality, inexpensive and durable building materials based on local raw materials. Keywords: hygroscopic moisture, soil porosity, density, mechanical composition, clay components, quartz sand.
УДК 662.997
