CC BY
013. Бобылев А.А. Численное построение трансформанты ядра интегрального представления оператора Пуанкаре Стеклова для упругой полосы // Дифференц. уравнения. 2023. 59. № 1. 115 129.
14. Бобылев А.А., Белашова И.С. Численное решение плоских контактных задач для упругих тел с функци-онально-градиснтными покрытиями // Нелинейный мир. 2013. 11. № 10. 689 695.
15. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешки В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974.
16. Айзикович С.М. Статические контактные задачи для неоднородного по глубине основания // Механ. контактных взаимодействий. М.: Ф1П.\1,\ТЛПТ. 2001. 199 213.
17. Айзикивич С.М., Александров В.М., Белоконь А.В., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006.
18. Ватульян А. О., Плотников Д.К. К исследованию контактной задачи для неоднородной упругой полосы // Прикл. матем. и механ. 2021. 85. вып. 3. 283 293.
19. Никишин В. С. Статические контактные задачи для многослойных упругих тел // Механ. контактных взаимодействий. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 214 233.
20. Бабешки В.А., Глушкив Е.В., Глушкива Н.В. Методы построения матриц Грина для стратифицированного упругого полупространства /'/' Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. 27. № 1. 93 101.
21. Бобылев А.А. О вычислении передаточной функции оператора Пуанкаре Стеклова для функционально-градиентной упругой полосы // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 5. 52 60.
22. Хлуднев A.M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2010.
23. Wang Q.J., Zhu D. Intel-facial Mechanics: Theories and Methods for Contact and Lubrication. Boca Raton: CRC Press. 2019.
24. Wang Q.J., Sun L., Zhang X., Liu S., Zhu D. FFT-based methods for computational contact mechanics // Front. Mech. Eng. 2020. 6. N 61. 92 113.
25. Бобылев А.А. Применение метода сопряженных градиентов к решению задач дискретного контакта для упругой полуплоскости // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2022. № 2. 154 172.
26. Polonsky I.A., Keer L.M. A numerical method for solving rough contact problems based on the multi-level mnlti-snmmation and conjugate gradient techniques // Wear. 1999. 231. N 2. 206 219.
Поступила в редакцию 14.12.2023
УДК 539.3
МЕРА НЕПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ РАЗГРУЗКИ В ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Д. В. Георгиевский1, Н. А. Раутиан2
С позиции теории малых упругопластических деформаций анализируется напряженно-деформированное состояние сплошной среды на различных траекториях разгрузки после простого активного процесса. Показывается, что если разгрузка непропорциональная, то определяющие соотношения, связывающие девиаторы напряжений и деформаций, теи-зорно нелинейны, т.е. единичные направляющие этих девиаторов не совпадают. Устанавливается. что в пятимерном девиаториом пространстве Илыошина существует только одна точка полной разгрузки и она принадлежит отрезку предшествующего активного нагруже-ния. Вводится в рассмотрение мера непропорциональности разгрузки, характеризующая степень отклонения траектории пассивного процесса деформации от упомянутого ранее
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович доктор физ.-мат. паук. проф.. зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ: директор НИИ механики МГУ: сотр. Моск. центра фупд. и прикл. матем.. e-mail: georgievOmecli.mat.li.msu.su.
Georgievskii Dimitri Vlatlimirovich Doctor of Fliysical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of t.lie Cliair of Elasticity Theory: Director of t.lie Institute of Mechanics: Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
2 Раутиан Надежда Александровна доктор физ.-мат. паук, доцепт каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ: сотр. Моск. центра фупд. и прикл. матем., e-mail: 11raut.ia11Omail.ru.
Rautian Nadezhda Aleksandruvna Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Cliair of Mathematical Analysis: Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.
(о) Георгиевский Д. В., Раутиан Н.Л., '2024 (о) Georgievskii D. V'., Rautian N.A., 2024
(cc)
отрезка. Эта мора вычисляется для двух кусочно-линейных разгрузок на примере трубы постоянного кольцевого сечения, подверженной одновременному действию (гв)-кручения и осевого (гг)-сдвига.
Ключевые слова: теория малых упругопластичоских деформаций, пятимерное пространство Плыошина. разгрузка, интенсивность тензора, довиатор. мера непропорциональности.
From the standpoint of the theory of small olastoplastic deformations, the stress-strain state of the continuous medium along various unloading trajectories from the state achieved as a result of a simple active process is analyzed. It is shown that if the unloading is disproportionate, then the constitutive relations connecting the doviators of stresses and strains are tensorially nonlinear, i.e.. the unit tensors of these doviators do not coincide. It is shown that in the Ilynshin five-dimensional deviatoric space there exists only one full unloading point, and it belongs to the line segment of the preceding active loading. A measure of the non-proportionality of the unloading is introduced, characterizing the degree of deviation of the path of the passive deformation process from the previously mentioned line segment. This measure is calculated for two piece-linear nnloadings using the example of a constant armnlar tube subject to the simultaneous action of (rB)-torsion and axial (rz)-shear.
Key words: theory of small olastoplastic deformations. Ilynshin five-dimensional space, unloading, intensity of tensor, deviator. measure of disproportion.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-9
1. Определяющие соотношения теории малых упругонлаетичееких деформаций, основные положения которой содержатся в монографиях [1, 2| (см. также [3]), предполагают, что при простом активном процессе деформирования, а следовательно, и нагружения, единичные направляющие S0 = Sij /ои ш e0j = eij/еи девиаторов напряжений Sij и малых деформ аций ej совпадают:
Sij = ~~ аи = \ si. isi. i ■ su = \ 1 /./' /./• (1)
еи
где ои и еи — интенсивности напряжений и деформаций, Sij = aij — oSj, eij = eij — Qbj/3, о = Okk/3 в = еик-
Квадратичные инварианты связаны между собой заданной универсальной материальной функцией
ои = F (еи), (2)
обладающей свойством монотонного возрастания для всех значений аргумента еи и равной 2^еи при еи < es, где ^ — упругий модуль сдвига, es — предел текучести по деформациям. Характерный вид такой функции для простого активного процесса (кривая OABC) приведен на рис. 1. Линейные инварианты зависят друг от друга посредством другой универсальной функции материала: о = f (в), чаще всего принимаемой линейной: о = KB, где K — упругий модуль объемного сжатия.
Тот факт, что процесс является простым, эквивалентен неизменности единичного тензора ej. Геометрически в пятимерном девиаторном пространстве Ильюшина E5 это также означает, что траектория деформации луч,
OA
B
шение |OA'|/|OBна рис. 1 равно отношению |OA|/|OB| на рис. 2.
B
процесс деформирования закончился и началась монотонная разгрузка. Параметры напряженно-деформированного состояния в момент начала разгрузки будем помечать звездочкой вверху. По какому бы пути в про-
странстве Е5 разгрузка ни шла, в теории малых упругопластических деформаций приняты определяющие соотношения упругой разгрузки:
вП = в* - 2^(e■ij - егз )• (3)
Два из таких возможных путей из точки В внутрь сферы еи = еи вплоть до полной разгрузки в точке О приведены на рис. 2 — пути а и Ь. Будем помечать звездочкой внизу параметры величин в момент полной разгрузки, т.е. в точке О. Так, по определению, аи* = 0. Путь а представляет собой отрезок ВО, его называют простой или пропорциональной разгрузкой. Путь Ь — произвольный криволинейный (непропорциональный), но, как и а, монотонный. В [4] представлено экспериментальное обоснование закона сложной разгрузки материалов, а также дана краткая историческая справка об исследованиях закономерностей разгружения материалов при простых и сложных процессах деформирования [5].
2. Покажем, что из всех возможных траекторий разгрузки только для пути а определяющие соотношения (3) эквивалентны соотношениям (1), если подставить в них
<Ги = < - 2^(е*и - еи), еи ^ еи ^ еи*, (4)
т.е. уравнение отрезка ВО на рис. 1. Беря разность Дв^ между компонентами девиатора напряжений, вычисленными по формулам (3) и по формулам (1), (4), получим
= % 4 " " е^) - ^К ~ 2ц{е*и - еи)]е^ = (а*и - 2/х<) - =
еи еи ^ еи еи '
= « - (е0* - е°)• (5)
Из цепочки равенств (5) видно, что Дв^ = 0 тогда и только тогда, когда е- = е®*, т.е. разгрузка идет вдоль отрезка ВО Таким образом, отрезок ВО на рис. 1 может быть интерпретирован как
В
пропорциональной разгрузки, идущей вдоль того же луча, что и активный процесс, но в противоположную сторону.
Заметим, что разность аи-2^еи равна нулю на упругом участке ОА (рис. 1) и в силу выпуклости вверх графика функции (2) (такая выпуклость эквивалентна тому, что материал обладает мягкой характеристикой) отрицательна при еи > е3. Следовательно, в (5) имеем
а*и - 2^е*и < 0. (6)
Введем в рассмотрение безразмерную величину 5, характеризующую непропорциональность разгрузки в некоторой ее точке:
¿ = о о ^2, (7)
2« - 2/хе*)2
а также интегральную характристику Д — меру непропорциональности всего процесса разгрузки:
Д = у 5(в) йв = 8* - е0* У е0 (8) йв, (8)
о о
где начало траектории разгрузки в = 0 соответствует точке В на рис. 2, а конец в = в* — точке О полной разгрузки. Для пути а, естественно, 5(в) = 0 и Д = 0.
В
Е5 существует единственная точка полной разгрузки, а именно точка О, лежащая на луче первоначального активного процесса. Для этого на основании закона линейной разгрузки (3) вычислим интенсивность напряжений аи. После ряда преобразований будем иметь
а2и = « - 2^е*и)2 + 4^е°*е°,(а*и - 2^)еи + 4^. (9)
Записывая равенство (9) для момента полной разгрузки (аи = 0 еи = еи*), придем к квадратному уравнению для еи*. Поскольку |е®*е- | ^ 1, дискриминант этого уравнения всегда неположителен. Он равен нулю в двух случаях:
а) е0* е0 = —1. Тогда интенсивность остаточных деформаций €и* = ст**/(2^) — в силу неравенства (6) отрицательна, что противоречит определению (1);
б) = 1. В этом случае будем иметь
Ь*
М
В
€ и
I)
г* _ > о "" 2ц '
(10)
что согласуется с пропорциями из прямоугольного треугольника В В'Б на рис. 1. Таким образом, полная разгрузка в пространстве Е5 может быть осуществлена только в точке Б € [ОВ], причем в силу (10)
|ОБ|
=1
К
= 7-
(11)
|ОВ | €*и ' 2^
Параметр 7 € [0; 1) для фиксированного материала зависит только от момента начала разгрузки.
3. Приведем пример вычисления меры непропорциональности разгрузки Д (8). Пусть имеется полый однородный толстостенный образец постоянного кольцевого сечения, подверженный одновременному действию (г0)-кручепия и осевого (г^)-сдвига. Обозначим ненулевые физические компоненты де-виатора деформаций в цилиндрической системе координат, свя-Рис. 3 занной с образцом, через егв = а и егх = Ъ. Первоначальный
активный процесс из недсформированного состояния вел себя так, что величины а и Ъ монотонно возрастали от нуля до а* и Ъ*, причем их отношение оставалось постоянным и равным к = Ъ*/а*, 0 < к < то (рис. 3). Имеем
а* егв
1
л/2(1 + к2)
ео* =
к
л/2(1 + к'2)'
Непропорциональная разгрузка ведется по двузвенной ломаной ВКБ, где координаты точек К и Б в плоскости (егд, егг) следующие: К = (а*,Ъ*(1 — 7)), Б = (а*(1 — 7),Ъ*(1 — 7)), а параметр 7 задан в (11). Согласно определениям (7) и (8) запишем:
5 = 1 2(е°* е^в + ) = 1
1 + к2
(ео0 + ке,
0)
8*
/ (е^ОО + Ле^))^, в* = (а*+Ь*)(1-7). (12)
БКВ
Приведем выкладки, необходимые для вычисления интеграла (12):
Ь*(1-7)
у е°°0 ^ ^ = у
а* ^
= —р(ахс'811 к — агсаЬ 7 /г),
БК
о
Ь*(1-7)
у ^ ^ ^ = у
БК о
(о*+Ь*)(1-7)
■\/2(а*2 + (6* - §)2) У2
е^(5) ^ =
КВ
Ь*(1-7)
(о* +Ь* )(1-7)
■\/2(а*2 + (Ь* - в)'2)
(а* +Ь*(1 -7) л/2[(а* + Ь*(1 - 7) - ¿)2 + 726*2)
у ^ ^ ^ = у
КВ Ь*(1-7)
7Ъ* ^
д/2[(а* + Ь*(1 - 7) - «)2 + 726*2)] ^
(уТ+тЧ? - 7 л/1 + Й2) :
агЫ,}). л/2 V 7/г /г/
A-bkd = а*(1 + к)( 1 — 7 )--. arcsh к — arcsh7 к + (1 — к) л/1 + 72 А;2 —
V1 + k2 L
— (7 — /г) л/1 + к2 + 7Й2агс8Ь -5-—7/г2агс8Ь^- . (13)
7« к!
Выражение (13) выдерживает предельные переходы
ДБКЭ к^О ^ 0, ДБКЭ йа*=Ь* ^ ° (14)
в результате которых одно из звеньев ломаной ВКО исчезает. При этом разгрузка приближается к
Д
ется пределами (14).
Если разгрузку из точки В проводить по ломаной ВМО (рис. 3), то мера Д будет другой:
а* г 1 7 -
двмо = а*(1 + £;)(! — 7)--. /гагсвЬ -— /гагсвЬ -— (1 — /г) д/72 +
УГТР
kk
- k 1
+(1 — 7/г)V 1 + к2 + 7fcarcsh--^kmcshk . (15)
Y J
Выражения для мер (13) и (15) совпадают при k = 1, что соответствует случаю, когда сдвиговые деформации erQ и erz меняются по одному и тому же закону, т.е. перестановочны.
Авторы приносят благодарность А.В.Муравлёву за полезное обсуждение сделанных в работе выводов и заключений.
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 24-21-20008).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин A.A. Пластичность. Упруго-пластические деформации. 3-е изд. M.: URSS, 2018.
2. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. 3-е изд. M.: URSS, 2020.
3. Ленский B.C. Введение в теорию пластичности. Вып. 1, 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968-1969.
4. Зубчанинов В.Г. Закон сложной разгрузки материалов в теории пластичности // Проблемы прочности и пластичности. 2008. 70. 7-17.
5. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.
Поступила в редакцию 12.01.2024
