CC BY
14. Сытинский А. Д. Связь сейсмической активности Земли с солнечной активностью и атмосферными процессами. Л.: Наука, 1985.
5. Дода Л.Н., Натяганов В.Л., Степанов И.В. Эмпирическая схема краткосрочного прогноза землетрясений // Докл. РАН. 2013. 453, № 5. 551-557.
6. Dodo, L.N., Dushin V.R., Natyaganov V.L., Smirnov N.N., Stepanov I. V. Earthquakes forecasts following Space and ground-based monitoring //Acta Astronáutica. 2011. 69, N 1-2. 18-23.
7. Триггерные эффекты в геосистемах: мат-лы III Всерос. семинара-совещания / Под ред. В.В. Адушкина, Г.Г. Кочаряна. ИДГ РАН. М.: ГЕОС, 2015.
8. Триггерные эффекты в геосистемах: мат-лы IV Всерос. конф. с международным участием / Под ред. В.В. Адушкина, Г.Г. Кочаряна. ИДГ РАН. М.: ГЕОС, 2017.
9. Федоров В.М. Гравитационные факторы и астрономическая хронология геосферных процессов. М.: Изд-во МГУ, 2000.
10. Маслов С.А., Натяганов В.Л., Скобенникова Ю.Д. Механические причины современной активизации планеты и ее последствия // Сб. статей XII Всерос. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Серия "Механика жидкости и газа". Т. 2. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. 619-621.
11. Нигматулин Р.И. Механика сплошной среды. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2014.
12. Алексеев В.В., Киселева С.В., Лаппо С.С. Лабораторные модели физических процессов в атмосфере и океане. М.: Наука, 2005.
13. Хан X. Теория упругости: основы линейной теории и ее применения. М.: Мир, 1988.
14. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955.
15. Левченко Д.Г. Регистрация широкополосных сейсмических сигналов и возможных предвестников сильных землетрясений на морском дне. М.: Научный мир, 2015.
Поступила в редакцию 02.05.2021
УДК 539.3
ТЕОРИЯ ПЯТИМЕРНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
И. Н. Молодцов1
Рассмотрен вариант определяющих соотношений для описания процессов сложного нагружения с траекториями деформации произвольной размерности. Получены векторные определяющие соотношения и новый метод математического моделирования пятимерных процессов сложного нагружения, аттестованный на двух- и трехмерных процессах постоянной кривизны. Определяющие соотношения описывают этапы как активного нагружения, так и разгрузки. Получены явные представления вектора напряжений в произвольном процессе деформации. Показано, что параметрами состояния модели в пятимерном пространстве девиатора деформации являются четыре угла из представления направляющего вектора напряжений в репере Френе, но не прямо, а в форме четырех специальных функций. Эти функции названы функциями P.A. Васина. Также рассмотрен процесс сложного нагружения по трехмерной винтовой траектории деформации, где после нырка и последующей догрузки реализуется установившийся процесс нагружения с уравнениями, практически повторяющими геометрию траектории деформации. Аналогичные результаты получены и для пятимерных винтовых траекторий деформации. Отсюда делается вывод, что для данного класса процессов имеет место соответствие геометрий траектории деформации и траектории нагружения.
Ключевые слова: сложное нагружение, определяющие соотношения, траектория деформаций и отклик, теорема изоморфизма, калибровка функционалов.
A variant of the constitutive equations for describing complex loading processes with deformation trajectories of arbitrary geometry and dimension is considered. The vector
1 Молодцов Игорь Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mechmathmsu®mail.ru.
Molodtsov Igor Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Elasticity.
20 ВМУ, математика, механика, № 2
constitutive equations and a new method of mathematical modeling the five-dimensional complex loading processes are obtained. This method is certified for two- and three-dimensional processes of constant curvature. The constitutive equations describe the stages of active loading and unloading. Explicit representations of the stress vector in an arbitrary deformation process are obtained. It is shown that the state parameters of the model in the five-dimensional deformation space are the four angles from the representation of the direction stress vector in the Frenet frame, not directly, but in the form of four special functions whose form is known. These functions are called the R.A. Vasin functions. The process of complex loading along a three-dimensional helical trajectory of deformation is also considered, where, after diving and subsequent additional loading, the equations of the steady-state loading process are established. Similar results are obtained for five-dimensional helical deformation trajectories. Hence, it follows that for this class of processes there exists a correspondence between the geometries of the deformation and reaction paths in the form of a loading path.
Key words: complex loading, constitutive equations, deformation and stress trajectories, theorem of isomorphism, calibration of functionals.
1. Общий случай пятимерных процессов сложного нагружения. В случае пятимерных процессов деформации в [1] получены определяющие соотношения, приводящие к системе уравнений для углов репера Френе, в каждое из уравнений которой входит единственный функционал. Прообразом этих уравнений в двумерных процессах деформации является трехчленная формула А.А. Ильюшина [2]. Данная формула была предложена А.А. Ильюшиным априори и позднее была получена В.И. Малым в [3] из общего представления угла сближения вектора напряжений с направляющим вектором траектории деформации в первом приближении через кривизну траектории. В [1] это представление было обобщено на пятимерные процессы деформации. Для этого в пятимерном пространстве E5 девиатора деформации был выбран ортонормированный репер, состоящий из направляющего вектора напряжений
па = COS в\П\ — sin 0\ (cos в2П2 — Sin в2 (COS dsns — sin O3 (cos в^Щ — sin 04П5)))
и четырех векторов, построенных на основе ортов репера Френе:
_ _/ Щ — COS в\Па
Па,щ = -—-,
sin д1
_/ _ п2 - {п2,па)па -
п2 = : Ъ '
sin д2
_, _ Пз - (п3,па)па - (таз, та^та^ - (пз,п2)п2
—/ _П4~ (П4,Па)гга — {п4,п'1)п'1 — (П4,П'2)П2 ~ (п4,п'3)п'3
п4 = : Ъ •
sin д4
Определяющие уравнения в пятимерном пространстве имеют вид
ft, = 9. sin вЛ + £ sin « + 1 Sin « + «1 sin вл,
a a a a (1)
<7 = P cos в\.
Они содержат пять функционалов процесса деформации P, Q, F,U,W и описывают векторные и скалярные свойства материала. Здесь и далее точка обозначает производную функции по длине дуги траектории деформации. Векторные уравнения сводятся к системе дифференциальных уравнений для четырех углов разложения вектора напряжений в репере Френе:
в\ = cos в2 — — sin в\, а
• cos #1 F sin в2 02 = к2 cos вз - жх . sin 02 Н---—-,
sin в1 a sin в1
• cos д^ U sin #3 "3 = >i3 COS в4 — к2 ——— Sin 03 —
sin д2 a sin д1 sin д2'
cos д3, W sin д4
04 = K4 — Кз ——— sin 64 +
sin д3 a sin д1 sin д2 sin д3
где к (i = 1, 4) обозначают кривизны траектории деформации. В каждое из уравнений системы входит единственный функционал, и он легко из этого уравнения определяется. В итоге получаем представления
Q К cos 02 - 01 F 02 - К2 cos д3
— = --, — = -- Sin в\ + УС\ COS в\ ,
a sin 01 a sin 02
U КЗ cos 04 - 03 . , . , , W /04 - К4 . А . .
— = ---Sin 01 Sin 02 — >Í2 COS 02, - = -7— Sin 03 + >í3 COS 03 Sin 01 Sin 02-
a sin 03 a \ sin 04 /
Векторное уравнение (1) интегрируем подстановкой <т = Е(<т/Е). Здесь E(s) — дифференцируемая функция-метрика, зависящая от длины дуги траектории деформации s. В преобразованном уравнении слагаемые с ña убираем за счет специального выбора функции Е. Получим дифференциальное уравнение с точным решением
ais) =
sin 01 sin 02 sin 03 sin 04 '
где
ao sin 0io sin 02o sin 03o sin 04o , . If cos 04
7 =-^-> a4(s) = exp щ . ds
Eo \ J sin 04
и векторное уравнение
_ Qi _ Fi _ C/i _ W
^ =П1-+П2-+Пз-+П4-, (3)
где
cos 01 cos 03 cos 04
Qi = [Fcose2-u—— + w. .
sin 01 \ sin 02 sin 02 sin 03
cos 02 cos 02 cos 04 cos 03
F\ = F — U ——— cos 03 + W——-——Ui = U - W . , cos 04. sin 02 sin 02 sin 03 sin 03
Уравнение (3) интегрируется и с учетом формул Френе образует новый комплект функционалов
V К2 J V К3 /
Результат интегрирования записывается в виде
w ^ ( п - F20- Uw~ W°- \ J. a(s) = E(s) a0 - Q20s0--nю--n20--п30 +
V Kio К20 К30 J
( _ F2_ Ui_ w_ \
+ Q2£(s) H--m(s) H--n2(s) H--n3(s) -
V Ki K2 K3 у
{s s s s
МЧ+/«^й+/^ • (4)
o o o o
Здесь переменные с индексом 0, такие, как <т0, отмечают начальные величины векторов напряжений, деформации, а также функционалов и кривизн. Первое слагаемое формулы (4) является
Е
отклик на процесс деформации в данной точке, третье с учетом отрицательного знака — дополнительные (диссипативные) напряжения, накапливаемые вдоль траектории деформации. Далее принимаем для этих напряжений обозначение ap(s). Естественно считать функционалы Q2,F2,Ui,W упруго-неупругими определяющими функционалами, т.е. функционалами-модулями.
В пятимерных процессах деформации справедливы следующие представления функционалов:
W2 = —V4 + k3V3 - X4V5 - X4V4 ,
Y Ea4
^ = V' — K2V2 + X3V4 + K4V3V4,
7 Ха4
Y Ха4
Qi
Y Sa4
= — V2 + K1V1 — K2V3 — x4V2V4, = V? + K1V2 + K4V1V4,
где
cos 04 cos O3 cos e^ cos 01
1/5 = 1, 1/4 = ■ д , 1/3 = -Г-7-Г-7-, = -r-7-Г-7-, П = -T—7.-Г-7--
sin e4 sin 03 sin 04 sin e2 ... sin e4 sin 01 ... sin 04
Эти функции характеризуют механическое состояние упругопластического тела в данной общей математической модели.
В статье [4] в двумерных процессах с траекториями деформации в виде двухзвенных ломаных выбор уравнения для угла был обоснован. В процессах произвольной размерности это обоснование сохраняется. Тогда получим задачи
УГ = Т2, 0г(О)=тг/2, 0?(О) = О, г = 1,... ,4,
Лг
с интегралами
s2 „ s2
Ctg6,4 = 2V' ctSö3 = Sinö4,
s2 s2
ctg $2 = -2 с1]ё = -2
2Л2 2Ai
определяющими четыре универсальные зависимости Васина
Ы*) = | - arctg (^2) > ^i(s) = | -arctg sin0w...sin04j , ¿ = {3,2,1}.
Отметим особенности многомерных зависимостей Васина. График зависимости 04(s) стремится к нулю при s ^ а все остальные зависимости имеют горизонтальные асимптоты, зависящие только от величин следовых реакций Л4, Л3, Л2, Ai- Аналитическое представление предельных значений углов дается формулами
Ctg6>3(s) ->■ Ctg 02 (з) ^ Лэ Л4
A32' a22VV + V'
, п , Ч А22ЛЗ2Л42
ctg д\ (sj —у-. , s —у оо.
Л1 у Л24(Л34 + Л44) + ЛЗ4Л44
Если разложение вектора напряжений в репере Френе
а = a {cos^ini — sin^i (cos$2^2 — sin 62 (cos в^Щ — sin$3 (cos 04n4 — sin04ns)))} преобразовать с учетом (2), получим
а = 7а4Х (Vini - V2«2 + ^зйз - V4JI4 + щ). (5)
В процессах деформации произвольной размерности неизвестными механическими функциями задачи являются углы, функционалы, напряжения a и величина a, а известными — деформации, длина дуги s и кривизны. Еще есть функция £, которая была введена при интегрировании определяющих уравнений. Она входит во все без исключения формулы и соотношения. Поскольку эта функция ответственна за реализацию принципа запаздывания векторных свойств материала, она может быть найдена из скалярного уравнения (1). Для этого необходимо подставить в скалярное уравнение (1) напряжения a(s) из формулы (2) и выполнить дифференцирование. Результатом будет линейное дифференциальное уравнение первого порядка для метрики £(s).
В монографии [2] получено уравнение линии постоянных кривизн (винтовой линии) в пространстве Е$ в косоугольном репере. В [1] установлен ортонормированный репер {ё\,... ,65}, который зависит от кривизн траектории деформации к ,■■■, К4 и в котором уравнение винтовой линии в пространстве E5 имеет вид
£ = с\ [ei(cos а — 1) + ё3 sin а] + с2 [e^cos /3 — 1) + ёб sin /3] + т^-аё2.
к\
Здесь введены обозначения:
PiKi Р4К1 (Щ — я\ — к%\2
Ci = ккщ-щуС2 = mi-kirvi = K2Kil + {
к"2 — k2 — K^ 2
Р4 = к2К3у 1 + ^ ^ ^-^J , D = у (к{ + + щ + х|)2 - + xfrl +
_ 1/ 2 i ,2 i 2 i ,2 i ,/7л 7,2 _ 1/, 2 , 2 , ,2 , ,2 /ТТ\ >Í2X4
fc2 = -(xi + + >ig + + V^D), = -(>i2 + + Xg + - VD), ai =-, a = k\s, ß = k2s.
2 2 Ki K3
В системе координат, связанной с репером г = 1,5}, уравнение винтовой линии в Е$ будет иметь тот же вид, что и в пространстве E3:
£1 = £1о + c1 cos а, е3 = с1 sin а, е2 = е20 + a1s, е4 = е40 + c2 cos ß, е5 = c2 sin ß.
Отсюда следует, что имеет место каноническое представление направляющего вектора напряжений в процессе деформации по винтовой траектории в пятимерном пространстве:
ña = (A1 cos(a — а0), C1,A1 sin(a — a0),B1 cos(ß — ß0), B1 sin(ß — ß0)),
где A1,B1,C1 — некоторые функции кривизн и длины дуги траектории деформации. Также возможны аппроксимации
01 = °p1 + R1 cos(a — а0), 02 = аР2 + Ys, 03 = ар3 + R1 sin(a — а0),
а4 = 0p4 + R2 cos(ß — ß0), 05 = 0p5 + R2 sin(ß — ß0).
Данное подобие режимов деформирования и нагружения на траекториях деформации посто-E5
сформулированной A.A. Ильюшиным в [2].
2. Калибровка функционалов и метрики, универсальные зависимости Васина. P.A. Васин строил графики зависимостей 01 /010 в экспериментах по сложному нагружению с траекториями деформации в виде двухзвенных ломаных прямых линий с различными углами излома от нуля до п/2. Он выяснил, что зависимость 01 (s) для траектории деформации с изломом на угол п/2 включает в себя на соответствующих участках и диаграммы траекторий с меньшими углами изломов и предположил, что данная диаграмма не зависит от геометрии траектории деформации, а следовательно, является универсальной функцией материала.
В [4] математическое моделирование процессов с траекториями деформации в виде двухзвенных ломаных проводилось по приведенной выше схеме. Были получены основные уравнения
(\ - WT/- Лг - ícos01
v(,s) = ——, а = 7Е (Vim - п2) , Vi = [—— sin 01 \sm 01
представления функционала и уравнение для диссипативных напряжений
Е ' 1 У Е 1 У sin 01
Здесь и далее жирная точка • означает производную функции по длине дуги. Анализ этих уравнений говорит от том, что вектор напряжений зависит от ^посредством функции У\ и от метрики Е.
Первую естественно включать в состав параметров состояния, а метрику — определять из скалярных свойств модели. С другой стороны, функция У\ также входит в правую часть уравнения дис-сипативных напряжений со второй производной. Чтобы устранить это разногласие, универсальную зависимость Васина предлагается подчинить уравнению
cos в А ** 1 1
Sin 01 У Л!2 (6)
с постоянным (или переменным) следом Х\. Тогда задача Коши для этого уравнения с начальными условиями $1(0) = п/2, $*(0) = 0 имеет решение
s2 п , „ п ( s2
ctg 01 =-2> = тг — arctan
2А1 ^ 2 У2Л1
и называется универсальной функцией Васина. Если начальный угол излома траектории деформации меньше, чем п/2, то в решении уравнения (6) аргумент сдвигается на величину во, в которой на универсальной диаграмме достигается угол 01(0). В этом случае
(в + во)2 01 (в) п ((в + во)
ctg0l =-¡5—, _ . . = — — агс1ап , 0
6 2Х\ 01(0) 2 V 2А1
То же самое при углах излома траектории п/2 <01 (0) < п. В этом случае универсальная диаграмма
в
Дифференциальное уравнение для метрики £ находим с учетом скалярных свойств (1) и установленной выше зависимости &(в). Для криволинейной траектории деформации постоянной кривизны получим соотношение
'а1(в)£(в)'
Р COS 01 = (7* = 7 , .
\ sin0i(s)
из которого следует дифференциальное уравнение для функции-метрики £(s)
(7)
Для прямолинейных траекторий из условия к = 0 ^^едует ai(s) = 1.
В статье В.Г. Зубчанинова [5] приведены результаты эксперимента сложного нагружения с траекторией деформации в виде трехзвенной плоской ломаной линии. Она имела два последовательных излома траектории на угол 3п/4. В [6] были выполнены соответствующие эксперименту расчеты по приведенной выше модели. Более того, далее траектория была продолжена сначала (с изломом на п/2) по прямой до начальной точки траектории деформаций, а затем обратно с изломом на угол п. На первом и втором участках траектории результаты расчетов хорошо соответствуют результатам эксперимента. Расчетами в [6] установлено, что:
1) несмотря на накопленную в процессе деформации длину дуги траектории в 10.5%, на пластические деформации приходится немногим более 4.2%;
2) этапы разупрочнения и догружения происходят с изменением метрики, вследствие чего имеет место уменьшение догрузочных модулей и вторичных пределов текучести;
3) диссипативные напряжения в процессе деформации изменяются непрерывно от участка к участку;
4) на двумерных процессах с криволинейными траекториями деформации постоянной кривизны после излома траектории имеет место переходный процесс длиной порядка следа запаздывания, после чего траектории нагружения повторяют геометрию траектории деформации.
3. Применение технологии для винтовых траекторий в E3. В экспериментах [7] изучался процесс выхода на траекторию деформации постоянной кривизны и кручения в E3. Обработка этих данных показала, что в пределах точности эксперимента после некоторого переходного процесса траектория нагружения выходит на режим, который практически повторяет геометрию траектории деформации, и этот режим зависит от диссипативных напряжений, формируется после излома траектории на переходном процессе длиной порядка следа запаздывания.
Рассмотрим эксперименты P.A. Васина и соавторов [7] по траекториям деформации в виде
E3
характеризуются постоянными кривизнами xi, В проведенной серии экспериментов траектории деформации имели вид винтовых линий
= £ю + ecos a, £3 = с sin a:, е2 = а + тп — lj + ^Г"^ ' dа = dS\J+
и существенно различались постоянными величинами c и a, накрывая диапазоны кривизн 100 < Ki < 333, 60 < к2 < 666. Изломы траекторий деформации в экспериментах в зависимости от кривизн равны
а а /3 {xj + xp
0ю = arceos — , 6>2o = arceos * / 2 , » 2 •
Vк2 + к2 у 4k2 + 3K2
С учетом углов излома траекторий при выходе на винтовые линии сдвиги в аргументах определяются формулами
12 ctg 010 I 2
Sol - А1Л/ —:—Б—' s02 — Л2\ д • V sin 020 V tg 020
Решениями уравнений для углов являются
COS 02 _ (s + Sp2)2 cos 01 _ (s + Soi)2 . a ¡ад" 2Л| ' 2Л| 2'
На этапе излома траектории зависимость a(s) следует закону подобному (2):
s
YS(s)a2(s) _ I f cos 02
7^(s)a2 (s) I Г
= • a • a > a2(s) = exp x2 / ■ . sin 0i sin 02 \ y sin 02
0
ds
В это соотношение кроме двух величин следовых реакций по первой и второй кривизнам входит функция-метрика X(s). Она определяется из уравнения для скалярных свойств подобно (7). Расчетные зависимости a(s), 0i(s), 02(s) и подобное (5) разложение
a(s) = jS(s)a2(s) (Viñi - F2ñ2 + ñ3)
позволяют проследить историю напряжений a(s) на переходном процессе нырок-догружение, за которым следует установившийся процесс.
В пространстве E3 направляющий вектор напряжений имеет вид
ña = ñ\ cos 0i — sin 0i (ñ2 cos 02 — Щ sin 0г).
Подставляя в эту формулу выражения векторов репера Френе на винтовых траекториях деформации
— 1 t \ — t \ — л/xf+x?
пi = — (—к\ sin a, cos а), п2 = —(cos а, 0, sin а),пз = —п\+——1--(sin а, 0, — cos а),
д/к2 + К2 К2
ПОЛУЧИМ
па = sin 0i sin 02 í Acos(a: — ao), — ( V\ + — ) , Asin(a — ao) ) , (8)
^ л/к2 + к2 V к2/ J
V2 2 к2 ( Ki \2 2
ao = arceos —, A = —^-^ 1--n + ■
A k2 + к2 V K2 )
Данный результат означает, что направляющий вектор напряжений зависит от длины дуги не прямо, а через угол a(s), входящий в представления винтовых линий. Поэтому отклик материала на заданный процесс деформации имеет вид колебаний той же частоты, что и процесс деформации. Учитывая это замечание, получим следующие основные параметры и уравнения модели:
Q1____fn\fv , „ т/ , „ т/т/А F____< „\f V , „лг „ (л , T/2\А ° Ya2(s)
= 7«2(s) {V* + KiF2 + x2ViV2) , - = 7a2(s) (-V¿ + XiVi - и2{1 + V22)) , - =
S ' 1 ' 121 2 1 2' ' s ' 2W v 2 11 2V 2"' S sin0i sin02
01У _Й1 /£
Е ) ~ ) V Е
которые приводят к траектории нагружения, удовлетворяющей всем уравнениям и начальным условиям. При этом вектор напряжений представляется суммой отдельных компонент, имеющих свой механический смысл и назначение:
аР f-j®1 f ni,iF - /о - , F- ^tr _ ~ _ F0. E J E J Ki E Ki E Ki
Так, компонента äp имеет смысл накапливаемых вдоль траектории деформации диссипативных напряжений (их вводят в теориях пластического течения априори для смещения центра поверхности текучести). Здесь же такое слагаемое получилось в результате точного интегрирования определяющих уравнений. Компонента är является мгновенной реакцией материала в данной точке траектории деформации. Заметим, что эта часть напряжений не зависит от функции-метрики E. Что касается напряжений 0tr, то они, ответственные за начальные условия, одновременно реализуют принцип запаздывания векторных свойств материала, а по сути являются пластическим следом упругих состояний.
В работе [1] данные экспериментов [7] были обработаны и приведены к векторному виду. Был выяснен и в дальнейшем использован при вычислении функционалов тот факт, что в процессах с винтовыми траекториями деформации за переходным процессом следует установившийся режим, описываемый уравнениями
= 0p i + R cos(a + ao), a2 = ov2 + Ys, = 0p3 + R sin(a + ao),
где Wp,ao,R,Y — некоторые постоянные величины. Эти апостериорные формулы характерны только для мягких сталей (сталь 45), но при нахождении функционалов они вполне могут быть использованы как аппроксимации точных формул (8). В [8] на круговых процессах деформации экспериментально показано, что для упрочняющихся материалов (сталь 40Х) имеют место и другие режимы установившихся колебаний.
4. Выводы. Предложенный подход к математическому моделированию процессов сложного нагружения с траекториями деформации средней кривизны любой размерности достаточно хорошо соответствует имеющимся экспериментам, он выполнен в рамках теории упругопластических процессов, ее постулатов и принципов. Результаты моделирования удовлетворяют свойству изотропии, запаздыванию векторных свойств и теореме об изоморфизме и дают детальное представление отклика на процесс деформации. Выбранный подход и для наиболее простых двумерных процессов позволил точно (в рамках модели) определить ранее неизвестный вид экспериментальной материальной зависимости Васина. Найдено явное представление вектора напряжений в произвольном процессе деформации, установлены структура определяющих функционалов и представления диссипативных напряжений, что дает возможность подробно рассматривать термомеханические аспекты задачи. В пятимерных процессах деформации выявлены четыре функции, характеризующие механическое состояние упругопластического тела. В частном случае винтовых траекторий деформации в трехмерном пространстве установлены характеристики отклика на нырке, догружении и на следующем за ними установившемся режиме. Поскольку в теории упругопластических процессов A.A. Ильюшина нет подобных понятий, как и нет понятий активного нагружения и разгрузки, то здесь эти понятия используются лишь для пояснения отдельных стадий процесса сложного нагружения. Показан механический смысл теоремы изоморфизма [2] как подобия между геометриями траектории деформации и отклика. Первоначально обнаруженный при анализе экспериментов по сложному нагружению в процессах с трехмерными винтовыми траекториями деформации [7], этот же смысл проявился и в пятимерных винтовых процессах деформации в рамках математической модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Молодцов И.Н., Бабаева Д. О. Некоторые математические модели упругопластических процессов сложного нагружения // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. 22, вып. 2. 19-36.
2. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
3. Малый В.И. Исследование некоторых функционалов теории упругопластических процессов // Упругость и неупругость. Вып. 5. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 107-116.
4. Молодцов И.Н. Прикладные вопросы теории упругопластических процессов A.A. Ильюшина // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2020. № 5. 33-38.
5. Зубчанинов В.Г. Постулат изотропии и закон сложной разгрузки сплошных сред // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 27-37.
6. Молодцов И.Н. Развитие теории упругопластических процессов сложного нагружения // Современные вопросы устойчивости, пластичности и ползучести в механике деформируемого твердого тела: Сб. науч. тр., поев. 90-летию В.Г. Зубчанинова: В 2 ч. Тверь: Твер. гос. техн. ун-т, 2020. 60-67.
7. Вавакин A.C., Васин P.A., Викторов В.В., Широв Р.И. Экспериментальное исследование упругопластиче-ского деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. Деп. в ВИНИТИ 16.10.86. № 7298-В86. М., 1986.
8. Зубчанинов В.Г. Механика процессов сплошных сред. М.: Физматлит, 2010.
Поступила в редакцию 08.09.2021
УДК 531.396
ИЗМЕНЕНИЕ РАЗМЕРА ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Д. И. Бугров1, М. И. Бугрова2
Рассматривается линейная стационарная вполне управляемая система второго порядка, все собственные числа системы различны и имеют отрицательные вещественные части. Управление считается скалярной кусочно-непрерывной функцией, ограниченной по абсолютной величине. В качестве размера области достижимости принимается максимальная абсолютная величина координат точек области достижимости на фазовой плоскости. Показана монотонная зависимость размера области достижимости от параметров системы.
Ключевые слова: область достижимости, линейная стационарная система, скалярное управление.
We consider a linear time-invariant completely controllable second-order system, all the eigenvalues of this system are different and have negative real parts. The control is considered to be a scalar piecewise continuous function bounded in absolute value. The size of the reachable region is defined as the maximum absolute value of the coordinates of the points of the reachable region on the phase plane. A monotonic dependence of the size of the reachable region on the parameters of the system is shown.
Key words: reachable region, linear time-invariant system, scalar control.
Введение. Рассматривается вполне управляемая система второго порядка с постоянными коэффициентами 2^, ш2 вида
^ = У2\ (1) У2 = Ш У\ - 2^У2 + u(t),
где управление u(t) — кусочно-непрерывная функция, о которой известно лишь то, что она ограничена по модулю значением 5 > 0 u(t) £ U = {u(-) £ PC, \u(t)\ ^ 5}. Такие системы часто встречаются при изучении управляемых механических систем, например при движении материальной точки постоянной массы по прямой под действием линейной силы упругости, силы вязкого трения и ограниченной управляющей силы. В этом случае ш2 — удельный коэффициент упругости, 2^ — удельный коэффициент вязкого трения, u(t) — ускорение управляющей силы.
1 Бугров Дмитрий Игоревич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.bugrovQmech.math.msu.su.
2 Бугрова Мария Ивановна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. "Основы математики и информатики" МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: MaryBugrovaQyandex.ru.
Bugrov Dmitriy Iyorevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
Bugrova Mariya Ivanoma — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Fundamentals of Mathematics and Computer Science Department.
