CC BY
62
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 46-56
Механика
УДК 539.374
Прикладной вариант теории упругопластических процессов
В. С. Бондарь, В. В. Даншин, П. В. Семенов
Аннотация. На основе уравнений теории упругопластического деформирования, относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, получен прикладной вариант теории упругопластических процессов и аппроксимации функционалов пластичности. Формулируется базовый эксперимент и метод идентификации параметров аппроксимации функционалов пластичности. Приводятся результаты верификации варианта теории упругопластических процессов при сложном нагружении по плоской и пространственной траекториям деформаций.
Ключевые слова: пластичность, сложное нагружение, базовый эксперимент, идентификация, верификация.
Развитие теории пластичности и разработка определяющих уравнений описания процессов упругопластического деформирования в настоящее время идет двумя основными направлениями. К первому направлению относятся различные варианты теории упругопластических процессов, базирующиеся на общей математической теории пластичности А.А. Ильюшина [1, 2]. Ко второму направлению относятся различные
варианты теории пластического течения при комбинированном упрочнении, базирующиеся на концепции микронапряжений, выдвинутой В.В. Новожиловым [3].
Рассмотрим достаточно простой вариант второго направления — теорию упругопластического деформирования, являющуюся частным вариантом теории неупругости [4]. Данный вариант теории пластичности прошел обширную верификацию [5] на широком спектре конструкционных сталей и сплавов и программ экспериментальных исследований при сложном нагружении как по плоским, так и пространственным траекториям деформаций в широком диапазоне значений кривизны и крутки (от малых до больших). Сравнение результатов расчетов и экспериментов показало надежное соответствие теории и эксперимента: отличие по компонентам напряженно-деформированного состояния, скалярным и векторным свойствам не превысило 10-20%.
В векторном представлении А.А. Ильюшина [1, 2] уравнения теории упругопластического деформирования будут иметь вид [4, 5]
<1Э = йЭе + йЭр, йЭе = 2dS, (1)
2G
Ъ = свм(S - A- (2)
dA = gB¿Э + (дэЭ + 9äA) dsp, (3)
дв = Eä + Ъа&а, gA = -Ьа, дэ = ъäEä,
где Э, ЭиЭ — вектора деформаций, упругих и пластических деформаций; 5 и А — векторы напряжений и добавочных напряжений (микронапряжений [3]); вр — длина дуги траектории пластической деформации; С — модуль сдвига; Св (вр) — функция изотропного упрочнения [4, 5]; дв, 9э, 9л, Еа, Ьа, &л — параметры анизотропного упрочнения [4, 5].
Дифференцируя (2) по длине дуги траектории деформаций в и используя (1)-(3), можно получить следующее уравнение:
^й2^ ЛТ (Ш Д7^ ^ „ йЭ ^ й2Э
N2 ~в2 + й-------+ = В0Э + В1 —------+ В2 —¡в^ , (4)
йв йв йв йв
где
М4 „ хт ( Мх \( йвр \-1 Мз й2вр (йвр 4-3
N0 = 7774 - М2, N1 =1 + —1 1-3- I-
2G ’ V 2G ! \ ds 1 2G ds2 V ds
N2 = M (£)"■ D ■ Mh, D, = M." (£-
D2 = M ^) ' M‘ = gB - gÄCB {S'') + '
M2 = gÄ, мз = Св(sP), M4 = дэ'
дв = Eä + Ъа°а, gÄ = -Ъа, дэ = ЪаЕа-
Согласно общей математической теории пластичности А.А. Ильюшина
[1, 2] вектор деформаций Э, вектор напряжений S и его производные ds
и dS можно представить в репере Френе {Pi} пятимерного девиаторного пространства деформаций в виде
?л гл ~ -ä r>~ dS d2S
Э = Dipi, S = PiPi, — = Pi pi, -j-2
ds ds2
Pi*Pi
или в пятимерном неортогональном репере {5i} = dSr (i = 1, ■■, 5)
э = g, « S = Q,"
dsi
dsi
d2 S = Q.. di9
= Qi
ds2
dsi
(5)
(6)
,з э
Получая из последний трех уравнений (6) выражения для Э,
—4 Э —5 Э
—4, —sf и подставляя в первое уравнение, можно получить уравнение полностью совпадающее по структуре с уравнением (4) и коэффициентами, являющимися функционалами процесса.
Таким образом, теория упругопластического деформирования (1)—(3) является конкретным вариантом общей математической теории пластичности А.А. Ильюшина при полном сохранении всей структуры уравнений этой теории.
При развитых пластических деформациях в условиях пластического деформирования и используя конкретные значения [4, 5] параметров пластичности можно принять следующие допущения:
d sp
Э » ЭР, s » sp, —
ds
M4
1,
d2 sp ds2
0,
Mi M3
2G M2 < 1 2G < 1, 20 < 1,
(7)
d2 S _ d3 — —
D2 d2s < Di ^—+ D0 Э — N0S ds
И тогда коэффициенты в уравнении (4) будут иметь следующий вид: N0 = -дл, N1 = 1, N2 = 0,
Б0 = дЭ, Бг = дв - длСв (в) + ^ = Св (в). (8)
Окончательно уравнение (4) примет так называемую [6] «нелокальную форму» теории процессов
dS nтdЭ пт пт р-
* = N— + NSS + "ээ-
ds
где
N = дв - qaCb (s) +
dCB (s) ds
Ns = gл, % = gэ,
(10)
дв = Ел + Ълал, дл = -Ьл, дэ = ЬлЕл-
Для более корректного описания произвольных процессов деформирования необходимо ввести дополнительное уравнение для внутреннего переменного А
йА йЭ — —г
* = дв йв + дээ + длА
Это позволит более корректно задать условия упругого состояния
йК = 20 —
йв йв
(11)
(12)
при
и пластического
при
К - А| < Св (в) и (Б - А) • йЭ < 0
йБ йЭ — —
йв = Nй; + ^Б + №ЭЭ
|Б - А| = Св (в) П (Б - А) • йЭ > 0.
(13)
К тому же внутреннее переменное А позволяет ввести следующее кинетическое уравнение накопления повреждений:
йш
йв
1 А - йЭ
, (14)
Шв йв ’ у 7
где ш — мера повреждения, Шв — энергия разрушения. Критерием разрушения материала будет достижение повреждением предельного значения, обычно принимаемого равным единице.
Итак, рассмотренный вариант теории упругопластических процессов замыкают следующие материальные функции теории упругопластического деформирования [4, 5], подлежащие экспериментальному определению:
О — модуль сдвига;
С л (в) — функция изотропного упрочнения;
Ел, Ьл, &л — параметры анизотропного упрочнения;
Шв — энергия разрушения.
Для определения материальных функций достаточно следующего минимального набора данных базового эксперимента (рис. 1): модуль сдвига, который определяется традиционным методом; диаграмма растяжения
до деформации 0.05-0.1; данные по циклическому нагружению при постоянном размахе деформации — число циклов до разрушения (появления макротрещины длиной 1 мм) и стабилизированная циклическая диаграмма (петля пластического гистерезиса).
Метод определения материальных функций на основе данных базового эксперимента показан на рис. 1, 2 и подробно изложен в работах [4, 5]. Там же приведены материальные функции для ряда конструкционных сталей и сплавов.
Рис. 1. Базовый эксперимент для определения материальной функции С в (s) = Cb (0) + a(s) — Ea s — a a [1 — exp (—Ьа s)]
A__________________________________S,
2<7а ■ - - \ос EA=tga
S
2СВ
Рис. 2. Базовый эксперимент для определения материальной функции A(s) = Ea s + 2аa [1 - exp(-bA s)]
Для верификации предложенного варианта теории упругопластических процессов проведены расчеты процессов сложного нагружения по плоской и пространственной траекториям деформаций и результаты расчетов сопоставлены с результатами экспериментов.
Исследование процессов сложного нагружения и сложной разгрузки проводилось на образцах из стали 45 в условиях (Р, М)-опытов по плоской траектории (рис. 3) в виде спирали Архимеда — скручивающейся и
раскручивающейся. Реализовано шесть полных витков спирали против часовой стрелки. На четырех первых витках происходит скручивание спирали в точку начала координат, а на пятом и шестом — раскручивание спирали без изменения направления процесса деформирования. Ответные компоненты вектора напряжений показаны на рис. 4, 5, где сплошная кривая — расчет на основе теории упругопластического деформирования [4, 5], пунктирная кривая — расчет на основе предложенного варианта теории упругопластических процессов, а светлые кружки — экспериментальные результаты [6]. Скалярные и векторные свойства - изменения модуля вектора напряжений а = |S | и угла сближения $ по длине дуги траектории деформаций приведены на рис. 6 и 7 соответственно. Здесь такие же обозначения результатов расчетов и эксперимента, как и описано выше для рис. 3 и 4. С увеличением кривизны траектории при скручивании спирали происходит падение кривой скалярных свойств с последующим ростом при раскручивании спирали и уменьшении кривизны. Что касается векторных свойств, то при увеличении кривизны при скручивании угол сближения возрастает, а при раскручивании с уменьшением кривизны убывает. Наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов.
Зі
0,005 0
-0,005
-0,01 + ... ^
-0,01 -0,005 0 0,005 Э3
Рис. 3. Спираль Архимеда
Исследование процессов сложного нагружения по пространственной траектории в виде винтовой линии (рис. 8) проводилось на образцах из стали 45 в условиях (P, M, д)-опытов.
Изменения компонент вектора напряжений по длине дуги траектории деформаций, полученные в результате расчетов и эксперимента [7], показаны на рис. 9-11. Скалярные и векторные свойства приведены на рис. 12 и
рис. 13, 14 соответственно. В качестве векторных свойств рассматривается
дополнительно угол соприкасания ф [4, 5], характеризующий выход вектора напряжений из соприкасающейся плоскости траектории деформаций. Здесь
0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018
Рис. 4. Ответная траектория Si от s
0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018
Рис. 5. Ответная траектория S3 от s
<7, МПа
,
> >
!)
300
150
0,04 0,08 0,12 0,16
Рис. 6. Скалярные свойства
такие же обозначения результатов расчетов и эксперимента, как и описано выше для плоской траектории деформирования.
град
с
р
о ! о о О о О
! Ш о 0 <9 <Й> г \ {>0 ь
О 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18
Рис. 7. Векторные свойства
Рис. 8. Пространственная траектория в виде винтовой линии МПа
300
150
п \
1 с \\ і г \ 3'4 ґ4 { п Л !с
М А /У
Рис. 9. Ответная траектория от 5
МПа
360
240
120
0
с о / ^
о/ о : /у**'
>/
О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Рис. 10. Ответная траектория Б2 от 5 5,, МПа
100
Эу /§\
-ООО 1 'о\ °\\ г: ! 6д О'Д о\\ II а О;
\ 1 А \ с ] ■ 1 °/ V 0,1 о\ 97 д о'А °\ о\ 1 I о// а'/
/ > /
-100
-200
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Рис. 11. Ответная траектория $3 от 5 СГ, МПа
:*#>оожсосг>< -'-т-;'5Хсс
375
250
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Рис. 12. Скалярные свойства
»9, град
Рис. 13. Угол сближения $
U/, град
-60 J-------------------------=-1
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 5
Рис. 14. Угол соприкасания ф
Представленные здесь первые результаты верификации предложенного варианта теории упругопластических процессов говорят о надежном соответствии расчетных и экспериментальных результатов.
Рассмотренный вариант теории упругопластических процессов может быть развит по аналогии с теорией упругопластического деформирования [4, 5] и теорией неупругости [4] на неизотермические процессы, процессы развивающиеся в реальном времени (ползучесть, длительную прочность) и может быть также распространен на описание эффектов дополнительного изотропного упрочнения и процессов вышагивания (ratcheting).
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1990. 310 с.
3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, 1990. 224 с.
4. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. М.: Физматлит, 2004. 144 с.
5. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. М.: Физматлит, 2008. 176 с.
6. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. М.: Физматлит, 2010. 352 с.
7. Упругопластическое поведение стали 45 на винтовых траекториях деформаций /А.С. Вавакин [и др.] // Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1988. С. 21-29.
Бондарь Валентин Степанович (tm@mami.ru), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».
Даншин Владимир Васильевич (tm@mami.ru), к. ф.-м.н., доцент, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».
Семенов Павел Владимирович (tm@mami.ru), аспирант, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».
Problem version of the theory of elastoplastic processes
V. S. Bondar, V. V. Danshin, P. V. Semenov
Abstract. On the basis of equations of the theory of elastoplastic deforming relating the class of the theories of flow at combined hardening(strengthening), the problem version of the theory of elastoplastic processes and approximatings of functionals of plasticity is obtained. The base experiment and method of identification of parameters of approximating of functionals of plasticity is stated. The verification results of version of the theory of elastoplastic processes are resulted at composite loading on flat and spatial pathways of deformations.
Keywords: plasticity, composite loading, base experiment, identification, verification.
Bondar Valentin (tm@mami.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».
Danshin Vladimir (tm@mami.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».
Semenov Pavel (tm@mami.ru), postgraduate student, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».
Поступила 29.09.2011
