CC BY
60
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 33-42
Механика
УДК 539.374
Прикладной вариант теории упруговязкопластических процессов
В. С. Бондарь, В. В. Даншин, А. В. Костин
Аннотация. На основе уравнений теории неупругости, относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, получен прикладной вариант теории упруговязкопластических процессов и кинетические уравнения накопления повреждений для процессов сложного неизотермического нагружения. Формулируется базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций, замыкающих вариант теории. Приводятся результаты верификации варианта теории при сложном нагружении по двузвенным ломаным траекториям деформаций с разными скоростями деформации.
Ключевые слова: вязкопластичность, накопление повреждений, сложное неизотермическое нагружение, базовый эксперимент, идентификация, верификация.
Введение
Разработка определяющих уравнений описания деформирования материалов в настоящее время идет двумя основными направлениями: разработка вариантов теорий на основе общей математической теории пластичности А.А. Ильюшина [1, 2] и разработка вариантов теорий течения при комбинированном упрочнении на основе концепции микронапряжений В.В. Новожилова [3]. В вариантах теорий первого направления нет разделения деформации на упругую и неупругую, а в теориях второго направления такое разделение есть. В работах [4-6] для пластичности на основе уравнений второго направления получены аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов, в которой нет разделения деформации на упругую и пластическую. Главной особенностью полученного в [4-6] варианта теории является введение упругого и пластического состояний, но без разделения деформации на упругую и пластическую.
Математическое моделирование упруговязкопластических процессов и нелинейных процессов накопления повреждений при произвольных режимах длительного и (или) циклического нагружения возможно только на основе
эволюционных уравнений деформирования и накопления повреждений, так как напряженно-деформированное состояние и повреждение являются функционалами процесса нагружения. Вариантами таких уравнений являются эволюционные уравнения, построенные на основе современных моделей термовязкопластичности [7-9]. Эти современные модели относятся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, а в качестве энергии, отвечающей за процесс накопления повреждений, в них
принимается энергия равная работе микронапряжений на поле неупругих деформаций.
Настоящая статья посвящается памяти выдающего ученого, основателя тульской школы механиков Леонида Александровича Толоконникова, ученика и соратника выдающего механика современности Алексея
Антоновича Ильюшина. А.А. Ильюшин и Л.А. Толоконников отличались высокой принципиальностью и требовательностью как к своим научным исследованиям, так и к научному уровню исследований своих коллег и многочисленных учеников. Высокий уровень научных исследований в
школах А.А. Ильюшина и Л.А. Толоконникова общепризнан и в настоящее время поддерживается их достойными учениками.
1. Вариант теории упруговязкопластических процессов
В векторном представлении А.А. Ильюшина [1, 2] уравнения теории неупругости [7] будут иметь вид:
Э = 9 + Э?, Эе = Б/2С, (1)
(Э? = 1 (Б - Л) (в?, С
(С = Яэ^в? + ЯТ (Т +
(2)
(3)
(Л = дв(Э? + {дэЭР + длЛ) (в? + Э? + дАЛ (Т - (дЭЭ? + д*Л (Ь, (4)
где Э, Эе и Э? — векторы деформаций, упругих и неупругих деформаций; Б и Л — векторы напряжений и добавочных напряжений (микронапряжений [3]); в? — длина дуги траектории неупругой деформации; С — размер (радиус) поверхности нагружения, характеризующий изотропное упрочнение, яэ, Ят, Яэ — параметры изотропного упрочнения, неизотермического перехода и
Т Т Э Э
отжига; дв, дэ, дА, дЭ, дА, дЭ, — параметры анизотропного упрочнения,
неизотермического перехода и рекристаллизации; Ь — время. Следует отметить, что здесь нет разделения деформации на пластическую и деформацию ползучести, а есть единая необратимая неупругая деформация.
При развитых неупругих деформациях в условиях неупругого деформирования можно принять, что
Э=Э, в=в
Тогда уравнения (1)—(4) примут вид
йЭ = -1 (5 - А) (1в,
С СС = дэ йв + дТ СТ + дАМ,
р
(5)
(6) (7)
СЛ = двСЭ + (^эЭ + длА) йв + («ЭЭ + дАЛ) йТ - («ЭЭ + 9аа) <&. (8)
Разрешая (6) относительно Л и дифференцируя по длине дуги в, совместно с уравнениями (7), (8) можно получить следующее уравнение:
№
дЭ + дв - длС +
{дТ - дл С)Т (дА - дл С)
+ 1дл + ддЛТ - 5 +
вв
СЭ йв +
(9)
где Т, в — производные по времени Ь.
Используя конкретные значения параметров неупругости [7], можно определить, что последнее слагаемое как минимум на порядок меньше остальных членов и значит этим слагаемым в уравнении (9) можно пренебречь. Тогда уравнение (9) примет вид:
С,Б птС,Э пт пт р-
— = N— + 5 + ЖЭЭ,
йв йв Э
N = д-Э + дв - длС +
(дт - дЛС)Т (дк - дАС)
(10)
(11)
дЛл т
Жя = дл +
«а
дл
(12)
ЖЭ = «Э +
т Т
дЭ
дЭ
(13)
Уравнение (10) принадлежит А.А. Ильюшину [1, 2, 10] и получено для случая обобщенных плоских задач. Здесь же уравнение (10) получено из общих соотношений теории неупругости без введения каких-либо ограничений на вид задачи, что позволяет рассматривать возможность его применения не только для обобщенных плоских задач.
Для формулировки условий упругого и неупругого состояний вводится поверхность нагружения, которая изотропно расширяется или сужается
и смещается в процессе нагружения. Уравнение поверхности нагружения принимается в следующем виде:
/ (5) = |5 - А| - С = 0. (14)
Тогда состояние будет упругим, если напряженное состояние находится внутри поверхности нагружения или вектор приращения деформаций направлен внутрь поверхности нагружения. В случае, если напряженное состояние находится на поверхности нагружения и вектор приращения деформаций направлен во внешнюю сторону поверхности нагружения, то состояние будет неупругим. Окончательно уравнения прикладного варианта теории упруговязкопластических процессов и кинетические уравнения
накопления повреждений примут следующий вид:
|5 - Л| < С и (5 - А • Э ^ 0 — упругое состояние (15)
5 = 2СЭ, (16)
С = дтТ - дя, (17)
Л = (дЭЭ+длЛ)Т - («ЭЭ+дАЛ)! (18)
ш = -дш ш, (19)
№ = дшТ - ^№; (20)
|5 - Л| = С П (5 - А • Э > 0 — неупругое состояние (21)
5 = ЖЭ + (^5 + ЖЭЭ) в, (22)
С = дЭ-в + дтТ - дя, (23)
Л = двЭ + (дЭЭ + длЛ) в + (дЭЭ + длЛ) Т - (дЭЭ + дАЛ) , (24)
а —1 1 /-- —— \
й = ай а • Э) - ш, (25)
№ = дШТ - ^№- (26)
Здесь ш — повреждение; а — параметр, характеризующий нелинейность процесса накопления повреждений и зависящий от уровня микронапряжений; дш — параметр, отвечающий за процесс залечивания повреждений; № —
энергия разрушения; дщ — параметр, обеспечивающий неизотермический переход; дщ — параметр, отвечающий за процесс охрупчивания.
К уравнениям (15)—(26) следует добавить уравнение, связывающее шаровые составляющие тензоров напряжений а = ац/3 и деформаций £ = £ц/3, а также температурную деформацию ет = / атйТ:
а = 3К (е - ет). (27)
2. Материальные функции
Определяющие функции (параметры), входящие в систему уравнений (15)—(27), выражаются [7] через материальные функции, подлежащие экспериментальному определению, следующим образом:
дв = Ел + влал, дЭ = @л Ea, дл = —вл,
т йЕл Ел йал т 1 йал
«Э = ~вт -'ст^ дл = ал~dт,
г, я д Р дя {дв + дл И ) р
«э = «э^ «л =-------|л-------рл,
дСв с дСв
дэ = ~дГ, дт = Св ~д^, дя =дэРс,
Рс = ехр (Ьс) |С - Сво\пс (1 - ш)-т ,
Pa = exp (Ьл) | A|”A (1 - и) m , а = (ал/ |А - £лЭ|Г“ , дш = exp (Ьш) ,
т = W dWв gw = WB dT ’
= J 0, если ац ^ 0,
gw = \ exp (bw) laiilnw , если aii < 0.
Окончательно прикладной вариант теории упруговязкопластических процессов замыкают следующие материальные функции, подлежащие экспериментальному определению:
G (T), K (T), ат (T) — упругие параметры;
Ea (T), ал (T), в A (T) — параметры анизотропного упрочнения;
Св (T, s) — функция изотропного упрочнения;
№в (Т) — начальная энергия разрушения;
па (Т) — параметр нелинейности процесса накопления повреждений;
Ьс (Т), Ьл (Т), пс (Т), пл (Т), шш (Т) — параметры изотропной и анизотропной ползучести;
Ьш (Т), Ьщ (Т), пш (Т), пщ (Т) — параметры залечивания и охрупчивания.
3. Базовый эксперимент
Для определения материальных функций необходим следующий набор данных базового эксперимента при различных уровнях температуры.
Упругие параметры определяются традиционными методами.
Для упругопластических процессов необходимы:
— диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации 0.05 ^ 0.1;
— диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации 0.05 ^ 0.1 после предварительного сжатия до деформации 0.01 ^ 0.02;
— циклические пластические диаграммы при одноосном растяжении-сжатии с постоянным размахом деформации 0.01 ^ 0.03.
Для описания процессов накопления повреждений и разрушения дополнительно необходимы:
— данные по малоцикловой усталости при одноблочном жестком циклическом нагружении с постоянным размахом деформации 0.01 ^ 0.03;
— данные по малоцикловой усталости при двухблочном жестком циклическом нагружении с размахом деформации на первом блоке
0.005 ^ 0.015 и на втором блоке 0.02 ^ 0.03. Или (и) наоборот на первом блоке 0.02 ^ 0.03, а на втором блоке 0.005 ^ 0.015.
Для описания упруговязкопластических процессов деформирования и накопления повреждений необходимы:
— данные по релаксации напряжения при постоянной деформации растяжения 0.03 ^ 0.05;
— данные по зависимости скорости установившейся ползучести от напряжения растяжения;
— диаграмма кратковременной ползучести при постоянном напряжении растяжения вплоть до разрушения.
Для описания процессов залечивания и охрупчивания необходимы:
— данные по длительной прочности при растяжении и сжатии;
— данные по малоцикловой усталости с постоянным размахом деформации (порядка 0.01 ^ 0.02) после ползучести при наборе различных уровней напряжения растяжения.
Расчетно-экспериментальный метод определения (идентификации) материальных функций по данным базового эксперимента изложен в работе
4. Упруговязкопластические процессы сложного нагружения
Рассматриваются процессы сложного нагружения образцов из стали 30ХГСА при температуре 550°С по двузвенной ломаной траектории деформации (рис. 1) с различными скоростями деформирования ёи = 5 ■ 10—3, 5 ■ 10-4, 2 ■ 10-4, 5 ■ 10-5мин-1. Ответные траектории напряжений приведены на рис. 2, скалярные свойства — на рис. 3, а векторные свойства (отклонение вектора напряжений от касательной к траектории деформаций) — на рис. 4.
Результаты расчетов на основе прикладного варианта теории упруговязкопластических процессов на рис. 2-4 показаны сплошными кривыми, а результаты экспериментов [11] — темными кружками.
Ответные траектории напряжений и скалярные свойства приведены для всех четырех рассмотренных скоростей деформирования, а векторные свойства — только для двух скоростей деформирования ёи = 5 ■ 10-3 и 5 ■ 10-5. Результаты расчетов и экспериментов [11] говорят о существенной зависимости ответных траекторий, скалярных и векторных свойств от скорости деформирования. Уменьшение скорости деформирования приводит к существенному снижению диаграммы деформирования и заметному снижению следа запаздывания векторных свойств. Наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов — отличие не превышает 10% по скалярным свойствам и 10 градусов по векторным свойствам.
3______________________________
/ 1 - ви- 5-10"*
/ 2 - вц = 510-4
/ 3 - зи = 210-4
/ 4 - ви = 510-5
/
О 0.0025 0.005 0.0075 0 01 Э,
Рис. 1. Траектория деформации Заключение
Представленный здесь прикладной вариант и аппроксимации функционалов теории упруговязкопластических процессов в развитии ранее разработанного варианта [4-6] упругопластических процессов сложного нагружения распространен на неизотермические нагружения и процессы, развивающиеся в реальном времени. Приведенные первые результаты верификации прикладного варианта теории упруговязкопластических процессов на траекториях сложного нагружения в виде двузвенных ломаных
Рис. 2. Ответные траектории напряжений
Рис. 3. Скалярные свойства
Рис. 4. Векторные свойства
говорят об адекватном описании предложенной теорией процессов сложного нагружения, развивающихся в реальном времени в условиях высокой температуры.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.
3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, 1990. 224 с.
4. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В. Прикладной вариант теории упругопластических процессов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 46-56.
5. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В. Вариант теории упругопластических процессов и аппроксимации функционалов пластичности // Проблемы прочности и пластичности. 2011. Вып. 73. С. 5-12.
6. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В. Простейший вариант аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2012. № 3. С. 82-90.
7. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 144 с.
8. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 424 с.
9. Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон [и др.]. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 398 с.
10. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971. 147 с.
11. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. 131 с.
Бондарь Валентин Степанович (tm@mami.ru), д.ф-м.н., профессор, зав кафедрой теоретической механики, Московский государственный машиностроительный университет «МАМИ».
Даншин Владимир Васильевич (tm@mami.ru), к.ф-м.н., доцент, профессор, кафедра теоретической механики, Московский государственный машиностроительный университет «МАМИ».
Костин Андрей Викторович (tm@mami.ru), аспирант, кафедра теоретической механики, Московский государственный машиностроительный университет «МАМИ».
The applied version of the theory of elasticviscousplastic processes
V. S. Bondar, V. V. Danshin, A.V. Kostin
Abstract. On the basis of the equations of the theory of inelasticity effect, related to the class of theories currents in the combined hardening, received the applied version of the theory of elasticviscousplastic processes and kinetic equations of damage accumulation for processes of complex isothermal loading. Formulated the basic experiment and the method of identification of material functions, the version of the theory. Presents the results of the verification variant
of the theory of a complex loading on two-sectional broken trajectories strains with different speeds deformation.
Keywords: viscous plasticity, the accumulation of damage, the complex non-isothermal loading, the base experiment, identification, verification.
Bondar Valentin (tm@mami.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department, department of theoretical mechanics, Moscow State University of Mechanical Engineering «MAMI».
Danshin Vladimir (tm@mami.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics, Moscow State University of Mechanical Engineering «MAMI».
Kostin Andrey (tm@mami.ru), postgraduate student, department of theoretical mechanics, Moscow State University of Mechanical Engineering «MAMI».
Поступила 21.02.2013
