Математическое моделирование процессов термовязкопластического
деформирования материалов
д.ф-м.н. проф. Бондарь B.C., к.ф-м.н. доц. Даншин В.В., Костин A.B.
Университет машиностроения 8(495)2230523*1318, [email protected]
Аннотация. На основе уравнений теории неупругости, относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, получен прикладной вариант теории термовязкопластических процессов и кинетические уравнения накопления повреждений для процессов сложного неизотермического нагружения. Формулируется базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций, замыкающих вариант теории. Приводятся результаты верификации варианта теории при сложном нагружении по двузвенным ломаным траекториям деформаций с разными скоростями деформации.
Ключевые слова: термовязкопластичностъ, накопление повреждении, сложное неизотермическое нагружение, базовый эксперимент, идентификация, верификация.
Введение
Разработка определяющих уравнений описания деформирования материалов в настоящее время идет двумя основными направлениями: разработка вариантов теорий на основе общей математической теории пластичности A.A. Ильюшина [1, 2] и разработка вариантов теорий течения при комбинированном упрочнении на основе концепции микронапряжений В.В. Новожилова [3]. В вариантах теорий первого направления нет разделения деформации на упругую и неупругую, а в теориях второго направления такое разделение есть. В работах [4-6] для пластичности на основе уравнений второго направления получены аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов, в которой нет разделения деформации на упругую и пластическую. Главной особенностью полученного в [4-6] варианта теории является введение упругого и пластического состояний, но без разделения деформации на упругую и пластическую.
Математическое моделирование термовязкопластических процессов и нелинейных процессов накопления повреждений при произвольных режимах длительного и (или) циклического нагружения возможно только на основе эволюционных уравнений деформирования и накопления повреждений, т.к. напряженно-деформированное состояние и повреждение являются функционалами процесса нагружения. Вариантами таких уравнений являются эволюционные уравнения, построенные на основе современных моделей термовязкопластично-сти [7-9]. Эти современные модели относятся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, а в качестве энергии, отвечающей за процесс накопления повреждений, в них принимается энергия, равная работе микронапряжений на поле неупругих деформаций.
Вариант теории термовязкопластических процессов В векторном представлении A.A. Ильюшина [1, 2] уравнения теории неупругости [7] будут иметь вид:
Э = Эе + Э p, Эe = S /2G, (1)
d3 p =1 (S - A) dsp , (2)
dC = q3dsp + qTdT + qRdt, (3)
dA = gBd3 p +(g33 p + gAA) dsp +{gl3 p + g\A)dT-(gR Э p + gRA)dt, (4)
где: Э , Эe и Э p — векторы деформаций, упругих и неупругих деформаций; S и A векто-
ры напряжений и добавочных напряжений (микронапряжений [3]); эр — длина дуги траектории неупругой деформации; С — размер (радиус) поверхности нагруже-ния, характеризующий изотропное упрочнение, , qT, дк — параметры изотроп-
х т К К
ного упрочнения, неизотермического перехода и отжига; gB, gэ, gA, gэ, gA, gэ, gA
— параметры анизотропного упрочнения, неизотермического перехода и рекристаллизации; / — время. Следует отметить, что здесь нет разделения деформации на пластическую и деформацию ползучести, а есть единая необратимая неупругая деформация.
При развитых неупругих деформациях в условиях неупругого деформирования можно принять, что:
Э = Э
p, ^ = sp
(5)
Тогда уравнения (1) — (4) примут вид:
1 /т7 Т\ ,
йЭ = — (S - A )ds
(6)
________ (7)
dA = gBd3 +(gэЭ + gAÄ)ds + (gтэЭ + gAA)dT~(gR3Э + gRaAd . (8)
Разрешая (6) относительно A и дифференцируя по длине дуги s, совместно с уравне-
dC = q3ds + qTdT + qRdt,
ниями (7), (8) можно получить следующее уравнение:
dS_
ds
f
q3 + gB - gAC+-
q - gTAC)T q
■gRc)'
d3 ds
gA +
gAT
gA
S +
g Э +
glT
gl ^
-pr „ d2 Э
(9)
Э + C
ds2
где: А, .у — производные по времени I.
Используя конкретные значения параметров неупругости [7], можно определить, что последнее слагаемое как минимум на порядок меньше остальных членов, и, значит, этим слагаемым в уравнении (9) можно пренебречь. Тогда уравнение (9) примет вид:
^ = N— + NSS + NэЭ
ds ds S
N = q3 + gB - gAC+■
q - gTACУ (qR
■gRC)
gTJ
gR
Ns = gA
g TT
gl
Nэ = g э +^--^^
(10) (11) (12) (13)
s s
Уравнение (10) принадлежит A.A. Ильюшину [1, 2, 10] и получено для случая обобщенных плоских задач. Здесь же уравнение (10) получено из общих соотношений теории неупругости без введения каких-либо ограничений на вид задачи, что позволяет рассматривать возможность его применения не только для обобщенных плоских задач.
Для формулировки условий упругого и неупругого состояний вводится поверхность нагружения, которая изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагруже-
ния. Уравнение поверхности нагружения п
1 = \S - A
f (S)>
эинимается в следующем виде: - C = 0 .
(14)
Тогда состояние будет упругим, если напряженное состояние находится внутри поверхности нагружения или вектор приращения деформаций направлен внутрь поверхности
нагружения. В случае, если напряженное состояние находится на поверхности нагружения и вектор приращения деформаций направлен во внешнюю сторону поверхности нагружения, то состояние будет неупругим. Окончательно уравнения прикладного варианта теории тер-мовязкопластических процессов и кинетические уравнения накопления повреждений примут следующий вид:
- А| < С и - А)• Э < 0 — упругое состояние (15)
£ = 20Э , (16)
С = дтТ- Чк , (17)
А Э +§тлА)Т Э + я^А) , (18)
® = -ga>C0 , (19)
W = gтwT - gwW; (20)
- А\ = С П - А)• Э > 0 — неупругое состояние (21)
£ = N3 + + ЫэЭ , (22)
С = Чэй + ЧтТ~ Чк , (23)
А = gвЭ + (Яээ + ЯаА)* + &Э + ЯаАУ-(я*Э + ЯаА) , (24)
а-\
а> =ама W[А ■э)"я»® , (25)
w = gWT - gwW. (26)
Здесь а — повреждение; а — параметр, характеризующий нелинейность процесса накопления повреждений и зависящий от уровня микронапряжений; — параметр, отвечающий за процесс залечивания повреждений; W — энергия разрушения; gтw — параметр, обеспечивающий неизотермический переход; gw — параметр, отвечающий за процесс ох-рупчивания.
К уравнениям (15)-(26) следует добавить уравнение, связывающее шаровые составляющие тензоров напряжений а = си /3 и деформаций £ - ай / 3, а также температурную
деформацию sт =jaTdT:
о = 3К(е -sт). (27)
Материальные функции
Определяющие функции (параметры), входящие в систему уравнений (15)-(27), выражаются [7] через материальные функции, подлежащие экспериментальному определению, следующим образом:
gв = ЕА + РА°А , gэ = РАЕ0 , gA = ~РА , ^ _ dEA Еа ^гА т _ 1
g Э 1 т 1 т , Я А 1 т ,
dT аА dT аА dT
(яв + gA [А ])
2К = яР ЯК в р
6 Э 6 Э1 А , я А |-г| рА
_ дСв _ р
Чэ ~ дй ' * ~ С дT ' Чк ~ Чэ РС
Рс = ехр{Ьс)|С - СвХ (1 -о)~т' ,
PA = ехр(Ъл)|A\"A (1 -©)" а = {ал/|A - ErЭ|)"а .
gw = ехР{bW )|S\W ,
T _ W dWB
gW ~ '
g CD
WB dT 0 , если aii > 0,
[ехР(bJKP , если < 0 .
Окончательно прикладной вариант теории термовязкопластических процессов замыкают следующие материальные функции, подлежащие экспериментальному определению: G(T\ K(T), aT (T) — упругие параметры; Ea (T), aA (T), ßA (T) — параметры анизотропного упрочнения; CB (T, s) — функция изотропного упрочнения; WB (T) — начальная энергия разрушения;
na (А) — параметр нелинейности процесса накопления повреждений; bC (А), bA (T), nC (T), nA (T), (t) — параметры изотропной и анизотропной ползучести;
Ът (У), bW (А), nm (У), nW (А) — параметры залечивания и охрупчивания.
Базовый эксперимент
Для определения материальных функций необходим следующий набор данных базового эксперимента при различных уровнях температуры.
Упругие параметры определяются традиционными методами. Для упругопластических процессов необходимы:
• диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации 0.05 ^ 0.1;
• диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации 0.05 ^ 0.1 после предварительного сжатия до деформации 0.01 ^ 0.02;
• циклические пластические диаграммы при одноосном растяжении-сжатии с постоянным размахом деформации 0.01 ^ 0.03 .
Для описания процессов накопления повреждений и разрушения дополнительно необходимы:
• данные по малоцикловой усталости при одноблочном жестком циклическом нагружении с постоянным размахом деформации 0.01 ^ 0.03 ;
• данные по малоцикловой усталости при двухблочном жестком циклическом нагружении с размахом деформации на первом блоке 0.005 ^ 0.015 и на втором блоке 0.02 ^ 0.03. Или (и) наоборот на первом блоке 0.02 ^ 0.03 , а на втором блоке 0.005 ^ 0.015 .
Для описания упруговязкопластических процессов деформирования и накопления повреждений необходимы:
данные по релаксации напряжения при постоянной деформации растяжения 0.03 ^ 0.05 ; данные по зависимости скорости установившейся ползучести от напряжения растяжения; диаграмма кратковременной ползучести при постоянном напряжении растяжения вплоть до разрушения.
Для описания процессов залечивания и охрупчивания необходимы: данные по длительной прочности при растяжении и сжатии;
данные по малоцикловой усталости с постоянным размахом деформации (порядка 0.01 ^ 0.02) после ползучести при наборе различных уровней напряжения растяжения.
m
Расчетно-экспериментальный метод определения (идентификации) материальных функций по данным базового эксперимента изложен в работе [7].
Термовязкопластические процессы сложного нагружения
Рассматриваются процессы сложного нагружения образцов из стали 30ХГСА при температуре 550° С по двузвенным ломаным траекториям деформации с различными скоростями деформирования от 5 • 10 5 до 5 • 10 3 мин-1.
При деформировании по программе 5 реализовывалось жесткое нагружение по траекториям (рисунок 1), имеющим одинаковый угол излома, но различные величины предварительной деформации на первом лучевом звене. Траектории программы 6 (рисунок 5) имеют одинаковую предварительную деформацию на первом лучевом звене, но разные углы излома. Деформирование по программам 5 и 6 проводится при одинаковой скорости деформирования, равной 5 -10~4 мин"1. В программе 7 реализуется сложное нагружение по двузвенной ломаной траектории деформации (рисунок 8) с различными скоростями деформирования
ё„ = 5• 10~3, 5-10Л 2-10Л 5-10мин-1
Ответные траектории напряжений для программ 5-7 приведены на рисунках 2, 6 и 9, скалярное запаздывание свойств материала для траекторий программ 5 и 7 показано на рисунках 3 и 10 соответственно. Векторные свойства (отклонение вектора напряжений от касательной к траектории деформаций) для траекторий программ 5-7 показаны соответственно на рисунках 4, 7 и 11. Результаты расчетов на основе прикладного варианта теории термо-вязкопластических процессов на рисунках 1-11 показаны сплошными кривыми, а результаты зиментов [11] — светлыми и темными кружками и светлыми треугольниками.
МПл
экспе э,
0,0075
0.005
0,0025
/3
/ /2
г~
/ I
/ /
/
0.005
МПа
Рисунок 1. Траектории деформации (программа 5)
Рисунок 2. Ответные траектории напряжений (программа 5)
|5Ц град
1 1 -
г 1 и V, 2 V3
У д и \ 4 \ • \ 1 \ • \ * д * \ ° \ 5 \ ° \ 0 \ о
г-* • в 0 О о
0,02 з
Рисунок 3 - Скалярные свойства (программа 5)
Рисунок 4 - Векторные свойства (программа 5)
/ 3
/ 2
! 1
О 0.0025 0.005 0.0075 0.0 Г Э,
Рисунок 5 - Траектории деформации (программа 6)
■9-, град
з \
2 , \ \й
\ Т\ й | Л
Рисунок 7 - Векторные свойства (программа 6)
3 _
1 - ¿ц = 5.10-3
2 - = 5 ■ 10-4
3 - = 2 1СГ*
4 - гц = 5 10"5
О 0.0025 0.005 0.0075 0 01 Э,
Рисунок 8 - Траектория деформации (программа 7)
1
-у. ,»• • • • • •
4
О 0.005 0 01 0.015 0.02 £
Рисунок 10 - Скалярные свойства (программа 7)
Рисунок 6 - Ответные траектории напряжений (программа 6)
^.МПа
1
/ \ V А • ^ \ 3 \ 4 \ \ \ • - V V \ • \
• \ * Л -«Д| \ \* \ \ * \ \ ♦ V V у- \ • V \ ■ \
о 50 100 150 £,.МПа
Рисунок 9 - Ответные траектории напряжений (программа 7)
1?, град_
д
4 к * * -±_
0.005 0.01 0.015 0.02
Рисунок 11 - Векторные свойства (программа 7)
л,
0,005
Результаты расчетов и экспериментов [7] говорят о существенной зависимости ответных траекторий, скалярных и векторных свойств от скорости деформирования. Уменьшение скорости деформирования приводит к существенному снижению диаграммы деформирования и заметному снижению следа запаздывания векторных свойств. Наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов — отличие не превышает 10% по скалярным свойствам и 10 градусов по векторным свойствам.
Заключение
Представленный здесь прикладной вариант и аппроксимации функционалов теории термовязкопластических процессов в развитии ранее разработанного варианта [4-6] упруго-пластических процессов сложного нагружения здесь распространен на неизотермические нагружения и процессы, развивающиеся в реальном времени. Приведенные первые результаты верификации прикладного варианта теории термовязкопластических процессов на траекториях сложного нагружения в виде двузвенных ломаных говорят об адекватном описании предложенной теорией процессов сложного нагружения, развивающихся в реальном времени в условиях высокой температуры.
Литература
1. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории.-М.: Изд. АН СССР, 1963.- 271 с.
2. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-310 с.
3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах.-Л. Машиностроение, 1990.- 224 с.
4. Бондарь B.C., Даншин В.В., Семенов П.В. Прикладной вариант теории упругопласти-ческих процессов// Известия Тул.ГУ. Естественные науки. Вып. 3.- Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2011. - С. 46-56.
5. Бондарь B.C., Даншин В.В., Семенов П.В. Вариант теории упругопластических процессов и аппроксимации функционалов пластичности// Проблемы прочности и пластичности. - 2011.- Вып. 73.- С. 5-12.
6. Бондарь B.C., Даншин В.В., Семенов П.В. Простейший вариант аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов // Проблемы машиностроения и автоматизации.- 2012. - № 3. - С. 82-90.
7. Бондарь B.C. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004.- 144 с.
8. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 424 с.
9. Бессон Ж., Каето Ж., Шабош Ж..-Л., Форест С. Нелинейная механика материалов / Пер. с фр. A.C. Кравчука; под ред. Л.Б. Гецова, Б.Е. Мельникова, А.Ю. Мусиенко, A.C. Семенова.- СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2010.- 398 с.
10. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности.- Рига: Зинатне, 1971.- 147 с.
11. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций.- М.: Машиностроение, 1967.- 131 с.