Математическое моделирование процессов термовязкопластического деформирования материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование процессов термовязкопластического

деформирования материалов

д.ф-м.н. проф. Бондарь B.C., к.ф-м.н. доц. Даншин В.В., Костин A.B.

Университет машиностроения 8(495)2230523*1318, tm@mami.ru

Аннотация. На основе уравнений теории неупругости, относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, получен прикладной вариант теории термовязкопластических процессов и кинетические уравнения накопления повреждений для процессов сложного неизотермического нагружения. Формулируется базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций, замыкающих вариант теории. Приводятся результаты верификации варианта теории при сложном нагружении по двузвенным ломаным траекториям деформаций с разными скоростями деформации.

Ключевые слова: термовязкопластичностъ, накопление повреждении, сложное неизотермическое нагружение, базовый эксперимент, идентификация, верификация.

Введение

Разработка определяющих уравнений описания деформирования материалов в настоящее время идет двумя основными направлениями: разработка вариантов теорий на основе общей математической теории пластичности A.A. Ильюшина [1, 2] и разработка вариантов теорий течения при комбинированном упрочнении на основе концепции микронапряжений В.В. Новожилова [3]. В вариантах теорий первого направления нет разделения деформации на упругую и неупругую, а в теориях второго направления такое разделение есть. В работах [4-6] для пластичности на основе уравнений второго направления получены аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов, в которой нет разделения деформации на упругую и пластическую. Главной особенностью полученного в [4-6] варианта теории является введение упругого и пластического состояний, но без разделения деформации на упругую и пластическую.

Математическое моделирование термовязкопластических процессов и нелинейных процессов накопления повреждений при произвольных режимах длительного и (или) циклического нагружения возможно только на основе эволюционных уравнений деформирования и накопления повреждений, т.к. напряженно-деформированное состояние и повреждение являются функционалами процесса нагружения. Вариантами таких уравнений являются эволюционные уравнения, построенные на основе современных моделей термовязкопластично-сти [7-9]. Эти современные модели относятся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, а в качестве энергии, отвечающей за процесс накопления повреждений, в них принимается энергия, равная работе микронапряжений на поле неупругих деформаций.

Вариант теории термовязкопластических процессов В векторном представлении A.A. Ильюшина [1, 2] уравнения теории неупругости [7] будут иметь вид:

Э = Эе + Э p, Эe = S /2G, (1)

d3 p =1 (S - A) dsp , (2)

dC = q3dsp + qTdT + qRdt, (3)

dA = gBd3 p +(g33 p + gAA) dsp +{gl3 p + g\A)dT-(gR Э p + gRA)dt, (4)

где: Э , Эe и Э p — векторы деформаций, упругих и неупругих деформаций; S и A векто-

ры напряжений и добавочных напряжений (микронапряжений [3]); эр — длина дуги траектории неупругой деформации; С — размер (радиус) поверхности нагруже-ния, характеризующий изотропное упрочнение, , qT, дк — параметры изотроп-

х т К К

ного упрочнения, неизотермического перехода и отжига; gB, gэ, gA, gэ, gA, gэ, gA

— параметры анизотропного упрочнения, неизотермического перехода и рекристаллизации; / — время. Следует отметить, что здесь нет разделения деформации на пластическую и деформацию ползучести, а есть единая необратимая неупругая деформация.

При развитых неупругих деформациях в условиях неупругого деформирования можно принять, что:

Э = Э

p, ^ = sp

(5)

Тогда уравнения (1) — (4) примут вид:

1 /т7 Т\ ,

йЭ = — (S - A )ds

(6)

________ (7)

dA = gBd3 +(gэЭ + gAÄ)ds + (gтэЭ + gAA)dT~(gR3Э + gRaAd . (8)

Разрешая (6) относительно A и дифференцируя по длине дуги s, совместно с уравне-

dC = q3ds + qTdT + qRdt,

ниями (7), (8) можно получить следующее уравнение:

dS_

ds

f

q3 + gB - gAC+-

q - gTAC)T q

■gRc)'

d3 ds

gA +

gAT

gA

S +

g Э +

glT

gl ^

-pr „ d2 Э

(9)

Э + C

ds2

где: А, .у — производные по времени I.

Используя конкретные значения параметров неупругости [7], можно определить, что последнее слагаемое как минимум на порядок меньше остальных членов, и, значит, этим слагаемым в уравнении (9) можно пренебречь. Тогда уравнение (9) примет вид:

^ = N— + NSS + NэЭ

ds ds S

N = q3 + gB - gAC+■

q - gTACУ (qR

■gRC)

gTJ

gR

Ns = gA

g TT

gl

Nэ = g э +^--^^

(10) (11) (12) (13)

s s

Уравнение (10) принадлежит A.A. Ильюшину [1, 2, 10] и получено для случая обобщенных плоских задач. Здесь же уравнение (10) получено из общих соотношений теории неупругости без введения каких-либо ограничений на вид задачи, что позволяет рассматривать возможность его применения не только для обобщенных плоских задач.

Для формулировки условий упругого и неупругого состояний вводится поверхность нагружения, которая изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагруже-

ния. Уравнение поверхности нагружения п

1 = \S - A

f (S)>

эинимается в следующем виде: - C = 0 .

(14)

Тогда состояние будет упругим, если напряженное состояние находится внутри поверхности нагружения или вектор приращения деформаций направлен внутрь поверхности

нагружения. В случае, если напряженное состояние находится на поверхности нагружения и вектор приращения деформаций направлен во внешнюю сторону поверхности нагружения, то состояние будет неупругим. Окончательно уравнения прикладного варианта теории тер-мовязкопластических процессов и кинетические уравнения накопления повреждений примут следующий вид:

- А| < С и - А)• Э < 0 — упругое состояние (15)

£ = 20Э , (16)

С = дтТ- Чк , (17)

А Э +§тлА)Т Э + я^А) , (18)

® = -ga>C0 , (19)

W = gтwT - gwW; (20)

- А\ = С П - А)• Э > 0 — неупругое состояние (21)

£ = N3 + + ЫэЭ , (22)

С = Чэй + ЧтТ~ Чк , (23)

А = gвЭ + (Яээ + ЯаА)* + &Э + ЯаАУ-(я*Э + ЯаА) , (24)

а-\

а> =ама W[А ■э)"я»® , (25)

w = gWT - gwW. (26)

Здесь а — повреждение; а — параметр, характеризующий нелинейность процесса накопления повреждений и зависящий от уровня микронапряжений; — параметр, отвечающий за процесс залечивания повреждений; W — энергия разрушения; gтw — параметр, обеспечивающий неизотермический переход; gw — параметр, отвечающий за процесс ох-рупчивания.

К уравнениям (15)-(26) следует добавить уравнение, связывающее шаровые составляющие тензоров напряжений а = си /3 и деформаций £ - ай / 3, а также температурную

деформацию sт =jaTdT:

о = 3К(е -sт). (27)

Материальные функции

Определяющие функции (параметры), входящие в систему уравнений (15)-(27), выражаются [7] через материальные функции, подлежащие экспериментальному определению, следующим образом:

gв = ЕА + РА°А , gэ = РАЕ0 , gA = ~РА , ^ _ dEA Еа ^гА т _ 1

g Э 1 т 1 т , Я А 1 т ,

dT аА dT аА dT

(яв + gA [А ])

2К = яР ЯК в р

6 Э 6 Э1 А , я А |-г| рА

_ дСв _ р

Чэ ~ дй ' * ~ С дT ' Чк ~ Чэ РС

Рс = ехр{Ьс)|С - СвХ (1 -о)~т' ,

PA = ехр(Ъл)|A\"A (1 -©)" а = {ал/|A - ErЭ|)"а .

gw = ехР{bW )|S\W ,

T _ W dWB

gW ~ '

g CD

WB dT 0 , если aii > 0,

[ехР(bJKP , если < 0 .

Окончательно прикладной вариант теории термовязкопластических процессов замыкают следующие материальные функции, подлежащие экспериментальному определению: G(T\ K(T), aT (T) — упругие параметры; Ea (T), aA (T), ßA (T) — параметры анизотропного упрочнения; CB (T, s) — функция изотропного упрочнения; WB (T) — начальная энергия разрушения;

na (А) — параметр нелинейности процесса накопления повреждений; bC (А), bA (T), nC (T), nA (T), (t) — параметры изотропной и анизотропной ползучести;

Ът (У), bW (А), nm (У), nW (А) — параметры залечивания и охрупчивания.

Базовый эксперимент

Для определения материальных функций необходим следующий набор данных базового эксперимента при различных уровнях температуры.

Упругие параметры определяются традиционными методами. Для упругопластических процессов необходимы:

• диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации 0.05 ^ 0.1;

• диаграмма одноосного пластического растяжения до деформации 0.05 ^ 0.1 после предварительного сжатия до деформации 0.01 ^ 0.02;

• циклические пластические диаграммы при одноосном растяжении-сжатии с постоянным размахом деформации 0.01 ^ 0.03 .

Для описания процессов накопления повреждений и разрушения дополнительно необходимы:

• данные по малоцикловой усталости при одноблочном жестком циклическом нагружении с постоянным размахом деформации 0.01 ^ 0.03 ;

• данные по малоцикловой усталости при двухблочном жестком циклическом нагружении с размахом деформации на первом блоке 0.005 ^ 0.015 и на втором блоке 0.02 ^ 0.03. Или (и) наоборот на первом блоке 0.02 ^ 0.03 , а на втором блоке 0.005 ^ 0.015 .

Для описания упруговязкопластических процессов деформирования и накопления повреждений необходимы:

данные по релаксации напряжения при постоянной деформации растяжения 0.03 ^ 0.05 ; данные по зависимости скорости установившейся ползучести от напряжения растяжения; диаграмма кратковременной ползучести при постоянном напряжении растяжения вплоть до разрушения.

Для описания процессов залечивания и охрупчивания необходимы: данные по длительной прочности при растяжении и сжатии;

данные по малоцикловой усталости с постоянным размахом деформации (порядка 0.01 ^ 0.02) после ползучести при наборе различных уровней напряжения растяжения.

m

Расчетно-экспериментальный метод определения (идентификации) материальных функций по данным базового эксперимента изложен в работе [7].

Термовязкопластические процессы сложного нагружения

Рассматриваются процессы сложного нагружения образцов из стали 30ХГСА при температуре 550° С по двузвенным ломаным траекториям деформации с различными скоростями деформирования от 5 • 10 5 до 5 • 10 3 мин-1.

При деформировании по программе 5 реализовывалось жесткое нагружение по траекториям (рисунок 1), имеющим одинаковый угол излома, но различные величины предварительной деформации на первом лучевом звене. Траектории программы 6 (рисунок 5) имеют одинаковую предварительную деформацию на первом лучевом звене, но разные углы излома. Деформирование по программам 5 и 6 проводится при одинаковой скорости деформирования, равной 5 -10~4 мин"1. В программе 7 реализуется сложное нагружение по двузвенной ломаной траектории деформации (рисунок 8) с различными скоростями деформирования

ё„ = 5• 10~3, 5-10Л 2-10Л 5-10мин-1

Ответные траектории напряжений для программ 5-7 приведены на рисунках 2, 6 и 9, скалярное запаздывание свойств материала для траекторий программ 5 и 7 показано на рисунках 3 и 10 соответственно. Векторные свойства (отклонение вектора напряжений от касательной к траектории деформаций) для траекторий программ 5-7 показаны соответственно на рисунках 4, 7 и 11. Результаты расчетов на основе прикладного варианта теории термо-вязкопластических процессов на рисунках 1-11 показаны сплошными кривыми, а результаты зиментов [11] — светлыми и темными кружками и светлыми треугольниками.

МПл

экспе э,

0,0075

0.005

0,0025

/3

/ /2

г~

/ I

/ /

/

0.005

МПа

Рисунок 1. Траектории деформации (программа 5)

Рисунок 2. Ответные траектории напряжений (программа 5)

|5Ц град

1 1 -

г 1 и V, 2 V3

У д и \ 4 \ • \ 1 \ • \ * д * \ ° \ 5 \ ° \ 0 \ о

г-* • в 0 О о

0,02 з

Рисунок 3 - Скалярные свойства (программа 5)

Рисунок 4 - Векторные свойства (программа 5)

/ 3

/ 2

! 1

О 0.0025 0.005 0.0075 0.0 Г Э,

Рисунок 5 - Траектории деформации (программа 6)

■9-, град

з \

2 , \ \й

\ Т\ й | Л

Рисунок 7 - Векторные свойства (программа 6)

3 _

1 - ¿ц = 5.10-3

2 - = 5 ■ 10-4

3 - = 2 1СГ*

4 - гц = 5 10"5

О 0.0025 0.005 0.0075 0 01 Э,

Рисунок 8 - Траектория деформации (программа 7)

1

-у. ,»• • • • • •

4

О 0.005 0 01 0.015 0.02 £

Рисунок 10 - Скалярные свойства (программа 7)

Рисунок 6 - Ответные траектории напряжений (программа 6)

^.МПа

1

/ \ V А • ^ \ 3 \ 4 \ \ \ • - V V \ • \

• \ * Л -«Д| \ \* \ \ * \ \ ♦ V V у- \ • V \ ■ \

о 50 100 150 £,.МПа

Рисунок 9 - Ответные траектории напряжений (программа 7)

1?, град_

д

4 к * * -±_

0.005 0.01 0.015 0.02

Рисунок 11 - Векторные свойства (программа 7)

л,

0,005

Результаты расчетов и экспериментов [7] говорят о существенной зависимости ответных траекторий, скалярных и векторных свойств от скорости деформирования. Уменьшение скорости деформирования приводит к существенному снижению диаграммы деформирования и заметному снижению следа запаздывания векторных свойств. Наблюдается надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов — отличие не превышает 10% по скалярным свойствам и 10 градусов по векторным свойствам.

Заключение

Представленный здесь прикладной вариант и аппроксимации функционалов теории термовязкопластических процессов в развитии ранее разработанного варианта [4-6] упруго-пластических процессов сложного нагружения здесь распространен на неизотермические нагружения и процессы, развивающиеся в реальном времени. Приведенные первые результаты верификации прикладного варианта теории термовязкопластических процессов на траекториях сложного нагружения в виде двузвенных ломаных говорят об адекватном описании предложенной теорией процессов сложного нагружения, развивающихся в реальном времени в условиях высокой температуры.

Литература

1. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории.-М.: Изд. АН СССР, 1963.- 271 с.

2. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-310 с.

3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах.-Л. Машиностроение, 1990.- 224 с.

4. Бондарь B.C., Даншин В.В., Семенов П.В. Прикладной вариант теории упругопласти-ческих процессов// Известия Тул.ГУ. Естественные науки. Вып. 3.- Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2011. - С. 46-56.

5. Бондарь B.C., Даншин В.В., Семенов П.В. Вариант теории упругопластических процессов и аппроксимации функционалов пластичности// Проблемы прочности и пластичности. - 2011.- Вып. 73.- С. 5-12.

6. Бондарь B.C., Даншин В.В., Семенов П.В. Простейший вариант аппроксимации функционалов пластичности теории упругопластических процессов // Проблемы машиностроения и автоматизации.- 2012. - № 3. - С. 82-90.

7. Бондарь B.C. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004.- 144 с.

8. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 424 с.

9. Бессон Ж., Каето Ж., Шабош Ж..-Л., Форест С. Нелинейная механика материалов / Пер. с фр. A.C. Кравчука; под ред. Л.Б. Гецова, Б.Е. Мельникова, А.Ю. Мусиенко, A.C. Семенова.- СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2010.- 398 с.

10. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности.- Рига: Зинатне, 1971.- 147 с.

11. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций.- М.: Машиностроение, 1967.- 131 с.