CC BY
27
Бондарь В.С., Абашев Д.Р. Прикладная теория неупругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. - № 4. - С. 145-160. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.4.14
Bondar V.S., Abashev D.R. Applied theory of inelasticity. PNRPU Mechanics Bulletin, 2018, no. 4, pp. 145-160. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.4.14
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 4, 2018 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/
DOI: 10.15593/perm.mech/2018.4.14 УДК 539.374
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОСТИ В.С. Бондарь, Д.Р. Абашев
Московский политехнический университет, Москва, Россия
О СТАТЬЕ
АННОТАЦИЯ
Получена: 03 июля 2018 г. Принята: 17 сентября 2018 г. Опубликована: 28 декабря 2018 г.
Ключевые слова:
ресурс, неупругость, изотропное и анизотропное упрочнение, возврат механических свойств, накопление повреждений, охрупчивание и залечивание, материальные функции, базовый эксперимент, идентификация и верификация.
Рассматриваются основные положения и уравнения прикладной теории неупругости, относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении. Прикладная теория неупругости является простейшим инженерным вариантом теории неупругости, который может использоваться для практических расчетов выработанного и остаточного ресурса материала конструкций высоких параметров в условиях повторности и длительности воздействия термомеханических нагрузок. Тензор скоростей деформаций представлен в виде суммы тензоров скоростей упругой и неупругой деформаций, т.е. здесь нет условного разделения неупругой деформации на деформации пластичности и ползучести. Упругая деформация следует обобщенному закону Гука. Вводится поверхность нагружения, которая изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагружения. Для радиуса поверхности нагружения (изотропное упрочнение) формулируется эволюционное уравнение, обобщенное на неизотермическое нагружение и процессы возврата механических свойств при отжиге. Смещение поверхности нагружения (анизотропное упрочнение) описывается на основе эволюционного уравнения с трехчленной структурой, обобщенного на неизотермическое нагружение и процессы снятия микронапряжений (смещения) при обжиге. Для определения тензора скоростей неупругой деформации используется ассоциированный (градиентальный) закон течения. Для жестких (заданы деформации) и мягких (заданы напряжения) режимов нагружения получены выражения для определения скорости накопленной неупругой деформации. Сформулированы условия упругого и неупругого состояний. Для описания нелинейных процессов накопления повреждений вводится кинетическое уравнение накопления повреждений, где в качестве энергии, расходуемой на создание повреждений в материале, принимается энергия, равная работе микронапряжений на поле неупругих деформаций. Здесь это кинетическое уравнение обобщено на неизотермическое нагружение и процессы охрупчивания и залечивания повреждений. Выделяются материальные функции, замыкающие прикладную теорию неупругости, формулируется базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций. Рассматривается пример определения материальных функций по результатам базового эксперимента и приводятся материальные функции для нержавеющей стали 12Х18^ в диапазоне температур от 20 до 650 X. Далее дается перечень экспериментов и конструкционных сталей и сплавов, на которых была проведена верификация прикладной теории неупругости в условиях пластического и неупругого (вязкопластического) деформирования, изотермического и неизотермического, простого и сложного нагружений. В заключение обсуждается область применимости прикладной теории неупругости.
©ПНИПУ
© Бондарь Валентин Степанович - д.ф.-м.н. проф., зав. каф., e-mail: tm@mami.ru. Абашев Дмитрий Рустамович - к.ф.-м.н., доц., e-mail: tm@mami.ru, 0000-0002-1626-0662
Valentin S. Bondar - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department, e-mail: tm@mami.ru.
Dmitry R. Abashev - CSc in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: tm@mami.ru, 0000-0002-1626-0662
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
APPLIED THEORY OF INELASTICITY
V.S. Bondar, D.R. Abashev
Moscow Polytechnic University, Moscow, Russian Federation
ABSTRACT
We consider the main features and equations of the applied theory of inelasticity relating to the class of flow theories with combined hardening. The applied theory of inelasticity is the simplest engineering version of the theory of inelasticity; and can be used for calculations of the worked out and residual resource of high-performance structural materials under repeated and long-term thermomechanical loads. The strain rate tensor is represented as the sum of the elastic and inelastic strain tensors, i.e. here there is no conditional separation of inelastic deformation by deformation of plasticity and creep. The elastic deformation follows the generalized Hooke's law. A loading surface is introduced that isotropically expands or reduces and displaces during loading. For the radius of the loading surface (isotropic hardening), an evolutional equation is generalized to nonisothermal loading and restoration of mechanical properties during annealing. The displacement of the loading surface (anisotropic hardening) is described through the evolution equation with a three-member structure, generalized to non-isothermal loading and the back stresses removal (displacement) during firing. To determine the rate tensor of inelastic deformation, the associated (gradient) flow law is used. For rigid (given deformations) and soft (given stresses) loading regimes, expressions are obtained to determine the rate of the accumulated inelastic deformation. Conditions of elastic and inelastic states are formulated. To describe the nonlinear processes of damage accumulation, the kinetic equation of damage accumulation is introduced, where the energy equal to the work of back stresses on the field of inelastic deformations is assumed as the energy spent on creation of damages in the material. Here this kinetic equation is generalized to nonisothermal loading and processes of embrittlement and healing of damages. The material functions closing the applied theory of inelasticity are singled out; the basic experiment and the material functions identification method are formulated. An example of determining the material functions from the basic experiment results is considered and material functions for 12Х18H9 stainless steel in the temperature range from 20 °C to 650 °C are given. Further we give a list of experiments and structural steels and alloys on which the applied inelasticity theory was verified under plastic and inelastic (viscoplastic) deformations, isothermal and nonisothermal, simple and complex loadings. In conclusion, we discuss the application of the theory of inelasticity.
©PNRPU
ARTICLE INFO
Received: 03 July 2018 Accepted: 17 September 2018 Published: 28 December 2018
Keywords:
resource, inelasticity, isotropic and anisotropic hardening, return of mechanical properties, accumulation of damage, embrittlement and healing, material functions, basic experiment, identification and verification.
Введение
Вопросам построения прикладных вариантов теорий термовязкопластичности и неупругости посвящено большое количество работ. Основные направления построения теорий и обширную библиографию по этому вопросу можно найти в монографиях, обзорах и отдельных работах А.А. Ильюшина [1, 2], В.В. Новожилова [3], Ю.Н. Работнова [4], И.А. Биргера [5], В.С. Бондаря [6-9], Р.А. Васина [10], Ю.И. Кадашевича [3], Л.М. Качалова [11], Ю.Г. Коротких, И.А. Волкова и Л.А. Игумнова [12-15], Н.Н. Малинина [16], Ю.М. Темиса [17], Кремпла [18, 19], Криега [20-22], Леметри [23], Лин-хольма [24], Миллера [25-27], Оно [28-31], Харта [32], Шабоша [33-38] и др.
Наибольшее распространение в практических расчетах в настоящее время получили прикладные варианты теории течения, базирующиеся на концепции комбинированного упрочнения. Среди этих вариантов теорий теории В.С. Бондаря [6-9], Ю.Г. Коротких [12-15] и Шабоша [33-38] являются наиболее экспериментально обоснованными и широко применяемыми для расчетов ресурса материалов конструкций при термовязкопла-стическом деформировании в условиях повторности и
длительности термомеханических воздействий. Следует отметить, что в вариантах теорий Ю.Г. Коротких и Шабоша деформации разделяются на упругие, пластические и ползучести, а в варианте теории В.С. Бондаря -на упругие и неупругие. Поэтому первые варианты относятся к теории термовязкопластичности, а последний - к теории неупругости. Соответственно, и эволюционные уравнения для радиуса поверхности нагруже-ния, смещений (микронапряжений) и накопления повреждений в первом случае строятся отдельно для пластичности и ползучести, а во втором случае - только для неупругости. Следует отметить, что разделение необратимой деформации на деформации пластичности и ползучести весьма условно. При быстрых процессах деформации ползучести малы и ими пренебрегают и говорят о пластическом деформировании, при медленных процессах имеют место и пластические деформации, и деформации ползучести, и разделение их весьма условно, т.е. в данном случае необратимая деформация едина. Разрушение при быстрых процессах деформирования обычно носит вязкий характер при накоплении повреждений в теле зерна, а при очень медленных процессах - хрупкий характер при накоплении повреждений по границам зерен. Поэтому в первых ва-
риантах процессы накопления повреждении разделены и описываются разными кинетическими уравнениями. Основным недостатком первого подхода является отсутствие взаимного влияния процессов пластичности и ползучести как при деформировании, так и при разрушении, что противоречит экспериментальным результатам [4-6, 10-16]. Во втором случае история процесса деформирования и взаимовлияние пластичности и ползучести учитывается априори - быстрый процесс влияет на последующий медленный и наоборот. Что касается разрушения, то наличие в уравнениях теории кинетического уравнения, описывающего охрупчива-ние, дает возможность как вязкого (при значительных деформациях и кратковременных процессах или малом числе циклов), так и хрупкого (при небольших деформациях и больших длительностях процесса, а также при многоцикловой усталости) разрушения. Соответственно, этот вариант теории позволяет моделировать и смешанные виды деформирования, и разрушения.
Следует отметить некоторые особенности рассматриваемой здесь прикладной теории неупругости:
- деформация имеет упругую и неупругую составляющие (нет условного разделения на деформации пластичности и ползучести);
- поверхность нагружения может смещаться, расширяться, сужаться или иметь постоянный размер;
- нагружение, соответствующее движению по поверхности нагружения, не всегда является нейтральным (упругим);
- трехчленная структура уравнений для смещения поверхности нагружения обусловливает снятие ограничений на траектории сложного нагружения;
- кинетические уравнения накопления повреждений построены на энергетическом принципе с учетом процессов охрупчивания и залечивания и адекватно отражают нелинейные процессы накопления повреждений;
- уравнения неупругого поведения и накопления повреждений взаимосвязаны, т.е. повреждение влияет на поведение, а история нагружения на процесс повреждения;
- основу метода идентификации материальных функций составляет обработка кривых базового эксперимента, не связанная с определением пределов текучести и других величин с какими-либо допусками;
- базовыми экспериментами, на которых построен метод идентификации материальных функций, являются стандартные испытания материала на малоцикловую и длительную прочность, а также деформирование в условиях пластичности и ползучести.
В настоящей работе рассматриваются основные положения и уравнения прикладной теории неупругости, относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении. Выделяются материальные функции, замыкающие прикладную теорию неупругости, формулируется базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций. Рассматривается пример определения материальных функций по результа-
там базового эксперимента, и приводятся материальные функции для нержавеющей стали 12Х18Н9 в диапазоне температур от 20 до 650 °С. Дается перечень экспериментов и конструкционных сталей и сплавов, на которых была проведена верификация прикладной теории неупругости в условиях пластического и термовязко-пластического деформирования, изотермического и неизотермического, простого и сложного нагружения.
1. Основные положения и уравнения
Материал однороден и начально изотропен. Рассматриваются малые деформации поликристаллических конструкционных сталей и сплавов при температурах, когда нет фазовых превращений, и скоростях деформаций, когда динамическими эффектами можно пренебречь. В процессе неупругого деформирования в материале может возникать только деформационная анизотропия. Тензор скоростей деформаций представляется в виде суммы тензоров скоростей упругой и неупругой деформаций:
г.. = ге. + г"..
ч ч ч
(1)
Следует отметить, что здесь нет условного разделения неупругой деформации на деформации пластичности и ползучести.
Упругие деформации при изменении напряжений следуют обобщенному закону Гука, а при изменении температуры - закону температурного расширения. Тогда с учетом зависимости упругих параметров от температуры упругие деформации будут определяться следующим образом:
[Ч "v(3ct<A/ )}
а а =aT й у -
dE 1
UE 1 / \dv
x---(3ct„5у -оу ) —,
dT El 0 4 "> dT
(2)
где Е, V, ат - соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона, коэффициент температурного расширения, являющиеся функциями температуры Т; ст0 = стй. /3 -
среднее напряжение; 8 У - символ Кронекера (8 У=1 при
г= У ; 8у = 0 при У )•
Полагается, что в пространстве составляющих тензора напряжений существует поверхность нагружения, разделяющая области упругого и неупругого состояний. Поверхность нагружения изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагружения. Начальная поверхность нагружения может быть стянута в точку. Текущая поверхность нагружения определяется процессом нагружения. Воздействие фактора времени тоже есть процесс нагружения. Уравнение поверхности нагружения принимается в следующем виде:
/К)= 3(^ -)(^ -)-с2 = 0- (3)
Здесь я*. = я у — а - девиатор активных напряжений [3]; ¡¡] - девиатор напряжений; тензор (добавочных
напряжений, остаточных микронапряжений [3,5]) характеризует смещение поверхности нагружения в деви-аторном пространстве напряжений, т.е. направленное (анизотропное) упрочнение. Скаляр С отвечает размеру (радиусу) поверхности нагружения и характеризует изотропное упрочнение. Тензор смещения а ^ и радиус
С являются функционалами процесса нагружения.
Для радиуса поверхности нагружения принимается следующее уравнение:
(4)
Здесь ен» - длина дуги траектории неупругой деформации (накопленная неупругая деформация); е*» - интенсивность скоростей неупругой деформации (скорость накопленной неупругой деформации); дЕ, qт, ^ -функции, подлежащие экспериментальному определению. Первое слагаемое в уравнении (4) отвечает механическому упрочнению. По знаку ^ определяются циклически упрочняющиеся (^ >0), стабильные (^ = 0) и разупрочняющиеся (^ <0) материалы. Параметр ^ обеспечивает неизотермический переход, а параметр ^ - возврат механических свойств при отдыхе, отжиге.
Смещение поверхности нагружения определяется уравнением
'-ЯТе ^ + ё'а аи
(5)
Т Т К К
Здесь е,gе,Еа,,ЕТ,Еа - функции, подлежащие экспериментальному определению. Первые три слагаемых в уравнении (5) описывают процессы образования и снятия добавочных напряжений при неупругом деформировании, два следующих обеспечивают неизотермический переход, а два последних - снятие добавочных напряжений при отдыхе, отжиге. Параметры qК, , еИ в уравнениях (4) и (5) являются функциями повреждения, что позволяет описать разупрочнение материала перед разрушением, т.е., например, уменьшение уровня напряжений при жестком циклическом нагружении перед разрушением, третью стадию ползучести.
Зависимость параметра ^ в уравнении (4) от меры непропорциональности (сложности) нагружения позволяет [7-9, 39] описать эффект дополнительного изо-
тропного упрочнения при непропорциональных циклических нагружениях, который имеет место для ряда конструкционных материалов - нержавеющих сталей.
Неупругие деформации зависят от истории нагру-жения и являются функционалами процесса. Для определения скоростей неупругих деформаций используется ассоциированный с (3) градиентальный закон течения
^ 5а,
£5 2 сх
(6)
Здесь сти* - интенсивность активных напряжений.
Для получения уравнения для скорости накопленной неупругой деформации используются уравнения (1)-(6). Тогда для случаев мягкого и, соответственно, жесткого нагружений уравнения для скорости накопленной неупругой деформации будут иметь следующий вид:
_1_
X
1
2 ст*
Е,+ЗС
(7)
(8)
Е.= qе+ Е + Ее <+ Еа а'и
ВТ = qт + еЦ* + а:
ВК = qк + еК ен*+ ЕКа1
ен.= ен . = 31чаЧ
2 ст*
в =
Е
2 (1 +
Условия упругого и неупругого состояний следуют из того, что для неупругого состояния необходимо, чтобы изображающая точка процесса нагружения находилась на поверхности нагружения и определяемая скорость накопленной неупругой деформации была положительна, а упругое состояние следует при нарушении любого из двух упомянутых условий. Тогда условия упругого и неупругого состояний будут иметь следующий вид:
<<С и 8«,<0
< = сп ё" >0
упругость, неупругость.
(9)
Здесь под подразумевается выражение, задаваемое уравнением (7) либо (8) или любым другим уравнением, связывающим скорость накопленной неупругой деформации и любой набор скоростей напряжений и деформаций (смешанное нагружение).
Для описания процесса накопления повреждений используется энергетический подход. В качестве энергии, расходуемой на создание повреждений в материале, принимается энергия, равная работе добавочных напряжений на поле неупругих деформаций. Ответственность за накопление повреждений добавочных
и*
6Н =
и*
в". =
и*
ст
и
+
напряжений (микронапряжений) иллюстрируется результатами, приведенными в работах [40-43]. В процессе нагружения имеют место: накопление повреждений за счет работы добавочных напряжений (микронапряжений), залечивание повреждений и охрупчивание материала. Залечивание и охрупчивание связаны с длительностью процесса нагружения. Кинетические уравнения накопления повреждений, залечивания и охрупчивания принимаются в следующем виде:
со = асо
£!=! а..Ён ч ч
W
-Ясс®,
W = gTwT-gwW .
(10)
(11)
Здесь ю - мера повреждения (юе[0;1]); Ж - энергия
разрушения; а, gю, gW, gW - функции, подлежащие экспериментальному определению. Функция а описывает [42, 43] нелинейность процесса накопления повреждений. Первое слагаемое в уравнении (10) описывает процесс накопления повреждений за счет работы добавочных напряжений на поле неупругих деформаций. Второе слагаемое в уравнении (10) описывает процесс залечивания повреждений, интенсивность которого зависит от уровня повреждения, а также от уровня и характера напряженного состояния. Первое слагаемое в уравнении (11) обеспечивает неизотермический переход. Второе слагаемое в уравнении (11) описывает изменение энергии разрушения (начальная энергия разрушения равна и определяется при пластическом деформировании) за счет процесса охрупчивания материала, интенсивность которого зависит от текущего значения энергии разрушения и уровня напряженного состояния. Критерием разрушения материала будет достижение повреждением предельного значения, обычно принимаемого равным или близким к единице.
2. Материальные функции
Теорию неупругости замыкают следующие материальные функции:
Е (Т), v(T), аТ(Т ) - упругие параметры;
Еа (Г), ста (Г), Р(Г) - модули анизотропного упрочнения;
Ср (Т, гни„) - функция изотропного упрочнения;
Ж0 (Т ) - начальная энергия разрушения;
Ьс (Т) , Ьа (Т) , Пс(Т) , Па (Т) , тю(Т) - параметры
изотропной и анизотропной ползучести;
Ь% (Т), Ьр (Т), щ(Т), пр (Т) - параметры залечивания и охрупчивания.
Определяющие функции выражаются через материальные следующим образом:
дС„
C дСв
я =—t> ят > qR = ,
CP дт
g = Ea + Raa, gs=pE„, = -R
T _ dEa dEa dT _ 1 d
dT a dT
a dT
(12)
gR = gsP, gR =(g + gaau ) —
_ _ T _W dW0
gm ^ ' gW P ' gW '
W dT
P = exp(bc)|C-Cp01n (1 --P,
P = exp(ba)(аи)na (1-®)-™-, f0, если au ^ 0,
exP(bx) КГ > если aii < 0
P = exP (bp)K )Пр >
(13)
a = — s..s.. " 1 2 11 j
С„0 = Ср (Т, 0) = стч •
Здесь ст^ - предел длительной прочности (предел ползучести); иа - параметр нелинейности процесса накопления повреждений (яа = 1,5). Следует отметить, что
при несимметричных циклических нагружениях имеет место посадка или вышагивание петли пластического гистерезиса. Для описания этих явлений модуль Е
принимается [42-45] зависящим от е^.
Ниже рассматриваются возможности вариантов теории неупругости и требуемое число материальных функций.
и
а =
a = —a.a..
и I ~ ij ij
Изотермическое нагружение
E, v, E , a , R, C (s\ )
' ' a? a ' p \ и*)
пластичность (6 параметров)
E, v, Ea, aa, R, Cp (<*), Wo
пластичность + разрушение (7 параметров)
пластичность + установившаяся ползучесть (8 параметров)
пластичность + первая и вторая стадии ползучести (10 параметров)
пластичность + вторая и третья стадии ползучести + разрушение без учета охрупчивания и залечивания (10 параметров)
пластичность + вторая и третья стадии ползучести + разрушение с учетом охрупчивания, но без залечивания (12 параметров)
Неизотермическое нагружение
E, V, E , ст , В, C (ев.), Ь , П
'' а ру и* у а а
E, V, Ea, Ста, В, Cp (ен*),Ьс,Ьа, пс, п
^ V, Ea, Ста, В, ер (ен.), W0,Ьл,п
E (Т), v(T), ат (Т)
Ea (Т),ста (Т),р(Т),Ср (Т,ен .), W0 (Т)
Ьа (Т), па (Т), тИ(Т), Ьр(Т), Пр(Т)
пластичность + вторая и третья стадии ползучести + разрушение с учетом охрупчивания, но без залечивания (13 параметров)
E (Т ), v(T ), aт (T )
Ea (Т ), Ста (T ), Р(Т ), Ор (Т, еи*), (T ) К (Т),Ьа (Т),пс (Т),па (Т),ти(Т)
ьл(т ) > ьр(т ) > П (т ). пр (т )
пластичность + первая, вторая и третья стадии ползучести + разрушение с учетом охрупчивания и залечивания (17 параметров)
3. Базовый эксперимент
Для определения материальных функций достаточно следующего основного (базового) набора экспериментальных данных при различных уровнях температуры:
- упругие параметры E, V, ат, которые определяются традиционными методами;
- диаграмма пластического деформирования при одноосном растяжении стДе) до деформации 0,05-0,1;
- диаграмма пластического деформирования при одноосном растяжении ст2 (е) до деформации 0,05-0,1 после
предварительного сжатия до деформации 0,01-0,02;
- данные по циклическому одноосному растяжению-сжатию (знакопеременному кручению) при постоянном размахе пластической деформации: число циклов до разрушения (появления макротрещины) N и зависимость
максимальных значений напряжений ст+ на цикле (в конце цикла) от числа циклов нагружения N (размах пластической деформации Аен порядка 0,01-0,02);
- данные по ползучести при постоянном напряжении растяжения: зависимость минимальной скорости ползучести от напряжения во всем диапазоне изменения напряжений от кратковременной до весьма длительной ползучести;
- данные по длительной прочности: кривая длительной прочности при растяжении, включающая все
три участка, и кривая длительной прочности при сжатии, соответствующая только второму участку.
4. Пример определения материальных функций
Для определения параметров анизотропного упрочнения E, В, ст и функции изотропного упрочнения
С (е^) при начальных значениях накопленной неупругой деформации необходимы диаграммы растяжения и растяжения после предварительного сжатия в условиях пластичности. На рис. 1 приведены диаграммы растяжения ст и растяжения ст2 после предварительного сжатия до деформации |е^| =0,0166 как функции накопленной неупругой деформации. Далее, используя данные на рис. 1, строим кривую (рис. 2) в координатах
У = ■
2 ен
(14)
горизонтальной асимптотой которой является прямая у = E , что позволяет определить значение параметра Ea.
Для получения параметров р и ст зависимости на рис. 2 перестраиваются в координатах
СТ —ст2
х — еи* е
z = ln
о. M Па
( с ^
y - E
у с
V а У
_н н
(15)
200
100
«1
я.
IT" 1/
о
0.02
0.04
Рис. 1. Кривые растяжения и растяжения после предварительного сжатия Fig.1. Curves of stretching and stretching after prior compression
Рис. 2. Определение параметра Ea Fig. 2. Determination of E parameter
Получаемая с помощью метода наименьших квадратов линейная зависимость (рис. 3) позволяет по углу наклона ф и ординате z0 определить параметры R и
a по формулам
р = ШФ > =
Еа ^ eXP (Z0 )
1 -exp(-p|sH21) ■
(16)
Получив параметры анизотропного упрочнения Е, Р, , можно определить функцию изотропного
упрочнения Ср (е^ ) , используя диаграмму растяжения,
по формуле
Ср (еин,) = ^ (ен*) - Еаеин, - ста [1 - ехр (-Ре?.)] • (17)
На рис. 4 показана кривая зависимости С (е^.), полученная на основе формулы (17).
Рис. 3. Определение параметров aa и R Fig. 3. Determining иа and р parameters
Рис. 4. Функция изотропного упрочнения Fig. 4. Isotropic hardening function
Для остальных значений накопленной неупругой деформации функция изотропного упрочнения определяется по результатам циклических испытаний (табл. 1) при постоянном размахе неупругой деформации Аен = = 0,015 и деформации на первом полуцикле |eJJ2| = = 0,0075 по формуле
/нч + |н| 1 - exp (-рден )
Cp (Ви* ) = GiV - Ea В02 -Ga " / „ . н\
PV ' 11 1 + exp (-PAsH )
(18)
bH. = sHJ + 2AsHN.
Таблица 1
Максимальные значения напряжения на N-м цикле
Table 1
Maximum stress values of N-th cycle
N, цикл 3 5 15 30
G+, МПа 232 242 250 252
Примечание: - максимальные значения напряжения на Л?-м цикле, N - номер цикла. Первый цикл включает в себя второй и третий полуциклы и т.д. Первый же полуцикл обычно называется отнулевым циклом.
На рис. 5 приведена кривая зависимости С (е^), полученная на основе формул (17) и (18).
Рис. 5. Функция изотропного упрочнения Fig. 5. Isotropic hardening function
Далее по результатам циклических испытаний до разрушения в условиях пластичности с постоянным размахом неупругой деформации определяется энергия разрушения 1¥0 по формуле
W0 =
2а„
ßAsH - 2
1 - exp (-ßAsH) 1 + exp (-ßAsH)
Np .
(19)
Здесь Аен - размах неупругой деформации, а Nр - число циклов до разрушения, которые в данном случае соответственно равны 0,015 и 44.
Таким образом, для каждого уровня температуры Т определяются материальные функции (параметры), соответствующие упругопластическому состоянию:
E(Т); v(T); аТ (Т); Ea (Т); ста (Т); р(Т);
Ср (Т, ен*), W0 (Т).
Далее определяются материальные функции, отвечающие за временные эффекты по результатам испытаний в условиях ползучести.
Для определения параметра изотропной и анизотропной ползучести тш используются данные первого и второго участков кривой длительной прочности, а также определенные ранее материальные функции, соответствующие пластическому состоянию. Параметр тш определяется из линейной зависимости
У = ( m» +1) х,
(20)
где
у = 1ё (ст)т / в] , х = 1% (1-ю,), (21)
Ю = ^{2Ea (е")2 +стаен —стр'С1 — ехр(—В6")]} . (22)
Здесь 1р - время до разрушения в условиях кратковременной ползучести при напряжении ст ; ен - пластическая деформация, соответствующая напряжению ст; В, т - коэффициенты степенной аппроксимации второго участка кривой длительной прочности,
tp = Da-
(23)
Значения коэффициентов степенной аппроксимации в данном случае соответственно В = 10215, т = 9.
В табл. 2 приведены значения времени до разрушения для различных значений напряжения, соответствующих первому участку кривой длительной прочности.
Таблица 2
Длительная прочность на первом участке
Table 2
Long-term hardening at the first section
a, МПа 280 260 240 200
tp, ч 0,059 0,157 0,432 3,850
На рис. 6 приведена линейная зависимость (25), построенная на основе метода наименьших квадратов.
-0,1 -0.05
Рис. 6. Определение параметра тш Fig. 6. Determining тш parameter
Далее, используя экспериментальные данные второго участка кривой длительной прочности и данные по скорости установившейся ползучести, параметры анизотропной ползучести b и иа можно определить по формулам
(24)
b = ln
DP, (mm +1)
W
P
(25)
Здесь р, п - коэффициенты степенной аппроксимации зависимости установившейся скорости ползучести от напряжения
(26)
в данном случае р = ехр (—35,46), пЕ = 6 .
Для определения параметров изотропной ползучести К и п используются данные зависимости устано-
вившеися скорости ползучести е5( от напряжения а.
Вначале для набора значений напряжений, в данном
случае для ст е [80; 140], по формуле (26) определяется
соответствующий набор значений скорости установившейся ползучести. Затем на основании формулы
j
я = [ё>хр (£,)]"
(27)
вычисляются соответствующие значения добавочного напряжения и соответствующие значения радиуса поверхности нагружения по формуле
C = a-a.
(28)
Таким образом, устанавливается соответствие между
« • н .—1
скоростью установившейся ползучести <. и и радиусом С . Далее, представляя эту зависимость в координатах
У = Ы1, х = 1п|С-Ср0|
(29)
ß
n
Е
Па =
можно получить параметры b, и n из линейной зависимости
y = b + ncx . которая представлена на рис. 7.
(30)
Рис. 7. Определение параметров bc и nc Fig. 7. Determining bc and nc parameters
Для определения параметров охрупчивания bp и np
используются результаты испытаний, относящиеся к третьему участку кривой длительной прочности. В табл. 3 приведены значения времени до разрушения для разных значений напряжения, соответствующих третьему участку кривой длительной прочности.
Таблица 3
Длительная прочность на третьем участке
Table 3
Long-term hardening at the third section
a , МПа 100 80 60
t;, ч 950 3550 17 000
Значение модуля охрупчивания р определяется для каждого уровня напряжения из следующего нелинейного уравнения:
р = Iin [1 + pD (a)-m ].
(31)
Решение нелинейного уравнения (31) осуществляется любым итерационным методом. В качестве начального приближения можно принять
P = -
1
(32)
Далее, представляя зависимость между р и ст в логарифмических координатах
y = lnp , x = lna ,
(33)
можно получить параметры bp и np из линейной зависимости
У = bp+ npx =
которая представлена на рис 8.
Для определения параметров залечивания \ и нх используются данные по длительной прочности при растяжении и сжатии, относящиеся ко второму участку кривых длительной прочности. Вначале для набора значений напряжений, в данном случае для ст е [150; 200], по формулам
*P = D + (а)-
(Р = D lal
(35)
определяются соответствующие значения ^ при растяжении и при сжатии. Затем значение модуля залечивания X определяется для каждого уровня напряжения из следующего нелинейного уравнения:
Х = J-[1 - exp (-Xi;)].
(36)
Рис. 8. Определение параметров b и np Fig. 8. Determining bp and n parameters
Решение нелинейного уравнения (36) осуществляется любыми итерационными методами. В качестве начального приближения можно принять
X = 1 -1
(37)
Далее, представляя зависимость между X и |a| в логарифмических координатах
y = lnX, x = ln |a|
(38)
можно получить параметры b и n из линейной зависимости
У = bX+ nxx = которая представлена на рис. 9.
(39)
m
t
залечивания Ь проводятся расчеты длительной прочности при сжатии и корректировка Ь до совпадения расчетных и экспериментальных результатов.
На основе приведенного выше метода и примера идентификации материальных функций были получены материальные функции для нержавеющей стали 12Х18Н9 в диапазоне температур от 20 до 650 °С на основе экспериментальных данных [54-56]. В табл. 4, 5, 6 приведены материальные функции стали 12Х18Н9
(табл. 5 - функция изотропного упрочнения Ср (Т, е^»)).
Данные в таблицах соответствуют температуре, задаваемой в °С; напряжениям, задаваемым в МПа; времени, задаваемому в часах.
Таблица 4
Упругие параметры. Модули анизотропного упрочнения, начальная энергия разрушения
Table 4
Elastic parameters. Anisotropic hardening modules, initial energy of destruction
Т, °С Е, МПа V ат, 1/град Еа, МПа Оа, МПа ß Wo, дж/см3
20 205 000 0,3 1,69 10-5 500 150 500 270
150 195 000 0,3 1,77 10-5 200 124 500 200
300 182 500 0,3 1,87 10-5 50 117 500 150
500 167 000 0,3 210-5 0 96 500 88
550 163 000 0,3 2,03 10-5 0 88 500 72
600 159 000 0,3 2,06 10-5 0 76 500 56
650 155 000 0,3 2,08 10-5 0 60 500 40
Таблица 5
Функция изотропного упрочнения
Table 5
Anisotropic hardening function
Т, °С е\ u*
0 0,0005 0,002 0,005 0,01 0,02 0,04 0,1 0,4 100
20 10 190 218 225 228 236 254 300 310 320
150 10 150 179 189 192 200 220 266 276 286
300 10 130 165 180 184 194 214 260 270 280
500 10 100 124 133 136 146 166 212 222 232
550 10 93 118 127 132 142 160 200 210 219
600 10 86 112 121 128 138 154 190 198 206
650 10 80 107 116 125 134 148 180 188 194
Таблица 6
Параметры изотропной и анизотропной ползучести, залечивания и охрупчивания
Table 6
Isotropic and anisotropic creep, healing and brittling
Т, °С К nc К Па Ьр Пр b, nx
5 5,1 5.2 1
Рис. 9. Определение параметров ^ и nx Fig. 9. Determining ¿Л and nx parameters
Следует отметить, что представленный алгоритм получения параметров залечивания приводит к верному решению в том случае, если время разрушения при растяжении незначительно отличается от времени разрушения при сжатии. Поэтому для уточнения параметра
20 7 -60,4 6 -27 2 -51 4 -92,6 9
150 7 -54,4 6 -22 2 -45 4 -80,6 9
300 7 -48,4 6 -17 2 -39 4 -68 9
500 7 -40,4 6 -13,06 2 -31.5 4 -57,5 9
550 7 -38,4 6 -12,21 2 -29 4 -54,94 9
600 7 -36,4 6 -11,48 2 -26.9 4 -52,29 9
650 7 -34,4 6 -10,93 2 -24.8 4 -49,7 9
5. Перечень экспериментов и конструкционных материалов, на которых была проведена верификация теории
Пластичность
Изотермическое нагружение Простое нагружение Циклическое нагружение
Вид нагружения Материал Эксперимент
Стационарное жесткое циклическое одноосное растяжение-сжатие, Т=150°С АЛ-25 - циклически разупрочняющийся материал Е.А. Аверченков и др. [46]
Жесткое нестационарное циклическое одноосное растяжение-сжатие. Блочное изменение амплитуды и асимметрии цикла, Т = 20 °С 12Х18Н10Т - циклически стабилизирующийся материал Д.А. Казаков В.С. Бондарь [6]
Жесткое стационарное циклическое однооосное растяжение-сжатие. Усталостное разрушение от 103 до 105 циклов, Т = 20 °С Л1Б1 304 - циклически стабилизирующийся материал D. Socie [47]
Жесткое стационарное циклическое одноосное растяжение-сжатие. Усталостное разрушение от 210 до 2104 циклов, Т = 20 °С 12Х18Н9 - циклически стабилизирующийся материал Д.А. Казаков В.С. Бондарь [6]
Сложное нагружение
Плоские траектории
Вид нагружения Материал Эксперимент
Двузвенные ломаные траектории деформаций. Угол излома траектории от 15 до 100°. Длина первого звена от 0,002 до 0,0145. Т = 20 °С, Р, д - опыты. 30ХГСА В.П. Дегтярев [48]
Двузвенные ломаные траектории напряжений. Угол излома траектории от 130 до 180°, Т = 20 °С, Р, М - опыты Ст 10 О.А. Шишмарев [49]
Двузвенные ломаные траектории деформаций. Угол излома траектории от 30 до 180°, Т = 20 °С, Р, М - опыты. S15C Y. Ohashi [50]
Двузвенные ломаные траектории напряжений. Угол излома траектории 90°, Т = 20 °С, Р, М - опыты. 30ХГСА А.С. Вавакин и др. [51]
Трехзвенные ломаные траектории деформаций. Угол первого излома 90°, угол второго излома 60, 70, 80°, Т = 20 °С, Р, М - опыты. S10C Y. Ohashi [50]
Криволинейные траектории деформаций: луч+дуга окружности, Т = 20 °С, Р, д - опыты. 30ХГСА В.П. Дегтярев [48]
Криволинейные траектории деформаций: луч + дуга окружности + луч + дуга окружности + луч. Т = 20 °С. Р, М - опыты. BsBM2 Y. Ohashi [50]
Траектория деформаций в виде квадрата, 3 витка, Т = 20 °С, Р, М -опыты. 40Х16Н9Г2С В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков [52]
Траектория деформаций в виде окружностей с общим центром в начале координат. Радиус от 0,0025 до 0,0125, Т = 20 °С, Р, М - опыты. 40Х16Н9Г2С В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков [52]
Траектория деформаций в виде окружностей, проходящих через начало координат. Радиус от 0,0025 до 0,01, Т = 20 °С, Р, М - опыты. 9Х2 В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков [52]
Траектория деформаций в виде спирали Архимеда. Скручивание в начало координат за 4 витка, а затем раскручивание 2 витка. Ст. 45 В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков [52]
Стационарные циклические нагружения по траекториям деформаций в виде двойного квадрата, квадрата, окружности. Усталостное разрушение от 4103 до 2105 циклов, Т = 20 °С. Р, М - опыты. AISI 304 D. Socie [47]
Пространственные траектории
Вид нагружения_|_Материал_|_Эксперимент
Траектории деформаций в виде винтовых линий с постоянной кривизной и кручением. Кривизна от 100 до 333 и крутка от 10 до 666. Всего восемь траекторий, Т = 20 °С, Р, М, д - опыты._
Неупругость
Изотермическое нагружение Простое нагружение
Вид нагружения Материал Эксперимент
Жесткое стационарное циклическое одноосное растяжение-сжатие, s =10-4 1/c, Т = 250 и 350 °С Ал - 25 - циклически разупрочняющийся материал Аверченко [46]
Жесткое стационарное циклическое одноосное растяжение-сжатие, Т = 650 °С, длительность цикла 2 и 8 мин Усталостное разрушение от 102 до 10 циклов. 12Х18Н9 А.П. Гусенков [54]
Длительная прочность при постоянном напряжении растяжения. Время разрушения от 0,1 до 103 ч. Т = 550, 600, 650 °С. 12Х18Н9 А.П. Гусенков [54]
Длительная прочность при постоянном напряжении растяжения. Время разрушения от 10 до 105 ч. Т = 550, 600, 650 °С М3 В.В. Кашелкин С.А. Шестериков
Знакопеременная циклическая ползучесть. Длительность выдержки на режиме растяжения (сжатия) составляла 8 ч. Т = 650 °С, 5 циклов AISI 304 Y. Ohashi [57]
Сложное нагружение
Вид нагружения Материал Эксперимент
Ползучесть при изломе траектории напряжений на угол 30, 90, 150°. Длительность выдержки в конце каждого луча напряжений составляла 8 ч, Т = 650 °С, 5 циклов AISI 304 Y. Ohashi [57]
Двузвенные ломаные траектории деформаций, Т= 550 °С. ¿ = 510-4 мин4, угол излома 60°. Длина первого звена 0,0025, 0,004, 0,0096. 30ХГСА В.П. Дегтярев [48]
Двузвенные ломаные траектории деформаций, Т= 550 °С. ¿ = 510-4 мин4. Угол излома 15, 42, 70°. Длина первого звена 0,006 30ХГСА В.П. Дегтярев [48]
Двузвенные ломаные траектории деформаций, Т = 550 °С. Угол излома 60°. Длина первого звена 0,0055. S = 5 10-3, 5 10-4, 1,65-Ю-4, 5 10-5 мин-1 30ХГСА В.П. Дегтярев [48]
Неизотермическое нагружение Простое нагружение
Вид нагружения Материал Эксперимент
Стационарное жесткое циклическое одноосное растяжение-сжатие. Противофазный режим изменения температуры и силовой деформации, Т = 150 ^ 300 °С. Длительность цикла 180 с. 6 циклов нагружения. Ал - 25 - циклически разупрочняющийся материал Е.А. Аверченков и др. [46]
Стационарное жесткое циклическое одноосное растяжение-сжатие. Синфазный режим изменения температуры и деформации. Два режима: Т = 200 ^ 375 °С, 185 ^ 385 °С. Длительность цикла 95 с и 115 с. Усталостное разрушение Ал - 25 - циклически разупрочняющийся материал В.П. Белов В.С. Бондарь [6]
Сложное нагружение
Вид нагружения Материал Эксперимент
Малоцикловая прочность конических оболочек, подкрепленных кольцом жесткости на широком срезе, при теплосменах. Существенный знакопеременный градиент температуры по образующей на участке перехода от гладкой оболочки к кольцу жесткости. Реализуется сложное неизотермическое нагружение. Т = -115 ^ 830 °С на гладкой оболочке и Т = -50 ^ 600 °С на кольце жесткости. Длительности цикла 300 с. ВЖ-100 Я.Г. Осадчий В.С. Бондарь [6]
Заключение
Наибольшее экспериментальное обоснование теория получила в области изотермического упругопласти-ческого деформирования. Здесь рассматривались достаточно произвольные процессы простого (циклического) нагружения, а также сложного нагружения как по плоским, так и по пространственным траекториям деформаций в достаточно широком диапазоне углов излома, кривизны и кручения траекторий. Рассматривались также циклические процессы сложного нагружения. Особо следует отметить, что развитие прикладной теории позволило описать эффекты дополнительного изотропного упрочнения при непропорциональных циклических нагружениях. Рассматривалось также разрушение материалов при циклических пропорциональных (простых) и непропорциональных (сложных) нагруже-ниях. Все упомянутые выше процессы нагружения относятся к жестким режимам нагружения, т.е. нагруже-ние осуществлялось по траекториям деформаций. Мягкие нагружения, которые осуществляются по траекториям напряжений, в должной мере не рассматривались. Однако в настоящее время развивается прикладная теория для описания процессов посадки и вышагивания петли пластического гистерезиса при несимметричных жестких и мягких циклических нагружениях.
Что касается области неизотермического упруго-пластического деформирования, то в диапазоне температур, при которых малы эффекты, связанные с длительностью процесса нагружения, никаких особенно-
Библиографический список
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.
3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.
4. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. -М.: Физматгиз, 1966. - 752 с.
5. Термопрочность деталей машин: справочник / под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. - М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.
6. Бондарь В.С. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкции при сложном неизотермическом нагружении: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МАМИ, 1990. - 314 с.
7. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. - 144 с.
8. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: Физматлит, 2008. - 176 с.
9. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. - New York: Begell House, 2013. - 194 p.
стей деформирования не возникает, и теория обеспечивает неизотермические переходы при изменении температуры в процессе нагружения.
Таким образом, можно сказать, что теория неупругости получила достаточное экспериментальное обоснование и может применяться для описания упругопла-стического деформирования и разрушения материалов при изотермических и неизотермических, простых и сложных процессах жесткого нагружения.
В меньшей мере экспериментальное обоснование теория неупругости получила в области неупругого деформирования, хотя здесь рассматривались изотермические и неизотермические, простые и сложные процессы мягкого и жесткого нагружения. Рассматривались также усталостная и длительная прочность с учетом процессов залечивания и охрупчивания. Однако проведение сопоставления расчетов и экспериментов ограничивалось недостатком данных для определения материальных функций и значительно меньшим количеством экспериментальных исследований в условиях неупругости, так как эти исследования связаны с высокими температурами испытаний.
Тем не менее проведенное сопоставление результатов расчетов и экспериментов позволяет говорить о достаточной с точки зрения инженерных расчетов применимости теории неупругости для описания неупругого деформирования и разрушения материалов при изотермических и неизотермических, простых и сложных процессах нагружения в условиях повторности и длительности воздействия термомеханических нагрузок.
10. Васин Р.А. Экспериментально-теоретическое исследование определяющих соотношений в теории упругопласти-ческих процессов: автореф. дис. .. д-ра физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 36 с.
11. Качанов Л.М. Теория ползучести. - М.: Физматлит, 1960. - 455 с.
12. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.
13. Прикладная теория пластичности / Ф.М. Митенков, И.А. Волков, Л.А. Игумнов, А.В. Каплиенко, Ю.Г. Коротких, В.А. Панов. - М.: Физматлит, 2015. - 282 с.
14. Волков И.А., Игумнов Л.А., Коротких Ю.Г. Прикладная теория вязкопластичности: моногр. - Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2015. - 317 с.
15. Волков И.А., Игумнов Л.А. Введение в континуальную механику поврежденной среды. - М.: Физматлит, 2017. -299 с.
16. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.
17. Темис Ю.М. Моделирование пластичности и ползучести конструкционных материалов ГТД // Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных научных кадров: материалы 49-й Междунар. науч.-техн. конф. ААИ [Школа-семинар «Современные моде-
ли термовязкопластичности»]. Ч. 2. - М.: Изд-во МАМИ, 2005. - С. 25-76.
18. Krempl E. The influence of state of stress on low-cycle fatigue of structural materials: a literature survey and interpretive report // Amer. Soc. Test. And Mater. Spec. Techn. Publ. -1974. -No. 549. - Р. 1-46.
19. Krempl E., Lu H. The Hardening and Dependent Behavior of Fully Annealed AISI Type 304 Stainless Steel Under Biaxial in Phase and Out - of - Phase Strain Cycling at Room Temperature // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. -
1984. - Vol. 106. - Р. 376-382.
20. Krieg R.D. A. Practical Two Surface plasticity Theory // Journal of Applied Mechanics. - 1975. - Vol. 42. - Р. 641-646.
21. Krieg R.D., Swearengen J.C., Rhode R.W. A physically-based internal variable model for rate-dependent plasticity // Proc. ASME/CSME PVP Conference, 1978. - Р. 15-27.
22. Krieg R.D., Krieg D.B. Accurate of numerical solution methods for the elastic-perfectly plastic model // Trans. ASME. -1977. - Vol. 199. - No. 4. - Р. 510-515.
23. Lemaitre Jean. Coupled elasto-plasticity and damage constitutive equations // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. -
1985. - Vol. 51. - No. 1-3. - Р. 31-49.
24. Constitutive modeling for isotropic materials (HOST). Second Annual Contract Report / U.S. Lindholm, K.S. Chan, S.R. Bodner, R.M. Weber, K.P. Walker, B.N. Cassenti. - NASA CR -174980. - 1985.
25. Miller A.K. A unified approach to predicting interactions among creep, cyclic plasticity, and recovery // Nuclear Eng. and Design. - 1978. - Vol. 51. - Р. 35-43.
26. Miller K.J., Brown M.W Multiaxial fatigue: a brief review // Adv. Fract. Res. Proc. 6ts Int. Conf. New Delhi 4-10 Dec. - 1984. - Vol. I. - Р. 31-56.
27. Miller A.K., Tanaka T.G. NONSS: A new method for integrating unified constitutive equations ander complex histories // Trans. ASME: J. Eng. Mater. and Technol. - 1988. - Vol. 110. -No. 3. - Р. 205-211.
28. Ohno N. A constitutive model of cyclic plasticity with a nonhardening strain region // J. Appl. Mech. - 1982. - No. 49. -Р. 721-727.
29. Ohno N. Recent topics in constitutive modeling of cyclic and viscoplasticity // Appl. Mech. Rev. - 1990. - No. 43. - 283 p.
30. Ohno N., Wang J.D. Transformation of a nonlinear kinematics hardening rulle to a multisurface form under isothermal and nonisothermal conditions // Int. Journal of Plasticity. - 1991. -No. 7. - Р. 879-891.
31. Ohno N., Wang J.D. Kinematics hardening rule with critical state of dynamic recovery, Parts I and II // Int. Journal of Plasticity. - 1993. - No. 9. - Р. 375-403.
32. Харт. Уравнения состояния для неупругой деформации металлов // Теоретические основы инженерных расчетов: труды ASME. - 1976. - № 3. - C. 1-7.
33. Chaboche J.L. Constitutive equation for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity // Inter. J. of Plasticity. - 1989. - Vol. 5. -No. 3. - Р. 247-302.
34. Chaboche J.L. Thermodynamically based viscoplastic constitutive equations: theory versus experiment. ASME Winter Annual Meeting. - Atlanta, GA (USA), 1991. - Р. 1-20.
35. Chaboche J.L.Cyclic viscoplastic constitutive equations, parts I and II. ASME // J. of Applied Mechanics. - 1993. - No. 60. -Р. 813-828.
36. Chaboche J.L., Rousselier G. On the plastic an visco-plastic constitutive equations // ASME J. of Pres. Vessel Techn. -1983. - Vol. 105. - Р. 153-164.
37. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J. of Plasticity. - 2008. - Vol. 24. - Р. 1642-1692.
38. Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон, Ж. Каето, Ж.-Л. Шабоши, Т.С. Форест. - СПб.: Изд-во Поли-техн. ун-та, 2010. - 397 с.
39. Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. О соотношениях эндохронной теории пластичности с «новой» мерой внутреннего времени при сложном циклическом нагружении // Прочность при малом числе нагружения. - М.:Наука, 1969. - С. 7180.
40. Романов А.Н.. Энергетические критерии разрушения при малоцикловом нагружении // Проблемы прочности. -1974. - № 1. - С. 3-10.
41. Бондарь В.С., Горохов В.Б., Санников В.М. Исследование малоцикловой прочности оболочек вращения при сложном теплосиловом нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Механика деформируемых систем: всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. - Горький, 1979. - Вып. 12. -С. 120-126.
42. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 2. - С. 125-152.
43. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В. Нелинейные процессы накопления повреждений при нестационарных циклических нагружениях // Проблемы прочности и пластичности. - 2012. - Вып. 75. - Ч. 2. - С. 96-104.
44. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2015. - № 2. - С. 21-35. DOI: 10.15593 / perm.mech /2015.2.02
45. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термовязкопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - С. 39-56.
46. Аверченков Е.А., Донченко А.С., Егоров В.И. О поведении материала поршня при термомеханическом нагруже-нии // Повышение топливной экономичности и долговечности автомобильных двигателей. - М.: Изд-во МАМИ, 1983. -Вып. 5. - С. 59-68.
47. Соси. Модели разрушения при многоосной усталости // Теор. основы инженерных расчетов: тр. FSME. - 1988. -№ 3. - C. 9-21.
48. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций. - М.: Машиностроение, 1967. -131 с.
49. Шишмарев О.А., Щербо А.Г. Исследование некоторых сложных процессов нагружения стали с разгрузкой // Прикладная механика. - 1982. - Т. 18, № 3. - С. 65-70.
50. Ohashi Y. Effect of Complicated deformation history on inelastic deformation behavior of metals // Memoirs of Faculty of engineering Nagoya University. - 1982. - Vol. 34. - No. 1. -Р. 1-76.
51. Вавакин А.С., Мохель А.Н., Степанов Л.П. Исследование характера пластического деформирования стали
30ХГСА в точках резкого излома траектории нагружения (Р, М - опыты). - М., 1983. - 102 с. Деп. ВИНИТИ.
52. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность: моногр. Кн. 1. Процессы сложного деформирования. - Тверь: Изд-во ТГТУ, 2003. -170 с.
53. Экспериментальное исследование упругопластиче-ского деформирования стали 45 при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций / А.С. Вавакин, Р.А. Васин, В.В. Викторов [и др.]. - М., 1986. -66 с. Деп. ВИНИТИ 16.10.86, №7298-В86.
54. Гусенков А.П. Прочность при изотермическом и неизотермическом малоцикловом нагружении. - М.: Наука, 1979. - 295 с.
References
1. Il'jushin A.A. Plastichnost'. Osnovy obshchei matema-ticheskoi teorii [Plastic. Fundamentals of general mathematical theory]. Moscow, Izdatel'stvoANSSSR, 1963, 271 p.
2. Il'jushin A.A. Mehanika sploshnoj sredy [Continuum mechanics]. Moscow, Izdatel'stvo Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta, 1990, 310 p.
3. Novozhilov V.V., Kadashevich Ju.I. Mikronaprjazhenija v konstrukcionnyh materialah [Microstress in structural materials]. Leningrad, Mashinostroenie, 1990. 224 p.
4. Rabotnov Ju.N. Polzuchest' jelementov konstrukcij [Creep of structural elements]. Moscow, Fizmatgiz, 1966, 752 p.
5. Birgera I.A., Shorra B.F. Termoprochnost' detalej mashin: Spravochnik [The thermal resistance of machine parts: Directory]. Moscow, Mashinostroenie, 1975, 455 p.
6. Bondar' V.S. Neuprugoe povedenie i razrushenie mate-rialov i konstrukcii pri slozhnom neizotermicheskom nagruzhenii: dis....d-ra fiz.-mat.nauk [Inelastic behavior and destruction of materials and structures under complex non-isothermal loading: dis .... dd-fiz.-mat.nauk]. Moscow, Izdatel'stvo Moskovskij gosu-darstvennyj mashinostroitel'nyj institut, 1990, 314 p.
7. Bondar' V.S. Neuprugost'. Varianty teorii [Inelasticity. Variants of the theory]. Moscow, FIZMATLIT, 2004, 144 p.
8. Bondar' V.S., Danshin V.V. Plastichnost'. Propor-cional'nye i neproporcional'nye nagruzhenija [Plastic. Proportional and disproportionate loading]. Moscow, FIZMATLIT, 2008, 176 p.
9. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. New York, BegellHouse, 2013, 194 p.
10. Vasin R.A. Jeksperimental'no-teoreticheskoe issledo-vanie opredeljajushhih sootnoshenij v teorii uprugoplasticheskih processov Avtoref. diss. d.f-m.n.- [Experimental-theoretical study of determining relationships in the theory of elastoplastic processes]. Moscow, Moskovskii gosudarstvennyi universitet, 1987, 36 p.
11. Kachanov L.M. Teorija polzuchesti [Creep Theory]. Moscow, FIZMATLIT, 1960, 455 p.
12. Volkov I.A., Korotkih Ju.G. Uravnenija sostojanija vjazkouprugoplasticheskih sred s povrezhdenijami [Equations of state of viscoelastoplastic media with damages]. Moscow, FIZMATLIT, 2008, 424 p.
13. Mitenkov F.M., Volkov I.A., Igumnov L.A., Kaplienko A.V., Korotkih Ju.G., Panov V.A. Prikladnaja teorija plastichnosti [Applied theory of plasticity]. Moscow, FIZMATLIT, 2015, 282 p.
14. Volkov I.A., Igumnov L.A., Korotkih Ju.G. Prikladnaja teorija vjazkoplastichnosti. Monografija [Applied theory of visco-plasticity]. Nizhnij Novgorod, Izdatel'stvo Nizhegorodskogo gos.universiteta, 2015, 317 p.
15. Volkov I.A., Igumnov L.A. Vvedenie v kontinual'nuju mehaniku povrezhdennoj sredy [Introduction to the Continuum
55. Гусенков А.П.. Котов П.И. Малоцикловая усталость при неизотермическом нагружении. - М.: Машиностроение, 1983. - 240 с.
56. Казаков Д.А. Экспериментально-теоретическое исследование вязкопластического деформирования сталей в области повышенных температур и скоростей деформаций до 10~2С4 : автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Горький: Изд-во ГТУ, 1985 - 20 с.
57. Охаси, Оно, Каваи. Оценка определяющих уравнений ползучести для нержавеющей стали 304 при повторяющемся многоосном нагружении // Теоретические основы инженерных расчетов: тр. ASME. - 1982. - Т. 104, № 3. - С. 1-8.
mechanics of a damaged medium]. Moscow, FIZMATLIT, 2017, 299 p.
16. Malinin N.N. Prikladnaja teorija plastichnosti i polzuchesti [Applied theory of plasticity and creep]. Moscow, Mashinostroenie, 1975, 400 p.
17. Temis Ju.M. Modelirovanie plastichnosti i polzuchesti konstrukcionnyh materialov GTD [Modeling of plasticity and creep of construction materials GTE]. Moscow, Moskovskij gosu-darstvennyj mashinostroitel'nyj institute, Materialy 49-oj Mezhdu-narodnoj nauchno-tehnicheskoj konferencii AAI «Prioritety razvitija otechestvennogo avtotraktorostroenija i podgotovki in-zhenernyh nauchnyh kadrov». Shkola-seminar «Sovremennye modeli termovjazkoplastichnosti». Chast' 2, 2005, pp. 25-76.
18. Krempl E. The influence of state of stress on low-cycle fatigue of structural materials: a literature survey and interpretive report. Amer. Soc. Test. And Mater. Spec. Techn.Publ., 1974, no. 549, pp. 1-46.
19. Krempl E., and Lu H. The hardening and dependent behavior of fully annealed aisi type 304 stainless steel under biaxial in phase and out - of - phase strain cycling at room temperature. ASME journal of engineering materials and technology, 1984.Vol. 106, pp. 376-382.
20. Krieg R.D. A. Practical two surface plasticity theory. Journal of applied mechanics, 1975, vol. 42, pp. 641-646.
21. Krieg R.D., Swearengen J.C., Rhode R.W. A physi-callybased internal variable model for rate-dependent plasticity. Proc. ASME/CSMEPVP Conference, 1978, pp.15-27.
22. Krieg R.D., Krieg D.B. Accurate of numerical solution methods for the elastic-perfectly plastic model. Trans. ASME, 1977, vol. 199, no. 4, pp. 510-515.
23. Lemaitre Jean. Coupled elasto-plasticity and damage constitutive equations. Comput. meth. appl. mech. and eng, 1985, vol. 51, no. 1-3, pp. 31-49.
24. Lindholm U.S., Chan K.S., Bodner S.R., Weber R.M., Walker K.P., Cassenti B.N. Constitutive modeling for isotropic materials (HOST). Second annual contract report. NASA CR, 1985, 174980.
25. Miller A.K. A unified approach to predicting interactions among creep, cyclic plasticity, and recovery. Nuclear eng. and design, 1978, vol. 51, pp. 35-43.
26. Miller K.J., Brown M.W Multiaxial fatigue: a brief review. New Delhi, Adv. fract. res. proc. 6ts int. conf. 4-10 Dec., 1984, vol. I, pp. 31-56.
27. Miller A.K., Tanaka T.G. NONSS: A new method for integrating unified constitutive equations ander complex histories. Trans. ASME: J. Eng. Mater. and Technol, 1988, vol. 110, no. 3, pp. 205-211.
28. Ohno N. A constitutive model of cyclic plasticity with a nonhardening strain region. J. Appl. Mech., 1982, no. 49, pp. 721727.
29. Ohno N. Recent topics in constitutive modeling of cyclic and viscoplasticity. Appl. Mech. rev., 1990, no. 43, 283 p.
30. Ohno N. and Wang J.D. Transformation of a nonlinear kinematics hardening rulle to a multisurface form under isothermal and nonisothermal conditions. Int. Journal of Plasticity 7, 1991, pp. 879-891.
31. Ohno N. and Wang J.D. Kinematics hardening rule with critical state of dynamic recovery, Parts I and II. Int. Journal of Plasticity 9, 1993,, pp. 375-403.
32. Khart Uravneniia sostoianiia dlia neuprugoi deformatsii metallov teoreticheskie osnovy inzhenernykh raschetov [Equations of state for inelastic deformation of metals]. Trudy ASME. 1976. № 3. C. 1-7.
33. Chaboche J.L. Constitutive equation for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity. Inter. J. of Plasticity, 1989, vol. 5, no. 3, pp. 247-302.
34. Chaboche J.L. Thermodynamically based viscoplastic constitutive equations: theory versus experiment. ASME Winter Annual Meeting, Atlanta, GA (USA), 1991, pp. 1-20.
35. Chaboche J.L.Cyclic viscoplastic constitutive equations, parts I and II. ASME J. of Applied Mechanics 60, 1993, pp. 813828.
36. Chaboche J.L., Rousselier G. On the plastic an visco-plastic constitutive equations. ASME J. of Pres. Vessel Techn, 1983, vol. 105, pp. 153-164.
37. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and visco-plasticity constitutive theories. Int. J. of Plasticity., 2008, vol. 24, pp.1642-1692.
38. Besson Zh., Kaeto Zh., Zh.-L. Shaboshi, Forest T.S. Nelinejnaja mehanika materialov [Nonlinear Mechanics of Materials], Saint Petersburg: Izd-vo Politehn. un-ta, 2010, 397 p.
39. Kadashevich Ju.I., Mosolov A.B. O sootnoshenijah jendohronnoj teorii plastichnosti s «novoj» meroj vnutrennego vremeni pri slozhnom ciklicheskom nagruzhenii. Prochnost' pri malom chisle nagruzhenija [On the relations of the endochronic theory of plasticity with the "new" measure of internal time under complex cyclic loading. Durability with a small number of loading]. Moscow, Nauka, 1969, pp. 71-80.
40. Romanov A.N.. Jenergeticheskie kriterii razrushenija pri malociklovom nagruzhenii [Energy criteria of failure under low-cycle loading]. Problemy prochnosti, 1974, no. 1, pp. 3-10.
41. Bondar' V.S., Gorohov V.B., Sannikov V.M. Issledo-vanie malociklovoj prochnosti obolochek vrashhenija pri slozhnom teplosilovom nagruzhenii [Investigation of low-cycle strength of shells of revolution under complex heat-stress loading]. Pri-kladnye problemy prochnosti i plastichnosti. Mehanika deform-iruemyh sistem: vsesojuz. mezhvuz. sb./ Gor'k. Un-t, 1979, iss.12, pp. 120-126.
42. Bondar V.S., Danshin V.V., Makarov D.A. Mathematical modelling of deformation and damage accumulation under cyclic loading. PNRPU Mechanics Bulletin. 2014, no. 2, pp. 125152.
43. Bondar' V.S., Danshin V.V., Semenov P.V. Nelinejnye processy nakoplenija povrezhdenij pri nestacionarnyh ciklicheskih nagruzhenijah [Nonlinear processes of damage accumulation under non-stationary cyclic loading]. Problemy prochnosti i plastichnosti, 2012, iss. 75, Ch. 2, pp. 96-104.
44. Bondar V.S., Danshin V.V., Kondratenko A.A. Version of the theory of thermoplasticity. PNRPU Mechanics Bulletin, 2015, no. 2, pp. 21-35. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.02
45. Bondar V.S., Danshin V.V., Kondratenko A.A. Variant of thermoviscoplasticity theory. PNRPU Mechanics Bulletin, 2016, no. 1, pp. 39-56. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.1.03
46. Averchenkov E.A., Donchenko A.S., Egorov V.I. O povedenii materiala porshnja pri termomehanicheskom nagruzhenii // Povyshenie toplivnoj jekonomichnosti i dolgovechnosti avtomobil'nyh dvigatelej [On the behavior of the piston material under thermomechanical loading]. Moscow, Moskovskii gosudar-stvennyi mashinostroitelnyi universitet, 1983, iss. 5, pp. 59-68.
47. Sosi. Modeli razrushenija pri mnogoosnoj ustalosti [Models of failure with multiaxial fatigue]. Teoretich. Osnovy inzhenernyh raschetov: Trudy FSME, 1988, no. 3, pp. 9-21.
48. Degtjarev V.P. Plastichnost' i polzuchnost' mashino-stroitel'nyh konstrukcij [Plasticity and creep of engineering constructions]. Moscow, Mashinostroenie, 1967, 131 p.
49. Shishmarev O.A., Shherbo A.G. Issledovanie nekotoryh slozhnyh processov nagruzhenija stali s razgruzkoj [Investigation of some complex loading processes of steel with unloading]. Pri-kladnaja mehanika, 1982, vol.18, no. 3, pp.65-70.
50. Ohashi Y. Effect of Complicated deformation history on inelastic deformation behavior of metals. Memoirs of Faculty of engineering Nagoya University, 1982, vol. 34, no. 1, pp. 1-76.
51. Vavakin A.S., Mohel' A.N., Stepanov L.P. Issledovanie haraktera plasticheskogo deformirovanija stali 30HGSA v tochkah rezkogo izloma traektorii nagruzhenija. (R, M - opyty) [Investigation of the nature of the plastic deformation of steel 30XrCA at the points of a sharp break in the trajectory of loading. (P, M -experiments)]. Moscow, Dep. VINITI, 1983, 102 p.
52. Zubchaninov V.G., Ohlopkov N.L., Garanikov V.V. Jek-sperimental'naja plastichnost': Monografija. Kniga 1. Processy slozhnogo deformirovanija [Experimental plasticity: Monograph. Book 1. Processes of complex deformation]. Tver', Tverskoi gosu-darstvennyi tekhnicheskii universitet, 2003, 170 p.
53. A.S. Vavakin, R.A. Vasin, V.V. Viktorov i dr. Jeksperi-mental'noe issledovanie uprugoplasticheskogo deformirovanija stali 45 pri slozhnom nagruzhenii po krivolinejnym prostranstven-nym traektorijam deformacij [Experimental study of elastoplastic deformation of steel 45 under complex loading along curvilinear spatial deformation trajectories]. Moscow, Dep. VINITI, 1986. 66 p.
54. Gusenkov A.P. Prochnost' pri izotermicheskom i neizo-termicheskom malociklovom nagruzhenii [Strength in isothermal and non-isothermal low-cycle loading]. Moscow, Nauka, 1979, 295 p.
55. Gusenkov A.P.. Kotov P.I. Malociklovaja ustalost' pri neizotermicheskom nagruzhenii [Low-cycle fatigue under noniso-thermal loading]. Moscow, Mashinostroenie, 1983, 240 p.
56. Kazakov D.A. Jeksperimental'no-teoreticheskoe issledo-vanie vjazkoplasticheskogo deformirovanija stalej v oblasti pov-yshennyh temperatur i skorostej deformacij do 10~2C [A theoretical and theoretical study of viscoplastic deformation of steels in the region of elevated temperatures and deformation rates up to 10~2C_1 ]. Avtoreferat dissert. na soisk. uch. stepeni k.t.n. Gor'kij: GTU, 1985, 20 p.
57. Ohasi, Ono, Kavai. Ocenka opredeljajushhih uravnenij polzuchesti dlja nerzhavejushhej stali 304 pri povtorjajushhemsja mnogoosnom nagruzhenii [Evaluation of the determining creep equations for stainless steel 304 under repeated multiaxial loading] . Teoreticheskie osnovy inzhenernyh raschetov: Trudy ASME, 1982, vol. 104, no. 3, pp. 1-8.
