CC BY
111Механика
УДК 539.3
ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОСТУЛАТЫ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ И ИЗОТРОПИИ А. А. ИЛЬЮШИНА
В. Г. Зубчанинов1
В работе рассматриваются и анализируются физические законы связи напряжений и деформаций общей современной теории процессов упругопластического деформирования и ее постулаты макроскопической определенности и изотропии начально-изотропных сплошных сред. Основы этой теории в механике сплошной среды были разработаны в середине XX в. выдающимся ученым-механиком России, членом-корреспондентом РАН, академиком РАРАН, заведующим кафедрой теории упругости Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова А. А. Ильюшиным. Его теория малых упруго-пластических деформаций (ТМУПД) при простом нагружении явилась обобщением деформационной теории течения Генки, а теория упругопластических процессов, близких к простому нагружению, — обобщением теории течения Сен-Венана—Мизеса на упрочняющиеся среды. В его трудах были введены понятия простого и сложного процессов на-гружения, направляющих тензоров-девиаторов формоизменения, приняты закон упругого изменения объема Бриджмена и универсальные законы единой кривой упрочнения Роша и Эйхингера при простом нагружении, а также универсальный закон упрочнения Одкви-ста для пластических деформаций, обобщенный на упрочняющиеся упругопластические среды для процессов, близких к простому нагружению, но без учета конкретизированной истории деформирования для траекторий малой и средней кривизны. В настоящей работе обсуждается вопрос о возможности применения постулата изотропии к оценке влияния параметров вида напряженно-деформированного состояния, возникающего из-за деформационной анизотропии при изменении внутренней структуры материалов. Также обсуждается вопрос о правомерности представления симметричных тензоров второго ранга напряжений и деформаций в виде векторов координатного линейного евклидова шестимерного пространства. Предложен соответствующий принцип тождественности тензоров и векторов.
Ключевые слова: упругость, пластичность, процессы сложного нагружения и деформирования, сложное напряженно-деформированное состояние, постулат изотропии.
The physical laws of the connection between stresses and strains of the general modern theory of the processes of elastoplastic deformation and its postulates of macroscopic definiteness and isotropy of initially isotropic continuous media are considered and analyzed. The foundations of this theory in continuum mechanics were developed in the middle of 20th century by the outstanding Russian mechanicist, corresponding member of the Russian Academy of Sciences, academician of Russian academy of rocket and artillery sciences, head of the department of the theory of elasticity of Moscow university of M. V. Lomonosov, by A. A. Ilyushin. His theory of small elastoplastic deformations under simple loading became a generalization of Genky's deformation theory of flow, and his theory of elastoplastic processes which are close to simple loading became a generalization of flow theory of Saint-Venant-Mises for reinforcing medium. In these works, the concepts of simple and complex loading processes, the concepts of directing deviation tensors of form change were introduced. The Bridgman's law of elastic variation of the volume and the universal laws of the single curve of hardening of Roche and Eichinger under simple loading, and the universal law of hardening of Odquist for plastic deformations generalized to strengthening elastic-plastic media for processes close to simple loading, but without taking into account the specific history of deformation for trajectories of small and medium curvature were adopted. The question of the possibility of applying the postulate of isotropy to the evaluation of the influence of parameters of the form of the stress-strain state arising due to deformation anisotropy when the internal structure of materials changes is
1 Зубчанинов Владимир Георгиевич — доктор техн. наук, проф. каф. сопротивления материалов, теории упругости и пластичности Твер. гос. техн. ун-та, e-mail: vlgzubQgmail.com.
discussed. Also, the question of the legitimacy of representing symmetric tensors of the second rank of stresses and deformations in the form of vectors of the coordinate linear Euclidean six-dimensional space is discussed. The corresponding principle of the identity of tensors and vectors is proposed.
Key words: elasticity, plasticity, processes of complex loading and deformation, complex stress-strain state, isotropy postulate.
1. Напряженно-деформированное состояние и его инварианты. Новое направление в математической теории пластичности при сложном напряженно-деформированном состоянии (НДС) и нагружении, названное A.A. Ильюшиным теорией упругопластических процессов деформирования (ТУПП), было разработано в его трудах [1-11], где широко использовались достижения теории пластичности и экспериментальных исследований материалов первой половины XX века [12-14]. Новым и прогрессивным в [141] было применение математического аппарата линейной алгебры и тензорных координатных евклидовых пространств для наглядного отображения процессов деформирования и нагружения материалов в каждой точке тела физического пространства [15-17]. Этот новый подход научного исследования в теории пластичности вызвал ожесточенную дискуссию между сторонниками нового направления в теории пластичности и сторонниками теории течения [1821]. В [10] описана другая важная дискуссия о путях развития теории процессов до создания ТУПП между механиками с одной стороны и физиками, и металловедами — с другой. Предметом обсуждения стал вопрос о влиянии структурных изменений в материалах и вида НДС на механические характеристики материалов. Обе упомянутые дискуссии сыграли положительную роль в развитии теории пластичности, в том числе в развитии теории НДС в процессах упругопластического деформирования материалов. В дальнейшем ТУПП интенсивно развивалась в основном учениками A.A. Ильюшина [22-54]. В настоящей работе рассмотрены некоторые новые понятия этой теории, необходимые для развития ТУПП.
Напряженно-деформированное состояние в точке тела, определяемой радиусом-вектором х = {i = 1)2,3), где Xi — координаты точки, {ё^} — ортонормированный координатный базис физического пространства, характеризуется заданием тензоров напряжений {uij) и деформаций (ву), где üij и £ij — их компоненты (i,j = 1, 2, 3). В процессе нагружения тела внешними силами напряжения и деформации
являются непрерывными функциями времени t [1-6, 25-27]. В теории пластичности тензоры ((Ту) и
{¿г - Л nf^t-T'OTjn T^^Q ТТА TTCfTTiTi ТТТ^Т^П^^ТА ТЛ ТТ АТ.* Т^ПГ^Т Г А—ft 1 1 1 '
каждый из них задается пятью независимыми величинами, определяющими векторные свойства материалов. Компоненты направляющих тензоров-девиаторов связаны соотношениями
где каждый из них задается четырьмя независимыми величинами, определяющими векторные свойства тензоров-девиаторов. При простом нагружении
Q* _ П О* О* _ 1 . Q* _ Г1 Q* Q* _ -|
^гг "J ^ij^ij ^ü ij ij >
iaij) — (£ij)i (£>ij) — i^ij)
а при сложном нагружении (а*•) ф (£ij)> (S*j) Ф (^ij) [1> 25]. Модули тензоров S = |5|, е = |е| характеризуют скалярные свойства материалов. Тензор напряжений ((Ту) в данной точке тела на площадке общего положения с единичной нормалью п = щёг, где щ = cos(п,ёг), характеризуется заданием трех векторов
Si = ajiej, Sj = aijei (i,j = 1,2,3) (1)
на трех взаимно ортогональных координатных площадках. Вектор напряжений Sn на самой площадке общего положения определяется формулой Коши [24]:
{Sn = SiUi = Xi&i = (<7ijTlj)Ci, Хп = (ЛэЩ (¿,¿ = 1,2,3),
где Хп — проекции вектора на координатные оси Xi. При повороте координатных осей Xi в случае фиксированного вектора Sn их новое положение х[ характеризуется преобразованием
— lij^j) ^г — lij&j — Iji^j (^J 3 — 3),
где (lij) — матрица направляющих косинусов. Поэтому фиксированный вектор при повороте координатных осей принимает вид
— lijSji Sn — X^&i — XjCj,
откуда с учетом (1) после переименования индексов получаем
Sq = IqjSj = (.Cijlpilqj)&p (PiQihj = 1)2,3). (3)
Из (3) следует формула для преобразования компонент тензора напряжений в новых координатных осях:
Gpq — &ijlpilqj — &0$pq Sijlpilqj.
Аналогично для тензора деформаций
£pq — Sijlpilqj — £0$pq dijlpilqj.
При повороте координатных осей существует такое их положение, когда все касательные напряжения aij = 0 (г ф j), а все нормальные принимают экстремальные значения, называемые главными или собственными напряжениями ак (к = 1,2,3). В этом случае
Sn = <Tk(öijnj)ei (¿,¿ = 1,2,3). (4)
Сравнивая (4) с (2), получаем систему уравнений
(а^ - bijak)rij = 0 (5)
при дополнительном соотношении щщ = п\ + + п\ = 1, из которого следует, что система (5) имеет отличные от нуля решения и поэтому ее определитель равен нулю:
D = -\а^ - öijak\ = al - I\a2k + I2ak - h = 0, (6)
где коэффициенты-инварианты имеют вид
' h = о а = + ö"2 + ö"3 = 3(70) S2 = 3(7q + (72;
h = ^(^ii^jj ~ OijOij) = (71(72 + (72(73 + Ö3CI = ^(^O ~~ ^
_ h = Wijl = (71(72(73.
Вместо инварианта /2 в теории пластичности удобно рассматривать инвариант
2l'2 = aijaij = а\ + а\ + а\ = S2.
Инварианты девиатора напряжений определяются из уравнения, аналогичного (6):
J1 = S'il + S 22 + s 33 = 5*1 + ¿>2 + S3 = 0,
2 J2 = SijSij = S2 + S| + S| = (г2,
7 Kl t „3,1 „2 ^ cos = =-/3 - <7o + ô^ocr =——7=—,
(8)
где Б к = <Тк — сто — главные напряжения тензора-девиатора напряжений. Аналогичные формулы справедливы для инвариантов тензоров и девиаторов деформаций. Главные нормальные и касательные напряжения имеют вид
51 = <71 — <7о =
52 = <72 — <70 =
53 = <73 — <70 =
<7 COS Ср,
<7 СОв
<7 СОЭ
/2тг /2тг
V"3
■у
<71 - <72 <7 . / 2ТГ
=-«- = Sm 1 "з"
?23 — Т\з =
2
<Т2 - 03
2
(У\ - <тг
<7
= —р smt£>,
<7 /2тг
При повороте координатных осей тривектор (тензор) напряжений остается неизменным как единая физическая величина, несмотря на видоизменение компонент тензора. Эта ковариантность компонент тензора при преобразовании координатных осей и координатного базиса принимается за определение тензора в случае сохранения всех трех его инвариантов. Аналогично для тензора деформаций. А. Надаи [13] ввел в теорию пластичности понятие октаэдрических напряжений <70кт = <7о и
т0КТ — \jTi2 + Т|3 + Т23 —
<7
второе из которых пропорционально модулю девиатора напряжений а. Эти замечательные напряжения одинаковы на всех площадках механической частицы тела в форме октаэдра. Направление касательного напряжения определяется на каждой площадке углом вида формоизменения (р, который отсчитывается от проекции первой главной оси на эту площадку по формуле
cos Sip =
<7
По аналогичной формуле определяется угол вида формоизменения деформации ф:
cos 3 ф =
\Э,
г]\
ЭА
Т^О
Вектор напряжений Зп на октаэдрической площадке составляет некоторый угол ао с единичной нормалью к этой площадке. Тогда проекции этого вектора на единичные нормаль п и касательную £ _1_ п будут равны
S (7 S
<7q = S° cos ао = —j= cos ао, токт = —¡= = S° sin ao = —¡= sin ao,
(9)
где модули вектора
S
Su-.//T2-l-T2 — Ç" —
— Л/ u0 ' OKT — m ° —
Из (9) получаем параметр, характеризующий отклонение Sn от п:
'<70 3<70
X = ctg ао
<7 Тп
Инварианты тензора напряжений (7) можно представить в виде
( 1\ = 3<то = л/3 S cos ао, S2 = Зсгд + а2, 2/2 = Эсгд — S2 = S"2(3cos2a0 - 1),
I:
з — ■
cos sin a0 +
! cos3 ao--1= sin2 ao
(10)
Таким образом, согласно (7), (8), (10) тензор напряжений можно задать следующими способами: шестью компонентами а^ или тремя главными напряжениями а к либо тремя инвариантами 1к и тремя главными направлениями (три угла Эйлера), также тремя инвариантами ао,а,,1з или Б,ао,(р и тремя главными направлениями (тремя углами Эйлера). Модуль Б тензора характеризует скалярные свойства материала, а пять углов (три угла Эйлера и два угла вида НДС а.о,ф) — его векторные свойства. Аналогично для тензора деформаций. При всестороннем растяжении-сжатии ао = 0, Токт = 0, (т0 = 5/\/3- Тогда
S'
Д = 3(70) ¡2 = 3(7q j h = —
3
При всестороннем формоизменении ао = тг/2, Зоо = а\ + (72 + 03 = 0, т0КТ = S/л/3 = а/л/З. Тогда h = .h= 0, 2I2 = -S2 = -2.h = -a2, h = .h =
Рассмотрим далее преобразование тривектора (тензора) при фиксированных координатных осях и координатного базиса {ё^}. В этом случае х% = const, а тривектор напряжений и вектор Sn = Х^ёг преобразуются согласно соотношениям
s'n = (aij)Sn = Х[ё[, ctij = kj (i, j = 1,2,3) в новое положение при условии, что длины векторов сохраняются:
XiXi = X3Xji Х'г = aijXj = ОЦкХк, Xj = $jkXk (h j, к = 1,2,3),
откуда следует система соотношений
O-ijOLik — Sjki — 1) — il)
где знак плюс отвечает вращению, а знак минус — отражению векторов. В этом случае первый и третий инварианты остаются неопределенными и возможны их изменения вследствие того, что физические процессы в частице тела при преобразовании различны и отвечают видоизмененным НДС. Таким образом, несмотря на совпадение матрицы преобразования тривектора и координатных осей (ctij = kj), преобразования тривектора соответствуют новому физическому состоянию материала. Это важно.
Появление пластических деформаций в начально-изотропном теле обычно связывают с критерием Треска-Сен-Венана [30, 49]:
Т — Т —
-L max — -1 mn —
к = аТ/2,
2 [ко =
либо с критерием Мизеса-Надаи [13, 30, 47, 49]:
(m < щ m,n = 1,2,3)
а =
= ^A/T22+T2,+T2,=(7J.
23
13
(П)
(12)
Здесь к — предел текучести в общем случае пространственного сложного сдвига в смысле Треска, ко — предел текучести при плоском чистом сдвиге, а аТ в (12) имеет вид
а
т
■ ат
(2 к),
(13)
где ат — предел текучести при растяжении, /г* — предел текучести при пространственном чистом сдвиге [30, 47, 49]. Р. Хилл считал, что в опытах Треска распределение касательных напряжений было далеко от равномерного и недостаточно точное [14]. А. Надаи [13], с другой стороны, дал геометрически и физически ясное и наглядное объяснение критерию Мизеса (12), согласно которому материал переходит из упругого состояния в пластическое тогда, когда токт одновременно на всех площадках достигает некоторого предельного значения токт = кокт = , поскольку токт < Тшш = 1,5 к*.
А. Хаар и Т. Карман ввели в теорию пластичности понятия полной и неполной пластичности [12]. Они представили критерий пластичности Треска (11) в более общем виде:
(т22-к2)(т23-к2)(т23-к2) = о,
откуда при использовании (8) получаем
sin2 3ipa6 - 18к2
а2-{-к2
0.
(14)
Критерий Мизеса-Надаи следует из (14) при а = ат и sin2 3<£> = 0. Геометрически в векторном пространстве главных напряжений (направлений) он представляет собой окружность на девиатор-ной плоскости радиуса а = ат. Углы (р = 0,60,120,180,240,300° определяют на этой окружности шесть особых точек полной пластичности (<т¿j = т = к*). Соответствующие радиусы при этих углах образуют шесть секторов с раствором в 60°. Во всех других точках окружности получаем точки неполной пластичности [23, 30, 47, 49]. В отмеченных секторах максимальные касательные напряжения Ттах различны. Однако закономерность их изменения одинакова в каждом из секторов вида
т • /3 •
х = = У 2 Т(ЖТ 81П и3'
где выражения для угла со по секторам приведены в таблице.
(15)
Сектор т -L max OJ 4>,°
I, IV Tis - Lp 0 ^ Lp ^ 60; 180 ^ Lp ^ 240
II, V Т23 120 < Lp < 180; 300 < tp < 360
III, VI Tl2 27г/3 + ip 60 ^ Lp ^ 120; 240 ^ Lp ^ 300
Как видим, Гтах в каждом из секторов переменно и критерий Треска является приближенным. Из формулы (15) и таблицы следует, что в крайних точках дуг секторов окружности и в их средних точках соответственно
ГПКТ =^ = 0,945, ^ = л/| = 0,816,
Т„
Т„
1 шах и -1 шах » и
т.е. г0кт < Ттах. Поэтому переход из упругого состояния в пластическое начально-изотропного стабильного материала осуществляется согласно критерию Мизеса-Надаи:
- кок'Т —
ат-
Нестабильные (метастабильные) материалы (сплавы) могут в пределах допустимого, с достаточной степенью точности, совпадать с критерием Мизеса-Надаи, но могут существенно отклоняться, как, например, в случае магниевых сплавов [10], когда нестабильная структура материала дает заметные отклонения для модуля а и закон единой кривой упрочнения нарушается. В этом случае за условную единую кривую упрочнения при простом нагружении нужно принимать ту, которая следует из опыта на кручение для оценки погрешности выполнения основной гипотезы механики сплошной среды (\!('(') и при необходимости ставить задачу уточнения.
2. Основные постулаты механики сплошной среды в тензорном пространстве. В основу построения определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями в ТУПП положен основной постулат МСС — постулат макроскопической определимости, выдвинутый A.A. Ильюшиным [1, 2]. Согласно этому постулату, в каждой механической частице тела в условиях сложного напряженного состояния и нагружения в каждый момент времени t состояние
среды однозначно определяется процессом. Из постулата макроскопической определимости вытекает, что возникающие в процессе напряжения ац либо сто, являются функциями е^ либо ео, Эц, а также температуры Т, давления р и нетермофизических параметров /3. Следовательно, для начально-изотропных сред при любом сложном НДС и сложном процессе нагружения (¿>*- ф Э^)
(т0 = Фо{е0, Бц = Фц{еа,
являются функционалами процесса, инвариантами относительно ортогональных преобразований поворота и отражения координатных осей Хг в физическом трехмерном пространстве. В линейной алгебре множество элементов любой природы называют линейным или аффинным пространством [1517]. В качестве этих элементов могут быть приняты тензоры второго ранга напряжений и деформаций. В этом случае множество тензоров называют тензорным пространством,, а сами элементы — обобщенными векторам,и. А.А. Ильюшиным для начально-изотропных сред были предложены общие тензорные соотношения в виде
5 (1п 9- •
ао = Шео, ^ = (¿,¿ = 1,2,3), (16)
п= 1
Где [{ — упругий объемный модуль Бриджмена; в(Ь) — длина тензорной траектории деформирования как параметр прослеживания процесса; {(1пЭ^/й8п}1 — линейно независимый тензорный базис шестимерного тензорного пространства Ап — коэффициенты, зависящие от инвариантов тензоров-девиаторов [5]. При определении связи (16) между напряжениями и деформациями автором был использован универсальный тензорный подход, который оказался весьма плодотворным для развития общей математической теории пластичности в установлении инвариантности ее общих физических законов независимо от координатной системы Хг и ее координатного базиса {ё^} [23-31].
Соотношения (16) представляют собой математическую форму постулата макроскопической определенности в МСС для начально-изотропных сред: определяющие соотношения в тензорной форме (16) для начально-изотропной, среды, при малых деформациях полностью отражают ее свойства в физическом простра, нет ее для фиксируем,ого процесса относительно ортогональных преобразований поворот,а и отражения координатных осей х\ = и, соответствующих преобразований компонент тензоров
аРЧ = = £ijlpilqj>
если только среда следует, основной, гипотезе МСС — гипотезе материального континуума. В этом случае все три инварианта, тензоров остаются неизменными.
При преобразовании векторных образов тензоров-тривекторов напряжений и деформаций мы получаем множество других физических процессов в данной механической частице тела. В этом случае общий вид определяющих соотношений (16) сохраняется, но коэффициенты Ап становятся зависимыми от изменения первого и третьего инвариантов вида напряженных состояний всестороннего растяжения-сжатия и всестороннего формоизменения, происходящих вследствие изменения структурно-механических свойств (СМС) среды при видоизменении НДС, но сохранении модуля тензора-тривектора.
Если пренебречь влиянием изменения СМС среды, то соотношения (16) будут представлять собой постулат изотропии для начально-изотропных сред: определяющие соотношения в тензорной форме (16) при малых упругопластических деформациях отражают в первом приближении физические свойства среды, относительно преобразований вращения, и отражения т,ри,вект,оров (тензоров) напряжений и деформаций, если только основная гипотеза МСС о непрерывном сплошном континууме среды, не учитывает изменения ее структуры при сложном нагружении, [30, 31].
3. Постулаты макроскопической определимости и изотропии в линейном координатном векторном пространстве. В работах [1-3, 7-10] вместо линейного тензорного пространства было введено линейное координатное евклидово шестимерное пространство в котором тензорам напряжений (<т^) и деформаций (е^) были поставлены в соответствие упорядоченные совокупности их компонент, названные координатами многомерных векторов. В результате тензорное пространство было преобразовано в координатно-векторное линейное шестимерное пространство. Для того чтобы тензорное пространство стало евклидовым, кроме правил сложения векторов и их умножения на скаляр необходимо было ввести правило скалярного умножения двух векторов. Так как правило умножения двух тензоров второго ранга (и^) ■ (е^) = (ст^сг/у) свойством перестановочности не обладает в общем виде, то в качестве скалярного произведения шестимерных векторов была принята
их свертка (двойное скалярное произведение) [23, 26, 29]. В этом случае
{ (о-у) • -Он?) = (Тгк^кг = 1,2,3);
[ {аг] ' '{аг]) = = >52) (%') • '(%') = = •
Полученный результат позволил каждому из тензоров ((Ту), (ву) поставить в соответствие обобщенные векторы шестимерного линейного евклидова пространства [23, 24]
S = Ynèn, е = Xnên (п = 1,2,... ,6),
(17)
где — координатный ортонормированный векторный базис совмещенного шестимерного евклидова пространства,
Х\ — S\\, — £22, Хз — £33, Х4 — \/2s\2, — л/2 в23, Хв — л/2е\з, Yl=(7ll, У2 = СГ22, Уз=&33, У4 = л/2 С12, = \/2СГ23, F6 = Л/2СГ13
(18)
— координаты векторов, связанные взаимно однозначными соотношениями с компонентами тензоров. При разложении тензоров на шаровые и девиаторы соответствующие им векторы (17) с координатами (18) могут быть представлены в новом базисе {гк} в виде [1-3, 23]:
S = Skik, е = Экгк (к = 0,1,2,... ,5),
(19)
где координаты векторов Бк, Эк связаны с компонентами тензоров иными взаимно однозначными преобразованиями
So — Vo do, S1 — д/ — Su, S2 —
S 22 — S 33
S3 =
'12,
Зо =
■ £0,
Si = \l- Эп,
Э22 — Э33
à2 = -7=-, c?3 =
S4 — V
34 =
'23,
s5 = V:
з5 =
'13,
(20)
а единичные векторы ортонормированного базиса {ёк} — с единичными векторами ортонормиро-ванного базиса A.A. Ильюшина {гк} взаимно однозначными соотношениями [23]:
го = -7= (êi +ê2 + ê3),
п = Уз
êi - ^(ê2 +ê3)
«2 =
ег - e3
г3 = e4, г4 = e5, г5 = e6. Преобразования (17), (19) удовлетворяют условиям тождественности тензоров и векторов [3, 23, 30]
S2 — — УпУ'П — 3<Tg + SijSij — SkSk, s = SijSij = XnXn = Звд 9ij9ij = ЭкЭк.
(21)
Условия тождественности (21) утверждают, что модули тензоров и длины векторов равны, а из взаимно однозначных преобразований (18), (20) следует, что все три инварианта тензоров сохраняются и в шестимерном векторном пространстве для фиксированных векторов. Полученные результаты позволили с помощью соотношений (20) преобразовать тензорную форму (основного) постулата МСС между напряжениями и деформациями (16) в векторную форму
do = 3Ksq, и = ^^ А,
п= 1
(ГЭ
1
или
п= 1
dn9k 1 dsn
(к = 1,2,..., 5),
(22)
где {dn9/dsn} — локальный линейно независимый косоугольный репер в каждой точке траектории деформирования Э = 9{s) с длиной дуги s(t). Траектория деформирования 9{s) в Eq в базисе {ik} с построенным в каждой ее точке вектором напряжений <т и приписанными к каждой точке температурой T(s), давлением p(s) и другими нетермофизическими параметрами получила название образа
процесса деформирования [1-3]. Вместо косоугольного локального репера {с1кЭ/с1зк} в каждой точке траектории деформирования может быть построен естественный ортонормированный репер {рк}, орты которого удовлетворяют рекуррентным формулам [1-3, 23]
(1'Рк
-Жк-\Рк-1 + ^кРк+1,
где к = 0,1,... , 5; к® = = 0 в Ее либо к = 1, 2,..., 5; = = 0 в Е5,
<1Э Л 1 (12Э Р1 = ~Г, Р2 =
йв
—тт' Рз = —
<1Э (I ( 1 (12Э —I- —
дь8 V УС\ йв2
Вектор р 1 является касательным в каждой точке аналитической траектории деформирования. Вектор напряжений и его первая производная могут быть в естественном репере в Е$ представлены следующим образом [23-26]:
гТТт
Зо = ЗКЭо, а = Рк'Рк, = Р*к'Рк (Л = 1,2,..., 5),
где единичный вектор напряжений в подпространстве
(23)
сг = -= сои (ЗкРк (к = 1,2,..., 5), а
а функционалы процесса
(кт
Рк = (т сое Рк = сов (Зк + а
<1 сое /Зк
/Зк — угловые координаты векторов а и а в естественном репере Френе. Определяющие соотношения (23) преобразуются к виду
= ЗКЭ0, ^ = Мкрк + ( ^ - Мк соя /Зк ) а,
(Л/О \ (Л/О у
а = аа = а(сов(Зкрк) (к = 1, 2,..., 5), где коэффициенты-функционалы процесса деформирования
3о 00(3 Рк
Мк = а
РХ - Рои
СОв /?2
(М2 = 0)
(24)
(25)
(26)
(27)
зависят от параметров внутренней геометрии температуры Т, скорости ё деформирования
и других нетермофизических параметров /3, а также инвариантов тензора деформации ео, Э, = \9ijl для каждого фиксированного образа процесса деформирования независимо от координатной системы и ее преобразований поворота и отражения. Угловые координаты /Зк вектора а удобно выразить через сферические координаты {)т (т = 1,2,3,4) [23, 25]:
сов/?! = С08$1, С08/?2 = ССЙ $2, СОв/?з = вШ $1 Эт $2 СОв $з,
сое /?4 = эт эт "92 эт $з сое $4, сое /З5 = эт $1 эт $2 эт $3 эт $4,
(28)
что позволяет представить (23)-(27) в виде [23-26]:
йа
= Мкрк + Ма (к = 1,2,..., 5), (1(7
М = ---М1СОБ'&1 - Мовпи?! ап1?2,
(29)
(30)
di) 1
—:--Ь >С\ COS = — \—М\ Sin í?i + Мз COS 7?i SÍn tW j
as a
(d*& 2 \ 1
—--h K2 COS $3 ) = — \—M2 sin §2 + Мэ COS $2l + COS 7?i SÍn §2,
as J a
(d*& 3 \ 1
—:--h K3 COS J = — [—Ms sin$3 + M* COS 1?з] + K2 SÍn7?i COS §2 SÍn$3,
as
(d*& 4 \ 1
—--h >i4 ) = — [—M4 SÍn + M5 COS + K3 sini?i sini?2 COS $3 SHllV
ds
(31)
где
вид
M2 = 0, Mo = М3 cos 1?з + М* sin $3, М* = М4 cos $4 + М5 sin $4. (32)
Для трехпараметрических задач $3 = $4 = 0, М4 = М5 = 0 основные соотношения принимают
/ da \
— = MiPi + ( ---Ml COS $1 — М3 sin 1?! sin $2)0" + м3р3,
ds \ds )
a = eos "difii + sin $1 (eos $2^2 + sin 1?2Рз) j
d-d 1 1 (33)
—:--h Xi COS §2 = — í—Mi sin 1?! + M3 COS 1?! SÍn $2l,
ds a
■ 9 (d^ \ 9 • 9 о. Мз 9 Sin 7/1 —--\- Я2 ) = COS 7/1 Sin 7/2 H--COS 7/2-
\ ds J a
При т?2 = 0 и малом кручении К2, М3 = a^sini?! получаем уравнения теории для траекторий малого кручения из (33):
d& ,, „ /da „ \ я
— = М\р\ + —--Mi cos i/i cr + ая2 sm т/1^3,
ds \ds J
a ~ ^ ■ a ~ Ml
a = cos 7/ipi + sin 7/1P2, —;--h =--sin 7/1.
as a
(34)
Для плоских траекторий в (34) имеем К2 = 0, т?2 = 0. При повороте координатного базиса в Ее
= = (Ь .] = 1) 2, . . . , 6),
где (/Зу) — матрица преобразования. При фиксированных векторах и образах процессов имеем
Э — С1: — • ё-^ — ^-¡г^г • Эъ —
откуда следует
Э'г = 13г,Э, (i,j = 1,2,..., 6),
(35)
т.е. координаты вектора Эг видоизменяются, но сам вектор остается неизменным вместе со всеми его инвариантами, ибо он фиксирован в Ее- В этом случае определяющие соотношения (22), (23), а также (29)-(32) представляют собой математическую форму основного постулата макроскопической определимости в МСС для начально-изотропных сред в векторном изложении: определяющие соотношения в форме (22), (23), а также (29), (32) при малых деформациях полностью отражают ее свойства в физическом пространстве относительно ортогональных преобразований вращения и отражения координатного базиса {ё^} в Ее, если инварианты, тензоров в физическом пространстве остаются инвариантным,и в Ее.
При преобразовании образа процесса в Ее в случае фиксированного координатного базиса {ё^} имеем
У = (ац)Э, % = ацЭ, (г,,? = 1,2,...,6), (36)
где (ощ) — матрица ортогонального преобразования. В случае сохранения длины вектора Э при преобразовании поворота или отражения
Э — — Э¿ — Ctijdj — (Xík^k, 9j — fijk^k-
Тогда получаем систему уравнений
OiijOiik = öjk (i,j,k = 1,2, ...,6)
(37)
где
OtijOtik\ = 1, \&ij\ = ±1
(38)
знак плюс отвечает вращению, а знак минус — отражению преобразования. Вопрос о сохранении других инвариантов остается неопределенным. Сравнивая (35) и (36), видим, что матрицы преобразований координатного базиса (ßij) и координат векторов образов процессов (otij) математически совпадают, т.е. а^ = ßij. Путем ортогонального преобразования (aij) образа процесса можно получить множество траекторий деформирования с одинаковой внутренней геометрией (s,xm), но соответствующих различным видам НДС и, следовательно, различным физическим процессам с различными CMC материала. Для некоторых классов конструкционных материалов влияние вида НДС является слабым, как показали многочисленные экспериментальные исследования [22-40]. Идея пренебречь влиянием вида НДС на связь между напряжениями и деформациями и заменить множество траекторий, обладающих одной и той же внутренней геометрией, только одной исходной принадлежит A.A. Ильюшину [1-11]. В этом случае любая возможная история нагруже-ния и деформирования материала будет определяться только внутренней геометрией траектории деформирования и ориентацией траектории в Eq. Эта замечательная идея явилась очевидным успехом в развитии общей математической теории пластичности и ее приложений на практике [41]. В работах [1, 2] был выдвинут постулат изотропии как приближение к основному постулату макроскопической определимости в МСС: образ процесса деформирования инвариантен относительно его преобразований вращения и отражения при неизменном (фиксированном,) координатном, базисе, т.е. представление определяющих соотношений (22), (23), а также (29)-(32) инвариантно относительно этих преобразований. Постулат изотропии A.A. Ильюшина существенно упрощает постановку экспериментальных исследований по проверке его достоверности и построению функционалов упругопластических процессов при его уточнении [2].
Если считать, что согласно тождественности тензоров и векторов (21) три инварианта каждого из них остаются инвариантами и в Eß, то при преобразовании образа процесса сохраняются лишь вторые инварианты (модули тензоров и векторов), а первый и третий инварианты вида НДС могут изменяться. В этом случае постулат изотропии будет нарушаться. Его иногда называют частным, постулатом, а постулат макроскопической определимости — общим постулатом изотропии, что не является удачным. Постулат изотропии вызвал дискуссию в 1961-1962 гг. о путях развития общей математической теории пластичности между сторонниками теории течения и нового прогрессивного направления в теории пластичности — теории процессов упругопластического деформирования сплошных сред при сложном нагружении [18-21]. Теория процессов упругопластического деформирования является более общей теорией, чем теория течения. Это проще всего проследить наглядно на определяющих соотношениях для плоских траекторий, представленных в виде [31]
где а = Ф(в, я\) — обобщенная универсальная кривая Одквиста-Ильюшина, отражающая историю деформирования. В теории течения полные деформации разлагаются на упругие и пластические части:
что возможно только при простом нагружении или простой разгрузке. При сложном нагружении по Хаару и Карману материал может находиться в неполном пластическом состоянии и деформироваться упруго в одном направлении и пластически в другом [12]. Поэтому основная гипотеза
(39)
откуда следует [23, 27]
(40)
теории течения является весьма ограниченной. Исследование зависимости между напряжениями и полными деформациями теоретически возможно и практически целесообразно как в теории, так и в экспериментах.
Полагая в (39), (40) коэффициент М\ = 2О, где О — упругий модуль сдвига, мы получаем более точные определяющие соотношения теории течения:
учитывающие как скалярные, так и векторные свойства материалов и обобщающие определяющие соотношения теории течения Прандтля-Рейсса-Хилла на упрочняющиеся среды [14, 23]. В теории течения принимается также гипотеза, о линейности, тождественная предположению о независимости соотношений (41) от угла сближения (поворота) и кривизны т.е. гипотеза о свободном пластическом течении. Полагая = 0, получаем из (41) соотношения классической теории течения Прандтля Рейсса ^Силла [14]. Именно поэтому применение теории течения в теории устойчивости за пределом упругости дает неудовлетворительные результаты [23-25]. Еще одно принципиальное замечание в адрес теории течения в [8] состояло в том, что в процессе пластического деформирования возникает деформационная изотропия, заметным образом изменяющая упругие свойства материала. Основные замечания сторонников теории течения можно свести к следующим. В работе [18] отмечается, что постулат изотропии в предложенной векторной форме (22) в пятимерном девиаторном пространстве должен учитывать влияние третьих инвариантов вида НДС, так как остается открытым вопрос о коэффициентах-функциях состояния среды для других различных траекторий деформирования с одинаковой внутренней геометрией при ортогональном преобразовании координатных осей векторов. В работе [20] поясняется: "Многочисленные опыты, наших и зарубежных ученых с изотропными в исходном, состоянии материалами при нормальных и высоких температурах, малых и, больших временах деформирования показывают,, что влияние третьего инварианта девиат,opa, деформаций (напряжений) на механические свойства при малых деформациях является слабым, и, это согласуется с ТМУПД. Поэтому в распространенных формулировках постулата изотропии мы принимаем,, что от, третьих инвариантов тензоров коэффициенты Ап в (16), а значит, и в (22), не зависят. Это означает, что пятимерные пространства напряжений, деформаций и т.д. изотропны, т.е. законы связи напряжений с деформациями инвариантны не только относительно преобразований поворот,а, координат, в теле, но и относительно преобразований вращения и отражения в пятимерных пространствах, и, значит,, только длина, дуги s и четыре параметра яп кривизны являются единственными внутренними ха,ра,кт,ери,ст,и,ка,м,и, процессов сложного нагружения. Таким, образом,, устанавливается математическая мера, количественно характеризующая степень сложности процессов сложного нагружения''. Эта великая мысль ученого и, инженера определила на, будущее путь развития общей, математической теории пластичности.
В работе [19] отмечено, что некоторые метастабильные материалы не обладают единой кривой упрочнения и постулат изотропии исключает все критерии пластичности, кроме условия пластичности Мизеса. Это, конечно, так. Согласно работе [7], в теории процессов появление пластических деформаций с достаточной степенью точности характеризуется критерием Мизеса, который может быть заменен близким к нему критерием Треска. Кроме того, выше было отмечено, что т0Кт < Ттах, и поэтому переход материала из упругого состояния в пластическое возникает при одновременном достижении на всех октаэдрических площадках механической частицы некоторого предельного значения т0КТ = \/2 т.е. согласно критерию Мизеса-Надаи. Известно, что твердые тела делят на аморфные и кристаллические. Первые из них изотропны, вторые, металлы и их сплавы, представляющие собой поликристаллические тела, состоящие из множества хаотически расположенных зерен-кристаллов, — квазиизотропны.
В упругом состоянии все начально-изотропные материалы сохраняют изотропию до момента их перехода в упругопластическое квазиизотропное состояние при модуле а ^ аТ. При этом механизм упругопластического деформирования у различных материалов может быть разным. Различают пластическое деформирование путем межзеренного скольжения, трансляционного сдвига и двой-никования [13]. Как следствие этих механизмов структура материалов и их СМС изменяются с изменением вида НДС. Стабильные чистые металлы с кубической атомной решеткой (медь, железо, алюминий и их сплавы с равновесной структурой) обладают механизмом трансляционного сдвига при упругопластическом деформировании и имеют единую кривую упрочнения материалов при простом нагружении. У магния, имеющего гексагональную атомную решетку с ограниченным числом систем скольжения, влияние на единую кривую упрочнения в зависимости от вида простого нагружения велико [10]. Для материалов с метастабильной структурой, таких, как магниевые
(41)
сплавы, высокопрочные стали, высокопрочные алюминиевые сплавы и др., модуль девиатора напряжений при переходе из упругого состояния в пластическое для различных типов простого нагру-жения различен и поэтому единая кривая упрочнения также может отсутствовать. Если это отклонение несущественно, то постулат изотропии будет выполняться с достаточной степенью точности. В противном случае возникает проблема уточнения при построении функционалов процесса деформирования с учетом возникновения деформационной анизотропии в условиях сложного нагружения. В работе [21] отмечено, что тензорная форма постулата изотропии (16) инвариантна в физическом пространстве и ее коэффициенты Ап должны быть функциями инвариантов физического пространства. Векторная форма постулата изотропии (22) инвариантна в многомерном подпространстве и ее коэффициенты Ап должны быть инвариантами этого подпространства Е$. В работах [НО], по существу, была принята гипотеза о том, что коэффициенты соотношений (16), зависящие от трех инвариантов в физическом пространстве, остаются инвариантами и в пятимерном подпространстве Е$. В пункте 4 мы выдвинули принцип тождественности тензоров и векторов, решающий эту проблему. Отметим при этом, что особое место в теории процессов было уделено девиаторному пространству Е$ € Eq [НО]. Оно было выделено из шестимерного пространства Eq как самостоятельное. В качестве образа процесса деформирования была принята совокупность траектории формоизменения Э(s) с построенными в каждой ее точке векторами напряжений а и приписанными к ним параметрами давления p(s), а также температурой T(s) и другими нетермофизическими параметрами /3 [1, 2]. Процессы деформирования в Е$ можно подразделить на нормальные и сдвиговые формоизменения. При
3(То = <71 + <72 + <7з = 0, Зе0 = £1 + £2 + £3 = о,
но отличных от нуля и разных по знаку главных напряжений и деформаций инварианты тензоров имеют вид
/
Jf = 31 = 0
<
If = Jf = о,
\ ^ V ^
В случае ортогонального преобразования координатного базиса {%к} при фиксированном образе процесса инварианты тензоров и векторов в каждой точке траектории деформирования остаются неизменными. При ортогональном преобразовании образа процесса и его векторов и неизменном координатном базисе {г^} векторы а, Э сохраняют свои длины (модули) <7, Э, но изменяют углы вида НДС <р и ip и как следствие их третьи инварианты. В этом случае постулат изотропии явно нарушается. Причиной является видоизменение НДС и возможное изменение CMC материала. При простом и квазипростом нагружении (S*j) = (9*j), что приводит к соотношениям ТМУПД
а = |-Э, Sij = ^9ij, о- = Ф(Э).
Так как при этом углы вида НДС ip = ip совпадают, то
cos 3(р = = _ cos
<73 Э *
Таким образом, для простого и квазипростого нагружения при всестороннем сдвиговом процессе формоизменения постулат изотропии всегда выполняется. Желание "расширить" постулат изотропии в подпространстве Е$ путем введения в понятие образа процесса в каждой точке траектории деформирования внешнего давления р либо объемной относительной деформации в = Зео создало в теории процессов "болевую точку", поскольку в девиаторном подпространстве Е$ описывается только деформация формоизменения по определению. Вследствие этого в экспериментальных исследованиях по проверке постулата изотропии стали допускать опытные программы, в которых с о ф 0, £о ф 0, что привело к обнаружению влияния третьих инвариантов и нарушению постулата. Трактовка постулата изотропии в шестимерном пространстве Eq вместо подпространства Е$ полностью снимает эту "болевую точку" для процессов простого и квазипростого нагружения.
4. Принцип тождественности тензоров и векторов напряжений и деформаций в Eq. Шестимерное координатное евклидово пространство Eq определяется множеством векторов деформаций и напряжений [1, 2, 23]:
е = Xiêi = 9kik, S = Yiêi = Skik (г = 1,2,..., 6; к = 0,1,..., 5), где {êj}, {ik} — ортонормированные координатные базисы в Eq.
0Та _ 9 та _ 2 та _ та _ COS3<fi
Zilry - Zi/o - U , 1 О - i/o --= ,
2/| — 2J| — Э2, /| — J| —
Э3 cos 3ip
Как мы установили выше в п. 3, при фиксированном векторе Э, но ортогональном преобразовании координатного базиса = /Зуё^-, = /З^ё^- видоизменяются координаты вектора согласно соотношениям
Хг = ргзХ, (42)
при сохранении всех инвариантов шестимерного вектора в Е§, так как последний в целом остается неизменным. С другой стороны, при фиксированном координатном базисе, но ортогональном преобразовании вектора е
Х'г = агзхз (43)
и при сохранении его длины должны выполняться условия (37), (38). Из (42), (43) следует, что = /Зу, т-е- преобразования вращения и отражения координатных осей, либо базисов при фиксированных векторах, либо образов процесса и преобразования векторов, л,ибо образов процесса при фиксированных координатных базисах математически одинаковы, но физически различны. В первом случае все инварианты преобразования сохраняются, а во втором сохраняются лишь модули векторов, а остальные инварианты остаются неопределенными. Рассмотрим первый случай. Преобразуемый вектор е в новое положение е' может занять такое положение, при котором
е' = Хе, Х[ = ацХ, = АХ;. (44)
Вектор е, удовлетворяющий соотношению (44), называют собственным, вектором,, а соответствующее ему число Л — собственным или характеристическим числом [15, 16]. Так как
XI = Ь^Ху, Х^ = еХ*, Х*Х* = 1, (45)
то из (44), (45) имеем систему однородных алгебраических уравнений
(аг] - 6гзХ)Х* = 0, (46)
откуда получаем, что согласно (45) определитель
Б = -\otij - 6ц\\ = А6 - М1А5 + М2Л4 - М3Л3 + М4Л2 - М5Л + М6 = 0, (47)
где коэффициенты Мп (п = 1,2,... ,6) представляют собой суммы главных миноров п-то порядка матрицы преобразования А = (а^), т.е.
Мг = аы, М2 = ^(ацЩу - а^а^■), ..., М6 =
Уравнение (47) является характеристическим уравнением системы (46), а его коэффициенты — инвариантами шестимерного координатного евклидова пространства Е§ [15]. Корни уравнения (47) являются собственными значениями преобразования А = (а^). По теореме Виета коэффициенты Мп можно выразить через \п по формулам
6 6 6 = £ А», М2=£ ЛгЛ,- (г < з), Мз = ^ \i\j\k (г < 3 < к),
г=1 i,j=í гЛ,к=1
м4 = Тл,],к,г=1^з^кК (г < з < к < г), ..., М6 = А1Л2Л3Л4Л5Л6.
Уравнение (47) имеет не более шести собственных чисел. Если все Хп различны и действительны, то матрица преобразования А = (а^) приводится к диагональной форме. Подставляя каждое из найденных значений Хп в систему уравнений (46), можно найти собственные векторы еп и их значения еп. Умножая коэффициенты Мп на еп, где е = |ё| — модуль вектора деформаций, получаем шесть инвариантов вектора деформаций в векторном пространстве Е§:
Гп = £пмп (п = 1,2,... ,6).
Аналогично для инвариантов напряжений = ЗпМп.
Если характеристический многочлен уравнения (47) имеет кратные корни, то число линейно независимых собственных векторов в Е§ может быть меньше шести [16]. Пусть уравнение (47) имеет кратные корни Хп. Важно отметить, что физические процессы при преобразовании векторов
и S(t) различны. Известно, что преобразование координатных осей х% в теле в физическом пространстве определяется тремя параметрами (углами Эйлера), которые являются частным случаем преобразований вращения в шестимерном пространстве Eß при некоторых значениях ctij [2]. Обширный класс преобразований вращения и отражения векторов е' = S' = (ctij)S, не совпадающих с трехпараметрическим вращением, дает класс траекторий, которые не отражают физических процессов тензоров деформаций и напряжений. Этот факт позволяет считать, что в Eß три кратных корня должны быть равны нулю, т.е. A4 = Л5 = Аб = 0. В этом случае уравнение (47) принимает вид
А3 (А3 - Mi А2 + М2 А - М3) = 0,
где
Mi = AI + A2 + A3, М2 = AIA2 + А2АЗ + А3А1, М3 = AIA2A3. Инварианты НДС среды в Eß принимают вид
Г If = eMi = £1 + £2 + £3 = Зео, Ц = £2М2 = £\£2 + ^2^3 + £з£1, X Ц = е3М3 = £1£2£з, 1% = Ц = Ц = 0, 2(/| )' = е2 = е\ + е\ + е%
Г II = SMi = ai + (72 + <т3 = 3(То, Ц = S2M2 = aia2 + a2as + asai, X Ц = S3M3 = aia2a3, Ц = Ц = Ц = 0, 2(Ц)' = S2 = a2 + a2 + a2,
где <Tfc (k = 1,2,3) — главные деформации и напряжения. Данный результат согласуется с тем, что в частном случае физического пространства мы получаем трехмерное пространство главных направлений (напряжений, деформаций) Хейга [23]. Полученный результат является тем дополнительным требованием, на котором настаивал В.В. Новожилов [21], но которое ранее предсказал A.A. Ильюшин в работах [1, 2, 10, 20] благодаря своей удивительной интуиции. Мы назвали данное предположение (требование) обобщемпым принципом тождественности тензоров второго ранга в линейном координатном евклидовом шестимерном пространстве Eq: векторы в Eq и тензоры напряжений и деформаций в физическом т,рехм,ерном, пространстве тождественны, если совпадают не только их модули, но и три их собственных вектора, образующие в Eß локальное трехмерное инвариантное подпространство, эквивалентное трехмерном,у подпространству главных направлений в физическом, пространстве. Согласно принципу тождественности три инварианта каждого из тензоров напряжений и деформаций в физическом пространстве остаются и сохраняются инвариантами и в шестимерном линейном координатном евклидовом пространстве Eß, что утверждал A.A. Ильюшин [10].
Однако это не все. Полученный результат относится к постулату макроскопической определимости и его определяющим соотношениям (22), (23) и (29)^(32) в линейном шестимерном векторном пространстве Eß при фиксированных образе процесса и его векторах. При фиксированном координатном базисе и ортогонально преобразуемых образе процесса и его векторах (43) ситуация физически изменяется в случае формулировки постулата изотропии как следствия постулата макроскопической определимости. Теперь сохраняется только инвариантная длина векторов. Первые и третьи инварианты остаются математически неопределенными в рамках основной гипотезы о материальном континууме среды и вследствие изменения CMC среды на мезоуровне могут перестать быть инвариантами. Поэтому в теории процессов при упругопластическом деформировании важное значение приобретают экспериментальные исследования для каждого класса материалов по установлению влияния инвариантов вида НДС на выполнение постулата изотропии. Экспериментально доказано, что для стабильных металлов и их сплавов это влияние является слабым, [20]. Постулат изотропии A.A. Ильюшина [2, 3, 7, 8, 10] определил новое направление в развитии теории пластичности и открыл возможность моделирования реальных сложных процессов нагружения сплошных сред.
5. Заключение. На основе приведенного выше исследования можно утверждать, что для начально-изотропных сплошных сред постулат изотропии полностью соответствует фундаментальной гипотезе МСС на макроуровне — гипотезе непрерывного материального континуума. В исходном состоянии материал является изотропным (квазиизотропным) и однородным в окрестности каждой точки малого объема. Материал обладает упруговязкопластическими свойствами. В процессе деформирования в среде возникает деформационная анизотропия вследствие изменений CMC на мезоуровне при изменении вида НДС, а также упругих постоянных. При простом нагружении параметры деформационной анизотропии для стабильных материалов описываются на основе закона
единой кривой упрочнения ТМУПД. При сложном нагружении такая единая кривая отсутствует и функционалы теории упругопластических процессов кроме параметров сложного нагружения внутренней геометрии траектории деформирования зависят от параметров вида НДС, которые соответствуют скрытым, структурно-механическим параметрам на, мезоуровне. Таким образом, при сложном нагружении или упругопластическом деформировании основная гипотеза о непрерывном материальном континууме нуждается в уточнении.
С другой стороны, в постулате изотропии содержится фундаментальная идея о том, что история всевозможного множества сложных процессов нагружения определяется главным образом параметрами внутренней геометрии траекторий деформирования (длиной дуги s и параметрами кривизны хт), а не влиянием вида НДС, возникающим за счет изменения структурно-механического состояния материала на мезоуровне, которое является вторичным по своему эффекту. Тем не менее они становятся заметными для некоторых материалов, обладающих физической нелинейностью в упругой области (чугун, бетоны, графит и др.). Параметры кривизны всевозможных сложных траекторий являются математической мерой сложности нагружения, а принцип запаздывания приводит к понятию следа запаздывания, являющегося характерным размером при классификации траекторий деформирования. Постулат изотропии определяет векторные свойства материала и дает геометрическую наглядность различным сложным процессам нагружения. Скалярные свойства при сложном нагружении определяют функционалы процесса. Универсального функционала, описывающего упрочнение при упругопластическом деформировании, в настоящее время не существует. Поэтому общая математическая теория пластичности при сложном нагружении должна быть теорией пластичности анизотропного тела [10]. Этот путь развития требует времени. Однако это не исключает уточнения постулата изотропии A.A. Ильюшина за счет построения приближенных аппроксимаций функционалов сложных упругопластических процессов деформирования. Поэтому постулат изотропии A.A. Ильюшина остается главной основой для системных экспериментально-теоретических исследований всевозможного многообразия историй сложного деформирования сплошных упругопластических сред и определяет наиболее эффективное направление развития общей математической теории пластичности для практики инженерных расчетов по сравнению с другими вариантами теорий пластичности, не содержащих безграничного многообразия сложных историй нагружения. На этом пути в настоящее время уже достигнуты определенные успехи [22-31, 45-54].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин A.A. Об основах общей математической теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
2. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.
3. Ильюшин A.A. О связи между напряжениями и деформациями в механике сплошной среды // Прикл. матем. и механ. 1954. 18, вып. 6. 641-666.
4. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций // Прикл. матем. и механ. 1943. 7, № 4. 245-272.
5. Ильюшин A.A. Теория пластичности при простом нагружении тел, материал которых обладает упрочнением // Прикл. матем. и механ. 1947. 11, вып. 2. 293-296.
6. Ильюшин A.A. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. (М.: Логос, 2004.)
7. Ильюшин A.A. Вопросы общей теории пластичности // Прикл. матем. и механ. 1960. 24, вып. 3. 399-411.
8. Ильюшин A.A. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 399-411.
9. Ильюшин A.A. Труды. Т. 1 (1935-1945). М.: Фнзматлит, 2003.
10. Ильюшин A.A. Труды. Т. 2. Пластичность (1946-1966). М.: Физматлит, 2004.
11. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физматлит, 1954.
12. Теория пластичности: Сб. статей / Под ред. Ю.Н. Работнова. М.: ПИЛ, 1948.
13. Иадаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ПИЛ, 1956.
14. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.
15. Ильин В.А., Иозняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2002.
16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.
17. Сокольников И. С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971.
18. Ивлев Д.Д. О постулате изотропии в теории пластичности // Изв. ФН СССР. ОТН. Механ. и машиностр. 1960. № 2. 125-127.
19. Новожилов В.В. Об одном направлении в теории пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностр. 1961. № 3. 176-181.
20. Ильюшин A.A. Еще о постулате изотропии // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностр. 1962. № 1. 201-204.
21. Новожилов В.В. И еще о постулате изотропии // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностр. 1962. № 1. 205-208.
22. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2002.
23. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. М.: Физматлит, 2010.
24. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2000.
25. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость. М.: Физматлит, 2007.
26. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 2. Пластичность. М.: Физматлит, 2008.
27. Зубчанинов В.Г. Гипотеза ортогональности и принцип градиентальности в теории пластичности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 5. 68-73.
28. Зубчанинов В.Г. Постулат изотропии и закон сложной разгрузки сплошных сред // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 27-37.
29. Зубчанинов В.Г. Теория процессов и постулат изотропии A.A. Ильюшина // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2011. 73-79.
30. Зубчанинов В.Г. Теория упругопластического деформирования материалов A.A. Ильюшина, ее критерии и общий постулат изотропии // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2016. 83-93.
31. Зубчанинов В. Г. Тензорная форма постулата изотропии в теории пластичности // Математическое моделирование и экспериментальная механика деформируемого твердого тела. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2017. 64-75.
32. Ленский B.C. Экспериментальная проверка законов изотропии и запаздывания при сложном нагруже-нии // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № И. 15-24.
33. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 58-82.
34. Коровин И.М. Экспериментальное определение зависимости напряжений и деформаций с одной точкой излома // Инж. журн. Механ твердого тела. 1964. 4, № 3. 592-600.
35. Дао-Зуй-Вик. О гипотезе локальной определенности в теории пластичности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1965. № 2. 67-75.
36. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 1. 59-126.
37. Кравчук A.C. О теории пластичности для траекторий деформирования средней кривизны. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 2. 91-100.
38. Малый В.И. Об упрощении функционалов теории упругопластических процессов // Прикл. механ. 1978. 14, № 2. 48-53.
39. Муравлёв A.B. Некоторые общие свойства связи напряжений и деформаций в теории пластичности // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1984. № 6. 178-179.
40. Ленский B.C., Ленский Э.В. Трехчленное соотношение теории пластичности // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1985. № 4. 111-115.
41. Охаши И., Токуда М., Курита И., Сузуки Т. Некоторые данные об общем законе пластичности Ильюшина // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1981. № 6. 53-64.
42. Ohashi Y., Tokuda М., Yamashita Н. Effect of third invariant of stress deviator on plastic deformation of mild steel //J. Mech. and Phys. Solids. 1975. 23, N 4-5. 295-323.
43. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников B.B. Экспериментальная пластичность. Т. 1. Процессы сложного деформирования. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2003.
44. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность. Т. 2. Процессы сложного нагружения. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2004.
45. Зубчанинов В.Г., Алексеев A.A., Гультяев В.И. Численное моделирование процессов сложного деформирования по двузвенным траекториям // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2014. Вып. 76(1). 18-25.
46. Зубчанинов В.Г., Алексеев A.A., Гультяев В.И. Моделирование сложного деформирования по плоским криволинейным траекториям // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2015. Вып. 77(2). 113-123.
47. Зубчанинов В.Г. Теория упругопластического деформирования материалов и общий постулат изотропии A.A. Ильюшина // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости: Мат-лы VIII Междунар. науч. симп. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2015. 9-24.
48. Алексеев A.A., Зубчанинов В.Г. Процессы упругопластического деформирования материалов по плоским траекториям // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2016. 132-135.
49. Зубчанинов В.Г. Теория процессов, полная и неполная пластичность сплошных сред и постулат изотро-
пии A.A. Ильюшина // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: Мат-лы VII Междунар. науч. симп. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2011. 30-49.
50. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: Изд-во УРСС, 1998.
51. Трещёв A.A. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та, 2008.
52. Бровко Г.Л., Быков Д.Л., Георгиевский Д.В., Кийко И. А., Молодцов И.М., Победря Б.Е. Научное наследие A.A. Ильюшина и развитие его идей в механике // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 5-18.
53. Васин P.A. Теория упругопластических процессов и исследование структурно-механических свойств материалов // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 19-26.
54. Маркин A.A., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат A.A. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 38-45.
Поступила в редакцию 03.li.2017
УДК 514.86 : [531.1/3 : 539.3]
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРНЫХ МЕР ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Г. Л. Бровко1
Представлена обобщенная теория тензорных мер деформаций и напряжений в классической механике сплошной среды: предложены основные аксиомы теории, построены общие формулы для новых тензорных мер, установлена теорема об энергетической сопряженности мер напряжений и деформаций, выделяющая полный лагранжев класс мер. В качестве подкласса построен простой лагранжев класс энергетически сопряженных мер напряжений и конечных деформаций, в котором выделены семейства голономных и коро-тационных мер. Сравнением тензорных мер простого лагранжева класса друг с другом и с логарифмическими мерами исследованы характеристики голономных и коротационных мер. Установлена полнота и замкнутость простого лагранжева класса и его семейств относительно выбора порождающей пары энергетически сопряженных мер. Отмечены приложения новых тензорных мер в моделировании свойств пластичности, вязкоупругости, памяти формы.
Ключевые слова: классическая механика сплошной среды, тензорные меры деформаций и напряжений, обобщенная теория, аксиомы теории, новые тензорные меры, лагран-жевы классы, теорема об энергетической сопряженности, семейства голономных и коротационных мер, приложения новых тензорных мер.
A generalized theory of tensor measures of strains and stresses in classical continuum mechanics is discussed: the main axioms of the theory are proposed, the general formulas of new tensor measures are derived, the theorem of energy conjugation is established to separate the complete Lagrangean class of the measures. As a subclass, the simple Lagrangean class of energy conjugated measures of stresses and finite strains is constructed in which the families of holonomic and corotational measures are distinguished. By comparison of measures of the simple Lagrangean class with one another and by matching them with logarithmic measures, the characteristics of holonomic and corotational measures are studied. For the simple Lagrangean class and its families, their completeness and closure are established relative to any choice of a generating pair of energy conjugated measures. The applications of the new tensor measures in modeling the properties of plasticity, viscoelasticity, and shape memory are mentioned.
Key words: classical continuum mechanics, tensor strain and stress measures, generalized theory, axioms of the theory, new tensor measures, Lagrangean classes, theorem of energy-conjugation, families of holonomic and corotational measures, applications of new tensor measures.
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glbQmech.math.msu.su.
